2024屆青海省青海師范大學(xué)第二附屬中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

2024屆青海省青海師范大學(xué)第二附屬中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在正方體中，E，F(xiàn)，G，H分別是，，，的中點(diǎn)，K是底面ABCD上的動(dòng)點(diǎn)，且平面EFG，則HK與平面ABCD所成角的正弦值的最小值是（）A． B． C． D．2．在三棱錐中，，，，平面平面，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．3．在中，是的中點(diǎn)，，，相交于點(diǎn)，若，，則（）A．1 B．2 C．3 D．44．將所有的正奇數(shù)按以下規(guī)律分組，第一組：1；第二組：3，5，7；第三組：9，11，13，15，17；…表示n是第i組的第j個(gè)數(shù)，例如，，則（）A． B． C． D．5．將的圖像怎樣移動(dòng)可得到的圖象（）A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位6．某賽季中，甲?乙兩名籃球隊(duì)員各場(chǎng)比賽的得分莖葉圖如圖所示，若甲得分的眾數(shù)為15，乙得分的中位數(shù)為13，則（）A．15 B．16 C．17 D．187．在中，已知，則的面積為（）A． B． C． D．8．已知點(diǎn)是拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的對(duì)稱軸與其準(zhǔn)線的交點(diǎn)，過作拋物線的切線，切點(diǎn)為，若點(diǎn)恰好在以，為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)的最大值是2，則的值為（）A． B． C． D．10．在銳角中，若，，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在《九章算術(shù)·商功》中將四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑（biēnào），在如下圖所示的鱉臑中，，，，則的直角頂點(diǎn)為______.12．已知數(shù)列滿足，，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則________.13．在平面直角坐標(biāo)系中，定義兩點(diǎn)之間的直角距離為：現(xiàn)有以下命題：①若是軸上的兩點(diǎn)，則；②已知，則為定值；③原點(diǎn)與直線上任意一點(diǎn)之間的直角距離的最小值為；④若表示兩點(diǎn)間的距離，那么.其中真命題是__________（寫出所有真命題的序號(hào)）.14．?dāng)?shù)列滿足，則________.15．某中學(xué)為了了解全校學(xué)生的閱讀情況，在全校采用隨機(jī)抽樣的方法抽取一個(gè)樣本進(jìn)行問卷調(diào)查，并將他們?cè)谝粋€(gè)月內(nèi)去圖書館的次數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，將學(xué)生去圖書館的次數(shù)分為5組：制作了如圖所示的頻率分布表，則抽樣總?cè)藬?shù)為_______．16．等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為q，，則首項(xiàng)的取值范圍是____________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（1）求這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)；（2）在區(qū)間內(nèi)是否存在數(shù)列中的項(xiàng)？若有，有幾項(xiàng)？若沒有，請(qǐng)說明理由.18．如圖，在四邊形中，已知，，（1）若，且的面積為，求的面積:（2）若，求的最大值.19．一汽車廠生產(chǎn)，，三類轎車，每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號(hào)，某月的產(chǎn)量如下表(單位：輛)：按類用分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有類轎車10輛．轎車轎車轎車舒適型100150標(biāo)準(zhǔn)型300450600（1）求的值；（2）用分層抽樣的方法在類轎車中抽取一個(gè)容量為5的樣本．將該樣本看成一個(gè)總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率；（3）用隨機(jī)抽樣的方法從類舒適型轎車中抽取8輛，經(jīng)檢測(cè)它們的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2把這8輛轎車的得分看作一個(gè)總體，從中任取一個(gè)得分?jǐn)?shù)，

記這8輛轎車的得分的平均數(shù)為，定義事件，且函數(shù)沒有零點(diǎn)，求事件發(fā)生的概率．20．年北京市進(jìn)行人口抽樣調(diào)查，隨機(jī)抽取了某區(qū)居民人，記錄他們的年齡，將數(shù)據(jù)分成組：，，，…，并整理得到如下頻率分布直方圖：（Ⅰ）從該區(qū)中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其年齡不小于的概率；（Ⅱ）估計(jì)該區(qū)居民年齡的中位數(shù)（精確到）；（Ⅲ）假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，估計(jì)該區(qū)居民的平均年齡.21．已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，且的圖像有一條對(duì)稱軸為.（1）求的解析式及最小正周期；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

