四川省2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期半期期中模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高二上半期模擬數(shù)學(xué)試卷

時(shí)間：120分鐘滿分：150分

一、選擇題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.

1.與°=（L3，—2）平行的一個(gè)向量的坐標(biāo)是（）

A.B.C［一指一!」］0,（四，一3,-20）

【答案】C

【解析】

【分析】

若向量6與向量a平行，則6=Xa，逐一驗(yàn)證選項(xiàng)即可.

【詳解】解：若向量6與向量3平行，則B=4a，a=（1,3,-2）,則方=（43%—2/1）

設(shè)向量8=（%y,z）,則x與＞符號(hào)相同，＞與z符號(hào)相反，所以可知A,B,D不成立，

113

選項(xiàng)C：若％=—,則工=—,y=—，z=l，故C正確.

222

故選：C.

2.圓（X+1）2+/=2的圓心到直線x—y+3=O的距離為（）

A.歷B.2C.2拒D.2拒

【答案】A

【解析】

【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式可得答案.

1—1—0+31

【詳解】圓心坐標(biāo)為（-1,0）,由點(diǎn)到直線的距離公式可知d==后,

故選：A.

3.在平行六面體A5CD—A4G2中，〃為AG與與R的交點(diǎn).AD=b，相=。，貝IJ下列向

量中與相等的向量是（）

1

B.—CLH----/7+C

22

「117n117

C.——a——b+cD.-a——b+c

2222

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的法則，對(duì)向量5M進(jìn)行表示即可.

【詳解】平行六面體ABC?！狝31G2中，

BM=BBi+B\M=朋+34口=AAl+^B1Al+B1C1^

=+—(5A+T4_Z))=c+~tz+Z?)———tz+—/?+c.

故選：A.

4.a=（-2,1,3）,人=（一1,2,1）,若a，（a—%。），則實(shí)數(shù)4值為（）

1414

A.2B.------C.—

35

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示求解.

【詳解】=（-2+2,1-22,3-2）,又a，（a—幾方），

:.a-(a-Ab)=-2(-2+2)+(1-22)+3(3-2)=14-72=0,?M2=2.

故選：A.

5.若圓C］：d+y2=i與圓Cz：(x—3)2+3—4)2=25—根外切，則機(jī)=()

A.9B.19C.21D.-11

【答案】A

【解析】

2

【分析】利用圓心距等于半徑之和求解.

【詳解】由題意可知圓C1的圓心為（0,0）,半徑為1,圓的半徑為（3,4）,半徑為425-加，則

j25-m+l=J（3-+（4-0）2=5，解得加=9.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查利用圓與圓的位置關(guān)系求參，較簡(jiǎn)單.解答圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，要靈活運(yùn)用圓心距與

半徑的和差關(guān)系.

6.“a=2”是“直線小ax_y+a=0與直線2%+（。_3）,+3。_1=0平行”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】先求出“直線4：以―y+a=。與直線小2x+（a—3）y+3a—1=0平行”的充要條件，再判斷

即可.

【詳解】由直線人以一y+a=0與直線4：2x+（a—3）y+3a—1=0平行得，

—=——H---，解得a=2.

2〃-33d—1

"a=2”是“直線4：ax_y+a=0與直線4：2%+（。―3）,+3。_]=0平行”的充要條件.

故選：C.

7.直線/經(jīng)過點(diǎn)尸（1廠1）和以"（-3,1）,N（3,2）為端點(diǎn)的線段相交，直線/斜率的取值范圍是（）

A.-oo,-|1D.—+8]

B.——,+coC._L2

I222J2I2jL2)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線的斜率公式，求出即M，即N，再結(jié)合圖象即可求解.

【詳解】...尸（1，T，加（—3,1）,N（3,2）,==

—j—1Z3—1Z

圖象如圖所示：

3

由圖可知，直線I的斜率k滿足kWkpM或kNkPN,

故直線/的斜率的取值范圍為1-8,-；3

U-,+cO

2

故選：D.

