2024年寧夏銀川市興慶區(qū)中考數(shù)學(xué)一檢試卷（附答案解析）

2024年寧夏銀川市興慶區(qū)中考數(shù)學(xué)一檢試卷

一、選擇（每小題3分，共24分）下面各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題意的。

1.（3分）-2的相反數(shù)是（）

1

A.2B.-2C.—D.-

2

2.（3分）如圖所示，正方體被截后所得的幾何體的主視圖是（

正面

3.（3分）下列計(jì)算正確的是（）

n3,9_

A〃3+〃2=〃5R3_03.2=6L）.ci~ci—ci

4.（3分）如圖，一個(gè)含有30°角的直角三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)放在一個(gè)矩形的對(duì)邊上，若N1

=15°,則N2的度數(shù)為（）

C.100°D.105°

5.（3分）習(xí)近平總書(shū)記說(shuō)：“讀書(shū)可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)

浩然之氣”，某校為在學(xué)生中營(yíng)造愛(ài)讀書(shū)、讀好書(shū)的氛圍，組織該校學(xué)生參加“我閱讀,

我成長(zhǎng)”為主題的演講比賽，九年級(jí)15個(gè)參賽選手的成績(jī)?nèi)绫硭荆?/p>

成績(jī)（分）858990919697

人數(shù)123432

這些學(xué)生演講比賽成績(jī)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）

A.91,90B.91,91C.90.5,90D.90,91

6.（3分）近年來(lái)，由于新能源汽車(chē)的崛起，燃油汽車(chē)的銷(xiāo)量出現(xiàn)了不同程度的下滑，經(jīng)銷(xiāo)

商紛紛開(kāi)展降價(jià)促銷(xiāo)活動(dòng).某款燃油汽車(chē)今年2月份售價(jià)為23萬(wàn)元，4月份售價(jià)為18.63

萬(wàn)元，設(shè)該款汽車(chē)這兩月售價(jià)的月平均降價(jià)率是無(wú)，則所列方程正確的是（）

A.23(1-%)2=18.63B.18.63(l+.r)2=23

C.18.63(1-x)2=23D.23(1-2x)=18.63

7.（3分）在一定溫度下的飽和溶液中，溶質(zhì)、溶劑質(zhì)量和溶解度之間存在下列關(guān)系：

溶質(zhì)質(zhì)量溶解度

二如出口=怨*,已知20℃時(shí)，氯化鈉的溶解度是36克，在此溫度下，設(shè)x克水可

溶劑質(zhì)量100

溶解氯化鈉y克，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是（）

A.y—0.36xB.y—36x

8.（3分）如圖，是由繞點(diǎn)。順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到的，且A、0、Bi

三點(diǎn)共線(xiàn).如果/OA8=90°,/AO8=30°,OA=g,則圖中陰影部分的面積為（）

5V3

D.-7T-----

二、真空題（每小題3分，共24分）

10.（3分）如圖，把“00”笑臉?lè)旁谥苯亲鴺?biāo)系中，已知左眼A的坐標(biāo)是（-2,3）,右

眼B的坐標(biāo)為（0,3）,則將此“Q?！毙δ樝蛴移揭?個(gè)單位后，嘴唇C的坐標(biāo)

是__________.

11.（3分）寧夏素有“塞上江南”之美譽(yù)，這里既有古老的黃河文明，又有雄渾的大漠風(fēng)

光.閩寧合作、山海情深，為促進(jìn)福建、寧夏兩地學(xué)生交流，某校開(kāi)展“大美寧夏，閩

寧同行”旅游主題活動(dòng).選取三個(gè)景點(diǎn)：A.沙坡頭，B.六盤(pán)山，C.水洞溝.每位參

加交流的學(xué)生都可以從中隨機(jī)選擇一個(gè)景點(diǎn)，求小明和小穎選擇的景點(diǎn)都是“六盤(pán)山”

的概率為.

12.（3分）關(guān)于x的一元二次方程選+2元-1=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則左的取值范圍是

13.（3分）如圖，將菱形ABC。折疊，使點(diǎn)2落在A。邊的點(diǎn)尸處，折痕為CE.若

70°,則__________

14.（3分）如圖，已知OO的兩條弦AC,8。相交于點(diǎn)E,ZBAC=70°,ZACD=5Q°,

連接OE,若E為AC的中點(diǎn)，則ZOEB的度數(shù)是.

2久+2

15.（3分）如圖，點(diǎn)A、8在數(shù)軸上，它們所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是-4與——且點(diǎn)A、8到原

3久一5

點(diǎn)的距離相等.則天=.

AB

-J----1----1~>

-404

16.（3分）出入相補(bǔ)原理是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要成就之一，最早是由三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽

創(chuàng)建.“將一個(gè)幾何圖形，任意切成多塊小圖形，幾何圖形的總面積保持不變，等于所分

割成的小圖形的面積之和”是該原理的重要內(nèi)容之一，如圖，在矩形A8C'。中，A8=5,

AD=n,對(duì)角線(xiàn)AC與8。交于點(diǎn)。，點(diǎn)E為BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，EFLAC,EG±BD,

三、解答題（本題共6小題，每小題6分，共36分）

17.（6分）17.計(jì)算：（it-2024）0-3tan30°+|1-A/3|+2-1.

