2022-2023學(xué)年重慶市渝中區(qū)等4區(qū)高一下學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研抽測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1重慶市渝中區(qū)等4區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研抽測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.考慮擲硬幣試驗(yàn)，設(shè)事件“正面朝上”，則下列論述正確的是（）A.擲2次硬幣，事件“一個(gè)正面，一個(gè)反面”發(fā)生的概率為B.擲8次硬幣，事件A發(fā)生的次數(shù)一定是4C.重復(fù)擲硬幣，事件A發(fā)生的頻率等于事件A發(fā)生的概率D.當(dāng)投擲次數(shù)足夠多時(shí)，事件A發(fā)生的頻率接近0.5〖答案〗D〖解析〗擲2次硬幣，事件“一個(gè)正面，一個(gè)反面”發(fā)生的概率，A錯(cuò)誤；擲8次硬幣，事件A發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)的，B錯(cuò)誤；重復(fù)擲硬幣，事件A發(fā)生的頻率無限接近于事件A發(fā)生的概率，C錯(cuò)誤；當(dāng)投擲次數(shù)足夠多時(shí)，事件A發(fā)生的頻率接近0.5，D正確.故選：D2.設(shè)z=-3+2i，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗由得則對應(yīng)點(diǎn)（-3，-2）位于第三象限．故選C．3.演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時(shí)，從9個(gè)原始評分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評分.7個(gè)有效評分與9個(gè)原始評分相比，不變的數(shù)字特征是（）A.中位數(shù) B.平均數(shù)C.方差 D.極差〖答案〗A〖解析〗設(shè)9位評委評分按從小到大排列為．則①原始中位數(shù)為，去掉最低分，最高分，后剩余，中位數(shù)仍為，A正確．②原始平均數(shù)，后來平均數(shù)平均數(shù)受極端值影響較大，與不一定相同，B不正確③由②易知，C不正確．④原極差，后來極差可能相等可能變小，D不正確．4.已知，是與向量方向相同的單位向量，向量在向量上的投影向量為，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)槭桥c向量方向相同的單位向量，設(shè)，則，所以，得，所以，因?yàn)橄蛄吭谙蛄可系耐队盀?，且向量在向量上的投影向量為，所以，所以，所以，所以，設(shè)與的夾角為，則，又，所以.故選：B．5.某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對住房戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分別如圖1和圖2所示，為了解該小區(qū)戶主對戶型結(jié)構(gòu)的滿意程度，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取的戶主作為樣本進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)分別為（）A.400，32 B.400，36 C.480，32 D.480，36〖答案〗A〖解析〗由圖（1）得該小區(qū)戶主總?cè)藬?shù)為人，所以樣本容量為人，其中四居室戶主有人，由圖（2）得抽取戶主中對四居室滿意的有人，故選：A.6.攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)樣式，多見于亭閣式建筑、園林建筑.如圖所示的帶有攢尖的建筑屋頂可近似看作一個(gè)圓錐，其底面積為9π，側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則該屋頂?shù)捏w積約為（）A. B.16π C.18π D.〖答案〗D〖解析〗底面積為9π，即，所以底面圓的半徑,所以底面圓周長為，即圓錐側(cè)面展開圖的弧長，又因?yàn)閭?cè)面展開圖是圓心角為的扇形，所以扇形半徑，如圖所示：則圓錐的高，則圓錐的體積.故選：D7.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，若是的一個(gè)單調(diào)區(qū)間，且，則的最大值為（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到，因?yàn)槭堑囊粋€(gè)單調(diào)區(qū)間，所以，所以，所以，又，所以，故，，所以，因?yàn)椋缘淖畲笾禐?，故選：C8.排球比賽實(shí)行“每球得分制”，即每次發(fā)球后，誰取勝誰就得1分，得分的隊(duì)有發(fā)球權(quán)，最后先得25分的隊(duì)獲得本局比賽勝利，若出現(xiàn)比分，要繼續(xù)比賽至某隊(duì)領(lǐng)先2分才能取勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行一局排球比賽，已知甲隊(duì)發(fā)球時(shí)甲隊(duì)獲勝的概率為，乙隊(duì)發(fā)球時(shí)甲隊(duì)獲勝的概率為，且各次發(fā)球的勝負(fù)結(jié)果相互獨(dú)立.