2022-2023學(xué)年新疆維吾爾自治區(qū)高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1新疆維吾爾自治區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘）考生須知：1．本試卷分試題卷和答題卡兩部分，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡的相應(yīng)位置.2．作答選擇題時(shí)，選出正確〖答案〗后，用鉛筆符答題卡上對(duì)應(yīng)題目的字母涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他字母，在試題卷上作答無(wú)效.3．作答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫在答題卡上，在試題卷上作答無(wú)效.4．考試結(jié)束后，將試題卷和答題十一并交回.一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故選：D.2.已知向量，且，則x＝（）.A.8 B.2 C.4 D.〖答案〗A〖解析〗由題意得：，解得：.故選：A3.已知，為兩條不同的直線，，，為三個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，，則B.若，，，，則C.若，且，則D.若，，，則〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A，若，，則或相交或?yàn)楫惷嬷本€，因此A不正確；對(duì)于B，若，，，，則與相交或平行，因此B不正確；對(duì)于C，若，且，則與必垂直，因此C正確；對(duì)于D，若，，，則與位置關(guān)系不確定，因此D不正確．故選：C．4.若一個(gè)圓錐的底面面積為，其側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)該圓錐的底面半徑為r,則，所以該圓錐的底面半徑，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，則，即，則圓錐的高為，因此該圓錐的體積，故選:B5.某高中共有學(xué)生1800人，其中高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)比為16：15：14，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校所有學(xué)生中抽取一個(gè)容量為90的樣本，則高二年級(jí)應(yīng)該抽取的人數(shù)為（）A.28 B.30 C.32 D.36〖答案〗B〖解析〗高二年級(jí)應(yīng)該抽取人，故選:B6.某校高一學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，隨機(jī)抽取名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)，繪制莖葉圖如圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別為（）A.， B.， C.， D.，〖答案〗D〖解析〗由莖葉圖知：數(shù)據(jù)為、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，因此，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，中位數(shù)為.故選：D.7.已知兩個(gè)力，的夾角為，它們的合力大小為10N，合力與的夾角為，那么的大小為（）A.N B.5N C.N D.10N〖答案〗A〖解析〗因?yàn)閮蓚€(gè)力，的夾角為，所以，又因?yàn)樗鼈兊暮狭Υ笮?0N，合力與的夾角為，設(shè)合力與的夾角為，所以，解得.故選：A.8.如圖，向量，，，則向量可以表示為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，故選：C.二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有錯(cuò)誤選項(xiàng)的得0分．）9.下列說(shuō)法正確的是（）A.用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從含有50個(gè)個(gè)體總體中抽取一個(gè)容量為10的樣本，個(gè)體被抽到的概率是0.2B.已知一組數(shù)據(jù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的方差是5C.數(shù)據(jù)27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位數(shù)是17D.若樣本數(shù)據(jù)，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為16〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A，一個(gè)總體含有50個(gè)個(gè)體，某個(gè)個(gè)體被抽到的概率為，以簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式從該總體中抽取一個(gè)容量為10的樣本，則指定的某個(gè)個(gè)體被抽到的概率為，故A正確；對(duì)于B，數(shù)據(jù)1，2，，6，7的平均數(shù)是4，，這組數(shù)據(jù)的方差是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，8個(gè)數(shù)據(jù)50百分為，第50百分位數(shù)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，依題意，，則，所以數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為16，D正確；故選：AD.10.已知中，其內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c下列命題正確的有（）A.若，則B.若，，則外接圓半徑為10C.若，則為等腰三角形D.若，，，則〖答案〗ACD〖解析〗因?yàn)锳＞B，所以a＞b，由正弦定理，可得，即，A正確；由正弦定理可知，所以外接圓半徑為5，B不正確；因?yàn)?，所以，即，整理可得，即，因?yàn)闉槿切蔚膬?nèi)角，所以，即為等腰三角形，C正確；因?yàn)椋?，，所以，D正確.故選：ACD.11.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，且為復(fù)平面內(nèi)的原點(diǎn)，則（）A.B在第一象限 B.A與關(guān)于對(duì)稱C.為鈍角 D.〖答案〗ABD〖解析〗依題意可得，對(duì)于A，B在第一象限，故A正確；對(duì)于B，A與關(guān)于對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，，所以不是鈍角，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以，故D正確.