18.（6分）下面是小明和小紅兩位同學(xué)對(duì)同一個(gè)分式進(jìn)行化簡(jiǎn)，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的

任務(wù).

2

rxx.x—4

小明：解：原式=&航2)+(二疑2)]?寧……第一步

_x(x-2)+x(x+2)%2—4倍一半

=(%+2)(x-2)「……弟一”

_%(%—2)+%(%+2)(x+2)(x—2)笙二牛

=(%+2)(%-2)x.......弟二“

小紅：解：原式=擊.丫+￡.一第一步

任務(wù)一：（1）小明同學(xué)的第步是分式的通分，通分的依據(jù)是；

（2）小明同學(xué)的第三步是進(jìn)行的運(yùn)算，用到的公式是；

任務(wù)二：小紅同學(xué)這的解法的依據(jù)是.

19.（6分）創(chuàng)建文明城市，構(gòu)建美好家園.為提高垃圾分類(lèi)意識(shí)，幸福社區(qū)決定采購(gòu)A,B

兩種型號(hào)的新型垃圾桶.若購(gòu)買(mǎi)2個(gè)A型垃圾桶和3個(gè)8型垃圾桶共需要420元，購(gòu)買(mǎi)

5個(gè)A型垃圾桶和1個(gè)B型垃圾桶共需要400元.

（1）求每個(gè)A型垃圾桶和每個(gè)B型垃圾桶各為多少元；

（2）若需購(gòu)買(mǎi)A,8兩種型號(hào)的垃圾桶共200個(gè)，總費(fèi)用不超過(guò)15200元，至少需購(gòu)買(mǎi)

A型垃圾桶多少個(gè)？

20.（6分）某校為落實(shí)“雙減”工作，增強(qiáng)課后服務(wù)的吸引力，充分用好課后服務(wù)時(shí)間，

為學(xué)有余力的學(xué)生拓展學(xué)習(xí)空間，成立了5個(gè)活動(dòng)小組（每位學(xué)生只能參加一個(gè)活動(dòng)小

組）：A.音樂(lè)；5體育；C.美術(shù)；。.閱讀；E.人工智能.為了解學(xué)生對(duì)以上活動(dòng)的

參與情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，繪制了如圖所示的兩

幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

根據(jù)圖中信息，解答下列問(wèn)題：

（1）①此次調(diào)查一共隨機(jī)抽取了名學(xué)生；

②補(bǔ)全條形圖（要求在條形圖上方注明人數(shù)）；

③扇形圖中圓心角a=度；

（2）若該校有3000名學(xué)生，估計(jì)該校參加。組（閱讀）的學(xué)生人數(shù)；

（3）劉老師計(jì)劃從E組（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人參加市

青少年機(jī)器人競(jìng)賽，請(qǐng)用樹(shù)狀圖法或列表法求出恰好抽中甲、乙兩人的概率.

21.（6分）如圖，在矩形中，連接2D

（1）作BD的垂直平分線(xiàn)尸。，分別與A。、BC交于點(diǎn)M、N,連接BM、DN.

（2）求證：四邊形M8ND是菱形.

22.（6分）夏季是垂釣的好季節(jié)，一天甲、乙兩人到松花江的8處釣魚(yú)，突然發(fā)現(xiàn)在A處

有一人不慎落入江中呼喊救命，如圖，在8處測(cè)得A處在B的北偏東60°方向，緊急關(guān)

頭，甲、乙二人準(zhǔn)備馬上救人，只見(jiàn)甲馬上從8處跳水游向A處救人；此時(shí)乙從8沿岸

邊往正東方向奔跑32米到達(dá)C處，再?gòu)腃處下水游向A處救人，己知A處在C的北偏

東30°方向上，且甲、乙二人在水中游進(jìn)的速度均為1米/秒，乙在岸邊上奔跑的速度為

8米/秒.（注：水速忽略不計(jì)）

（1）求AB、AC的長(zhǎng);

（2）試問(wèn)甲、乙二人誰(shuí)能先救到人，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由.（聲《1.7）

北

A

B[C東

四、解答題（本題共4題，其中23、24題每題8分，25、26題每題10分，共36分）

23.（8分）如圖，在。。中，直徑BC=2,直線(xiàn)AC是。。的切線(xiàn)，點(diǎn)。為A3與圓周的交

點(diǎn)（A在C點(diǎn)左側(cè)），連接NC。。的平分線(xiàn)交CA于點(diǎn)E,連接。E.

（1）求證：DE是的切線(xiàn)：

（2）若AE=半求8。的長(zhǎng).

