2024年高考數(shù)學(xué)最后沖刺卷2（新高考新題型專用）含解析

數(shù)學(xué)

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

全國新高考卷的題型會有所調(diào)整，考試題型為8(單選題)+3(多選題)+3(填

空題)+5(解答題)，其中最后一道試題是新高考地區(qū)新增加的題型，主要涉及集合、

數(shù)列，導(dǎo)數(shù)等模塊，以解答題的方式進(jìn)行考查。

預(yù)測2024年新高考地區(qū)數(shù)列極有可能出現(xiàn)在概率與統(tǒng)計大題中，而結(jié)構(gòu)不良型題

型可能為集合或?qū)?shù)模塊中的一個，出現(xiàn)在19題的可能性較大，難度中等偏上，例如

本卷第19題。

第I卷(選擇題)

一'選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合要求的。

1.已知一組數(shù)據(jù)加，4,2,5,3的平均數(shù)為〃，且加，"是方程尤2-4x+3=0的兩根，

則這組數(shù)據(jù)的方差為()

A.10B.710C.2D.0

2.P={a\a=(-1,1)+m(\,2),meR},。={冽6=(1,-2)+“(2,3),〃eR}是兩個向量集合，

則P。等于()

A.{(1,-2)}B.{(-13,-23)}C.{(-2,1)}D.{(-23,-13))

3.在AABC中，內(nèi)角A、8、C所對的邊分別為。、b、c,若A、B、C成等差數(shù)列，3小

3b、3c成等比數(shù)列，則cosAcosB二()

4.在三棱錐S-ABC中，底面ABC為邊長為3的正三角形，側(cè)棱底面A5C,若

三棱錐的外接球的體積為36%,則該三棱錐的體積為（）

B,巫R9A/2

A.9A/2.---D.27&

22

5.有一排7只發(fā)光二極管，每只二極管點亮?xí)r可發(fā)出紅光或綠光，若每次恰有3只二

極管點亮，且相鄰的兩只不能同時點亮，根據(jù)三只點亮的不同位置，或不同顏色來表示

不同的信息，則這排二極管能表示的信息種數(shù)共有種

A.10B.48C.60D.80

6.設(shè)ab=log3—,2。+c=0,貝U()

A.a<b<cB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a

7.按照“碳達(dá)峰”、“碳中和”的實現(xiàn)路徑，2030年為碳達(dá)峰時期，2060年實現(xiàn)碳中和，

到2060年，純電動汽車在整體汽車中的滲透率有望超過70%,新型動力電池迎來了蓬

勃發(fā)展的風(fēng)口.Pe“h〃于1898年提出蓄電池的容量C（單位：Ah）,放電時間f（單位：

h）與放電電流/（單位：A）之間關(guān)系的經(jīng)驗公式：C=/"其中w為常數(shù)，

為了測算某蓄電池的Peah“常數(shù)"，在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流/=20A時，

放電時間t=20h；當(dāng)放電電流/=30A時，放電時間f=10h.則該蓄電池的Pei/h〃常數(shù)

〃大約為（）（參考數(shù)據(jù)：1g2土0.30,lg3。0.48）

22

8.過雙曲線1r-的右焦點尸作漸近線的垂線，設(shè)垂足為尸（尸為第

一象限的點），延長EP交拋物線y2=2px（p>0）于點Q,其中該雙曲線與拋物線有一個

共同的焦點，若。尸=：（。歹+。。），則雙曲線的離心率的平方為

A.75B.好C.?+1D.

22

二'選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知i為虛數(shù)單位，以下四個說法中正確的是（）

A.i+i2+i3+i4=0

B.3+i>l+i

C.若z=（l+2i）z,則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于第四象限

D.己知復(fù)數(shù)z滿足|z-2i|=3,則2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡為圓

10.設(shè)直線系M：%cos6>+（y-2）sin0=l（0<^<2^）,則下面四個命題正確的是（）

A.點（0,2）到M中的所有直線的距離恒為定值

B.存在定點P不在M中的任意一條直線上

C.對于任意整數(shù)”（〃23）,存在正”邊形，其所有邊均在M中的直線上

D."中的直線所能圍成的正三角形面積都相等

11.定義在R上的偶函數(shù)“X）滿足〃x—3）=〃5—x）,當(dāng)xe[0,l]時，1（一=/設(shè)函

數(shù)g（尤）=蜒5k-1|,則下列結(jié)論正確的是（）

A.〃x）的圖象關(guān)于直線x=l對稱

717

B."X）的圖象在無=1處的切線方程為丫=-工+?