故選：ABD.12.在正方體中，分別為的中點(diǎn)，則（）A.與異面 B.與所成的角為C.與異面 D.與所成的角為〖答案〗AD〖解析〗如圖，在正方體中，分別為的中點(diǎn)，對(duì)于A，與異面，故A正確；對(duì)于B，與所成的角為，又，所以與所成的角為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得與共面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，與所成的角為，又，所以與所成的角為.故D正確；故選：AD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把〖答案〗填在答題卡的相應(yīng)位置．）13.平面向量與的夾角為，，，則__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋?，與的夾角為所以所以故〖答案〗為：14.已知圓心角為的扇形面積為，則由它圍成的圓錐的母線與底面所成角的余弦值等于__________．〖答案〗〖解析〗依題意，弧長(zhǎng)為，所以圓錐的底面半徑為，所以扇形圍成的圓錐的母線與底面所成角的余弦值等于.故〖答案〗為：15.袋子中有四個(gè)小球，分別寫有“中?華?民?族”四個(gè)字，有放回地從中任取一個(gè)小球，直到“中”“華”兩個(gè)字都取到才停止.用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)恰好抽取三次停止的概率，利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生0到3之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，分別用代表“中?華?民?族”這四個(gè)字，以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，表示取球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù)：由此可以估計(jì)，恰好抽取三次就停止的概率為_(kāi)___________.〖答案〗〖解析〗由隨機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)可知恰好抽取三次就停止的有，共4組隨機(jī)數(shù)，所以恰好抽取三次就停止的概率約為，故〖答案〗為：16.正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為2，點(diǎn)都在同一球面上，則此球的體積為_(kāi)__________.〖答案〗〖解析〗正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為2,點(diǎn)都在同一球面上,該球的球心恰好為底面的中心,球的半徑,此球的體積為.故〖答案〗為：四、解答題（本大題共6題，第17題10分，其余各小題每題12分，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．）17.已知復(fù)數(shù)（1）若z為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第二象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：（1）因?yàn)榧兲摂?shù)的實(shí)部為零，虛部不為零可得：故〖答案〗為：1.（2）易知z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則故〖答案〗為：18.新高考取消文理分科，采用選科模式，這賦予了學(xué)生充分的自由選擇權(quán)．新高考地區(qū)某校為了解本校高一年級(jí)將來(lái)高考選考?xì)v史的情況，隨機(jī)選取了100名高一學(xué)生，將他們某次歷史測(cè)試成績(jī)（滿分100分）按照，，，，分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求圖中a的值并估計(jì)這100名學(xué)生本次歷史測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)．（2）據(jù)調(diào)查，本次歷史測(cè)試成績(jī)不低于60分的學(xué)生，高考將選考?xì)v史科目；成績(jī)低于60分的學(xué)生，高考將不選考?xì)v史科目．按分層抽樣的方法從測(cè)試成績(jī)?cè)冢膶W(xué)生中選取5人，再?gòu)倪@5人中任意選取2人，求這2人中至少有1人高考選考?xì)v史科目的概率．解：（1），解得設(shè)中位數(shù)為x，因?yàn)閷W(xué)生成績(jī)?cè)诘念l率為，在的頻率為所以中位數(shù)滿足等式，解得故這100名學(xué)生本次歷史測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)為.（2）成績(jī)?cè)诘念l數(shù)為成績(jī)?cè)诘念l數(shù)為按分層抽樣的方法選取5人，則成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生被抽取人，在的學(xué)生被抽取人從這5人中任意選取2人，都不選考?xì)v史科目的概率為，故這2人中至少有1人高考選考?xì)v史科目的概率為.19.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）證明：平面;（2）求三棱錐外接球的表面積．（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，平面，平面，因此，平面；（2）解：將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，如下圖所示：則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為，所以，三棱錐外接球半徑為，因此，三棱錐外接球表面積為.20.甲、乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽，采取“三局兩勝”制，即兩人比賽過(guò)程中，誰(shuí)先勝兩局即結(jié)束比賽，先勝兩局的是勝方，另一方是敗方.根據(jù)以往的數(shù)據(jù)分析，每局比賽甲勝乙的概率均為，甲、乙比賽沒(méi)有平局，且每局比賽是相互獨(dú)立的.（1）求比賽恰進(jìn)行兩局就結(jié)束的概率；（2）求這場(chǎng)比賽甲獲勝概率.解：（1）比賽恰進(jìn)行兩局就結(jié)束對(duì)應(yīng)的事件A有兩種可能，事件：甲勝乙，事件：乙勝甲.，，.（2）這場(chǎng)比賽甲獲勝對(duì)應(yīng)的事件B有兩種可能，事件：比賽兩局結(jié)束且甲獲勝；事件：比賽三局結(jié)束且甲獲勝.，，∴.21.