24.（8分）心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，一節(jié)課40分鐘中，學(xué)生的注意力隨教師講課

時(shí)間的變化而變化.開(kāi)始上課時(shí)，學(xué)生的注意力逐步增強(qiáng)，中間有一段時(shí)間學(xué)生的注意

力保持較為理想的穩(wěn)定狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開(kāi)始分散.經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)分析可知，學(xué)生的

注意力指標(biāo)數(shù)y隨時(shí)間無(wú)（分鐘）的變化規(guī)律如圖所示（其中A&分別為線(xiàn)段，CD

為雙曲線(xiàn)的一部分），請(qǐng)問(wèn)：

如果有一道數(shù)學(xué)綜合題，需要講19分鐘，為了效果較好，要求學(xué)生的注意力指標(biāo)數(shù)最低

達(dá)到36,那么經(jīng)過(guò)適當(dāng)安排，老師可否在學(xué)生注意力達(dá)到較為理想的穩(wěn)定狀態(tài)下講解完

這道題目？

你的結(jié)論是（填寫(xiě)“可以”或“不可以”），

理由是

（請(qǐng)通過(guò)你計(jì)算所得的數(shù)據(jù)說(shuō)明理由）.

B

25.（10分）如圖，已經(jīng)拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)。（0,0）,A（5,5）,且它的對(duì)稱(chēng)軸為x=2.

（1）求此拋物線(xiàn)的解析式；

（2）若點(diǎn)B是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)B在第一象限，當(dāng)AOAB的面積為15時(shí),

求B的坐標(biāo);

（3）在（2）的條件下，尸是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以的值最大時(shí)，求P的坐標(biāo)以

及的最大值.

26.（10分）問(wèn)題背景：

一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線(xiàn)的一個(gè)結(jié)論.如圖1,

ABBD

已知AZ）是△ABC的角平分線(xiàn)，可證二二、.小慧的證明思路是：如圖2,過(guò)點(diǎn)C作

ACCD

ABBD

CE//AB,交AO的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,構(gòu)造相似三角形來(lái)證明一=—.

ACCD

嘗試證明：

ABBD

（1）請(qǐng)參照小慧提供的思路，利用圖2證明：—=—；

jtic?u

應(yīng)用拓展：

（2）如圖3,在RtZXABC中，NBAC=90°,。是邊BC上一點(diǎn).連接A。，將△AC￡）

沿A。所在直線(xiàn)折疊，點(diǎn)C恰好落在邊AB上的￡點(diǎn)處.

①若AC=2,AB=4,求。E的長(zhǎng)；

②若BC=m,ZC—a,求DE的長(zhǎng)（用含機(jī)、a的式子表示）

圖1圖2圖3

2024年寧夏銀川市興慶區(qū)中考數(shù)學(xué)一檢試卷

參考答案與試題解析

一、選擇（每小題3分，共24分）下面各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題意的。

1.（3分）-2的相反數(shù)是（）

11

A.2B.-2C.-D.-4

22

【答案】A

【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：-2的相反數(shù)是2,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查相反數(shù)，掌握相反數(shù)的定義是正確判斷的前提.

2.（3分）如圖所示，正方體被截后所得的幾何體的主視圖是（）

【答案】B

【分析】找到從正面看所得到的圖形即可，注意看見(jiàn)的棱用實(shí)線(xiàn)表示.

【解答】解：從正面看可得主視圖

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三視圖的知識(shí)，掌握主視圖是從物體的正面看得到的視圖.

3.（3分）下列計(jì)算正確的是（）

A.a+a=aB.a-a=aC.〃3.Q2=Q6D.a~ci—a

【答案】D

【分析】根據(jù)同類(lèi)項(xiàng)定義；同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加；同底數(shù)幕相除，底數(shù)不

變指數(shù)相減，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解.

【解答】解：A、/與/不是同類(lèi)項(xiàng)，不能合并，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、4?與次不是同類(lèi)項(xiàng)，不能合并，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、應(yīng)為。3./=45,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、a3ji-a2=a,正確.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查同底數(shù)幕的乘法，同底數(shù)幕的除法，熟練掌握運(yùn)算性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵，不是同類(lèi)項(xiàng)的一定不能合并.

4.（3分）如圖，一個(gè)含有30°角的直角三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)放在一個(gè)矩形的對(duì)邊上，若/I

=15°,則N2的度數(shù)為（）

A.115°B.110°C.100°D.105°

【答案】D

【分析】根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)和圖形，可以計(jì)算出/2的度數(shù).

【解答】解：???矩形的上下兩邊平行，

；.N2=N1+9O°,

VZ1=15°,

；./2=15°+90°=105°,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線(xiàn)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解

答.

5.（3分）習(xí)近平總書(shū)記說(shuō)：“讀書(shū)可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)

浩然之氣”，某校為在學(xué)生中營(yíng)造愛(ài)讀書(shū)、讀好書(shū)的氛圍，組織該校學(xué)生參加“我閱讀，

我成長(zhǎng)”為主題的演講比賽，九年級(jí)15個(gè)參賽選手的成績(jī)?nèi)绫硭荆?/p>

成績(jī)（分）858990919697

人數(shù)123432

這些學(xué)生演講比賽成績(jī)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）

A.91,90B.91,91C.90.5,90D.90,91

【答案】B

【分析】根據(jù)眾數(shù)，中位數(shù)的定義計(jì)算選擇即可.

【解答】解：：91出現(xiàn)的次數(shù)最多，4次，

，眾數(shù)為91；

:中位數(shù)是第8個(gè)數(shù)據(jù)：91.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中位數(shù)和眾數(shù)，將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的

一個(gè)數(shù)（或最中間位置的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，眾數(shù)是在一組數(shù)據(jù)

中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù).