8.已知，在三棱柱力回一46K中，/447=/物(7=60°,平面4/%]_L平面/陽(yáng)AA尸AC=A8,則異面直

線/G與48所成角的余弦值為()

A&R近c(diǎn)近D&

3456

【答案】B

【解析】

【分析】令〃為/C的中點(diǎn)，以〃為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法得出所求夾角的余弦值.

【詳解】令〃為4C的中點(diǎn)，連接施，由題意知△/比是等邊三角形，所以刷LAG同理，A.MLAC,

因?yàn)槠矫?4T；_L平面/6G平面4/CGC平面冽仁平面/及;，所以酬1L平面4/CG,因?yàn)?此

平面4As,所以跳L4弘所以力4BM,4〃兩兩垂直，以〃為原點(diǎn)，"A,MB，肱4,的方向分別為x

軸，y軸，2軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)A4i=/C=/8=2,則/(I,0,0),8(0,百，0),4(0,0,6),G(—2,0,石)，所以AC】=(-3,

UUUUUUUUU命'=一字’故異面直線’a與

0,出),4B=(0,5—⑶,所以cos〈AC],A0

46所成角的余弦值為巫.

4

故選：B

4

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

9.下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有（）

A.若向量a，b與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則a〃6；

B.若非零向量a,b，c滿足Z?_Lc>則有a〃c；

C.若。4，OB,OC是空間的一組基底，且OD=goA+gQB+goC，則A,B,C,。四點(diǎn)共面；

11

D.若a，b>c是空間的一組基底，則向量a+b，b+c?c+a也是空間一組基底；

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量基本定理，能作為基底的向量一定是不共面的向量，由此分別分析判斷即可

【詳解】對(duì)于A,若向量a，b與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則可得向量a，b是共線向量，即a〃/?，

所以A正確，

對(duì)于B,若非零向量b,c滿足Me,則向量a與c不能確定，可能平行，所以B錯(cuò)誤，

對(duì)于C,若Q4，OB,0。是空間的一組基底，且。D=++則由空間向量基本定理

可得A,B,C,。四點(diǎn)共面，所以C正確，

對(duì)于D,因?yàn)椤?6，c是空間的一組基底，所以對(duì)于空間中的任意一個(gè)向量m，存在唯一的實(shí)數(shù)組（x,y,z）,

1

..--.x+y-z八y+z-x、x+z-y、一“二口i

m=xa+yb+zc=（za+b）+-——（zb7+c）H--------z（a+c）,所以向重a+b，b+c，

c+a也是空間一組基底，所以D正確，

故選：ACD

10.下列說法正確的是（）

A直線2（機(jī)+1卜+（加一3）丁+7-5加=0必過定點(diǎn)（1,3）

B.過點(diǎn)P（2,l）作圓必+:/=5的切線，切線方程為2x+y—5=0

C.經(jīng)過點(diǎn)P（l,l）,傾斜角為夕的直線方程為y—l=tan6（x—1）

D.直線2x—y—l=0在x軸上的截距為;，在y軸上的截距為1

【答案】AB

【解析】

5

njr

【分析】根據(jù)直線系的方程求解頂點(diǎn)即可判斷A；結(jié)合點(diǎn)在圓上求解切線判斷B；分。W—和6=—討論判

22

斷C；直接求解直線在坐標(biāo)軸上的交點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷D.

【詳角軍】解：對(duì)于A選項(xiàng)，2（m+l）x+（m-3）y+7-5m=（2x-3y+7）+m（2x+y-5）=0,

故直線2（帆+1）%+（加一3））+7—5加=0過2x-3y+7=0與2x+y—5=0的交點(diǎn)，

所以，聯(lián)立篇升5—0得尤=14=3，即直線2（m+1卜+（加一3）y+7-5加=0必過定點(diǎn)（1,3）,

故正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，點(diǎn)尸（2,1）在r+y2=5上，圓心為（0,0）,所以切線的斜率為左=—2,所以切線方程為

y-l=-2（x-2）,即2x+y—5=0,故正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，經(jīng)過點(diǎn)傾斜角夕力］時(shí)，直線方程為y—l=tan6（x—1）,當(dāng)，=］時(shí)，直線方程

為x=l,故錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，令x=0得y=—1,令丫=0得％=工，所以直線2x—y—1=0在x軸上的截距為;，在?