在①；②兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問(wèn)題中，并給出解答.在中，角的對(duì)邊分別為，___________.（1）若，求A；（2）已知，求的面積.解：（1）選①因?yàn)椋?，由正弦定理可得，即，由于在中，從而或，因?yàn)?，故舍去，所以；選②因?yàn)?，所以，即，由正弦定理可得，即，由于在中，，從而，因，所?（2）若選①，由以上解答可知，或，因?yàn)?，故不合題意，所以，則，由余弦定理，可得，解得，因?yàn)?，所以，從而的面積為.若選②，由（1）解答可知，，則，由余弦定理，可得，解得，因?yàn)椋?，從而的面積為.22.如圖，在四棱錐中，平面，是正方形，是中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且.（1）證明平面；（2）若，求平面與平面所成二面角的正弦值.（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面，故可得；設(shè)底面正方形的邊長(zhǎng)為4，故可得，，，故在中，滿足，故可得；又平面，且，則平面，即證.（2）解：因?yàn)槠矫?平面，故可得，又底面為正方形，故可得，故以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示：設(shè)，故可得設(shè)平面的法向量為，則，則取，則.不妨取平面的法向量.則.設(shè)平面與平面所成二面角的平面為，則.即平面與平面所成二面角的正弦值為.新疆維吾爾自治區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘）考生須知：1．本試卷分試題卷和答題卡兩部分，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡的相應(yīng)位置.2．作答選擇題時(shí)，選出正確〖答案〗后，用鉛筆符答題卡上對(duì)應(yīng)題目的字母涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他字母，在試題卷上作答無(wú)效.3．作答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫在答題卡上，在試題卷上作答無(wú)效.4．考試結(jié)束后，將試題卷和答題十一并交回.一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故選：D.2.已知向量，且，則x＝（）.A.8 B.2 C.4 D.〖答案〗A〖解析〗由題意得：，解得：.故選：A3.已知，為兩條不同的直線，，，為三個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，，則B.若，，，，則C.若，且，則D.若，，，則〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A，若，，則或相交或?yàn)楫惷嬷本€，因此A不正確；對(duì)于B，若，，，，則與相交或平行，因此B不正確；對(duì)于C，若，且，則與必垂直，因此C正確；對(duì)于D，若，，，則與位置關(guān)系不確定，因此D不正確．故選：C．4.若一個(gè)圓錐的底面面積為，其側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)該圓錐的底面半徑為r,則，所以該圓錐的底面半徑，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，則，即，則圓錐的高為，因此該圓錐的體積，故選:B5.某高中共有學(xué)生1800人，其中高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)比為16：15：14，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校所有學(xué)生中抽取一個(gè)容量為90的樣本，則高二年級(jí)應(yīng)該抽取的人數(shù)為（）A.28 B.30 C.32 D.36〖答案〗B〖解析〗高二年級(jí)應(yīng)該抽取人，故選:B6.某校高一學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，隨機(jī)抽取名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)，繪制莖葉圖如圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別為（）A.， B.， C.， D.，〖答案〗D〖解析〗由莖葉圖知：數(shù)據(jù)為、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，因此，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，中位數(shù)為.故選：D.7.已知兩個(gè)力，的夾角為，它們的合力大小為10N，合力與的夾角為，那么的大小為（）A.N B.5N C.N D.10N〖答案〗A〖解析〗因?yàn)閮蓚€(gè)力，的夾角為，所以，又因?yàn)樗鼈兊暮狭Υ笮?0N，合力與的夾角為，設(shè)合力與的夾角為，所以，解得.故選：A.8.如圖，向量，，，則向量可以表示為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，故選：C.二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有錯(cuò)誤選項(xiàng)的得0分．）9.下列說(shuō)法正確的是（）A.用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從含有50個(gè)個(gè)體總體中抽取一個(gè)容量為10的樣本，個(gè)體被抽到的概率是0.2B.已知一組數(shù)據(jù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的方差是5C.數(shù)據(jù)27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位數(shù)是17D.若樣本數(shù)據(jù)，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為16〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A，一個(gè)總體含有50個(gè)個(gè)體，某個(gè)個(gè)體被抽到的概率為，以簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式從該總體中抽取一個(gè)容量為10的樣本，則指定的某個(gè)個(gè)體被抽到的概率為，故A正確；對(duì)于B，數(shù)據(jù)1，2，，6，7的平均數(shù)是4，，這組數(shù)據(jù)的方差是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，8個(gè)數(shù)據(jù)50百分為，第50百分位數(shù)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，依題意，，則，所以數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為16，D正確；故選：AD.10.