C./（2021）+/（2022）+/（2023）+/（2024）=2

D.〃尤）的圖象與g（x）的圖象所有交點的橫坐標(biāo)之和為10

第H卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知集合A={x[l<%<3},集合5={X|2機(jī)<%<1-根}，命題知xeA,命題《：xeB,

若。是q的充分條件，則實數(shù)機(jī)的取值范圍是.

13.已知多項式（X+3）（X—I），=4+%尤之+的尤3+,貝|

%+%+%+。5=.

14.正方體ABC。-ABCA中，E是棱。2的中點，尸在側(cè)面CDRG上運動，且滿足與尸

平面ABE.以下命題正確的有.

①側(cè)面CDDC上存在點F,使得B’F1CD,

②直線BXF與直線8C所成角可能為30。

③平面4BE與平面CDD￡所成銳二面角的正切值為272

④設(shè)正方體棱長為1,則過點及歹,A的平面截正方體所得的截面面積最大為更

2

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明'證明過程或演算步驟.

15.（13分）已知ABC的內(nèi)角A,2,C的對邊分別為a",c,且b=3,c=l,o=6cosB.

⑴求。的值：

⑵求證：A=2B；

⑶cos2,-3的值

16.（15分）如圖1,在平面五邊形ABCDE中，AEHBD,且DE=2,/EDB=60°,

CD=BC=S，cosNDCB=g，將△BCD沿BD折起，使點C到P的位置，且EP=5

得到如圖2所示的四棱錐P-ABDE.

⑴求證；PE_L平面ABDE；

（2）若AE=1,求平面上4B與平面尸班＞所成銳二面角的余弦值.

17.（15分）甲進(jìn)行摸球跳格游戲.圖上標(biāo)有第1格，第2格，…，第25格，棋子開

始在第1格.盒中有5個大小相同的小球，其中3個紅球，2個白球（5個球除顏色外

其他都相同）.每次甲在盒中隨機(jī)摸出兩球，記下顏色后放回盒中，若兩球顏色相同，

棋子向前跳1格；若兩球顏色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格

時，游戲結(jié)束.記棋子跳到第〃格的概率為￡（〃=1,2,3,…,25）.

（1）甲在一次摸球中摸出紅球的個數(shù)記為X,求X的分布列和期望；

⑵證明：數(shù)列{月-匕―}（〃=2,3,…,24）為等比數(shù)列.

18.（17分）焦點在x軸上的橢圓上+3=1的左頂點為加，4（占,%），3（羽,％）,

4b-

C(w，%)為橢圓上不同三點，且當(dāng)0B=4OC時，直線MB和直線MC的斜率之積為-；.

⑴求b的值；

⑵若Q4B的面積為1,求尤;+后和y；+￡的值；

⑶在(2)的條件下，設(shè)AB的中點為D,求|8卜|川|的最大值.

19.(17分)英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：e'=l+x+X+反++—+其中

2!3!n\

?!=1X2X3X4Xx〃,e為自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828.以上公式稱為泰勒公式.設(shè)

二,g(x)=T：,根據(jù)以上信息，并結(jié)合高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，解決如

下問題.

⑴證明：+

(2)設(shè)xe(O,y),證明：(!<g(x)；

⑶設(shè)尸(x)=g(x)-+若x=0是尸(x)的極小值點，求實數(shù)。的取值范圍.

數(shù)學(xué)

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

全國新高考卷的題型會有所調(diào)整，考試題型為8（單選題）+3（多選題）+3（填

空題）+5（解答題），其中最后一道試題是新高考地區(qū)新增加的題型，主要涉及集合、

數(shù)列，導(dǎo)數(shù)等模塊，以解答題的方式進(jìn)行考查。

預(yù)測2024年新高考地區(qū)數(shù)列極有可能出現(xiàn)在概率與統(tǒng)計大題中，而結(jié)構(gòu)不良型題

型可能為集合或?qū)?shù)模塊中的一個，出現(xiàn)在19題的可能性較大，難度中等偏上，例如

本卷第19題。

第I卷（選擇題）

一'選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合要求的。

1.已知一組數(shù)據(jù)加，4,2,5,3的平均數(shù)為“，且加，〃是方程尤2-4x+3=0的兩根，

則這組數(shù)據(jù)的方差為（）

A.10B.V10C.2D.72

【答案】C

【詳解】解：方程/一4》+3=0,即（x—3）（x—1）=0,解得x=3或x=l,又這組數(shù)據(jù)

的其它值都大于1,

:.m=l,〃=3,顯然g（l+4+2+5+3）=3,符合題意.

