山東省青島市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2023-2024學(xué)年山東省青島市高二上學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線的一個(gè)方向向量為，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)直線的傾斜角為，由題意得，可得傾斜角．【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，，由直線的一個(gè)方向向量為，得，則.故選：C．2.已知向量，，且與互相垂直，則實(shí)數(shù)等于（）A. B.或 C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)的坐標(biāo)分別求出與的坐標(biāo)表示，由與互相垂直，得與的數(shù)量積為零即可求解．【詳解】，，由與互相垂直，有，解得或．故選：C．3.已知雙曲線的焦距為，則雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可得，，由，解得，可得，求出漸近線方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可得到．【詳解】由題意可得，，焦點(diǎn)為，則，解得，又，則雙曲線的漸近線方程為，則焦點(diǎn)到漸近線的距離為．故選：B．4.正四面體各棱長(zhǎng)均為，E，F(xiàn)，G分別是的中點(diǎn)，則（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】用表示出，再求數(shù)量積．【詳解】因?yàn)镋，F(xiàn)，G分別是的中點(diǎn)，四面體是正四面體，且棱長(zhǎng)，所以.故選：D．5.點(diǎn)在橢圓上，，點(diǎn)到直線的距離為，則（）A.與無(wú)關(guān) B.C. D.【答案】C【解析】【詳解】設(shè)點(diǎn)，，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)在橢圓上，則，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以，又，所以．故選：C．6.過(guò)三點(diǎn)，，的圓交軸于，兩點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)圓的方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出，，，則圓的方程可得，令，即可得出結(jié)果．【詳解】設(shè)圓的方程為，則

，，，∴，令，可得，

，

．故選：D．7.“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二除以余，五五數(shù)之剩三除以余，七七數(shù)之剩二除以余，問(wèn)物幾何現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)的問(wèn)題：已知正整數(shù)滿足三三數(shù)之剩二，將符合條件的所有正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可分析出數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知最小值．【詳解】解：被3除余2的正整數(shù)按照從小到大的順序所構(gòu)成的數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，所以，所以，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得：函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又為正整數(shù)，所以最小值為，故選：B8.已知拋物線與過(guò)焦點(diǎn)的一條直線相交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直于弦的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.準(zhǔn)線的方程是 B.以為直徑的圓與軸相切C.的最小值為 D.的面積最小值為【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拋物線方程，結(jié)合準(zhǔn)線定義即可判斷A；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，計(jì)算可得此時(shí)以為直徑的圓不與軸相切，即可判斷B；對(duì)于CD：分直線斜率存在以及不存在兩種情況分別討論，即可求解．【詳解】對(duì)于A：由拋物線的方程可知其焦點(diǎn)為，故準(zhǔn)線的方程為：，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，即直線方程：，易得，則以為直徑的圓半徑為，此時(shí)不與軸相切，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易得，，；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，由，得，得，，，，易知直線的方程為，由，得，，，綜上所得，的最小值為，故C正確．對(duì)于D：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易得，，所以；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，且此時(shí)最小值為，故D錯(cuò)誤．故選：C．二、多選題：本題共4小題，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.為調(diào)研某地空氣質(zhì)量，連續(xù)天測(cè)得該地是衡量空氣質(zhì)量的重要指標(biāo)，單位：的日均值，依次為，，，，，，，，，，則（）A.這組數(shù)據(jù)的極差為 B.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為C.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為或 D.這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)極差的概念通過(guò)計(jì)算即可判斷A；對(duì)這組數(shù)據(jù)重新排序，再根據(jù)眾數(shù)的概念計(jì)算即可判斷B；對(duì)這組數(shù)據(jù)重新排序，再根據(jù)中位數(shù)的概念計(jì)算即可判斷C；求出這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)即可判斷D．【詳解】對(duì)于A，極差為，故A正確；對(duì)于B，這組數(shù)據(jù)從小到大依次是：，，，，，，，，，，所以眾數(shù)為，故B正確；對(duì)于C，這組數(shù)據(jù)從小到大依次是：，，，，，，，，，，所以中位數(shù)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為，故D正確．故選：ABD10.下列有關(guān)直線與圓的結(jié)論正確的是（）A.方程表示的直線必過(guò)點(diǎn)B.過(guò)點(diǎn)且在，軸上的截距相等的直線方程為C.圓和圓的公共弦所在的直線方程為D.若圓上恰有個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，則【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于，將直線方程化為即可判斷；對(duì)于B，當(dāng)截距為時(shí)即可判斷；對(duì)于C，由圓的方程可得圓與圓相交，再將兩圓的方程作差即可判斷；對(duì)于D，由題意可得圓心到直線的距離等于，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可判斷．【詳解】對(duì)于，方程可化為，直線過(guò)定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)截距為時(shí)，直線方程為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，因?yàn)?，所以圓與圓相交．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程化為一般方程得，與圓的一般方程作差，可得，即，所以圓與圓的公共弦所在的直線方程為，故C正確；對(duì)于D，若圓上恰有個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，則圓心到直線的距離等于，即，解得，故D正確．故選：ACD11.在等比數(shù)列中，，，則（）A.的公比為 B.的前項(xiàng)和為C.的前項(xiàng)積為 D.【答案】AB【解析】【分析】對(duì)A，根據(jù)等比數(shù)列的基本量關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義判斷即可；對(duì)B，由A可得，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式求解即可；對(duì)C，根據(jù)求解即可；對(duì)D，代入求解即可.【詳解】對(duì)A，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，得，所以，所以，所以，所以數(shù)列的公比為，故A正確對(duì)B，因?yàn)椋缘那绊?xiàng)和為，故B正確；對(duì)C，的前項(xiàng)積為，故C錯(cuò)誤對(duì)D，因?yàn)?，所以的前?xiàng)和為，故D錯(cuò)誤．故選：AB12.已知雙曲線，點(diǎn)為雙曲線右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作兩條漸近線的垂線，垂足分別為，兩點(diǎn)，則（）A.雙曲線的離心率為B.存在點(diǎn)，使得四邊形為正方形C.四邊形的面積為D.四邊形的周長(zhǎng)最小值為【答案】BC【解析】【分析】由雙曲線的離心率公式可判斷；當(dāng)為雙曲線右頂點(diǎn)時(shí)，四邊形為正方形，從而可判斷B；設(shè)