根據(jù)題意取的中點(diǎn)，可得平面平面，從而可得K在上移動(dòng)，平面，即可HK與平面ABCD所成角中最小的為【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，由E，F(xiàn)，G，H分別是，，，的中點(diǎn)，所以，，且，則平面平面，若K是底面ABCD上的動(dòng)點(diǎn)，且平面EFG，則K在上移動(dòng)，由正方體的性質(zhì)可知平面，所以HK與平面ABCD所成角中最小的為，不妨設(shè)正方體的邊長為，在中，.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了求線面角，同時(shí)考查了面面平行的判定定理，解題的關(guān)鍵是找出線面角，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

結(jié)合題意，結(jié)合直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，得到兩個(gè)直角三角形，取斜邊的一半，即為外接球的半徑，結(jié)合球表面積計(jì)算公式，計(jì)算，即可．【詳解】過P點(diǎn)作，結(jié)合平面ABC平面PAC可知，，故，結(jié)合可知，，所以，結(jié)合所以,所以，故該外接球的半徑等于，所以球的表面積為，故選D．【點(diǎn)睛】考查了平面與平面垂直的性質(zhì)，考查了直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，難度偏難．3、D【解析】由題意知，所以，解得，所以，故選D.4、C【解析】

由等差數(shù)列求和公式及進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理可得：2019為第1010個(gè)正奇數(shù)，設(shè)2019在第n組中，則有，，解得：n=32，又前31組共有961個(gè)奇數(shù)，則2019為第32組的第1010-961=49個(gè)數(shù)，得解．【詳解】由已知有第n組有2n-1個(gè)連續(xù)的奇數(shù)，則前n組共有個(gè)連續(xù)的奇數(shù)，又2019為第1010個(gè)正奇數(shù)，設(shè)2019在第n組中，則有，，解得：n=32，又前31組共有961個(gè)奇數(shù)，則2019為第32組的第1010-961=49個(gè)數(shù)，即2019=（32，49），故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查歸納推理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等差數(shù)列求和公式分析出規(guī)律，再結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)求解，屬于中等題.5、C【解析】

因?yàn)閷⑾蜃笃揭苽€(gè)單位可以得到，得解.【詳解】解：將向左平移個(gè)單位可以得到，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的平移變換，屬基礎(chǔ)題.6、A【解析】

由圖可得出，然后可算出答案【詳解】因?yàn)榧椎梅值谋姅?shù)為15，所以由莖葉圖可知乙得分?jǐn)?shù)據(jù)有7個(gè)，乙得分的中位數(shù)為13，所以所以故選：A【點(diǎn)睛】本題考查的是莖葉圖的知識(shí)，較簡(jiǎn)單7、B【解析】

根據(jù)三角形的面積公式求解即可.【詳解】的面積.

故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的面積公式,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】由題意，得，設(shè)過的拋物線的切線方程為，聯(lián)立，，令，解得，即，不妨設(shè)，由雙曲線的定義得，，則該雙曲線的離心率為.故選C.9、B【解析】

根據(jù)誘導(dǎo)公式以及兩角和差的正余弦公式化簡(jiǎn)，根據(jù)輔助角公式結(jié)合范圍求最值取得的條件即可得解.【詳解】由題函數(shù)，最大值是2，所以，平方處理得：，所以，，所以.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)三角函數(shù)的最值求參數(shù)的取值，考查對(duì)三角恒等變換的綜合應(yīng)用.10、D【解析】

由同角三角函數(shù)關(guān)系式,先求得,再由余弦定理即可求得的值.【詳解】因?yàn)闉殇J角三角形,由同角三角函數(shù)關(guān)系式可得又因?yàn)?由余弦定理可得代入可得所以故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式應(yīng)用,余弦定理求三角形的邊,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)，可得平面，進(jìn)而可得，再由，證明平面，即可得出，是的直角頂點(diǎn).【詳解】在三棱錐中，，，且，∴平面，又平面，∴，又∵，且，∴平面，又平面，∴，∴的直角頂點(diǎn)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與直線以及直線與平面垂直的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題.12、7500【解析】

討論的奇偶性，分別化簡(jiǎn)遞推公式，根據(jù)等差數(shù)列的定義得的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可求.【詳解】當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，＝﹣1，由，得，所以，，，…，…是以為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，＝1，由，得，所以，，，…，…是首項(xiàng)為，以4為公差的等差數(shù)列，則，所以.故答案為：7500【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推公式的化簡(jiǎn)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，也考查了分類討論思想，屬于中檔題．13、①②④【解析】