22

軸上的截距為-1,故錯(cuò)誤.

故選：AB

11.已知點(diǎn)P5,%）是直線l:x+y=4上的一點(diǎn),過點(diǎn)戶作圓O:好+/=2的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,

B,連接。4,OB,則（）

A.當(dāng)四邊形Q4P8為正方形時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（2,2）B.|R4|的取值范圍為［6,+co）

C.當(dāng).為等邊三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,2）D.直線AB過定點(diǎn)

【答案】CD

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，用1。尸1表示出切線長(zhǎng)判斷選項(xiàng)A,B,D；求出直線26的方程判斷D作答.

【詳解】依題意，貝U|PA|=J|OP|2一2,

當(dāng)點(diǎn)P（2,2）時(shí)，|OP|=2血，因止匕1PAi=的〉0=|。4］,顯然四邊形。4尸3不是正方形，A不正確；

因當(dāng)點(diǎn)P（2,2）時(shí)，|巳4|=指＜6,B不正確；

當(dāng)點(diǎn)P（2,2）時(shí)，|。尸|=2夜，在RtZkOAP中，ZOPA=3Q）即有NAP5=60°，又1以1=1「切，

6

因此為等邊三角形，此時(shí)直線0P斜率為1，有OP_L/,由垂足的唯一性知,

當(dāng)，R4B為等邊三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2),C正確；

設(shè)P(/,4-0,顯然點(diǎn)46在以8為直徑的圓x(x—/)+y(y—4+力=0上，又點(diǎn)48在圓0:/+>2=2

上，

于是得直線血的方程為：tt+(4-r)y-2=0,即(x—y)t+(4y—2)=0,直線AB過定點(diǎn)，D

正確.

故選：CD

12.如圖所示,在矩形ABCD中，=2,=1,￡為上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將_BEC沿BE折起至ABEF，

在平面咫4內(nèi)作FGIAB,G為垂足.設(shè)CE=s,BG=t,則下列說法正確的是()

2

B.若Ab,平面班F，則s=§

C.若平面班產(chǎn)，平面ABED，且s=l，則/=:

2

33

D.若平面AEBL平面ABED，且§=—，則t=-

24

【答案】AC

【解析】

【分析】對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證：

對(duì)于A：由吩，平面AE尸得到3尸，A77，在RtBGF中,解三角形即可求得；

對(duì)于B：由A/，平面BEF得到AF±BF,AF±EF,AF=6，在Rt^AEF中解三角形即可求得;

7

對(duì)于C：作FHLBE于H,可以證明A3工平面EBG,得到A3LHG,在等腰直角三角形中，

可以計(jì)算；

對(duì)于。:作FHLBE,垂足為H,可以判斷出C,"G三點(diǎn)共線，證明出RtCBG?Rt.ECB，利用四=三,

CBEC

可以求出t.

【詳解】對(duì)于A,若3尸，平面AEF，則5尸，AR,

在RtBGF中,AB=2,BF=BC=1,則=百,NAB尸=60°,

尸G是三角形的高，則t=36=3/0)560。=,所以A正確；

2

對(duì)于氏若”，平面5印，則有A尸，5尸,A尸，E尸，

則AR=G，在RfzXAEF中，AF2+EF2=AE2=AD2+DE2-

即(6)2+s2=(2—s)2+F,解得s=g,所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若平面5石歹_1平面ABED，作FH上BE,垂足為〃