所以S?=1[（1-3）2+（4-3）2+（2-3）2+（5-3）2+（3-3）2]=2.

故選：C.

2.P=｛a\a=（-1,1）+m（l,2）,meR｝,Q=｛冽￡=（1,一2）+w（2,3）,〃eR｝是兩個向量集合，

則P。等于（）

A.｛（1,-2）｝B.｛（-13,-23）｝C.｛（-2,1）｝D.｛（-23,-13）｝

【答案】B

【詳解】根據(jù)所給的兩個集合的元素，表示出兩個集合的交集,

在集合P中，a=(-l+wJ+2/?),

在集合。中，/=(1+2",-2+3”).

要求兩個向量的交集，即找出兩個向量集合中的相同元素，

???元素是向量，要使的向量相等，只有橫標(biāo)和縱標(biāo)分別相等，

f-1+m—l+2n—

■??L9℃，解得7

[1+2m=-2+3rL[n=—7.

止匕時a=A=(-13,-23).

故選：B.

3.在AA5C中，內(nèi)角A、B、。所對的邊分別為〃、b、c,若A、B、C成等差數(shù)列，3〃、

3b、3c成等比數(shù)列，則cosAcosB二()

A.-B.-C.-D.-

2436

【答案】B

【詳解】解：由A,B,C成等差數(shù)列，有2B=A+C(1)

A,B,。為AABC的內(nèi)角，：.A+B+C=7V(2).

rr

由(1)(2)得5=

由3a,3b,3c成等比數(shù)列，得》2=〃。，

由余弦定理得，b1=a2+c2-2accosB

TT

22

把8=Z?2=QC代入得，a+c-ac=ac

rr

即(a-=0,則〃=c,從而A=C=B=—,

n111

/.cosAAcosB=—x—=—.

224

故選：B.

4.在三棱錐S-ABC中，底面ABC為邊長為3的正三角形，側(cè)棱SA,底面ABC,若

三棱錐的外接球的體積為36%,則該三棱錐的體積為（）

B,巫R9A/2

A.9A/2.---D.27&

22

【答案】C

【詳解】如圖，設(shè)外接球的球心為0.：在三棱錐S-ABC中，底面ABC是邊長為3的

正三角形，側(cè)棱底面ABC,三棱錐的外接球的體積為36萬，.?.三棱錐的外接球的

半徑R=OS=3.

過A作AE_L8C,交BC于E,過球心。作0D_L平面ABC于。，則DeAf,且。是

oo__________________

ABC的重心，：.=]AE=]，4笈一BE"=6,：,OD=J（M?—AD?=R。到5A

的距離為A￡>=若，:,SA=0D+d0S2-AD?=2底，，該三棱錐的體積

90

丫=gxSAx=~x2瓜x[—x3x3xsin60

12

5.有一排7只發(fā)光二極管，每只二極管點亮?xí)r可發(fā)出紅光或綠光，若每次恰有3只二

極管點亮，且相鄰的兩只不能同時點亮，根據(jù)三只點亮的不同位置，或不同顏色來表示

不同的信息，則這排二極管能表示的信息種數(shù)共有種

A.10B.48C.60D.80

【答案】D

【詳解】解：先選出三個孔來：

1）若任意選擇三個孔，則有C73=35種選法

2）若三個孔相鄰，則有5種選法

3）若只有二個孔相鄰,

相鄰孔為1、2兩孔時，第三孔可以選4、5、6、7,有4種選法

相鄰孑L為2、3兩孑L時,第三孔可以選5、6、7,有3種選法

相鄰孔為3、4兩孔時，第三孔可以選1、6、7,有3種選法

相鄰孔為4、5兩孔時，第三孔可以選1、2、7,有3種選法

相鄰孔為5、6兩孔時，第三孔可以選1、2、3,有3種選法

相鄰孔為6、7兩孔時，第三孔可以選1、2、3、4,有4種選法

即共有4+3+3+3+3+4=20種選法

.??選出三個不相鄰的孔，有35-5-20=10種選法

對于已選定的三個孔，每個孔都有兩種顯示信號,

則這三個孔可顯示的信號數(shù)為2x2x2=8種

，一共可以顯示的信號數(shù)為8*10=80種

故選D

C

6.設(shè)a=&=log31,2+c=0,則（）

A.a<b<cB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a

【答案】D

【詳解】=則。<°<1；

Z?=-log35,1=log33<log35<log39=2,則—2<b<—1；

c=-2°<0且一c=20<l,則

i^b<c<a.

