2024屆新高考數(shù)學(xué)“8+4+4”小題期末狂練18 含解析

2024屆高三“8+4+4”小題期末沖刺練（18）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z滿足zi=2z-1（其中i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部的和為（）

1

A.-B.1C.-1D.-2

3

2

A=（xlx+5x-6>0）B=[x\x+l<0\A"

2.設(shè)集合tI/,t?，則（）

A.{%[X<—6或%>1}B.或%>1}

C.D.{印>1}

3.已知向量〃二（2,根），匕=（根+1,—1）,且若c=（2,l）,則.在c方向上的投影向量的坐

標(biāo)是（）

4.二項(xiàng)式的展開式中x4的系數(shù)與%6的系數(shù)之比為（）

A.6B.-6C.15D.-15

5.中國(guó)國(guó)家館，以城市發(fā)展中的中華智慧為主題，表現(xiàn)出了“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉(cāng)，富庶

百姓''的中國(guó)文化精神與氣質(zhì).如圖，現(xiàn)有一個(gè)與中國(guó)國(guó)家館結(jié)構(gòu)類似的正四棱臺(tái)

ABCD-^C.D.,上下底面的中心分別為。?和。，若AB=2A與=4,*43=60。，則正四

棱臺(tái)ABCD—44GR的體積為（）

6.已知函數(shù)/（x）=2cosx,xe[0,兀）的圖象與函數(shù)g（x）=3tanx的圖象交于4,3兩點(diǎn)，則OAB

（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為（

A-B.典C.4D.我

4422

7.一只蜜蜂從蜂房A出發(fā)向右爬，每次只能爬向右側(cè)相鄰的兩個(gè)蜂房（如圖），例如：從蜂房A只

能爬到1號(hào)或2號(hào)蜂房，從1號(hào)蜂房只能爬到2號(hào)或3號(hào)蜂房……以此類推，用an表示蜜蜂爬到〃號(hào)

蜂房的方法數(shù)，則。2022a2024-域）23=（）

8.已知“力是定義在R上的函數(shù)，且滿足〃3x—2）為偶函數(shù)，〃2x—1）為奇函數(shù)，則下列說法

一定正確的是（）.

A.函數(shù)“X）的圖象關(guān)于直線X=1對(duì)稱B,函數(shù)/（%）的周期為2

C.函數(shù)/（X）關(guān)于點(diǎn)（2,0）中心對(duì)稱D.7（2023）=0

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求,全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分.

9.某校對(duì)參加高校綜合評(píng)價(jià)測(cè)試的學(xué)生進(jìn)行模擬訓(xùn)練，從中抽出N名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布

B,平均分為72,眾數(shù)為75

C.中位數(shù)為75

D.已知該校共1000名學(xué)生參加模擬訓(xùn)練，則不低于90分的人數(shù)一定為50人

4151

10.已知a>0,b>0,且滿足“2—+—，b>-+—.則a?+〃的取值可以為（）

abba

A.10B.11C.12D.20

11.定義在R上的函數(shù)同時(shí)滿足:①—〃x）=2x+2,xeR；②xe[0』，|/（x）|wl,

則下列結(jié)論正確的是（）

A./（0）=-lB./（X）為偶函數(shù)

C.存在“eN*，使得/（"）>2023〃D.任意xeR,有|/（%）<國(guó)+尤2+3

12.如圖，正方體ABC。-的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)M是其側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界）,

點(diǎn)尸是線段CQ上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.存在點(diǎn)尸,使得二面角M—DC—P大小為專

B.存在點(diǎn)P,M,使得平面B.D.M與平面PBD平行

C.當(dāng)尸為棱CQ的中點(diǎn)且9=2夜時(shí)，則點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為1

D.當(dāng)加為4。中點(diǎn)時(shí)，四棱錐"-ABCD外接球的體積為包1巴

3

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，多空題，第一空2分，第二空3分，共20分.

13.已知非零向量a，》夾角為30。，,―W=2,1a—gb}b=0,則a等于.

41

14.已知x>-2,y>0,且x+2y=3,則-+丁的最小值為

x+22y

15.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在標(biāo)準(zhǔn)單位圓上，過點(diǎn)尸作圓C：（尤—4『+（'—3『=4的切線，切點(diǎn)

為Q，則\PQ\的最小值為.