因?yàn)槠矫鍮EFI平面A3石石，所以平面ABED，從而由LAB，

又AB工FG,所以A31平面FHG,從而A3LHG,

因?yàn)閟=l,所以在等腰直角三角形在3中，BH=—,

2

所以在等腰直角三角形3G//中，t=BG=-,所以C正確；

2

對(duì)于2,若平面平面ABED，平面AFBc平面AB即=AB，

又ABLRG,故平面ABED,

所以FGL3E,作FHLBE,垂足為〃，

8

從而有平面FGH,從而BELHG,從而有GH,G三點(diǎn)共線,

則NCGB+/GCB=90°,又ZEBC+ZGCB=90°,

故ZCGB=ZEBC,又Z.GBC=ZBCE=90°,

小BGCB

所以Rt_CBG~Rt_ECB,故——=—

CBEC

32

因?yàn)镃B=l,s=EC=—,所以f=BG=—,所以D錯(cuò)誤.

23

故選：AC.

【點(diǎn)睛】（1）立體幾何中的翻折（展開）問題截圖的關(guān)鍵是：翻折（展開）過程中的不變量;

（2）一般位置關(guān)系的證明用判定定理.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.直線y=瓜-1的傾斜角的大小是.

【答案】§##60

【解析】

【分析】由直線的斜率與傾斜角的關(guān)系可得tan6=豆，再求傾斜角即可.

【詳解】設(shè)直線的傾斜角為9,

由直線/的方程為：丁=瓜—1可得tan，=8，

又ee[0,?）,

TC

所以。=—,

3

故答案為：y.

9

14.已知向量a-(x,4,1),b—(—2,y,—1),c—(3,—2,z),且q〃/?,Z?J_c，則c=-

【答案】(3,—2,2)

【解析】

【分析】由已知利用向量平行的條件列式求解樂y,再由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求得z,可得答案.

【詳解】〃=(x,4,l),Z?=(-2,丁,一1),且“b,

???存在實(shí)數(shù)；I,使得a=4b，即(%4,l)=4(—2,y,—l),

x=—2A

「.<4=Ay,解得2=-l,%=2,y=-4,b=(-2,-4,-1),

1=-2

又。=(3,-2,z),且Z?_Lc,

丁.(一2)*3+(—4)x(—2)—z=0,即2=2,c=(3,—2,2).

故答案為：(3,-2,2).

15.在正方體ABC。-A4G2中，棱8片與平面AQG所成角的余弦值為.

【答案】亞

3

【解析】

【分析】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1,分別求出直線的方

向向量和平面的法向量，由線面角的公式代入即可得出答案.

【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1,

*1,1,0),4(LU),4(。，1，1)6(1，。，1)，

則84(0,0,1),設(shè)"=平面ABC，

4B=(i,o,-i)，Aq=(1-1,0),

C,IX=1

n-AB=Qx-z=0..、

則<八=>{'=1,所以“=(1,1,1),

n-AC.=0[x-y=0,v7

[z=]

棱BB[與平面A}BQ所成角為6,

10

BB]-n1C

所以sin6=

網(wǎng)一Q—3

則cos0=.

3

故答案為：亞.

16.點(diǎn)戶是直線2x+y+10=0上的動(dòng)點(diǎn)，直線PAPB與圓C；V+/—2x—3=0分別相切于46兩

點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)戶的坐標(biāo)為時(shí),切線段PA的長(zhǎng)度最短；四邊形B4CB面積的最小值為.

【答案】①.(-圣-?②.3炳##勺叵

155J55

【解析】

【分析】由陷=一=’歸仔一4，當(dāng)|PC|最短時(shí)|尸川的長(zhǎng)度最短，求出直線24的方程與聯(lián)

立可得解得「坐標(biāo)；

由四邊形SPACB=2sPAC=2j|PC『_4，當(dāng)\PC\最短時(shí)SPACB最小，可得SPACB的最小值.