故選：D.

7.按照“碳達(dá)峰”、“碳中和”的實現(xiàn)路徑，2030年為碳達(dá)峰時期，2060年實現(xiàn)碳中和,

到2060年，純電動汽車在整體汽車中的滲透率有望超過70%,新型動力電池迎來了蓬

勃發(fā)展的風(fēng)口.Pe成e〃于1898年提出蓄電池的容量C（單位：Ah）,放電時間f（單位：

h）與放電電流/（單位：A）之間關(guān)系的經(jīng)驗公式：C=其中”為常數(shù)，

為了測算某蓄電池的Peukert^"，在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流/=20A時，

放電時間，=20h；當(dāng)放電電流/=30A時，放電時間:=10h.則該蓄電池的Pe欣e%常數(shù)

〃大約為（）（參考數(shù)據(jù)：lg2a0.30,lg32Q48）

A.—B.—C.—D.2

333

【答案】B

【詳解】解：根據(jù)題意可得C=20"?20,C=30"J0,

兩式相比得即s"j

,1,clg2lg20.35

所以〃T°g汴=i°g產(chǎn)標(biāo)』

3.

g2

故選：B.

22

8.過雙曲線f-斗=1（?！?,》>0）的右焦點尸作漸近線的垂線，設(shè)垂足為尸（P為第

ab

一象限的點），延長EP交拋物線y=2px（p>0）于點。，其中該雙曲線與拋物線有一個

共同的焦點，若。尸=g（OF+O。），則雙曲線的離心率的平方為

A.75B.6C.V5+1D.史上1

22

【答案】D

12

【詳解】試題分析：C=《，漸近線方程y=±2尤，因為|。尸『=|與卜|。尸］,所以辱=幺,

2ac

Z7C122

PF=s/a2+b2=b，因為。P=3（°9+。。），所以尸為尸。中點，所以％=芋-°,

由拋物線定義得EQ=2bnx°=26-c,

2

Hltk2—=c+2b—c=>a2=bc^>a4=(c2—a2)c2e4—e2—1=0,又e>l,所以

?2=匕@,選D

2

二'選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知i為虛數(shù)單位，以下四個說法中正確的是（）

A.i+i2+i3+i4=0

B.3+i>l+i

C.若z=（l+2iy,則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于第四象限

D.已知復(fù)數(shù)z滿足|z-2i|=3,貝心在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡為圓

【答案】AD

【詳解】A：i+i2+i3+i4=i-l-i+l=0,本選項正確；

B：因為兩個復(fù)數(shù)不能比較大小，所以本選項不正確；

C：因為z=（l+2i）2=l+4i-4=-3+4i,

所以復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點位于第二象限，因此本選項不正確；

D：因為|z-2i|=3,

所以z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡為圓心為（0,2）,半徑為3的圓，因此本選項正確，

故選：AD

10.設(shè)直線系M：xcos6,+（y-2）sin6?=l（0<6,<2^-）,則下面四個命題正確的是（）

A.點（0,2）到加中的所有直線的距離恒為定值

B.存在定點尸不在M中的任意一條直線上

C.對于任意整數(shù)存在正〃邊形，其所有邊均在M中的直線上

D.M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等

【答案】ABC

【詳解】點（0,2）到M中的直線三05。+&-2卜也6=1（04642萬）的距離設(shè)為距則

d=/JT,=1為定值,故直線系M：xcos6+（y-2）sin6=l（O4"2%）表示圓

A/COS（9+sin_0

Y+（y_2）2=l的切線的集合.

顯然選項A正確；P（0,2）一定不在”中的任意一條直線上，B選項正確；由于圓的所

有外切正多邊形的邊都是圓的切線，所以對于任意整數(shù)〃（"23）,存在正〃邊形，其所

有邊均在加中的直線上，C選項正確；

如圖所示，M中的直線所能圍成的正三角形有兩類,一種是圓的外切三角形,如AADE,

此類三角形面積均相等，另一種是在圓的同一側(cè)，如△43C,這類三角形面積也相等，

但兩類三角形面積不等，故D選項不正確.