16.已知函數(shù)/（%）=卜2+Q）COS%,若x=0是/（%）的極大值點(diǎn)，則0的取值范圍是

---------2024屆高三“8+4+4”小題期末沖刺練（18）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z滿足zi=2z-1（其中i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部的和為（）

B.1C.-1D.-2

【答案】A

【解析】設(shè)2=a+/(a,Z?eR),則［=。一加，

由zi=2Z-l，貝!1(。+歷)i=2(a—/)一1，

整理得(2a+b-1)-(26+a)i=O,

2

Cl———

2a+b-l=031

有《?八，解得〈，所以a+b=一,

2b+a=Q,13

b=——

3

即復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部之和為』.

3

故選：A

2

A=(xlx+5%-6>0)B=(x|x+l<0)4”

2.設(shè)集合IIJ,1則AD於()

A.或%>1}B.{%,<—1或％〉1}

C.{小<-6}D.{巾>1}

【答案】B

【解析】由不等式元2+5元一6=(九+6)(九一1)>0,可得x<-6或%>1,

即4.={4,<-6或%>1},

又由3={尤歸+1v0}={尤,<一1},

所以{%[%<-1或%>1}.

故選：B.

3.已知向量。二(2,根)，Z?=(m+1,-1),且〃_L。，若c=(2,l),則1在c方

4.

5.

6.

7.

8.向上的投影向量的坐標(biāo)是()

【答案】A

【解析】故2(根+1)-加=。，解得m=—2,所以。=(2,—2),

則a在c萬向上的投影向量為a?石c田c一_n2x2_2—xl.否(2,1)=葭f4，二2；、

故選：A.

4.二項(xiàng)式1%—工］的展開式中x4的系數(shù)與x6的系數(shù)之比為()

A.6B.-6C.15D.-15

【答案】B

［解析］由題設(shè)(+1=C"6f(_!)，=(_l)，C"6-2,，

所以含為4項(xiàng)為豈=(-1)'4%4=-6以,含以項(xiàng)為Z=(-1)°C/6=犬，,

則系數(shù)之比為-6.

故選：B

5.中國(guó)國(guó)家館，以城市發(fā)展中的中華智慧為主題，表現(xiàn)出了“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉(cāng)，富庶

百姓'’的中國(guó)文化精神與氣質(zhì).如圖，現(xiàn)有一個(gè)與中國(guó)國(guó)家館結(jié)構(gòu)類似的正四棱臺(tái)

ABCD-\BXCXDX,上下底面的中心分別為。|和。，若45=24與=4,945=60。，則正四

棱臺(tái)ABCD—44GR的體積為()

200D280,20^/6c28n

I.----------B.-----------C.----------D.----------

3333

【答案】B

【解析】因?yàn)锳BC?！狝4Goi是正四棱臺(tái)，45=24月=4,NAAB=60。，

側(cè)面以及對(duì)角面為等腰梯形，故M二zW-A與)“,AO二AC=?AB=2抗,

5cos22

歷I-----------------------------

4。=3,所以00]=小酒一(AO—AO])?=屈,

所以該四棱臺(tái)的體積為丫=200「(5加8+500。+JSABCDSABCDU—(16+4+8)=^^.

3]\ABCDrl|O]C-|￡/|AD\^L)A[力/3',3

故選：B.

6.已知函數(shù)/(x)=2cosx,xw[0,兀)的圖象與函數(shù)g(x)=3tanx的圖象交于兩點(diǎn)，則OAB

(。為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為()

“716n_71、A/3TC

A.—nB.--C.—D.--

4422

【答案】D

【解析】畫出函數(shù)〃x)=2cosx與g(x)=3tanx的圖象如圖所示，

由2cosx=3tanx,可得2cos2x=3sinx,^#2sin2x+3sinx-2=0>得sinx=—或sinx=-2

2

（舍去），又XG[0,7T],所以X=S或X=,.所以根據(jù)函數(shù)圖象的

對(duì)稱性可得AB的中點(diǎn)C,所以

SSS

AOAB=AOAC+AOCB='^OC-\yA\+^OC-\yB\=-^OC-\yA-yB\=2^=，

故選：D.

7.一只蜜蜂從蜂房A出發(fā)向右爬，每次只能爬向右側(cè)相鄰的兩個(gè)蜂房(如圖)，例如：從蜂房A只

能爬到1號(hào)或2號(hào)峰房，從1號(hào)蜂房只能爬到2號(hào)或3號(hào)蜂房……以此類推，用an表示蜜蜂爬到九號(hào)

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】A

【解析】q=l,a2=2,%=3,%=5,an+1=an+&,n>2^.

a；］=+a；a；+

"?2時(shí),anan+2-an(a?+1+??)-a^+l=anan+x一心=an+l(an-a?+1)

=a；—=一(4-14+1—a；).