6.（3分）近年來(lái)，由于新能源汽車(chē)的崛起，燃油汽車(chē)的銷(xiāo)量出現(xiàn)了不同程度的下滑，經(jīng)銷(xiāo)

商紛紛開(kāi)展降價(jià)促銷(xiāo)活動(dòng).某款燃油汽車(chē)今年2月份售價(jià)為23萬(wàn)元，4月份售價(jià)為18.63

萬(wàn)元，設(shè)該款汽車(chē)這兩月售價(jià)的月平均降價(jià)率是x,則所列方程正確的是（）

A.23（1-%）2=18.63B.18.63（1+x）2=23

C.18.63（1-X）2=23D.23（1-2x）=18.63

【答案】A

【分析】利用該款燃油汽車(chē)今年4月份的售價(jià)=該款燃油汽車(chē)今年2月份的售價(jià)X（1-

該款汽車(chē)這兩月售價(jià)的月平均降價(jià)率）2,即可列出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解.

【解答】解：根據(jù)題意得：23（1-x）2=18.63.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二

次方程是解題的關(guān)鍵.

7.（3分）在一定溫度下的飽和溶液中，溶質(zhì)、溶劑質(zhì)量和溶解度之間存在下列關(guān)系：

溶質(zhì)質(zhì)量溶解度

等篝=黑F，已知20℃時(shí)，氯化鈉的溶解度是36克，在此溫度下，設(shè)x克水可

溶劑質(zhì)量100

溶解氯化鈉y克，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是（）

A.y=0.36xB.y=36xC.y=^D.y=京

【答案】A

溶質(zhì)質(zhì)量溶解度

【分析】直接利用：蕓W=黑^，進(jìn)而得出y與X之間的關(guān)系.

溶劑質(zhì)量100，

【解答】解：由題意可得：*=黑，

%100

故y=0.36x.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用以及反比例函數(shù)的應(yīng)用，正確運(yùn)用已知關(guān)系式

是解題關(guān)鍵.

8.（3分）如圖，RtZXOAiBi是由RtZXOAB繞點(diǎn)。順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到的，且A、。、Bi

,04=百,則圖中陰影部分的面積為（）

5V35V3

A.—71—-----B.—7T—y/3C.—71—D.-7T----

626332

【答案】D

【分析】將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形0BB1的面積與△4081的面積之差即可解決問(wèn)題.

【解答】解："：ZOAB=90°,ZAOB=30°,OA=V3,

..?AB

??ta.nQ30n—

則AB=1,

：.OB=2AB=2,

則SUOB=2XV3X1=，,

又?..□△。4出1是由RtAOAB繞點(diǎn)。順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到的,

?S_c_西

?,^AA1OB1一、XA0B—2'

V30°,且A、0、為三點(diǎn)共線(xiàn),

：.ZBOB\=150°,

2

.c_150-7T-2_

一、扇形OBB*~-360-=37r,

_c_s_5V3

=71-

?"、陰影='扇形0BB\~^A10B13-I-

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形面積的計(jì)算及含30度角的直角三角形，熟知扇形面積的計(jì)算公式

及特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

二、真空題（每小題3分，共24分）

一a2?a+b5

9.（3分）右二=則

b3b3

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)1,等式兩邊都加上1,等式仍然成立可得出答案.

a2

【解答】解：根據(jù)等式的性質(zhì)：兩邊都加1,-+1=-+1,

b3

ct+b5

則k=f

b3

故答案為：j.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等式的性質(zhì)，觀(guān)察要求的式子和己知的式子之間的關(guān)系，從而利

用等式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.

10.（3分）如圖，把“20”笑臉?lè)旁谥苯亲鴺?biāo)系中，已知左眼A的坐標(biāo)是（-2,3）,右

眼B的坐標(biāo)為（0,3）,則將此笑臉向右平移3個(gè)單位后，嘴唇C的坐標(biāo)是（2,

1)

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】首先根據(jù)左眼，右眼坐標(biāo)，得到嘴唇C的坐標(biāo)，如何根據(jù)平移的性質(zhì)即可得到

結(jié)論.

【解答】解：?.?左眼A的坐標(biāo)是（-2,3）,右眼2的坐標(biāo)為（0,3）,

嘴唇C的坐標(biāo)是（-1,1）,

???將此笑臉向右平移3個(gè)單位后，嘴唇C的坐標(biāo)是（2,1）,

故答案為：（2,1）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坐標(biāo)系中點(diǎn)、線(xiàn)段的平移規(guī)律，在平面直角坐標(biāo)系中，圖形的平移

與圖形上某點(diǎn)的平移相同.平移中點(diǎn)的變化規(guī)律是：橫坐標(biāo)右移加，左移減；縱坐標(biāo)上

移加，下移減.

11.（3分）寧夏素有“塞上江南”之美譽(yù)，這里既有古老的黃河文明，又有雄渾的大漠風(fēng)

光.閩寧合作、山海情深，為促進(jìn)福建、寧夏兩地學(xué)生交流，某校開(kāi)展“大美寧夏，閩

寧同行”旅游主題活動(dòng).選取三個(gè)景點(diǎn)：A.沙坡頭，B.六盤(pán)山，C.水洞溝.每位參

加交流的學(xué)生都可以從中隨機(jī)選擇一個(gè)景點(diǎn)，求小明和小穎選擇的景點(diǎn)都是“六盤(pán)山”

的概率為a

【答案】3

【分析】列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及小明和小穎選擇的景點(diǎn)都是“六盤(pán)山”的

結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案.

