2024年高考數(shù)學(xué)二輪考前演練之函數(shù)的周期性與對(duì)稱(chēng)性 (解析)

備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)二輪專(zhuān)題考前演練

函數(shù)的周期性與對(duì)稱(chēng)性

一、選擇題

1.定義在R上的函數(shù)/(%)滿足/(2—%)=2—/(%).若/(汽)的圖象關(guān)于直線％=3對(duì)

稱(chēng)，則下列選項(xiàng)中一定成立的是()

A.f(-3)=1B.f(0)=0C.f(3)=2D.f(5)=-1

【答案】A

【解析】【解答】函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于直線％=3對(duì)稱(chēng)，則必有/(3-%)=/(%+

3),所以，/(0)=/(6),

/(I)=/(5),f(2)=f(4),又因?yàn)?(%)滿足/(2—%)=2—/(%),?。?1,所

以，/(1)=2—/(I),/(1)=1,貝行(1)=/(5)=1,?。?5,則/(—3)=2—

/(5)=1,A對(duì)；

故答案為：A

【分析】根據(jù)題意，利用對(duì)稱(chēng)性,得到/(3—%)=/(%+3),再利用/(2—%)=

2-/(%),對(duì)％進(jìn)行賦值，然后可求解.

2.已知定義在R上的函數(shù)/(%)滿足/(2+%)+/(2—%)=0,/(%+1)為偶函數(shù)且

/(I)=1,則/(2023)=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

【解析】【解答】因?yàn)?(%+1)為偶函數(shù)，所以/(1+%)=/(1—%),所以/(%)=

/(2-%).

又/(2+%)+/(2-%)=0,所以+2)=-/(%),

1

所以f(%+4)=—f(x+2)=/(%),所以函數(shù)f(%)的一個(gè)周期為4,

所以f(2023)=/(506X4-1)=/(-I)=-/(I)=-1.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)/(%+1)為偶函數(shù)，得到/(I+%)=/(I-%),再結(jié)合/(2+%)+

“2—%)=0得到/(%+4)=—/(%+2)=/(%),故函數(shù)f(x)的一個(gè)周期為4,故

可求解出答案.

3.已知/(汽)與g(%)都是定義在R上的函數(shù)，/(%+1)是奇函數(shù)，g(3-：)是偶函

數(shù)，且/(%),g(%)都不是常數(shù)函數(shù)，現(xiàn)有下列三個(gè)結(jié)論：①/(1)=0；②g(%)的圖

象關(guān)于直線％=3對(duì)稱(chēng)；③/(%)與g(%)在(3,+8)上的單調(diào)性可能相同.其中正確

結(jié)論的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】【解答】對(duì)于①：由/(%+1)是奇函數(shù)，即/(%+1)=—/(—%+1),取

%=0得/(1)=—/(1),則/(1)=0,正確；

對(duì)于②：由9(3—今是偶函數(shù)，得g(3—今=。(3+》則g(%)的圖象關(guān)于直線％=

3對(duì)稱(chēng)，正確；

對(duì)于③：取f(%)=(%—17,g(x)=3(%—3)2,則f(%)與g(%)在(3,+8)上都單

調(diào)遞增，正確.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)及賦值法得到/(I)=-/(I),從而判斷①；根據(jù)偶函

數(shù)的性質(zhì)得到9(3-：)=。(3+：)從而判斷②；取/(%)=(%—1)3,g(%)=

2

3(%-3)2判斷兩者的單調(diào)性，從而判斷③，可得答案.

4.已知函數(shù)/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，/(-%)-7(2+%)=0,當(dāng)％e(0,1]

時(shí)，/(%)=log2x,則/■(等)+/(}=()

A.-3B.-1C.2D.3

【答案】D

【解析】【解答】因?yàn)?(—%)—f(2+%)=0,即f(2+%)=/(-%),

又因?yàn)?(%)是定義在R上的奇函數(shù)，則/(2+%)=/(-%)=—/(%),

可得/(%+4)=-f(x+2)=-[-/(%)]=/(%),

所以函數(shù)/(%)是以4為周期的周期函數(shù)，

所以/(等)=八2°2。-鄉(xiāng)=/㈠)=一黑)=一腕2；L

")="2+》=—八3=—1嗚22,

所以”等)+6)=1+2=3.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)題意分析可得/(2+%)=-/(%),進(jìn)而可得函數(shù)/(%)是以4為周期的

周期函數(shù)，結(jié)合對(duì)數(shù)的定義運(yùn)算求解.