%%—蠟=-1,故數(shù)列｛44+2-或1｝是以T為首項(xiàng)，-1為公比的等比數(shù)列.

^2022^2024—^2023=(一D乂(—1)=1,

故選：A.

8.已知/(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足了(3x—2)為偶函數(shù)，/(2尤—1)為奇函數(shù)，則下列說法

一定正確的是()

A.函數(shù)〃尤)的圖象關(guān)于直線1=1對(duì)稱B.函數(shù)“力的周期為2

C.函數(shù)/(%)關(guān)于點(diǎn)(2,0)中心對(duì)稱D.7(2023)=0

【答案】D

【解析】因?yàn)椤?%—2)為偶函數(shù),所以/(3x—2)=/(—3x—2),

所以2)=〃T—2),/(x)=/(-x-4),

所以函數(shù)/(%)關(guān)于直線尤=-2對(duì)稱，不能確定/(%)是否關(guān)于直線x=l對(duì)稱，A錯(cuò)誤；

因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以〃2x—1)=—/(—2x—1),

所以/(X—1)=—/(—x—1),所以/(x)=—/(—x—2),

所以函數(shù)“力關(guān)于點(diǎn)(—1,0)中心對(duì)稱，故C錯(cuò)誤，

由/(X)=/(—1一4)與/(%)=—/(一*-2)得/(一*一4)=一/(一工一2),即

/(x-4)=-/(%-2),

故/(尤—4)=/(無)，所以函數(shù)“X)的周期為4,故B錯(cuò)誤；

/(2023)=/(506x4-l)=/(-l)=0,故D正確.

故選：D.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求,全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分.

9.某校對(duì)參加高校綜合評(píng)價(jià)測(cè)試的學(xué)生進(jìn)行模擬訓(xùn)練，從中抽出N名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布

直方圖如圖所示.已知成績(jī)?cè)趨^(qū)間［90,100］內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為2人.貝U()

B,平均分為72,眾數(shù)為75

C.中位數(shù)為75

D.已知該校共1000名學(xué)生參加模擬訓(xùn)練，則不低于90分的人數(shù)一定為50人

【答案】AB

【解析】①由圖可知,f[4O.5O)~。。5,彳50,60)=1。九,[60,70)="2,

[70,80)=S3,彳80,90)=。25,彳90,100]=。。5,

由頻率之和為1可得10%=0.15,故x=0.015；

②因?yàn)樾??！?。。]=日=0?05,所以N=40；

③由圖可知，眾數(shù)為75；

④平均數(shù)為45x0.05+55x0.15+65x0.2+75x0.3+85x0.25+95x0.05=72；

⑤/40,50)+狐,60)+160,70)=04，所以中位數(shù)位于區(qū)間[70,80),

設(shè)中位數(shù)為a,則(a—70)x0.03=0.1,解得a=73.33；

綜上所述，AB正確，而C錯(cuò)誤；

樣本可以估計(jì)總體，但是不能通過樣本直接確定總體，樣本與總體之間總是存在一定的偏差，故選

項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：AB

4151

10.已知〃>0,b>0,且滿足。之—,b>—I—.則/+〃的取值可以為()

abba

A.10B.11C.12D.20

【答案】CD

4151

【解析】因?yàn)椤狥—,b>--{—，

abba

所以/24+q,b2>5+-,

ba

故4+/>4+^+5+—>9+2J---=11,

ba\ba

Z7/)(1h

當(dāng)/=4+上，/=5+一且—=—,而時(shí)/w/,即等號(hào)不能同時(shí)成立，

baba

所以儲(chǔ)+k>11，故AB錯(cuò)誤，CD正確.

故選：CD.

11.定義在R上的函數(shù)同時(shí)滿足:①/(x+1)—/(x)=2x+2,XGR；@XG[0,1],|/(x)|<l,

則下列結(jié)論正確的是()

A./(0)=-1

B.7(九)為偶函數(shù)

C.存在“eN*，使得/(〃)>2023〃

D.任意xeR,有|/(%)|<國(guó)+12+3

【答案】ACD

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?'(x+l)—〃x)=2x+2,

令x=0,則/⑴—/(0)=2,即/⑴=/(0)+2,

又因?yàn)閇〃x)歸1,Bp-l</(x)<l,

可知「避"即，"2二"1'解得/⑼一故人正確;