故選：ABC

11.定義在R上的偶函數(shù)滿足f（x-3）=〃5-x）,當(dāng)xe[0,l]時,=Y.設(shè)函

數(shù)g（x）=log5k-l|,則下列結(jié)論正確的是（）

A.“X）的圖象關(guān)于直線x=l對稱

717

B."X）的圖象在處的切線方程為〉=-尤+?

C./（2021）+/（2022）+/（2023）+/（2024）=2

D.的圖象與g（x）的圖象所有交點的橫坐標(biāo)之和為10

【答案】ACD

【詳解】對于A,因為〃x)為偶函數(shù)，故)(x—3)=〃5-力=〃了一5),

故/(x)=/(x+2),所以/(-x)=/(x+2),故的圖象關(guān)于直線x=l對稱，

故A正確.

對于B,由A中分析可得了(X)是周期函數(shù)且周期為2,

故當(dāng)xe[3,4]時，4-xe[0,l],/(x)=/(x-4)=/(4-x)=(4-x)2,

故當(dāng)xe(3,4)時，廣(x)=2(x—4),故/g]=-l,

故切線方程為：y=-^-^+/Q=-x+^,故B錯誤.

對于C,由〃x)是周期函數(shù)且周期為2可得：

/(2021)+/(2022)+/(2023)+/(2024)=2/(0)+2/(1)=2,

故C正確.

對于D,因為g(2-x)=log5|l-x|=g(x),故g(x)的圖象關(guān)于x=l對稱，

而g⑹=1,g(-4)=l且X>1時g(x)=log5(x-l),此時g(x)在。,+8)上為增函數(shù),

由圖可得“X)的圖象與g(x)的圖象共有10個交點，所有交點的橫坐標(biāo)之和為10.

故選：ACD.

第口卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知集合A={x|l<九<3},集合5={x|2機(jī)vxvl-相}，命題〃：xeA,命題4：xeB,

若P是4的充分條件，則實數(shù)加的取值范圍是.

【答案】m<-2

【詳解】命題P：]￡A,命題9：%￡氏由P是4的充分條件，得AqB,即

{X]<%<3}o|x|2m<x<l-m|

1-m>2m

因此<2根<1,解得也<-2,

l-m>3

所以實數(shù)加的取值范圍是根W-2.

故答案為：m<—2

245

13.已知多項式(％+3)(尤—I)，=aQ+a[x+c^x++a4x+a5x,則

a2+。3+/+%=.

【答案】8

【詳解】含x的項為：X-C：-(-1)4+3-C^X-(-1)3=-11X,故q=-U；

令x=0,即3=%,

令x=1,即0=/+<2]+%+/+%+。5，,'?。2+%+。4+。5=8.

故答案為：8.

14.正方體48。-4旦￡2中，E是棱。A的中點，F(xiàn)在側(cè)面CDDC上運動，且滿足用產(chǎn)

1平面ABE.以下命題正確的有.

①側(cè)面CDRG上存在點F，使得BF±CD,

②直線男尸與直線BC所成角可能為30。

③平面ABE與平面CDD?所成銳二面角的正切值為2y/2

④設(shè)正方體棱長為1,則過點A的平面截正方體所得的截面面積最大為亞

2

【答案】①③

B、

【詳解】

B

取GR中點M,CG中點N,連接B\M,B,N,MN,

則易證得與NAE,MNAtB,且B、NcMN=N,

B、N,MNu平面B[MN,4瓦u平面4BE,

從而平面用MN「平面ABE,

所以點F的運動軌跡為線段跖V.

取睦V的中點尸，因為△4MN是等腰三角形，所以又因為肱VCD,,所

以用/JLCD，故①正確;

設(shè)正方體的棱長為。，當(dāng)點尸與點M或點N重合時，直線與方與直線3C所成角最大,

11

此時tan/Ci4/==tan30所以②錯誤;

54忑

平面用WN，平面ABE,取/為腦V的中點,

則MN±C、F,MN上BF，,NBFC]即為平面B、MN與平面CDD￡所成的銳二面角,

tan/B]FC[==242,所以③正確；

GF

因為當(dāng)尸為GE與MN的交點時，截面為菱形AGC|E(G為B用的交點)，

此時，GE=?AC=6則面積為:=半，故④錯誤.

