高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第六章不等式推理與證明第31講不等關(guān)系與不等式課時(shí)達(dá)標(biāo)文含解析新人教A版

第31講不等關(guān)系與不等式課時(shí)達(dá)標(biāo)一、選擇題1．設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則“a<eq\f(1,b)或b<eq\f(1,a)”是“0<ab<1”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件D解析可通過(guò)舉反例說(shuō)明，當(dāng)a＝b＝－10時(shí)，a＜eq\f(1,b)，b＜eq\f(1,a)，但ab＝100＞1，所以不是充分條件；反之，當(dāng)a＝－1，b＝－eq\f(1,2)時(shí)，0＜ab＜1，但a＞eq\f(1,b)，b＞eq\f(1,a)，所以不是必要條件．綜上可知“a＜eq\f(1,b)或b＜eq\f(1,a)”是“0＜ab＜1”的既不充分也不必要條件．2．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則下列結(jié)論不正確的是()A．a(chǎn)2<b2 B．a(chǎn)b<b2C．a(chǎn)＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b|D解析令a＝－1，b＝－2，代入選項(xiàng)驗(yàn)證可知D項(xiàng)錯(cuò)誤．3．已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，則a，bA．c≥b＞a B．a(chǎn)＞c≥bC．c＞b＞a D．a(chǎn)＞c＞bA解析因?yàn)閏－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，所以c≥b.又b＋c＝6－4a＋3a2，所以2b＝2＋2a2，所以b＝a2＋1，所以b－a＝a2－a＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)＞0，所以b＞a，所以c≥b＞a.4．(2019·江西七校聯(lián)考)設(shè)0＜a＜b＜1，則下列不等式成立的是()A．a(chǎn)3＞b3 B.eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)C．a(chǎn)b＞1 D．lg(b－a)＜0D解析取a＝eq\f(1,3)，b＝eq\f(1,2)，可知A，B，C項(xiàng)錯(cuò)誤．故選D.5．設(shè)α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，那么2α－eq\f(β,3)的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,6))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))C．(0，π) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，π))D解析由題設(shè)得0＜2α＜π，0≤eq\f(β,3)≤eq\f(π,6)，所以－eq\f(π,6)≤－eq\f(β,3)≤0，所以－eq\f(π,6)＜2α－eq\f(β,3)＜π.6．已知0＜c＜1,1＞a＞b＞0，下列不等式成立的是()A．ca＞cb B.eq\f(a,a＋c)＜eq\f(b,b＋c)C．bac＞abc D．logac＞logbcD解析對(duì)于A項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)y＝cx，因?yàn)?<c<1，故函數(shù)是減函數(shù)，a>b>0，根據(jù)單調(diào)性得知ca<cb，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，eq\f(a,a＋c)<eq\f(b,b＋c)，兩邊取倒數(shù)得eq\f(a＋c,a)＝1＋eq\f(c,a)，eq\f(b＋c,b)＝1＋eq\f(c,b)，因?yàn)?<c<1,1>a>b>0，故eq\f(c,a)<eq\f(c,b)?eq\f(a＋c,a)<eq\f(b＋c,b)，取倒數(shù)得eq\f(a,a＋c)>eq\f(b,b＋c)，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，eq\f(bac,abc)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))c－1，因?yàn)?<c＜1，1＞a＞b＞0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))c－1＜1，整理得bac＜abc，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，由條件和結(jié)論知logac>0，logbc>0，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的換底公式，則有eq\f(1,logca)>eq\f(1,logcb)?logac>logbc，故D項(xiàng)正確．故選D.二、填空題7．(2018·北京卷)能說(shuō)明“若a＞b，則eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)”為假命題的一組a，b的值依次為________．解析取a＝1＞b＝－1，則eq\f(1,a)＝1＜eq\f(1,b)＝－1不成立．答案1，－1(答案不唯一)8．若－1<a＋b<3,2<a－b<4，則2a＋3b解析設(shè)2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,x－y＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,2)，,y＝－\f(1,2).))又因?yàn)椋璭q\f(5,2)＜eq\f(5,2)(a＋b)＜eq\f(15,2)，－2＜－eq\f(1,2)(a－b)＜－1，所以－eq\f(9,2)＜eq\f(5,2)(a＋b)－eq\f(1,2)(a－b)＜eq\f(13,2)，即－eq\f(9,2)＜2a＋3b＜eq\f(13,2).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)，\f(13,2)))9．已知下列結(jié)論：①若a>|b|，則a2>b2；②若a>b，則eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；③若a>b，則a3>b3；④若a<0，－1<b<0，則ab2>a.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．解析對(duì)于①，因?yàn)閍＞|b|≥0，所以a2＞b2，即①正確；對(duì)于②，當(dāng)a＝2，b＝－1時(shí)，顯然不正確；對(duì)于③，顯然正確；對(duì)于④，因?yàn)閍＜0，－1＜b＜0，ab2－a＝a(b2－1)＞0，所以ab2＞a，即④正確．答案①③④三、解答題10．若實(shí)數(shù)a≠1，比較a＋2與eq\f(3,1－a)的大?。馕鲆?yàn)閍＋2－eq\f(3,1－a)＝eq\f(－a2－a－1,1－a)＝eq\f(a2＋a＋1,a－1)，所以當(dāng)a＞1時(shí)，a＋2＞eq\f(3,1－a)；當(dāng)a＜1時(shí)，a＋2＜eq\f(3,1－a).11．若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0.求證：eq\f(e,a－c2)＞eq\f(e,b－d2).證明因?yàn)閏＜d＜0，所以－c＞－d＞0，又因?yàn)閍＞b＞0，所以a－c＞b－d＞0.所以(a－c)2＞(b－d)2＞0.所以0＜eq\f(1,a－c2)＜eq\f(1,b－d2).又因?yàn)閑＜0，所以eq\f(e,a－c2)＞eq\f(e,b－d2).12．已知x，y為正實(shí)數(shù)，滿足1≤lg(xy)≤2,3≤lgeq\f(x,y)≤4，求lg(x4y2)的取值范圍．解析設(shè)a＝lgx，b＝lgy，則lg(xy)＝a＋b，lgeq\f(x,y)＝a－b，lg(x4y2)＝4a＋2b.設(shè)4a＋2b＝m(a＋b)＋n(a－b)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4，,m－n＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝1.))所以lg(x4y2)＝3lg(xy)＋lgeq\f(x,y).因?yàn)?≤3lg(xy)≤6,3≤lgeq\f(x,y)≤4，所以6≤lg(x4y2)≤10，即lg(x4y2)的取值范圍是[6,10]．13．[選做題](2019·武漢二中檢測(cè))若a＞b＞0，給出以下幾個(gè)不等式：①eq\f(b,a)＜eq\f(b＋5,a＋5)；②lgeq\f(a＋b,2)＜eq\f(lga＋lgb,2)；③a＋eq\f(1,b)＞b＋eq\f(1,a)；④eq\r(a)－eq\r(b)＞eq\r(a－b).其中正確的是________(請(qǐng)?zhí)顚懰姓_的序號(hào))．解析對(duì)于①，eq\f(b,a)－eq\f(b＋5,a＋5)＝eq\f(ba＋5－ab＋5,aa＋5)＝eq\f(5b－a,aa＋5)＜0，所以eq\f(b,a)＜eq\f(b＋5,a＋5)，①正確；對(duì)于②，因?yàn)閑q\f(a＋b,2)＞eq\r(ab)，所以lgeq\f(a＋b,2)＞lgeq\r(ab)＝eq\f(1,2)(lga＋lgb)，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，因?yàn)閍＞b＞0，所以0＜eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，所以