【詳解】由(x—l『+y2=4得圓心C(l,0),半徑圓H=2,

因?yàn)閨P4|=—A?=^|pc|2-4，

所以當(dāng)|PC|最短時(shí)|PA|的長(zhǎng)度最短，

由圓心C做直線2x+y+10=0的垂線，垂足為p,此時(shí)|PC|最短，

所以直線24的斜率為方程為y=g(x—l),

11

19

y=/T)解得，x=----

5‘即「J卜亍19一二12)、

由，

12

2x+y+10=0》=—不

四邊形SPACB=2sPAC=\AC\X\PA\=2\PA\=2M2—|AC「=-4，

所以當(dāng)|PC|最短時(shí)SPACB最小，由圓心C到直線2x+y+10=0的距離為

明|二"鴛度

5

2

所以SPACB的最小值為2^PC|-4=2^*—4=［而？.

(1912}4/—

故答案為：一工,一三卜—V155.

I5575

四、解答題：本題共6個(gè)小題，17題10分，其余各題均為12分，共70分.應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或

證明過程.

17.在平面直角坐標(biāo)系中，已知△/8C的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4(—3,0),B(2,1),以一2,3).

(1)求及7邊所在直線的一般方程；

(2)求寬邊的垂直平分線龐所在直線的一般方程.

【答案】(1)x+2y—4=0

(2)2x—y+2=0

【解析】

【分析】(1)利用直線的兩點(diǎn)式方程可得答案；

(2)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到，的坐標(biāo)，利用直線固與直線應(yīng)垂直得"的斜率，再利用直線點(diǎn)斜式方程可

得答案.

【小問1詳解】

因?yàn)橹本€勿經(jīng)過6(2,1)和。(一2,3)兩點(diǎn)，

12

由兩點(diǎn)式得優(yōu)的方程為上口x-2

3-1-2-2

即x+2y—4=0.

【小問2詳解】

設(shè)6c邊的中點(diǎn)，的坐標(biāo)為（x,力,

2-21+3

則x=------=0,y=—=2,

22

點(diǎn)，的坐標(biāo)為（0,2）,

由（1）知，直線8c的斜率!

2

則比的垂直平分線瓦'的斜率匕=2,

由點(diǎn)斜式得直線龍的方程為y—2=2（x—0）,

即2x—y+2—0.

18.如圖，在正方體ABC?！狝4G〃中，￡為8瓦的中點(diǎn).

（II）求直線A4與平面所成角的正弦值.

2

【答案】（I）證明見解析；（II）

【解析】

【分析】（I）證明出四邊形ABC。I為平行四邊形，可得出BCJIAD,,然后利用線面平行的判定定理可

證得結(jié)論；也可利用空間向量計(jì)算證明；

（II）可以將平面擴(kuò)展，將線面角轉(zhuǎn)化，利用幾何方法作出線面角，然后計(jì)算；也可以建立空間直角坐標(biāo)

13

系，利用空間向量計(jì)算求解.

【詳解】（I）［方法一］:幾何法

如下圖所示:

在正方體ABCD-A4G2中，ABH%B\且AB=A與，4旦〃GQ且=GD,

43〃G2且A3=G。］,所以，四邊形A3GA為平行四邊形，貝

BG(Z平面AD]E,AD]U平面AD|E,.1BG〃平面AD]E；

［方法二］:空間向量坐標(biāo)法

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD>AB，AA所在直線分別為x、>、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系

設(shè)正方體—4與。出的棱長(zhǎng)為2,則4（0,0,0）、A（0,0,2）,。（2,0,2）、￡（0,2,1）,

AD1=（2,0,2）,AE=（O,2,l）,

14

n-AD,-02x+2z=0

得《

設(shè)平面ADXE的法向量為n=(x,%z)由

n?AE=0[2y+z=Q

令z=—2,則尤=2,y=l,則”=（2,L—2）.