5.定義在R上的函數(shù)/(%)滿足/(2—%)=/(%),且/(%+2)—1為奇函數(shù)，則

刀腎/W()

A.-2023B.-2022C.2022D.2023

【答案】D

【解析】【解答】V/(2-%)=/(%),.?"(%)關(guān)于％=1對(duì)稱(chēng),

???/(%+2)—1為奇函數(shù)，.??由平移可得/(%)關(guān)于(2,1)對(duì)稱(chēng),且f(2)=1,

?，?f(%+2)—1=—f(—%+2)+1,即

/(%+2)+/(2-%)=2

3

???"2—%)=/(%)

???f(x+2)+f(x)=2

.??/(%+4)+f(x+2)=2

上兩式比較可得

f(%)=f(x+4)

???函數(shù)/(%)是以4為周期的周期函數(shù)./(I)+/(3)=2〃2)=2,f(4)=f(2)=

1,

?V(l)+/(2)+f⑶+f(4)=4,J*腎設(shè))=4X竽-f(4)=2023.

故答案為:D.

【分析】利用抽象函數(shù)的軸對(duì)稱(chēng)與中心對(duì)稱(chēng)性的性質(zhì)，得出函數(shù)f(x)的對(duì)稱(chēng)軸和

中心對(duì)稱(chēng)點(diǎn)及周期，利用相關(guān)性質(zhì)得出具體函數(shù)值，即可得出答案.

6.已知定義在R上的函數(shù)/(%)滿足/(%+2)=—"2—%),/(x+3)=/(3-%),

則下列說(shuō)法正確的是()

A./(%)的周期為2B./(%+2)為偶函數(shù)

c.f(o)=oD.f(i)=o

【答案】C

【解析】【解答】由/(%+2)=—/(2—%),得/(%+4)=—/(—%),由/(%+3)=

/(3-%),得"％+6)=/(—%),

所以f(%+6)=-fQ+4)=/Q+2),即/(%)的周期為4,A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

由/(%+2)=—/(2—%)可知/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱(chēng),所以f(0)=—/(2)=

0,C選項(xiàng)正確，

由/(%+3)=7(3-%)知/(%)的圖象關(guān)于直線％=3對(duì)稱(chēng)，所以+2)的圖象關(guān)于

4

直線％=1對(duì)稱(chēng)，

進(jìn)一步可知/(%)圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為％=m(m為奇數(shù))，所以/(%+2)不是偶函

數(shù)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

/(%)的對(duì)稱(chēng)中心為點(diǎn)(九，0)(n為偶數(shù)),無(wú)法得到/(1)=0,D選項(xiàng)錯(cuò)誤，

故答案為：C.

【分析】可得f(x)的周期為4,f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱(chēng)，逐項(xiàng)進(jìn)行

判斷，可得答案.

7.已知定義在R上的函數(shù)/(%)滿足/(%+6)=/(%),y=/(%+3)為偶函數(shù)，若

/(%)在(0,3)內(nèi)單調(diào)遞增.記a=f(2021),b=f(e-1),c=/(伍2),則a,b,c

的大小關(guān)系為()

A.b<c<aB.c<b<aC.a<c<bD.a<b<c

【答案】A

【解析】【解答】因?yàn)?(%+6)=/(%),所以函數(shù)的周期為6,

因此a=/(2021)=/(336X6+5)=/(5),

因?yàn)閥=/(%+3)為偶函數(shù),所以/+3)=/(-%+3)=/(%)=/(-%+6),

所以a=/(5)=/(1)

Ine>lnV4>InVe=>-<ln2<1,因?yàn)?V工V工，所以0<e-1<

2e22

所以0Ve-1Vln2V1,而若/(%)在(0,3)內(nèi)單調(diào)遞增，

所以b<c<a,

故答案為：A

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，即可得到答案.