，則，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得，從而可判斷C；利用基本不等式求出的最小值，從而可判斷D．【詳解】A選項(xiàng)，由題意得，故，故，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由雙曲線的方程可得漸近線方程為，兩漸近線夾角為直角，由對(duì)稱性可知，若四邊形為正方形，則到兩條漸近線的距離相等，所以當(dāng)為雙曲線右頂點(diǎn)時(shí)，四邊形為正方形，故B正確；C選項(xiàng)，設(shè)，則

，因?yàn)闈u近線方程為

，所以，所以，則四邊形的面積為，故C正確；D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)及基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為．四邊形的周長(zhǎng)為，故D錯(cuò)誤．故選：BC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.一排有個(gè)座位，如果每個(gè)座位只能坐人，現(xiàn)安排四人就座，恰有兩個(gè)空位相鄰的不同坐法有__________種用數(shù)字作答．【答案】【解析】【分析】將問(wèn)題看成可看成個(gè)坐著人的座位和個(gè)空座位排隊(duì)，先將個(gè)坐著人的座位全排，然后結(jié)合插空法可得.【詳解】解：可看成個(gè)坐著人的座位和個(gè)空座位排隊(duì)，先安排個(gè)坐著人的座位，共有種坐法，產(chǎn)生個(gè)空，然后安排空座位到空中，相鄰的兩個(gè)空座位捆在一起，看作一個(gè)元素，有種坐法，然后再?gòu)氖Ｓ嗟膫€(gè)空中選擇兩個(gè)將空座位安上，因?yàn)榭兆幌嗤?，所以只需要選出兩個(gè)空位即可，有種坐法，所以共有種坐法．故答案為：．14.已知拋物線準(zhǔn)線與圓相切，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________．【答案】（任意一個(gè)均可以）【解析】【分析】解題時(shí)寫(xiě)出切線方程，再求出拋物線方程即可．【詳解】與圓相切且與坐標(biāo)軸平行或垂直的直線有，對(duì)應(yīng)的拋物線方程有：故答案為：（任意一個(gè)均可以）15.已知是圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，變形可得，利用的幾何意義轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系即可求解．【詳解】設(shè)，變形可得，則的幾何意義為直線的斜率，是圓上任意一點(diǎn)，圓心，半徑為，則，解得，即的取值范圍為.故答案為：.16.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，記為在區(qū)間內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)，則__________；使得不等式成立的的最小值為_(kāi)_________．【答案】①.②.12【解析】【分析】根據(jù)題意可得，對(duì)分奇偶數(shù)討論計(jì)算的值；由題設(shè)得不等式，再按為奇數(shù)和偶數(shù)，求出的最小值．【詳解】依題意，令，得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，可以被整除，于是，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，不能被整除，則，所以；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，，即，而，則，即，又為奇數(shù)，則的最小值為，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，，而，則，即，因此的最小值為，所以的最小值為.故答案為：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由條件建立不等式，再按是奇數(shù)、偶數(shù)分類求解是解決本題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.已知點(diǎn)，，中恰有兩個(gè)點(diǎn)在拋物線上．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）若點(diǎn)，在上，且，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可得拋物線也關(guān)于軸對(duì)稱，將點(diǎn)代入拋物線方程即可求解；（2）設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理可得，即可求定點(diǎn)坐標(biāo)．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，拋物線也關(guān)于軸對(duì)稱，所以點(diǎn)，在上，將點(diǎn)代入拋物線得，，即，所以拋物線的方程為：；【小問(wèn)2詳解】由題意可知，直線的斜率一定存在，則設(shè)直線的方程為，由消得：，由韋達(dá)定理得，所以直線，顯然恒過(guò)定點(diǎn)．