【解答】解：列表如下：

ABc

A(A,A)(A,B)(A,C)

B(B,A)(B,B)(B,C)

C(C,A)(C,B)(C,C)

共有9種等可能的結(jié)果，其中小明和小穎選擇的景點(diǎn)都是“六盤(pán)山”的結(jié)果有1種，

，小明和小穎選擇的景點(diǎn)都是“六盤(pán)山”的概率為上

9

故答案為：—.

9

【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹(shù)狀圖法，熟練掌握列表法與樹(shù)狀圖法以及概率公式是解答

本題的關(guān)鍵.

12.（3分）關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x-1=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是ki-l.

【答案】k<-\.

【分析】由方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根結(jié)合根的判別式，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式，解之

即可得出結(jié)論.

【解答】解：:.關(guān)于x的一元二次方程區(qū)1=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，

/.A=22-4X6X（-1）<0,左W0,

解得：k<-1.

故答案為：k<-1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式,注意記住一元二次方程根的情況與判別式A的關(guān)系：（1）

A>0o方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0。方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）A<

Oo方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

13.（3分）如圖，將菱形ABC。折疊，使點(diǎn)B落在邊的點(diǎn)P處，折痕為CE.若/￡>=

70°，則乙4￡尸=30°.

A

E

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】由菱形的性質(zhì)可得/8=70°,ZA=110°,由折疊的性質(zhì)可得

70°,CF=CD,由平角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求解.

【解答】解：：四邊形ABCD是菱形，/D=70°,

:./B=70°,ZA=110°,

:將菱形ABC。折疊，使點(diǎn)B落在邊的點(diǎn)F處，

：./B=NEFC=70°,CF=CD,

:.NCFD=/D=70°,

AZAFE=180°-70°-70°=40°,

：.ZA￡F=180°-ZA-ZAFE=30°,

故答案為：30°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換，菱形的性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

14.（3分）如圖，已知。。的兩條弦AC,8。相交于點(diǎn)E,ZBAC=1Q°,ZACD=50°,

連接OE,若E為AC的中點(diǎn)，則/?？诘亩葦?shù)是30°.

oxV

【答案】30°.

【分析】根據(jù)同弧所對(duì)圓周角相等，可求出NABE的度數(shù)，在△ABE中，可求出/A項(xiàng)

的度數(shù)，再根據(jù)E為AC的中點(diǎn)，可知OELAC,即/。胡=90°,由此即可求解.

【解答】解：?；乙4。=50°,

AZABE=5Q°,

在△ABE中，ZAEB=180°-ZABE-ZBAC=180°-50°-70°=60°,

為AC的中點(diǎn)，

OE±AC,即/?！闍=90°,

?.ZOEB=90°-60°=30°.

故答案為：30°.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓周角定理，理解并掌握?qǐng)A的垂徑定理，同弧等弧所對(duì)圓周角相

等，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.

2久+2

15.（3分）如圖，點(diǎn)A、8在數(shù)軸上，它們所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是-4與——且點(diǎn)A、8到原

3X-5

點(diǎn)的距離相等.則彳=2.2.

AB

-J---1----1->

-404

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)與數(shù)軸的性質(zhì)得出，結(jié)合數(shù)軸得出4=塞|,進(jìn)而求出即可.

2%+2

【解答】解：???點(diǎn)A、B在數(shù)軸上，它們所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是-4與尸二，點(diǎn)A、B到原點(diǎn)

3%-5

的距離相等，

?2x+2

..A4=5，

??x~~2.2.

檢驗(yàn)：把x=2.2代入3x-5W0,

分式方程的解為：尤=2.2.

故答案為：2.2.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸的性質(zhì)以及解分式方程，根據(jù)已知得出4=咨是

解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

16.（3分）出入相補(bǔ)原理是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要成就之一，最早是由三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽

創(chuàng)建.“將一個(gè)幾何圖形，任意切成多塊小圖形，幾何圖形的總面積保持不變，等于所分

割成的小圖形的面積之和”是該原理的重要內(nèi)容之一，如圖，在矩形ABC。中，AB=5,

AD=n,對(duì)角線(xiàn)AC與8。交于點(diǎn)。，點(diǎn)E為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，EFLAC,EGLBD,

垂足分別為點(diǎn)尸，G,貝i]EF+EG=—.

60

【答案】—.

【分析】連接OE,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BC=AD=12,AO=CO=BO=。。，ZABC^

90°,根據(jù)勾股定理得至UAC=7AB2+BC2=13,求得OB=OC=竽,根據(jù)三角形的面

積公式即可得到結(jié)論.