5

8.設(shè)函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镽,“％+1)為奇函數(shù)，/(%+2)為偶函數(shù)，當(dāng)％e

Q

[1,2]時(shí)，/(%)=ax2+b.若％-y-3=0,則/(金)=()

A.—5B.—3C?一7D.—5

4444

【答案】D

【解析】【解答】因?yàn)?(%+1)是奇函數(shù)，所以/'(—%+1)=-/(%+1)①，且/(%)

關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng)，

因?yàn)?(%+2)是偶函數(shù)，所以"％+2)=/(—%+2)②，且/(%)關(guān)于％=2對(duì)稱(chēng)，

所以/(%)的周期為4X(2—1)=4,

令％=1,由①得f(0)=-￥(2),由②得f(3)=f(l)

又/(0)+f(3)—3,所以—/(2)+f(1)——4a—b+a+b=3,a=-1,

令％=0,由①得/(I)=-/(l)=/(l)=0=b=1,

所以/'(%)=_/+1,%e[L2],

所以解)=f(|+4)=解)，又/(—%+1)=-f(x+1),

所以筋)=/(W+1)=+1)=-/(|)=R1=*

故答案為：D

【分析】通過(guò)/(%+1)為奇函數(shù)，/(%+2)為偶函數(shù)，可以確定函數(shù)/(%)的解析

式與周期，進(jìn)而求出結(jié)果.

y

9.若奇函數(shù)/(%)滿足/(%)=/(2-%),且當(dāng)％e[0,1]時(shí),/(%)=鼠三，則

"23)=()

11

A.-1B.--C.0D.-

22

【答案】B

【解析】【解答】由題意，對(duì)于奇函數(shù)/(%),有f(r)=-/(%),

6

由/(%)=7(2-%),

所以/(%+2)=/(—%)=—/(%),

所以/(%+4)=-f(%+2)=f(x),

則函數(shù)/(%)的周期是4,

所以"23)=/(6X4—1)=/(-I)=-/(I)=—9=—',

故答案為：B.

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)進(jìn)行條件轉(zhuǎn)化注意運(yùn)用賦值法，即可得到f(x)的

最小正周期是4,運(yùn)用周期性即可得到答案.

10.已知函數(shù)/(%),g(%)的定義域均為R,且/(%)+g(2-％)=2,1g(x)-7(%-

4)=4,若g(%)的圖象關(guān)于直線％=2對(duì)稱(chēng)，。(2)=1,則/(2022)=()

A.-3B.-1C.0D.2

【答案】A

【解析】【解答】因?yàn)間(%)的圖象關(guān)于直線％=2對(duì)稱(chēng)，所以g(2—%)=g(2+%),

所以/(%)+g(2一%)=/(%)+g(x+2)=2,

因?yàn)?1(-%)+g(2+%)=2,所以/(一%)=/(%),所以/(%)為偶函數(shù).

因?yàn)?(%)—/(%—4)=4,所以g(%+2)—/(%—2)=4,

所以f(%)+/(%—2)=—2,所以f(%+2)+/(%)=-2,

所以/(%+4)+/(%+2)=—2,所以/(%+4)=/(%),所以/(%)的周期為4,所以

/(2022)=/(2).

因?yàn)?(2)—/(—2)=°(2)—/(2)=4,所以/(2)=—3,故/(2022)=—3.

故答案為：A

7

【分析】依題意可得g(2-％)=g(2+%),再由/(%)+g(2-％)=2可得/(一%)=

/(%),即可得到/(%)為偶函數(shù)，再由g(%)-/(%-4)=4得到f(%+4)=f(x),即

可得到了(%)的周期為4,再根據(jù)所給條件計(jì)算可得.

11.設(shè)函數(shù)/(汽)的定義域?yàn)镽,且/(%+2)是奇函數(shù)，/(2%+1)是偶函數(shù)，則一定

有()

A.f(4)=0B.f(-l)=0C.f(3)=0D.f(5)=0

【答案】A

【解析】【解答】因?yàn)?(%+2)為奇函數(shù)，所以/(%+2)=-/(-%+2),所以函

數(shù)/(%)圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱(chēng)，

因?yàn)?(2%+1)是偶函數(shù)，所以/(2%+1)=/(—2%+1),即/(%+1)=/(—%+

1),所以函數(shù)/(%)圖象關(guān)于直線％=1對(duì)稱(chēng)，

所以/(%+2)=—/(—%+2)=—/(%),所以/(%+4)=/(%),所以函數(shù)周期為

4,

所以f(4)=/(0)=/(2)=0,/(3)=/(-I)=-/(I)=-f(5),無(wú)法確定其值，

A符合題意；BCD無(wú)法確定.