已知中，其內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c下列命題正確的有（）A.若，則B.若，，則外接圓半徑為10C.若，則為等腰三角形D.若，，，則〖答案〗ACD〖解析〗因?yàn)锳＞B，所以a＞b，由正弦定理，可得，即，A正確；由正弦定理可知，所以外接圓半徑為5，B不正確；因?yàn)椋?，即，整理可得，即，因?yàn)闉槿切蔚膬?nèi)角，所以，即為等腰三角形，C正確；因?yàn)?，，，所以，D正確.故選：ACD.11.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，且為復(fù)平面內(nèi)的原點(diǎn)，則（）A.B在第一象限 B.A與關(guān)于對(duì)稱C.為鈍角 D.〖答案〗ABD〖解析〗依題意可得，對(duì)于A，B在第一象限，故A正確；對(duì)于B，A與關(guān)于對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以不是鈍角，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以，故D正確.故選：ABD.12.在正方體中，分別為的中點(diǎn)，則（）A.與異面 B.與所成的角為C.與異面 D.與所成的角為〖答案〗AD〖解析〗如圖，在正方體中，分別為的中點(diǎn)，對(duì)于A，與異面，故A正確；對(duì)于B，與所成的角為，又，所以與所成的角為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得與共面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，與所成的角為，又，所以與所成的角為.故D正確；故選：AD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把〖答案〗填在答題卡的相應(yīng)位置．）13.平面向量與的夾角為，，，則__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋?，與的夾角為所以所以故〖答案〗為：14.已知圓心角為的扇形面積為，則由它圍成的圓錐的母線與底面所成角的余弦值等于__________．〖答案〗〖解析〗依題意，弧長(zhǎng)為，所以圓錐的底面半徑為，所以扇形圍成的圓錐的母線與底面所成角的余弦值等于.故〖答案〗為：15.袋子中有四個(gè)小球，分別寫有“中?華?民?族”四個(gè)字，有放回地從中任取一個(gè)小球，直到“中”“華”兩個(gè)字都取到才停止.用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)恰好抽取三次停止的概率，利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生0到3之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，分別用代表“中?華?民?族”這四個(gè)字，以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，表示取球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù)：由此可以估計(jì)，恰好抽取三次就停止的概率為_(kāi)___________.〖答案〗〖解析〗由隨機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)可知恰好抽取三次就停止的有，共4組隨機(jī)數(shù)，所以恰好抽取三次就停止的概率約為，故〖答案〗為：16.正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為2，點(diǎn)都在同一球面上，則此球的體積為_(kāi)__________.〖答案〗〖解析〗正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為2,點(diǎn)都在同一球面上,該球的球心恰好為底面的中心,球的半徑,此球的體積為.故〖答案〗為：四、解答題（本大題共6題，第17題10分，其余各小題每題12分，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．）17.已知復(fù)數(shù)（1）若z為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第二象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：（1）因?yàn)榧兲摂?shù)的實(shí)部為零，虛部不為零可得：故〖答案〗為：1.（2）易知z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則故〖答案〗為：18.新高考取消文理分科，采用選科模式，這賦予了學(xué)生充分的自由選擇權(quán)．新高考地區(qū)某校為了解本校高一年級(jí)將來(lái)高考選考?xì)v史的情況，隨機(jī)選取了100名高一學(xué)生，將他們某次歷史測(cè)試成績(jī)（滿分100分）按照，，，，分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求圖中a的值并估計(jì)這100名學(xué)生本次歷史測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)．（2）據(jù)調(diào)查，本次歷史測(cè)試成績(jī)不低于60分的學(xué)生，高考將選考?xì)v史科目；成績(jī)低于60分的學(xué)生，高考將不選考?xì)v史科目．按分層抽樣的方法從測(cè)試成績(jī)?cè)?，的學(xué)生中選取5人，再?gòu)倪@5人中任意選取2人，求這2人中至少有1人高考選考?xì)v史科目的概率．解：（1），解得設(shè)中位數(shù)為x，因?yàn)閷W(xué)生成績(jī)?cè)诘念l率為，在的頻率為所以中位數(shù)滿足等式，解得故這100名學(xué)生本次歷史測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)為.（2）成績(jī)?cè)诘念l數(shù)為成績(jī)?cè)诘念l數(shù)為按分層抽樣的方法選取5人，則成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生被抽取人，在的學(xué)生被抽取人從這5人中任意選取2人，都不選考?xì)v史科目的概率為，故這2人中至少有1人高考選考?xì)v史科目的概率為.19.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）證明：平面;（2）求三棱錐