若此時(shí)甲、乙兩隊(duì)雙方比分為平，且甲隊(duì)擁有發(fā)球權(quán)，則甲隊(duì)得25分且取得該局比賽勝利的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗記事件“甲隊(duì)得25分且取得該局比賽勝利”，事件“甲以25:22取得該局勝利”，“甲以25:23取得該局勝利”，因?yàn)楦鞔伟l(fā)球的勝負(fù)結(jié)果相互獨(dú)立，且B，C互斥，所以，，所以，所以甲隊(duì)得25分且取得該局比賽勝利的概率為.故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下面是關(guān)于復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的命題，其中真命題為（）A. B.C.z的共軛復(fù)數(shù)為 D.z的虛部為〖答案〗BCD〖解析〗由復(fù)數(shù)，則，所以A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以B正確；根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，可得復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，所以C正確；根據(jù)復(fù)數(shù)的基本概念可得，復(fù)數(shù)的虛部為，所以D正確.故選：BCD.10.如圖，已知點(diǎn)O為正六邊形的中心，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗因?yàn)辄c(diǎn)O為正六邊形ABCDEF的中心，，，所以，所以A正確；因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，所以，B錯(cuò)誤；設(shè)正六邊形邊長為1，，，所以，C正確；，，所以，D錯(cuò)誤.故選：AC.11.盒子里有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中不放回地依次取出2個(gè)球，設(shè)事件A＝“兩個(gè)球顏色相同”，B＝“第1次取出的是紅球”，C＝“第2次取出的是紅球”，D＝“兩個(gè)球顏色不同”，則（）A.事件B與C互斥 B.事件A與D互為對立C.事件A與B相互獨(dú)立 D.事件C與D相互獨(dú)立〖答案〗BCD〖解析〗設(shè)2個(gè)紅球?yàn)椋?個(gè)白球?yàn)?，則樣本空間為：，共12個(gè)基本事件.事件A，共4個(gè)基本事件.事件B，共6個(gè)基本事件.事件C，共6個(gè)基本事件.事件D，共8個(gè)基本事件.對于A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以事件B與C不互斥，錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，因?yàn)椋?所以事件A與D互為對立，正確；對于C選項(xiàng)，因?yàn)?，，，則，故事件A與B相互獨(dú)立，正確；對于D選項(xiàng)，因?yàn)?，，，則，故事件C與D相互獨(dú)立，正確.故選：BCD12.已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且，延長至D，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.若，則周長的最大值為D.若，則面積的最大值為〖答案〗ABC〖解析〗，，解得，由，得，，，解得（舍）或，，，故A正確；，，，即，為等邊三角形，，故B正確；，，在中，由余弦定理，得，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），解得，周長的最大值為，故C正確；設(shè)，則，，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，i為虛數(shù)單位，且，則__________.〖答案〗2〖解析〗由可得，解得，故.故〖答案〗為：214.設(shè)非零向量，不平行，向量與平行，則實(shí)數(shù)______.〖答案〗〖解析〗由向量不平行，即，因?yàn)橄蛄颗c平行，所以存在唯一的實(shí)數(shù)，使，即，則，解得.故〖答案〗為：15.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1，2，2，，5，10，其中，已知該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的倍，則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為___________．〖答案〗3〖解析〗由題意，可得該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為2，所以，解得，故該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為．所以該組數(shù)據(jù)的方差為，即標(biāo)準(zhǔn)差為3．故〖答案〗為：316.