【解答】解：連接OE,

:四邊形A8C。是矩形，

AZABC=90°,BC=A￡>=12,AO=CO=BO=DO,

\'AB=5,BC=12,

：.AC=7AB2+Be2=13,

13

OB=OC=^-,

11111

：.SABOC=SABOE+SACOE=xOB?EG+^OC9EF=-YS^ABC=xx5x12=15,

113113113

X—EG+-X—EF=-X—(EG+EF)=15,

222222、7

：.EG+EF=^,

故答案為：

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理.此題難度適中，注意掌握輔助線(xiàn)的作法,

注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

三、解答題（本題共6小題，每小題6分，共36分）

17.(6分)17.計(jì)算：(71-2024)0-3tan3O°+|1-V3|+2-1.

【答案】

【分析】直接利用絕對(duì)值的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)累的性質(zhì)、負(fù)整數(shù)指

數(shù)暴的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：原式=l-3x孚+V3—1+^

=1-V3+V3-1+2

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵.

18.（6分）下面是小明和小紅兩位同學(xué)對(duì)同一個(gè)分式進(jìn)行化簡(jiǎn)，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的

任務(wù).

.xx、%2—4

小明?解?原式=「底尸2）尤（x+2）＞至3

J月.用牛?原八一L（X+2）Q_2）十（％—2）（%+2）1x第一步

%(%—2)+%(%+2)%2-4

第二步

(x+2)(x—2)x

x(x—2)+%(%+2)(%+2)(x—2)

第三步

(x+2)(x—2)x

%2—4x%2—4

小紅：解：原式=%.+第一步

xi=2'^r

任務(wù)一：（i）小明同學(xué)的第一步是分式的通分,通分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)；

（2）小明同學(xué)的第三步是進(jìn)行的因式分解運(yùn)算,用到的公式是平方差公式；

任務(wù)二：小紅同學(xué)這的解法的依據(jù)是乘法分配律.

【答案】（1）一，分式的基本性質(zhì)；

（2）因式分解，平方差公式；乘法分配律.

【分析】（1）觀(guān)察解法填空即可；

（2）觀(guān)察解法可得答案.

【解答】解：（1）小明同學(xué)的第一步是分式的通分，通分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)；

故答案為：一，分式的基本性質(zhì)；

（2）小明同學(xué)的第三步是進(jìn)行的因式分解，用到的公式是平方差公式；

小紅同學(xué)這的解法的依據(jù)是乘法分配律；

故答案為：因式分解，平方差公式；乘法分配律.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握分式的基本性質(zhì)和因式分解，乘

法分配律等運(yùn)算依據(jù).

19.（6分）創(chuàng)建文明城市，構(gòu)建美好家園.為提高垃圾分類(lèi)意識(shí)，幸福社區(qū)決定采購(gòu)A,B

兩種型號(hào)的新型垃圾桶.若購(gòu)買(mǎi)2個(gè)A型垃圾桶和3個(gè)8型垃圾桶共需要420元，購(gòu)買(mǎi)

5個(gè)A型垃圾桶和1個(gè)B型垃圾桶共需要400元.

（1）求每個(gè)A型垃圾桶和每個(gè)B型垃圾桶各為多少元；

（2）若需購(gòu)買(mǎi)A,B兩種型號(hào)的垃圾桶共200個(gè)，總費(fèi)用不超過(guò)15200元，至少需購(gòu)買(mǎi)

A型垃圾桶多少個(gè)？

【答案】（1）A型垃圾桶單價(jià)為60元，8型垃圾桶單價(jià)為100元；

（2）至少需購(gòu)買(mǎi)A型垃圾桶120個(gè).

【分析】（1）設(shè)A型垃圾桶單價(jià)為x元，3型垃圾桶單價(jià)為y元，根據(jù)購(gòu)買(mǎi)2個(gè)A型垃

圾桶和3個(gè)B型垃圾桶共需要420元，購(gòu)買(mǎi)5個(gè)A型垃圾桶和1個(gè)B型垃圾桶共需要400

元，列出二元一次方程組，即可求解；

（2）設(shè)A型垃圾桶。個(gè)，根據(jù)總費(fèi)用不超過(guò)15200元，列出不等式，即可求解.

【解答】解：（1）設(shè)A型垃圾桶單價(jià)為x元，B型垃圾桶單價(jià)為y元，

由題意可得｛第%=4「°，

解喉以，

答：A型垃圾桶單價(jià)為60元，B型垃圾桶單價(jià)為100元；

（2）設(shè)A型垃圾桶。個(gè)，

由題意可得：60^+100（200-a）<15200,

心120,

答：至少需購(gòu)買(mǎi)4型垃圾桶120個(gè).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用以及二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵

是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確

列出一元一次不等式組.

20.（6分）某校為落實(shí)“雙減”工作，增強(qiáng)課后服務(wù)的吸引力，充分用好課后服務(wù)時(shí)間，

為學(xué)有余力的學(xué)生拓展學(xué)習(xí)空間，成立了5個(gè)活動(dòng)小組（每位學(xué)生只能參加一個(gè)活動(dòng)小

組）：A.音樂(lè)；B.體育；C美術(shù)；D.閱讀；E.人工智能.為了解學(xué)生對(duì)以上活動(dòng)的

參與情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，繪制了如圖所示的兩

幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

根據(jù)圖中信息，解答下列問(wèn)題：

（1）①此次調(diào)查一共隨機(jī)抽取了200名學(xué)生;

②補(bǔ)全條形圖（要求在條形圖上方注明人數(shù)）；

③扇形圖中圓心角a=54度;

（2）若該校有3000名學(xué)生，估計(jì)該校參加。組（閱讀）的學(xué)生人數(shù)；

（3）劉老師計(jì)劃從E組（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人參加市

青少年機(jī)器人競(jìng)賽，請(qǐng)用樹(shù)狀圖法或列表法求出恰好抽中甲、乙兩人的概率.