故答案為：①③

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)己知ABC的內(nèi)角A,3,C的對邊分別為a,6,c,且b=3,c=l,a=6cosB.

⑴求a的值：

(2)求證：A=23；

⑶cos2/一3的值

【答案】(1)2道(2)證明見解析(3)拽二^

6

n24-r2-h2

【詳解】(1)由。=6cos5及余弦定理，得〃=6/+c―〃，

2ac

因為Z?=3,c=l,所以〃2=12,a=2y/3.

(2)由a=6cos_B及〃=3,得a=2bcosB,

由正弦定理得sinA=2sin5cos5=sin25,

因為0<4<兀，所以A=23或A+2B=7C.

若A+2B=7i,則5=C,與題設(shè)矛盾，因此A=25.

（3）由（I）得cos5=q=2叵=且，因為OvBv兀，

663

所以sin8=Vl-cos2B=

Q1

所以sin2B=2sinBcosB=------,cos2B=2cos2B-l=——，

33

所以cos21B—）=cosf2B-j=cos2Bcos+sin2Bsin

n62血i20-G

-x-----1-------x—=-------------.

3）2326

另解：因為cosA='十”——土二—l,s為A=—cos2A=J1-L=2?,

2bc3V93

（兀）（兀）7171

所以cos2B-----=cos2B——=cosAcos—+sinAsin—

V12y\6）66

G20120-6

x-----1-------x—=-------------

2326

16.（15分）如圖1,在平面五邊形ABCDE中，AE//BD,且DE=2,NEDB=60°,

CD=BC=^1,cosNDCB=；，將△BCD沿BD折起，使點C到P的位置，且EP=5

得到如圖2所示的四棱錐P—ABDE.

⑴求證；PE_L平面ABDE；

（2）若AE=1,求平面R4B與平面PBO所成銳二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）也

4

【詳解】（1）證明：在二ABC中，CD=BC=y/7,cosZr>CB=|

由余弦定理可得BD2=8c2+Cr>2-2BC-CDcosZDC8=7+7-2xSxV7x3=4,

7

所以3。=2,

又因為。E=2,/ED3=60,所以△3DE為正三角形，

設(shè)3D的中點為尸，連接歷，刊7,可得

又由CD=BC,可得3D_LP尸，且ERP^u平面正/，EFPF=F,

所以平面尸￡F,因為PEu平面尸EF,所以BDLPE,

在,PFD中，可得PF={PB。-BF?=*>，

在△BDE中,可得EF々ED?-DF?=石，

又因為￡尸=若，可得￡尸+￡尸=尸產(chǎn)2,所以PEJ_EF,

因為EP,BZ)U平面ABDE,且EFc班)=/，所以PE_L平面ABDE.

(2)解：因為AE〃即，所以AE_LEF,

又由PE_L平面ABDE,且AE,EFu平面ABDE,所以PE，AE,PE工EF,

以E為原點，以E4,E￡EP所在的直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖所示，可得41,0,0),8(1,3,0),b(0,有,0),尸(0,0,有)，

則AB=(0,A/3,0),AP=(-1,0,退)，BP=(-1,-73,道),BF=(-1,0,0),

4-AB=\fiyl=0

設(shè)平面F4B的法向量為4=(為加4),貝卜

?1-AP=_&+A/3Z,=0

取現(xiàn)=6，可得X=0，Z]=l,所以4=(6,0,1),

nA-BP=-x2-6y2+\/3Z2=0

設(shè)平面PBD的法向量為巧=(々,丫2/2)，則，

/?!-BF=-x2=0

取>2=1，可得無2=°，Z2=1,所以%=(0,1,1)，

設(shè)平面e鉆與平面尸BD所成的角為e,由圖象可得。為銳角,

1n1聞_1_V2

則cos6=COS4，〃2

Hll^l204

所以平面R4B與平面PBD所成銳二面角的余弦值為Y2.

4

17.（15分）甲進(jìn)行摸球跳格游戲.圖上標(biāo)有第1格，第2格，…，第25格，棋子開

始在第1格.盒中有5個大小相同的小球，其中3個紅球，2個白球（5個球除顏色外

其他都相同）.每次甲在盒中隨機(jī)摸出兩球，記下顏色后放回盒中，若兩球顏色相同，

棋子向前跳1格；若兩球顏色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格

時，游戲結(jié)束.記棋子跳到第〃格的概率為25=1,2,3,…,25）.