已知甲烷的化學(xué)式為，其結(jié)構(gòu)式可看成一個(gè)正四面體，其中四個(gè)氫原子位于正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)處，而碳原子恰好在這個(gè)正四面體的中心，碳原子與每個(gè)氫原子之間均有化學(xué)鍵相連，若我們把每個(gè)原子看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，兩個(gè)氫原子之間的距離為1，則碳原子和氫原子之間的距離為______.〖答案〗〖解析〗甲烷分子中4個(gè)氫原子分別位于正四面體的4個(gè)頂點(diǎn)記為碳原子位于正四面體的中心，則為正四面體外接球的球心，相鄰的碳、氫原子間的距離為正四面體外接球的半徑，設(shè)為過做平面，垂足為，則為正三角形的中心，在上，連，由題意邊長為，所以，，所以，解得，即碳原子和氫原子之間的距離為.故〖答案〗為：四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.小穎的爸爸只有一張《阿凡達(dá)》的電影票，她和哥哥兩人都很想去觀看.哥哥想了一個(gè)辦法，他拿了8張撲克牌，將數(shù)字為2，3，5，9的四張牌給小穎，將數(shù)字為4，6，7，10的四張牌給自己，并按如下游戲規(guī)則進(jìn)行：小穎和哥哥從各自的四張牌中隨機(jī)抽出一張，然后將抽出的兩張撲克牌數(shù)字相加，如果和為偶數(shù)，則小穎去；如果和為奇數(shù)，則哥哥去.（1）求小穎去看電影的概率；（2）這個(gè)游戲規(guī)則公平嗎？若公平，請說明理由，若不公平，在小穎和哥哥所拿4張牌不變的情況下，如何修改游戲規(guī)則使其對雙方公平.解：（1）由題意畫樹狀圖:兩張牌的數(shù)字之和所對應(yīng)16種結(jié)果分別為6,8,9,12,7,9,10,13,9,11,12,15,13,15,16,19，其中和為偶數(shù)的結(jié)果有6,8,12,10,12,16共6種，所以小穎去看電影的概率為；（2）哥哥設(shè)計(jì)的游戲規(guī)則不公平，因?yàn)樾》f去看電影的概率為，哥哥去看電影的概率為，，此規(guī)則對哥哥更有利；因?yàn)樵谒门撇蛔兊那闆r下，兩張牌的數(shù)字之和所對應(yīng)16種結(jié)果分別為6,8,9,12,7,9,10,13,9,11,12,15,13,15,16,19，其中和為3的倍數(shù)的結(jié)果有8個(gè)，故可修改規(guī)則為：小穎和哥哥從各自的四張牌中隨機(jī)抽出一張，然后將抽出的兩張撲克牌數(shù)字相加，如果和為3的倍數(shù)，則小穎去；如果和不是3的倍數(shù)，則哥哥去.18.如圖，A、B是海面上位于東西方向相距海里的兩個(gè)觀測點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時(shí)，試求：（1）輪船D與觀測點(diǎn)B的距離；（2）救援船到達(dá)D點(diǎn)所需要的時(shí)間．解：（1）由題意可知：在中，，，則，由正弦定理得：，由，代入上式得：，輪船D與觀測點(diǎn)B的距離為海里.（2）在中，，，，由余弦定理得：，，，即該救援船到達(dá)點(diǎn)所需的時(shí)間小時(shí).19.如圖，邊長為4的正方形ABCD所在平面與正三角形所在平面互相垂直，Q為的中點(diǎn).（1）求證：；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)N，使得平面平面，若存在，試指出點(diǎn)N的位置，并證明你的結(jié)論，若不存在，請說明理由；（3）求二面角的正切值.（1）證明：正三角形中，為中點(diǎn)，故，因?yàn)閭?cè)面底面，側(cè)面底面，所以底面，又底面，所以；（2）解：存在點(diǎn)N，當(dāng)N為AB中點(diǎn)時(shí)，平面平面，證明如下：由（1）知：底面，又底面，所以，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，Q為AD的中點(diǎn)，N為AB中點(diǎn)，所以，，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，而平面，所以平面，又平面，所以平面平面；?）解：過Q點(diǎn)作，連接PM，因?yàn)榈酌?，平面，所以，又，、平面，所以平面，又平面，所以，所以為二面角的平面角，在正三角形中，，在三角形中，，所以在中，，所以二面角的正切值?20.文明城市是反映城市整體文明水平綜合性榮譽(yù)稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要?jiǎng)?chuàng)造者某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，…，，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）求樣本成績的第75百分位數(shù)；（3）已知落在的平均成績是54，方差是7，落在的平均成績?yōu)?6，方差是4，求兩組成績的總平均數(shù)和總方差.解：（1）∵每組小矩形的面積之和為1，∴，∴.（2）成績落在內(nèi)的頻率為，落在內(nèi)的頻率為，設(shè)第75百分位數(shù)為m，由，得，故第75百分位數(shù)為84；（3）由圖可知，成績在的市民人數(shù)為，成績在的市民人數(shù)為，故.設(shè)成績在中10人的分?jǐn)?shù)分別為，，，…，；成績在中20人的分?jǐn)?shù)分別為，，，…，，則由題意可得，，所以，，所以，所以兩組市民成績的總平均數(shù)是62，總方差是37.21.