【答案】（1）①200；

②補(bǔ)全條形圖見(jiàn)解答過(guò)程；

③54；

（2）1050名;

1

（3）

6

【分析】（1）①由8組的人數(shù)除以所占百分比即可；

②求出C組的人數(shù)，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可；

③由360。乘以C組所占的比例即可；

（2）由該校共有學(xué)生人數(shù)乘以參加。組（閱讀）的學(xué)生人數(shù)所占的比例即可；

（3）畫(huà)樹(shù)狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好抽中甲、乙兩人的結(jié)果有2種，再

由概率公式求解即可.

【解答】解：（1）①此次調(diào)查一共隨機(jī)抽取的學(xué)生人數(shù)為：504-25%=200（名），

故答案為：200；

②C組的人數(shù)為：200-30-50-70-20=30（名），

補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：

故答案為：54；

（2）3000X瑞70=1050（名），

答：估計(jì)該校參加。組（閱讀）的學(xué)生人數(shù)為1050名;

（3）畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

開(kāi)始

共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好抽中甲、乙兩人的結(jié)果有2種，

，恰好抽中甲、乙兩人的概率為之=±

126

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是用樹(shù)狀圖法求概率以及條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖等知識(shí).樹(shù)狀圖

法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件.用到的

知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

21.（6分）如圖，在矩形ABC。中，連接2D

（1）作BD的垂直平分線(xiàn)PQ,分別與A。、8c交于點(diǎn)M、N,連接BM、DN.

（2）求證：四邊形是菱形.

A.----------------------

BC

【答案】（1）圖形見(jiàn)解答；

（2）證明過(guò)程見(jiàn)解答.

【分析】（1）根據(jù)垂直平分線(xiàn)的作法即可完成作圖；

（2）結(jié)合（1）證明段△A?。（ASA）,得OM=ON,證明四邊形是平行

四邊形，進(jìn)而利用對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形可得結(jié)論.

【解答】（1）解：如圖所示，點(diǎn)M、N,BM、0V即為所求；

（2）證明：由（1）知：尸。是8。的垂直平分線(xiàn)，

：.MN±BD,OB=OD,

.四邊形ABC。是矩形，

J.AD//BC,

：.ZMDB=ZNBD,

在和△N8。中，

（/MDB=/NBD

\0D=0B，

IzMOD=乙NOB

:.AMDB義ANBD（ASA）,

：.OM=ON,

\"OB=OD,

：.四邊形MBND是平行四邊形，

:MN_LBD,

二四邊形MBND是菱形.

P

為'

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-基本作圖，矩形的性質(zhì)，菱形的判定，全等三角形的判定與

性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法.

22.（6分）夏季是垂釣的好季節(jié)，一天甲、乙兩人到松花江的8處釣魚(yú)，突然發(fā)現(xiàn)在A處

有一人不慎落入江中呼喊救命，如圖，在2處測(cè)得A處在B的北偏東60°方向，緊急關(guān)

頭，甲、乙二人準(zhǔn)備馬上救人，只見(jiàn)甲馬上從B處跳水游向A處救人；此時(shí)乙從B沿岸

邊往正東方向奔跑32米到達(dá)C處，再?gòu)腃處下水游向A處救人，已知A處在C的北偏

東30°方向上，且甲、乙二人在水中游進(jìn)的速度均為1米/秒，乙在岸邊上奔跑的速度為

8米/秒.（注：水速忽略不計(jì)）

（1）求A3、AC的長(zhǎng)；

（2）試問(wèn)甲、乙二人誰(shuí)能先救到人，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由.（百句.7）

北

【答案】（1）A8的長(zhǎng)為32遮米，AC的長(zhǎng)為32米；

（2）乙先救到人.

【分析】（1）過(guò)A作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)。，解直角三角形即可得到結(jié)論;

（2）根據(jù)時(shí)間=路程+速度，比較兩者的時(shí)間，即可得到結(jié)論.

【解答】解：（1）過(guò)A作交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)如圖，

在2北偏東60方向上，

/.ZABD=30°,

又在C北偏東30方向上，ZACD=60°,

XVZABC=30°,

.*.ZBAC=30°,

ZABD^ZBAC,

：.AC=BC,

：BC=32米,

；.AC=32米，

在放AC。中，ZACD=60°,AC=32米，

，CZ）=16米，AD=16V3,

在RtAABD中，

VZABD=30°,

：.AB=2AD=32V3（米），

：.AB的長(zhǎng)為32百米，AC的長(zhǎng)為32米；

（2）甲所用時(shí)間：32代+1-54.4（秒），

乙所用時(shí)間：32+8+32+1=36（秒），

V54.4>36,

乙先救到人.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握方向角的

概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義.