根據(jù)新定義的直角距離，結(jié)合具體選項(xiàng)，進(jìn)行逐一分析即可.【詳解】對(duì)①：因?yàn)槭禽S上的兩點(diǎn)，故，則，①正確；對(duì)②：根據(jù)定義因?yàn)?，故，②正確；對(duì)③：根據(jù)定義，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，故③錯(cuò)誤；對(duì)④：因?yàn)?，由不等式，即可得，故④正確.綜上正確的有①②④故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】本題考查新定義問題，涉及同角三角函數(shù)關(guān)系，絕對(duì)值三角不等式，屬綜合題.14、【解析】

根據(jù)題意可求得和的等式相加，求得，進(jìn)而推出，判斷出數(shù)列是以6為周期的數(shù)列，進(jìn)而根據(jù)求出答案?！驹斀狻繉⒁陨蟽墒较嗉拥脭?shù)列是以6為周期的數(shù)列，故【點(diǎn)睛】對(duì)于遞推式的使用，我們可以嘗試讓取或，又得一個(gè)遞推式，將兩個(gè)遞推式相加或者相減來找規(guī)律，本題是一道中等難度題目。15、20【解析】

總體人數(shù)占的概率是1，也可以理解成每個(gè)人在整體占的比重一樣，所以三組的頻率為：，共有14人，即14人占了整體的0.7，那么整體共有人?！驹斀狻壳叭M，即三組的頻率為：，，解得：【點(diǎn)睛】此題考查概率，通過部分占總體的概率即可計(jì)算出總體的樣本值，屬于簡(jiǎn)單題目。16、【解析】

由題得，利用即可得解【詳解】由題意知，，可得，又因?yàn)?，所以可求?故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式其前n項(xiàng)和公式、數(shù)列極限的運(yùn)算法則，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）只有一項(xiàng)【解析】

（1）根據(jù)通項(xiàng)公式直接求解（2）根據(jù)條件列不等式，解得結(jié)果【詳解】解：（1）；（2）解不等式得，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以，因此在區(qū)間內(nèi)只有一項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式及其應(yīng)用，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題18、(1)；(2)3【解析】

（1）根據(jù)可解出，驗(yàn)證出，從而求得所求面積；（2）設(shè)，，在中利用余弦定理構(gòu)造關(guān)于的方程；在中分別利用正余弦定理可得到和，代入可求得；根據(jù)三角函數(shù)最值可求得的最大值，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由得：，即（2）設(shè)，在中，由正弦定理得：…①由余弦定理得：…②在中，由余弦定理得：將①②代入整理得：當(dāng)，即時(shí)，取最大值【點(diǎn)睛】本題考查解三角形的相關(guān)知識(shí)，涉及到正弦定理、余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用；本題中線段長度最值的求解的關(guān)鍵是能夠利用正余弦定理構(gòu)造方程，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值的求解問題.19、（1）400；（2）；（3）【解析】

（1）由分層抽樣按比例可得；（2）把5個(gè)樣本編號(hào)，用列舉法列出任取2輛的所有基本事件，得出至少有1輛舒適型轎車的基本事件，計(jì)數(shù)后可得概率．（3）求出，確定事件所含的個(gè)數(shù)后可得概率．【詳解】（1）由題意，解得；（2）C類產(chǎn)品中舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型產(chǎn)品數(shù)量比為，因此5人樣品中舒適型抽取了2輛，標(biāo)準(zhǔn)型抽取了3輛，編號(hào)為，任取2輛的基本事件有：共10個(gè)，其中至少有1輛舒適型轎車的基本事件有共7個(gè)，所求概率為．（3）由題意，滿足的有共6個(gè)，函數(shù)沒有零點(diǎn)，則，解得，再去掉，還有4個(gè)，∴所求概率為．【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣，考查古典概型，解題關(guān)鍵是用列舉法寫出所有的基本事件．20、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】

（I）計(jì)算之間的頻率和，由此估計(jì)出年齡不小于的概率.（II）從左往右，計(jì)算出頻率之和為的位置，由此估計(jì)中中位數(shù).（III）用各組中點(diǎn)值乘以頻率人后相加，求得居民平均年齡的估計(jì)值.【詳解】解：（Ⅰ）設(shè)從該區(qū)中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其年齡不小于60為事件,所以該區(qū)中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其年齡不小于60的概率為.（Ⅱ）年齡在的累計(jì)頻率為,,所以估計(jì)中位數(shù)為.（Ⅲ）平均年齡為【點(diǎn)睛】本小題主要考查頻率分布直方圖的識(shí)別與應(yīng)用，考查頻率分布直方圖估計(jì)中位數(shù)和平均數(shù)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.21、（1），；（2）.【解析】

（1）由函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)且f（x）的圖象有一條對(duì)稱軸為直線，可得最大值A(chǔ)，且