如圖，在直三棱柱中，，.（1）設(shè)平面與平面的交線為l，判斷l(xiāng)與的位置關(guān)系，并證明；（2）若與平面所成的角為，求三棱錐內(nèi)切球的表面積S.解：（1）判斷.因?yàn)闉橹比庵?，所以平面平面ABC，因?yàn)槠矫?，所以平面ABC，又平面平面，平面，所以，又，所以；（2）過作，垂足為D，連接CD，如圖所示，因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，所以平面，又平面，所以，因?yàn)?，，平面，所以平面，所以為直線與平面所成的角，即，因?yàn)椋?，所以，所以，所以在中，，所以，又，所?設(shè)三棱錐內(nèi)切球的半徑為r，球心為O，連接OA，OB，OC，，則由得，即，所以三棱錐內(nèi)切球的表面積.22.如圖，圓心為C的定圓的半徑為3，A，B為圓C上的兩點(diǎn).（1）若，當(dāng)k為何值時(shí)，與垂直？（2）若的最小值為2，求的值；（3）若G為的重心，直線l過點(diǎn)G交邊于點(diǎn)P，交邊于點(diǎn)Q，且，.證明：為定值.（1）解：因?yàn)?，，所以由余弦定理得，即，所以，若與垂直，則，所以，所以，解得，即時(shí)，與垂直；（2）解：設(shè)，與的夾角為，在中，，所以，又，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，所以，解得，即取最小值2時(shí)，；（3）證明：因?yàn)闉榈闹匦?，所以，又因?yàn)椋?，所以，由于三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)使得，所以化簡為，所以，所以為定值.重慶市渝中區(qū)等4區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研抽測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.考慮擲硬幣試驗(yàn)，設(shè)事件“正面朝上”，則下列論述正確的是（）A.擲2次硬幣，事件“一個(gè)正面，一個(gè)反面”發(fā)生的概率為B.擲8次硬幣，事件A發(fā)生的次數(shù)一定是4C.重復(fù)擲硬幣，事件A發(fā)生的頻率等于事件A發(fā)生的概率D.當(dāng)投擲次數(shù)足夠多時(shí)，事件A發(fā)生的頻率接近0.5〖答案〗D〖解析〗擲2次硬幣，事件“一個(gè)正面，一個(gè)反面”發(fā)生的概率，A錯(cuò)誤；擲8次硬幣，事件A發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)的，B錯(cuò)誤；重復(fù)擲硬幣，事件A發(fā)生的頻率無限接近于事件A發(fā)生的概率，C錯(cuò)誤；當(dāng)投擲次數(shù)足夠多時(shí)，事件A發(fā)生的頻率接近0.5，D正確.故選：D2.設(shè)z=-3+2i，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗由得則對應(yīng)點(diǎn)（-3，-2）位于第三象限．故選C．3.演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時(shí)，從9個(gè)原始評分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評分.7個(gè)有效評分與9個(gè)原始評分相比，不變的數(shù)字特征是（）A.中位數(shù) B.平均數(shù)C.方差 D.極差〖答案〗A〖解析〗設(shè)9位評委評分按從小到大排列為．則①原始中位數(shù)為，去掉最低分，最高分，后剩余，中位數(shù)仍為，A正確．②原始平均數(shù)，后來平均數(shù)平均數(shù)受極端值影響較大，與不一定相同，B不正確③由②易知，C不正確．④原極差，后來極差可能相等可能變小，D不正確．4.已知，是與向量方向相同的單位向量，向量在向量上的投影向量為，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)槭桥c向量方向相同的單位向量，設(shè)，則，所以，得，所以，因?yàn)橄蛄吭谙蛄可系耐队盀椋蚁蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄繛?，所以，所以，所以，所以，設(shè)與的夾角為，則，又，所以.故選：B．5.某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對住房戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分別如圖1和圖2所示，為了解該小區(qū)戶主對戶型結(jié)構(gòu)的滿意程度，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取的戶主作為樣本進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)分別為（）A.400，32 B.400，36 C.480，32 D.480，36〖答案〗A〖解析〗由圖（1）得該小區(qū)戶主總?cè)藬?shù)為人，所以樣本容量為人，其中四居室戶主有人，由圖（2）得抽取戶主中對四居室滿意的有人，故選：A.6.攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)樣式，多見于亭閣式建筑、園林建筑.如圖所示的帶有攢尖的建筑屋頂可近似看作一個(gè)圓錐，其底面積為9π，側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則該屋頂?shù)捏w積約為（）A. B.16π C.18π D.〖答案〗D〖解析〗底面積為9π，即，所以底面圓的半徑,所以底面圓周長為，即圓錐側(cè)面展開圖的弧長，又因?yàn)閭?cè)面展開圖是圓心角為的扇形，所以扇形半徑，如圖所示：則圓錐的高，則圓錐的體積.故選：D7.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，若是的一個(gè)單調(diào)區(qū)間，且，則的最大值為（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到，因?yàn)槭堑囊粋€(gè)單調(diào)區(qū)間，所以，所以，所以，又，所以，故，，所以，因?yàn)?，所以的最大值為，故選：C8.排球比賽實(shí)行“每球得分制”，即每次發(fā)球后，誰取勝誰就得1分，得分的隊(duì)有發(fā)球權(quán)，最后先得25分的隊(duì)獲得本局比賽勝利，若出現(xiàn)比分，要繼續(xù)比賽至某隊(duì)領(lǐng)先2分才能取勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行一局排球比賽，已知甲隊(duì)發(fā)球時(shí)甲隊(duì)獲勝的概率為，乙隊(duì)發(fā)球時(shí)甲隊(duì)獲勝的概率為，且各次發(fā)球的勝負(fù)結(jié)果相互獨(dú)立.若此時(shí)甲、乙兩隊(duì)雙方比分為平，且甲隊(duì)擁有發(fā)球權(quán)，則甲隊(duì)得25分且取得該局比賽勝利的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗記事件“甲隊(duì)得25分且取得該局比賽勝利”，事件“甲以25:22取得該局勝利”，“甲以25:23取得該局勝利”，因?yàn)楦鞔伟l(fā)球的勝負(fù)結(jié)果相互獨(dú)立，且B，C互斥，所以，，所以，所以甲隊(duì)得25分且取得該局比賽勝利的概率為.故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下面是關(guān)于復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的命題，其中真命題為（）A. B.C.z的共軛復(fù)數(shù)為 D.z的虛部為〖答案〗BCD〖解析〗由復(fù)數(shù)，則，所以A錯(cuò)誤；因?yàn)椋訠正確；根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，可得復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，所以C正確；根據(jù)復(fù)數(shù)的基本概念可得，復(fù)數(shù)的虛部為，所以D正確.故選：BCD.10.如圖，已知點(diǎn)O為正六邊形的中心，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗因?yàn)辄c(diǎn)O為正六邊形ABCDEF的中心，，，所以，所以A正確；因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，所以，B錯(cuò)誤；設(shè)正六邊形邊長為1，，，所以，C正確；，，所以，D錯(cuò)誤.故選：AC.11.盒子里有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中不放回地依次取出2個(gè)球，設(shè)事件A＝“兩個(gè)球顏色相同”，B＝“第1次取出的是紅球”，C＝“第2次取出的是紅球”，D＝“兩個(gè)球顏色不同”，則（）A.事件B與C互斥 B.事件A與D互為對立C.事件A與B相互獨(dú)立 D.事件C與D相互獨(dú)立〖答案〗BCD〖解析〗設(shè)2個(gè)紅球?yàn)椋?個(gè)白球?yàn)椋瑒t樣本空間為：，共12個(gè)基本事件.事件A，共4個(gè)基本事件.事件B，共6個(gè)基本事件.事件C，共6個(gè)基本事件.事件D，共8個(gè)基本事件.對于A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以事件B與C不互斥，錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，因?yàn)椋?所以事件A與D互為對立，正確；對于C選項(xiàng)，因?yàn)?，，，則，故事件A與B相互獨(dú)立，正確；對于D選項(xiàng)，因?yàn)?，，，則，故事件C與D相互獨(dú)立，正確.故選：BCD12.已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且，延長至D，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.若，則周長的最大值為D.若，則面積的最大值為〖答案〗ABC〖解析〗，，解得，由，得，，，解得（舍）或，，，故A正確；，，，即，為等邊三角形，，故B正確；，，在中，由余弦定理，得，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），解得，周長的最大值為，故C正確；設(shè)，則，，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，i為虛數(shù)單位，且，則__________.