18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）依題意可得，即可得到是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法求和，即可證明．【小問(wèn)1詳解】由，當(dāng)時(shí)，則，可得，則；當(dāng)時(shí)，則，可得；綜上所述：可得，可知是首項(xiàng)為，公比為等比數(shù)列，所以的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知：，可得．所以．19.已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程（2）一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于，兩點(diǎn)，其中，求反射光線所在直線的方程．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，由得方程，化簡(jiǎn)整理即可（2）求出圓心到直線的距離，對(duì)直線的斜率存在討論即可求解．【小問(wèn)1詳解】設(shè)，由得，化簡(jiǎn)得，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：；【小問(wèn)2詳解】光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于，兩點(diǎn)，故入射光線的斜率不為0，故反射光線的斜率不為0，當(dāng)入射光線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)反射光線方程為，此時(shí)直線與無(wú)交點(diǎn)，不合要求，舍去，當(dāng)入射光線的斜率存在時(shí)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)由題意知反射光線所在的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其斜率也一定存在，設(shè)其方程為，即為，設(shè)圓心到反射直線的距離設(shè)為，則，所以，解得舍去或．所以反射光線所在直線的方程為．20.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中點(diǎn)．（1）求證：平面EAC⊥平面PBC；（2）二面角P－AC－E的余弦值為，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】【分析】（1）直角梯形中證明，然后由線面垂直得，從而可得線面平面，然后可證得面面垂直；（2）以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，由向量法求二面角得值，再用向量法求線面角．【小問(wèn)1詳解】由題意四邊形是直角梯形，，，∴，∴，又平面，平面，∴，，平面，∴平面，又∵平面，∴平面平面；【小問(wèn)2詳解】由題意以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則．，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則，令，則，平面的一個(gè)法向量是，設(shè)二面角P－AC－E有大小，則，解得，，記直線PA與平面EAC所成角為，，∴．21.在通信技術(shù)中由和組成的序列有著重要作用，序列中數(shù)的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)序列的長(zhǎng)度如是一個(gè)長(zhǎng)度為的序列長(zhǎng)為的序列中任何兩個(gè)不相鄰的序列個(gè)數(shù)設(shè)為，長(zhǎng)度為的序列為：，，都滿足數(shù)列，長(zhǎng)度為且滿足數(shù)列的序列為：，，，．（1）求，（2）求數(shù)列中，，的遞推關(guān)系（3）記是數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：為定值．【答案】（1），（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)已知得到，然后分類討論最后一個(gè)數(shù)求解即可；（2）考慮長(zhǎng)度為的序列最后一個(gè)數(shù)，觀察即可求得遞推關(guān)系；（3）根據(jù)前兩問(wèn)求得，證明數(shù)列是常數(shù)列即可．小問(wèn)1詳解】由題意知，長(zhǎng)為3的序列中任何兩個(gè)不相鄰的序列為：，所以.設(shè)長(zhǎng)為的序列中任何兩個(gè)不相鄰的序列有個(gè)，考慮最后一個(gè)數(shù)：若最后一位是，則只要前位任何兩個(gè)不相鄰，則滿足要求的序列有個(gè)；若最后一位是，則倒數(shù)第二位是，只要前位任何兩個(gè)不相鄰即可，滿足要求的序列有個(gè)，所以；【小問(wèn)2詳解】考慮長(zhǎng)度為的序列最后一個(gè)數(shù)：若最后一位是，則只要前位任何兩個(gè)不相鄰，則滿足要求的序列有個(gè)；若最后一位是，則倒數(shù)第二位是，只要前位任何兩個(gè)不相鄰即可，則滿足要求的序列有個(gè)，所以；【小問(wèn)