對(duì)于選項(xiàng)B：由選項(xiàng)A可得/(1)=/(。)+2=1

令4―I,則〃0)—/(—1)=。，即〃—1)=/(0)=—1,

可知/(—⑴，所以/(%)不為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?'(x+1)—y(x)=2x+2,且“eN*，

當(dāng)上2時(shí)，則/(〃)="(〃)—/5—1)]+[/(〃—1)一/(〃—2)]+…+"(2)_/(1)]+/⑴

(2〃+4)(〃—1)

=2〃+2〃—2H---1-4+1=-----------+1=/9+〃—1,

2

且/(1)=1符合上式，

所以“eN*，

令〃=2023，貝U/(2023)=20232+2022>2023x2023,

即存在“eN*，使得〃〃)>2023",故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：令g(x)=/(x)-%2-x,

則

g(x+l)_g(x)=y(x+l)-(x+l)2-(x+1)-[/(x)-x2-x]=/(x+l)-/(x)-2x-2=0

即g(x+l)=g(x),即g(x)是以1為周期的周期函數(shù)，

因?yàn)楫?dāng)xe[O,l],|/(X)|<1,則—犬―%閆/(刈+k2+乂<3,

結(jié)合周期性可知對(duì)任意xeR,均有|g(x)|?3,

所以，(X)=|g(x)+%2+x|w|g(x)+尤2+|%|<|%|+%2+3,故D正確；

故選：ACD.

12.如圖，正方體ABC。-A4GR的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)M是其側(cè)面ADD14上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(含邊界),

點(diǎn)尸是線段CG上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()

A.存在點(diǎn)尸,使得二面角〃—DC—P大小為專

B.存在點(diǎn)P,M,使得平面BRM與平面PBD平行

C.當(dāng)尸為棱Cq的中點(diǎn)且尸河=2夜時(shí)，則點(diǎn)加的軌跡長(zhǎng)度為年

D.當(dāng)M為4。中點(diǎn)時(shí)，四棱錐"-A5CD外接球的體積為舊互

3

【答案】BCD

【解析】在正方體ABCD-44GR中，可得CD±平面ADD^,

因?yàn)镸Du平面A。。1A，D2u平面ADDJA，所以,

71

所以二面角〃—DC—P的平面角為N/。，，其中NMD2G0,-,所以A錯(cuò)誤;

如圖所示，當(dāng)〃為A4中點(diǎn)，P為CQ中點(diǎn)時(shí)，

在正方體ABCD-44GR中，可得//BD,

因?yàn)橛茫?lt;Z平面5。。，且瓦）u平面3DP,所以四。"/平面5。。，

又因?yàn)镸BJIDP,且Mga平面且DPu平面所以加用//平面50P,

因?yàn)槎?。MB]=B],且與2，MB]u平面M3Q,所以平面5￡）P//平面M3Q,

所以B正確；

如圖所示，取。2中點(diǎn)E,連接？E,ME,PM,

在正方體ABCD—A4Goi中，CDJ_平面AD2A，豆CDIIPE,

所以PE,平面ADDiA，因?yàn)閂Eu平面AD2A，可得。E_LME,

則ME=>JPM2-PE2=7（2A/2）2-22=2，

則點(diǎn)M在側(cè)面A。2A內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡是以E為圓心、半徑為2的劣弧,

jr

分別交A￡),A2于加2，M，如圖所示，則/叫ED]=N監(jiān)

JTJT2冗

則/必勵(lì)6=—，劣弧陷“2的長(zhǎng)為一x2=一，所以C正確

333

當(dāng)/為4。中點(diǎn)時(shí)，可得4WD為等腰直角三角形，且平面A3CD1平面

連接AC與BE)交于點(diǎn)。，可得OM—0A=OB=0C-OD=A/2，

所以四棱錐M—ABCD外接球球心即為AC與5。的交點(diǎn)0,

所以四棱錐A6CD外接球的半徑為a,其外接球的體積為子x(0)3=豈?,

所以D錯(cuò)誤.

故選：BCD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，多空題，第一空2分，第二空3分，共20分.

13.已知非零向量4，〃夾角為30。，,―W=2,1a—gb}b=0,則a等于.

【答案】2

【解析】由(〃一；分〃=0,得=,即忖陣os30°=；W，得g,卜忖，

又卜一0二2,所以,一61=22,gpa-2|tz||z?|cos30°+b=4,

所以可=2.

故答案為：2

41

14.已知x>-2,y>0,且x+2y=3,則---+丁的最小值為

x+22y

9

【答案】-##1.8

【解析】由x>—2,y>。，可得％+2>0,

因?yàn)閤+2y=3,可得(x+2)