〖答案〗2〖解析〗由可得，解得，故.故〖答案〗為：214.設(shè)非零向量，不平行，向量與平行，則實(shí)數(shù)______.〖答案〗〖解析〗由向量不平行，即，因?yàn)橄蛄颗c平行，所以存在唯一的實(shí)數(shù)，使，即，則，解得.故〖答案〗為：15.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1，2，2，，5，10，其中，已知該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的倍，則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為___________．〖答案〗3〖解析〗由題意，可得該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為2，所以，解得，故該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為．所以該組數(shù)據(jù)的方差為，即標(biāo)準(zhǔn)差為3．故〖答案〗為：316.已知甲烷的化學(xué)式為，其結(jié)構(gòu)式可看成一個(gè)正四面體，其中四個(gè)氫原子位于正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)處，而碳原子恰好在這個(gè)正四面體的中心，碳原子與每個(gè)氫原子之間均有化學(xué)鍵相連，若我們把每個(gè)原子看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，兩個(gè)氫原子之間的距離為1，則碳原子和氫原子之間的距離為______.〖答案〗〖解析〗甲烷分子中4個(gè)氫原子分別位于正四面體的4個(gè)頂點(diǎn)記為碳原子位于正四面體的中心，則為正四面體外接球的球心，相鄰的碳、氫原子間的距離為正四面體外接球的半徑，設(shè)為過做平面，垂足為，則為正三角形的中心，在上，連，由題意邊長為，所以，，所以，解得，即碳原子和氫原子之間的距離為.故〖答案〗為：四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.小穎的爸爸只有一張《阿凡達(dá)》的電影票，她和哥哥兩人都很想去觀看.哥哥想了一個(gè)辦法，他拿了8張撲克牌，將數(shù)字為2，3，5，9的四張牌給小穎，將數(shù)字為4，6，7，10的四張牌給自己，并按如下游戲規(guī)則進(jìn)行：小穎和哥哥從各自的四張牌中隨機(jī)抽出一張，然后將抽出的兩張撲克牌數(shù)字相加，如果和為偶數(shù)，則小穎去；如果和為奇數(shù)，則哥哥去.（1）求小穎去看電影的概率；（2）這個(gè)游戲規(guī)則公平嗎？若公平，請說明理由，若不公平，在小穎和哥哥所拿4張牌不變的情況下，如何修改游戲規(guī)則使其對雙方公平.解：（1）由題意畫樹狀圖:兩張牌的數(shù)字之和所對應(yīng)16種結(jié)果分別為6,8,9,12,7,9,10,13,9,11,12,15,13,15,16,19，其中和為偶數(shù)的結(jié)果有6,8,12,10,12,16共6種，所以小穎去看電影的概率為；（2）哥哥設(shè)計(jì)的游戲規(guī)則不公平，因?yàn)樾》f去看電影的概率為，哥哥去看電影的概率為，，此規(guī)則對哥哥更有利；因?yàn)樵谒门撇蛔兊那闆r下，兩張牌的數(shù)字之和所對應(yīng)16種結(jié)果分別為6,8,9,12,7,9,10,13,9,11,12,15,13,15,16,19，其中和為3的倍數(shù)的結(jié)果有8個(gè)，故可修改規(guī)則為：小穎和哥哥從各自的四張牌中隨機(jī)抽出一張，然后將抽出的兩張撲克牌數(shù)字相加，如果和為3的倍數(shù)，則小穎去；如果和不是3的倍數(shù)，則哥哥去.18.如圖，A、B是海面上位于東西方向相距海里的兩個(gè)觀測點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時(shí)，試求：（1）輪船D與觀測點(diǎn)B的距離；（2）救援船到達(dá)D點(diǎn)所需要的時(shí)間．解：（1）由題意可知：在中，，，則，由正弦定理得：，由，代入上式得：，輪船D與觀測點(diǎn)B的距離為海里.（2）在中，，，，由余弦定理得：，，，即該救援船到達(dá)點(diǎn)所需的時(shí)間小時(shí).19.如圖，邊長為4的正方形ABCD所在平面與正三角形所在平面互相垂直，Q為的中點(diǎn).（1）求證：；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)N，使得平面平面，若存在，試指出點(diǎn)N的位置，并證明你的結(jié)論，若不存在，請說明理由；（3）求二面角的正切值.（1）證明：正三角形中，為中點(diǎn)，故，因?yàn)閭?cè)面底面，側(cè)面底面，所以底面，又底面，所以；（2）解：存在點(diǎn)N，當(dāng)N為AB中點(diǎn)時(shí)，平面平面，證明如下：由（1）知：底面，又底面，所以，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，Q為AD的