故答案為：A

【分析】利用已知條件結(jié)合奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，再利用函數(shù)的周期性和奇函

數(shù)和偶函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性和圖象的平移變換，再結(jié)合函數(shù)的周期性得出函數(shù)的

值，從而找出正確的選項(xiàng)。

12.已知定義在R上的偶函數(shù)/(%)滿足/(I—%)+/(1+%)=0,若/(0)=3,則

7(2022)4-7(2023)=()

A.0B.-3C.3D.6

8

【答案】B

【解析】【解答】根據(jù)題意，函數(shù)/(%)滿足/(I—%)+f(l+%)=0,則/(—%)+

/(2+x)=0,

又由/(%)為偶函數(shù)，則有/(%+2)=—/(%),

則有fQ+4)=-/(%+2)=/(%),

即函數(shù)/(%)是周期為4的周期函數(shù)，

7(1—%)+f(i+%)=0,令」=?？傻脃(i)=o.

/(2022)=7(2)=-7(0)=-3,7(2023)=f(3)=-f(l)=0,

所以/(2022)+f(2023)=-3

故答案為：B

【分析】根據(jù)題意，分析可得函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，由此可得

/(2022)=-f(0)=-3,/(2023)=-7(I)=0,由特殊值法求出f(1)的值，

由此計(jì)算即可得答案.

13.已知/(%)是定義在［―10,10］上的奇函數(shù),且/(%)=/(4—%),則函數(shù)/(%)的

零點(diǎn)個(gè)數(shù)至少為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】【解答】???/(%)是定義在［-10,10］上的奇函數(shù),

??./(0)=0,且零點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

.??零點(diǎn)個(gè)數(shù)為奇數(shù)，排除選項(xiàng)B,D,

又???/(%)=/(4-%)

/(0)—/(4)—。，

9

/(一4)=-/(4)=0,

4)=/(4+4)=/(8)=。，

/(-8)=-"8)=0,

.??/(%)的零點(diǎn)至少有0,+4,±8,5個(gè)，

故答案為：C.

【分析】由題意可知f(0)=0,進(jìn)而根據(jù)/(%)=f(4-x),可求f(-4),f(4),

f(8),f(-8)都為0,即可求解。

14.已知函數(shù)/(%)滿足/(I一%)=/(5+%),且/(%+1)是偶函數(shù)，當(dāng)

時(shí)，/(%)=2尤+|,則/(log236)=()

A.-3B.3C.3-9D.3-9

284

【答案】B

【解析】【解答】由/(%+1)是偶函數(shù)，得/(%+1)=/(-%+1),令％+1=-3

W(-O=/(t+2).

由/(I—%)=/(5+%),令1—%=—3則f(T)=f(t+6),

則有f(t+2)=f(t+6),即/(%)=/(%+4),所以函數(shù)f(%)周期為4.

因?yàn)?=log?32<log2^6<log264=6,則有1<log236-4<2,

所以/(［。比36)=/(/。比36-4)=f(log2.=2'。際十|=*|=3.

故答案為：B

【分析】由已知可求出函數(shù)的周期，由5=幻9232</。9236</。9264=6,得1V

log236-4<2,然后結(jié)合周期性及奇偶性可得f。。。236)=f(log236-4)=

l9

f(log2)=2°^+1利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得答案.

10

15.定義在R上的函數(shù)/(%)同時(shí)滿足：①/(1+%)+/(1—%)=0,②/(—1+%)+

/(-I—%)=0,則下列結(jié)論不正確的是()

A.函數(shù)/(1+%)為奇函數(shù)

B.(%-1)/(%)的圖象關(guān)于直線％=1對(duì)稱(chēng)