又；向量BQ=(2,0,2),BC1.?=2x2+0xl+2x(-2)=0,

又,8。］＜2平面4。］￡,，5。1//平面4，￡；

(II)［方法一］:幾何法

延長(zhǎng)CG到使得CZ=BE,連接斯，交4G于G,

又?:CXF//BE,.?.四邊形BEFG為平行四邊形，BCJ/EF,

又?/BCJIAD],AD]/!EF,所以平面ADjE即平面AD.FE,

連接RG,作QH1"G,垂足為H,連接FH,

1.?FC11平面片用和",D.Gu平面A4G2，,FQ1Dfi,

又?:FC】nCXH=G,/.直線DXG±平面QFH,

又,:直線2Gu平面D［GF，工平面DXGF1平面CXFH,

G在平面DfiF中的射影在直線FH上，；.直線FH為直線尸G在平面RGF中的射影，ZC.FH為直

線產(chǎn)G與平面DGF所成的角，

根據(jù)直線FC,//直線A4,可知/CXFH為直線A4與平面AD.G所成的角.

2x1_2

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則GG=C1F=1,D[G=A/5,C[H=

sin4切=必=2,

FH3

2

即直線Ad與平面A2石所成角的正弦值為1.

15

接續(xù)（I）的向量方法，求得平面平面石的法向量〃二（2,1,-2）,

/、44"?A442

又M=（0,0,2）cos<〃,AA>=卬網(wǎng)1.而一，

直線A4與平面ADXE所成角的正弦值為|.

[方法三]:幾何法+體積法

如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為凡延長(zhǎng)4與,4￡,，/，易證三線交于一點(diǎn)R

因g,EF〃

所以直線A4與平面AD.E所成的角，即直線B{E與平面PEF所成的角.

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,在！。斯中，易得PE=PF=下,EF=也，

3

可得S.EF=].

1311.

由咚棱鴨-PEF=咚棱觸-片EF，得§*5,B[H=-x—xlxlx2,

2

整理得BtH=-.

.B1H2

所以smN耳E〃=千方=1.

j

2

所以直線Ad與平面AD{E所成角的正弦值為-.

16

［方法四］:純體積法

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)A到平面AEDi的距離為h,

在△AED］中，回=非,仙=2無加=3,

2D.E-AE2x3xV55

所以sinNAED[=，易得SAEO,=3.

114

VV5=Sh

由E-AAXDX=Ai-AEDi-得§皿A,A1~AEDt''解得'§

.Ch2

設(shè)直線AA與平面AEP所成的角為°,所以sm"有=§.

【整體點(diǎn)評(píng)】(I)的方法一使用線面平行的判定定理證明，方法二使用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行證明；

(II)第一種方法中使用純幾何方法，適合于沒有學(xué)習(xí)空間向量之前的方法，有利用培養(yǎng)學(xué)生的集合論證

和空間想象能力，第二種方法使用空間向量方法，兩小題前后連貫，利用計(jì)算論證和求解，定為最優(yōu)解法；

方法三在幾何法的基礎(chǔ)上綜合使用體積方法，計(jì)算較為簡(jiǎn)潔；方法四不作任何輔助線，僅利用正余弦定理

和體積公式進(jìn)行計(jì)算，省卻了輔助線和幾何的論證，不失為一種優(yōu)美的方法.

19.直線x—y=O與圓C：(尤-I)?+(y-3)2=9相交于兩點(diǎn).

(1)求弦長(zhǎng)|AB|；

(2)求過點(diǎn)P(4,-3)且與圓C相切的直線方程.

【答案】(1)2A/7

(2)3%+4y=0或％=4

17

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意可得圓心坐標(biāo)和半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心c到直線x-y=o的距離，

結(jié)合勾股定理求出弦長(zhǎng)的一半，進(jìn)而得出弦長(zhǎng)；

(2)切線的斜率左不存在，易知方程為x=4；當(dāng)切線斜率左存在，設(shè)切線為y+3=妖尤-4),利用點(diǎn)到

直線的距離公式求出圓心C到直線的距離等于半徑，列出方程，解出A,結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程求解即可.