四、解答題（本題共4題，其中23、24題每題8分，25、26題每題10分，共36分）

23.（8分）如圖，在。。中，直徑8c=2,直線(xiàn)AC是。。的切線(xiàn)，點(diǎn)。為AB與圓周的交

點(diǎn)（A在C點(diǎn)左側(cè)），連接O￡）,/C。。的平分線(xiàn)交CA于點(diǎn)E,連接?！?/p>

（1）求證：OE是。。的切線(xiàn)：

（2）若AE=孚，求的長(zhǎng).

AEC

【答案】（1）證明見(jiàn)解答；

（2）8。的長(zhǎng)為百.

【分析】（1）由已知條件和圓的性質(zhì)易證△。?！杲z△COE,再證明DELOD即可證明

是。。的切線(xiàn)；

（2）連接DC,先求出AC,再求出NB=30°,最后放在直角三角形3OC中求80即可.

【解答】（1）證明：平分/C。。，

:?NDOE=/COE,

在△QOE和△COE中，

DO=CO

Z-DOE=Z-COE,

0E=OE

:?△OOE也△COE(SAS),

：.ZODE=ZOCE=90°,

：.DE±OD,

?二0。是圓的半徑，

???OE是。。的切線(xiàn)；

(2)解：連接DC,

?:5C是直徑，

：.ZBDC=90°,

AZAZ)C=90°,

ADOE義MOE,

:.ED=EC,

：.ZECD=ZEDC,

*：ZECD+ZDAC=90°,ZEDC+ZADE=90°,

AZDAC=NADE,

:?ED=AE,

：.AE=EC,

：.AC=2AE=2x苧=竽，

,:BC=2,tanN5=

：.ZB=30°,

.?.BZ)=BC*cosZB=2x:=遍.

圖2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的切線(xiàn)的判定以及全等三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形，

難度不大.解題的關(guān)鍵是熟記圓的有關(guān)性質(zhì)定理.

24.(8分)心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，一節(jié)課40分鐘中，學(xué)生的注意力隨教師講課

時(shí)間的變化而變化.開(kāi)始上課時(shí)，學(xué)生的注意力逐步增強(qiáng)，中間有一段時(shí)間學(xué)生的注意

力保持較為理想的穩(wěn)定狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開(kāi)始分散.經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)分析可知，學(xué)生的

注意力指標(biāo)數(shù)y隨時(shí)間x(分鐘)的變化規(guī)律如圖所示(其中AB、分別為線(xiàn)段，CD

為雙曲線(xiàn)的一部分)，請(qǐng)問(wèn)：

如果有一道數(shù)學(xué)綜合題，需要講19分鐘，為了效果較好，要求學(xué)生的注意力指標(biāo)數(shù)最低

達(dá)到36,那么經(jīng)過(guò)適當(dāng)安排，老師可否在學(xué)生注意力達(dá)到較為理想的穩(wěn)定狀態(tài)下講解完

這道題目？

你的結(jié)論是可以(填寫(xiě)“可以”或“不可以”)，

理由是

設(shè)線(xiàn)段所在的直線(xiàn)的解析式為yi=履尤+20,

把8(10,40)代入得，ki=2,

.?.AB解析式為：yi=2x+20(O(xWlO).

設(shè)C、。所在雙曲線(xiàn)的解析式為丫2=多

把C(25,40)代入得，值=1000,

曲線(xiàn)C￡＞的解析式為：丫2=竽維(25)；

令yi=36,

.??36=2x+20,

「?xi=8

令y2=36,

.?.36=剪

-x

理^^27.8,

??X2=-DO

???27.8二8=19.8>19,

???經(jīng)過(guò)適當(dāng)安排，老師能在學(xué)生注意力達(dá)到所需的狀態(tài)下講解完這道題目.(請(qǐng)通過(guò)

你計(jì)算所得的數(shù)據(jù)說(shuō)明理由).

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】先用待定系數(shù)法分別求出AB和CD的函數(shù)表達(dá)式，分別求出注意力指數(shù)為36

時(shí)的兩個(gè)時(shí)間，再將兩時(shí)間之差和19比較，大于19則能講完，否則不能.

【解答】解：可以.

理由：設(shè)線(xiàn)段所在的直線(xiàn)的解析式為尹=如計(jì)20,

把2(10,40)代入得，ki=2,

二AB解析式為:yi=2x+20(OWxWlO).

設(shè)C、。所在雙曲線(xiàn)的解析式為

把C(25,40)代入得，比=1000,

曲線(xiàn)的解析式為：竺=嚶6》25)；

令yi=36,

???36=2x+20,

.'.xi=8

令y2=36,

.?.363

x

1000

X2=?27.8,

-B6-

V27.8-8=19.8>19,

...經(jīng)過(guò)適當(dāng)安排，老師能在學(xué)生注意力達(dá)到所需的狀態(tài)下講解完這道題目.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了函數(shù)的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際意義列出函數(shù)關(guān)系式，從

實(shí)際意義中找到對(duì)應(yīng)的變量的值，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再根據(jù)自變量的值

求算對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.

25.(10分)如圖，已經(jīng)拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)。(0,0),A(5,5),且它的對(duì)稱(chēng)軸為x=2.

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