（1）甲在一次摸球中摸出紅球的個數(shù)記為X,求X的分布列和期望；

⑵證明：數(shù)列{￡一I-}（〃=2,3,…,24）為等比數(shù)列.

【答案】⑴分布列見解析；期望E（X）=1；（2）證明見解析；

【詳解】（1）根據(jù)題意可知，X的所有可能取值為0,1,2；

1

則P（x=o）=（）Cio

C廠10’=：「Sb*小

'5

可得X的分布列如下:

X012

133

P

10510

期望值為E（X）=0x\+lx|+2x±='

（2）依題意，當(dāng)3W〃W23時，棋子跳到第九格有兩種可能：

第一種，棋子先跳到第"-2格，再摸出兩球顏色不同；

第二種，棋子先跳到第n-l格，再摸出兩球顏色相同；

ce3

又可知摸出兩球顏色不同，即跳兩格的概率為姿=g,

c2+c22

摸出兩球顏色相同，即跳一格的概率為逐產(chǎn)=三；

32

因此可得與

393

所以只一射=-P?-2%=-”一「％），

p_p3

因此可得J

與T一與一23

即數(shù)列{月—4-}5=2,3,…,24）是公比為-1的等比數(shù)列.

22

18.（17分）焦點在x軸上的橢圓土+當(dāng)=1的左頂點為M,A（Xi，X）,B（x2,y2）,

4b

C（%3,%）為橢圓上不同三點，且當(dāng)O8=2OC時，直線MB和直線MC的斜率之積為

⑴求b的值；

⑵若Q4B的面積為1,求x；+石和y；+￡的值；

⑶在（2）的條件下，設(shè)A2的中點為D,求|8卜|旗|的最大值.

【答案】（1W=1（2）X：+X；=4,犬+￡=1；（3）|

【詳解】（1）因為OB=2OC，所以。，8，C三點共線，則必有點8和點C關(guān)于點0對稱，

所以%=-%,%=-%，設(shè)直線MB和直線MC的斜率分別為3B，kMc-

因為點M為橢圓的左頂點，所以M（-2,。）,

7%—0%—0二為

所以七

*3-(-2)七+2

%%=1

所以,^MC

九2+2七+24

所以(%2+2)(2一42)

4

所以號+4=1,所以廿=1,即人±1;

（2）設(shè)過A,2兩點的直線為/,

當(dāng)直線/的斜率不存在時，A8兩點關(guān)于x對稱，所以々=益，%=-%，

因為A（&yJ在橢圓上，所以手+才=1,又S0AB=1，

所以5M|2yJ=l,即|刈％|=1,結(jié)合今+"1可得㈤=也,聞=萬

此時為2+后=4,公+￡=1,所以=4；

%+%

當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)其方程為丁=履+機(jī)，m^O,

y=kx+m

聯(lián)立%2,消去y得(1+4左2)尤2+&tmx+4機(jī)2—4=。

—+y=i

其中A二（8加了一4（1+4左2）（4機(jī)2—4）=16（4%2—機(jī)2+i）＞（）①,

-Skm4m2-4

所以玉+9=------,X,X=-----z-

l+4k2?-1+442

4〃抬一加2+1

所以\AB\=J1+左2J(%+%2)~-4&%2=J1+左2-

l+4k2

\/fl\

因為。到直線/的距離d=

VI+v

所以5皿=。阿因=1，

所以;尸?2=1,整理的叱-2療+1=。，符合①式,

—8km84一8

此時,+%；=(%1+9)-2玉%2二

1+4左21+4左2

yf+yl=l_-^+12_=2-1=1；

1244

(3)因為4|0?！?恒呼=4+[^1AJ+(x「xJ+(月一%『

=2(片+x；+y：+y；)=10,

4\ODf+\ABf_

所以2|O￡)H陰W-5

即\OD\-\AB\<|,當(dāng)且僅當(dāng)2\OD\=\AB\=y/5時等號成立，

此時一Q鉆為直角三角形且ZAOB為直角，

12

故OAOB=XXX2+yxy2=玉龍？+(g+m)(kx2+in)=(\+k^xxx2+mk(^xi+x2)+m