C./(2)+/(6)=0

D.函數(shù)/(%)的周期7=4

【答案】C

【解析】【解答】定義在R上的函數(shù)/(%),由/(I+%)+/(I—%)=。得：/(I-

%)=-+即函數(shù)/(1+%)為奇函數(shù)，A正確，不符合題意；

令9(%)=(%-1)/(%)，則9(1+%)-1g(l-％)=%/(1+%)-(-x)f(l一%)=

%[/(1+%)+7(1-%)]=0,

因此函數(shù)9(%),即(％—1)/(%)的圖象關(guān)于直線％=1對(duì)稱(chēng)，B正確，不符合題意；

由/*(1+%)+/(I—%)—0得：/(2—%)+/(%)=0,由/(―1+%)+/(―1—%)=

。得：f(—2—%)+/(%)—。，

于是/(2-％)=/(-2,即/(%+4)=/(%),所以函數(shù)f(%)的周期7=4,D正

確，不符合題意；

由/(1+%)+/(1—%)=0知，/(0)+/(2)=0,顯然由給定條件/(0)的值不確

定，又/(6)=/(2),

因此/(2)+/(6)=2/(2)不確定，C錯(cuò)誤，符合題意.

故答案為：C

【分析】根據(jù)給定條件，利用奇偶函數(shù)的定義判斷A、B；探討函數(shù)f(x)的周期

性判斷C、D.

11

16.已知函數(shù)/(%)定義域?yàn)镽,/(%+1)為偶函數(shù)，/(%+2)為奇函數(shù)，且滿足

/(1)+/(2)=2,則2譽(yù)/W=()

A.-2023B.0C.2D.2023

【答案】B

【解析】【解答】因?yàn)?(%+1)為偶函數(shù)，所以/(—%+1)=/(%+1),所以

/(-%+2)=/(%),

因?yàn)?(%+2)為奇函數(shù)，所以/(—%+2)=—/(%+2),

所以f(%+2)=所以f(%+4)=-f(x+2)=f(x),

所以/(%)是以4為周期的周期函數(shù)，

由/(—%+2)=—/(%+2),令％=0,得/(2)=—/(2),則“2)=0,

又/(1)+/(2)=2,得"1)=2,

由/(—%+2)=—/(%+2),令％=1,得/(1)=—/(3),則”3)=—2,

由f(O+2)=_/(%),令％=2,得/(4)=—/(2)=0,

則f(l)+f(2)+/■⑶+f(4)=0,

所以立腎f出=[/(i)+f⑵+f⑶+f(4)]X505+/(I)+/(2)+/(3)=0X

505+2+(-2)=0.

故答案為：B.

【分析】利用已知條件結(jié)合偶函數(shù)和奇函數(shù)的定義，再結(jié)合周期函數(shù)的定義判斷

出函數(shù)為周期函數(shù)，再利用函數(shù)的周期性得出/(I)+/(2)+/(3)+/(4)的值，

再結(jié)合函數(shù)的周期性和求和法得出￡亮氏3/(々)的值。

二、填空題

17.定義在R上的奇函數(shù)/(%)滿足/(%)=/(2—%),當(dāng)％e[0,1]時(shí)，/(%)=

12

ax3+2x+a+1,則/(2023)=.

【答案】-1

【解析】【解答】因?yàn)?(%)是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(O)=a+l=O,解得

a=-1.

又/(%)=/(2—%),所以/(%)=—/(%—2),則/(%)=/(%—4),

即/(%)是以4為周期的周期函數(shù)，

故/(2023)=f(-l+4X506)=f(-l)=-f(l)=-1.

故答案為：-1.

【分析】利用已知條件結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)和奇函數(shù)的定義，周期函數(shù)的定義，進(jìn)

而判斷出/(%)是以4為周期的周期函數(shù)，再結(jié)合函數(shù)的周期性得出/(2023)的值。

18.已知/(%)是定義在R上的周期為3的奇函數(shù)，且f(-l)=2/(10)+3,

貝Ij7(2021)=.

【答案】1

【解析】【解答】由題意知：/(2021)=/(3X674—1)=/(-I),而/(-I)=

2/(10)+3,

.,./(-I)=2/(3X3+1)+3=2/(1)+3=-2/(-1)+3,即3/(-1)=3,

/./(-I)=1,故/(2021)=1.

故答案為：1

【分析】由已知結(jié)合函數(shù)的周期性及奇函數(shù)定義把/(2021)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合已

知即可求解。

13

19.已知定義在R上的奇函數(shù)/(%)滿足/(%—2)=—/(%)，且當(dāng)%e

(-1,0))時(shí)/(%)=2尢+：,貝IJ/(/。9220)=.

【答案】-1

【解析】【解答】因