【小問1詳解】

由題意知,圓心C(l，3),半徑7=3,

|1-3|「

所以圓心C到直線x—y=0的距離為=J2,

所以==布,所以|AB|=2?；

【小問2詳解】

當(dāng)切線的斜率左不存在時(shí)，因?yàn)檫^點(diǎn)。(4,—3),其方程為x=4,

圓心到直線的距離為I4-11=3,滿足題意；

當(dāng)切線斜率上存在時(shí)，設(shè)切線為y+3=%(尤—4),即辰-y-3-4左=0,

IZ-3-3-4kI3

?圓心。(1,3),半徑度=3,J—不—=3,解得左=——.

>Jk2+14

3

,切線方程為y+3=(x—4),即3x+4y=0.

4

故切線方程為3%+4丁=0或%=4.

20.已知圓。過點(diǎn)4(6,0),3(1,5),,且圓心在直線/:2x—7y+8=0上.

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)。(0,5)且斜率為左的直線/與圓。有兩個(gè)不同的交點(diǎn)”,N,若OM-ON=30,其中。為坐標(biāo)原

點(diǎn)，求直線/的方程.

【答案】⑴(x-3)2+(y-2)2=13

(2)y=5

【解析】

18

【分析】(1)設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將A,6兩點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的方程，圓心坐標(biāo)代入直線方程，解出三個(gè)。，員廠

參數(shù)，即可求出圓的方程；

(2)根據(jù)條件設(shè)出直線/的方程，消去y得到關(guān)于X的一元二次方程，將韋達(dá)定理的表達(dá)式代入OM.ON=30,

解出左的值，分別判斷是否滿足A〉。，從而得出直線方程.

【小問1詳解】

設(shè)所求圓的方程為(x-?)2+(y-Z>)2=r2,

(6-萬+(0-為2=/

CL—3

則由題可得：《+(5—6)2=/，解得：b=2

2a-76+8=0(產(chǎn)=13

故所求圓C方程為(x—3y+(y—2)2=13.

【小問2詳解】

由題設(shè)，可知直線/的方程為丁=丘+5.

代入方程(x—3)2+(y—2產(chǎn)=13,整理得(1+k2)%2—6(1—左)x+5=0,

設(shè)M{xi,yx\N{x2,y2),

曰6（1—左）5

）AXi+x2=___,%尤2=讖，

OMON=+%%=+（G+5）（AX2+5）

=（1+公）x/2+5k5+/）+25=3。］管）+30

由題設(shè)可得當(dāng)M+3°=3。，解得I或左=0,

經(jīng)檢驗(yàn)k=l不滿足A=[-6（1-左）]2—4?（1+左2）不>0

k=Q滿足A=［-6（1-左）］2-4.（l+F）-5>0

所以/的方程為y=5.

21.如圖，在四棱錐P—ABCZ)中，為，平面Za〃ADVCD,AD//BC,P歸AACA2,%=3.￡為如的中點(diǎn),

PF1

點(diǎn)尸在PC上,且=—.

PC3

19

p

(1)求證："_L平面處〃；

(2)求二面角F-AE-P余弦值.

【答案】(1)證明見解析；

⑵亙

3

【解析】

【分析】(1)根據(jù)給定條件證明即可推理作答.

(2)在平面ABCD內(nèi)過/作AM//CD,以點(diǎn)/為原點(diǎn)，射線陽(yáng)必的分別為x,y,z軸非負(fù)軸建立坐

標(biāo)系，借助空間向量計(jì)算作答.

【小問1詳解】

在四棱錐P—A3CQ中，上4_1_平面A3CD,而CDu平面A3CD,則

因AD，C￡>,ADr>PA=A,AD,PAu平面,

所以CD,平面PAD.

【小問2詳解】

在平面A3CD內(nèi)過/作AM//CD交寬于點(diǎn)四由(1)知，AM,AD,AP兩兩垂直，

以點(diǎn)/為原點(diǎn)，射線AM,AD,A尸分別為蒼y,z軸非負(fù)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

依題意，PC=3PF，則40,0,0),40,1,1),尸(