二次函數(shù)的恒成立問題壓軸題（學生版）-2024年中考數(shù)學壓軸題重難點

二次函數(shù)的恒成立問題度軸題

知識剖析

通用的解題思路：

第一步:先分析是求函數(shù)的最大值還是求函數(shù)的最小值:①如果恒成立，則求函數(shù)的最小值ME;②

如果/（力《小恒成立，則求函數(shù)的最大值Mix。

第二步:WW所求的最大值或最小值林不等式，得Min^m或者MaxW小,再解不等式求出參數(shù)m的范圍.

經(jīng)典例題

題目—（2017-長沙中考）如圖，拋物線y=mx2-16mx+48m（m>0）與①軸交于A,B兩點（點B在點A

左側(cè)），與y軸交于點點。是拋物線上的一個動點,且位于第四象限，連接OD、BD、AC,AD,延長AD

交V軸于點E.

（1）若△。力。為等腰直角三角形，求m的值：

（2）若對任意小>0,C、E兩點總關(guān)于原點對稱，求點D的坐標（用含M的式子表示）；

（3）當點。運動到某一位置時，恰好使得AODB=/OAO,且點。為線段ZE的中點,此時對于該拋物線上

任意一點P（須）,%）總有n+34，5n4—12，^/?！?0成立,求實數(shù)n的最小值.

O

???

題目2）（開福區(qū)一模）如圖,拋物線v=ma：2—4m;r+3m（?n>0）與2軸交于點A,B兩點（點A在點B的左

側(cè)），與V軸交于點。，拋物線的頂點坐標為。.

（1）求點A、點_8的坐標；

（2）若△04。?△OCB,求m的值；

（3）若AABD為正三角形，對于該拋物線上任意一點F（x0,%）總有"+3/一30班—4成立，求

實數(shù)n的最小值.

題目區(qū)（中雅）點P（c,沙）為反比例函數(shù)y=為常數(shù)，且用W0）的圖象上一點，若點P的橫、縱坐標滿足

關(guān)系：2+?/="則稱點P所在的反比例函數(shù)y=總作為常數(shù)，且％/0）為“Q函數(shù)”，點P為該“Q函數(shù)”圖

X

象上的“Q點”.

⑴“Q函數(shù)”?/=2圖象上的“Q點”坐標為；

X------

（2）反比例函數(shù)9=旦是否為“Q函數(shù)”？若是，請求出該函數(shù)圖象上的“Q點”;若不是，請說明理由.

X

（3）己知反比例函數(shù)沙=總（%為常數(shù)，且％W0）為“Q函數(shù)”，令1=必—我+5,若對于整數(shù)小，M+占>

x5

-2t2+8t+9恒成立，求整數(shù)m的最小值.

題目④（雅禮）2022年10月16日在中共二十大會議開幕式上作報告發(fā)言，在闡述第四個要點

“加快構(gòu)建新發(fā)展格局，著力推動高質(zhì)量發(fā)展”時，提出了兩個“高水平”，即“構(gòu)建高水平社會主義市場經(jīng)濟

體制”和“推進高水平對外開放”在數(shù)學上，我們不妨約定:若函數(shù)圖象上存在不同的兩點AQi，%）、3（電，

統(tǒng)）3芹電），滿足縱坐標相等，即%=V2，則稱點4B為這個函數(shù)的一對“高水平點”，稱這個函數(shù)為“高水

平函數(shù)”.

（1）若點P（2022,p）和點Q（q,2023）為“高水平函數(shù)"沙=|,+1|圖象上的一對“高水平點”，求p+q的值；

（2）關(guān)于2的函數(shù)沙=m+6（限6為常數(shù)）是“高水平函數(shù)”嗎？如果是，指出它有多少對“高水平點”，如果

不是,請說明理由；

2

（3）若點7W（1,m）、N（3fn）、P（x0,%）都在關(guān)于x的“高水平函數(shù)"y—ax+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且a>

0）的圖象上，點M、P為該函數(shù)的一對“高水平點”，且滿足m<n<c,若存在常數(shù)如使得式子：w+!>

O

―■曷一g+2恒成立，求io的取值范圍.

題目回（青竹湖）若沙是土的函數(shù)，無為常數(shù)仇>0）,若對于該函數(shù)圖象上的任意兩點⑶，%）、（電，紡）

，當eWb,&43；2&6（其中（1、6為常數(shù)，a<6時，總有|%—如&機就稱此函數(shù)在aW6時為有界

函數(shù)，其中滿足條件的所有常數(shù)無的最小值,稱為該函數(shù)在時的界高。

（1）函數(shù):④9=22,②"=上，③9=/在—時為有界函數(shù)的是：（填序號）

x-------

（2）若一次函數(shù)夕=版+2（%片0）,當aW①Wb時為有界函數(shù)，且在此范圍內(nèi)的界高為b一a,請求出此一次

函效解析式；

（3）已知函數(shù)沙="一2（1,+5（&>1）,當1《多《&+1時為有界函數(shù),且此范圍內(nèi)的界高不大于4,求實效已

的取值范圍.

題目回（青竹湖）在平面直角坐標系中，設(shè)直線I的解析式為：U=g+6（鼠b為常數(shù)且kwo）,當直線I與一

條曲器有且只有一個公共點時，我們稱直線，與這條曲線“相切”，這個公共點叫做“切點”.

（1）求直線Z：9=-2：+4與雙曲線y=9的切點坐標；

X

（2）已知拋物線g=Q/+歷;+C（Q、b、c為常數(shù)且aW0）經(jīng)過兩點（一3,0）和（1,0）,若直線Z：g=66-7與

拋物線相切，求。的值；

1

（3）已知直線Z：%=kx+m（k、m為常數(shù)）與拋物線y2=/+J相切于點（1，?），設(shè)二次函數(shù)河：y3=ax

+bc+c（a、b、c為常數(shù)且aWO,c為整數(shù)），對一切實數(shù)力恒有仇《窩&紡，求二次函數(shù)"的解析式.

^^目7］已知拋物線。：陰=。（力一九）2—1,直線1：y2=kx—kh—1.

（1）求證:直線I恒過拋物線。的頂點；

（2）當a=—1,mW/<2時，%>力一3恒成立，求7n的最小值；

（3）當0VQ&2,k>0時，若在直線，下方的拋物線。上至少存在兩個橫坐標為整數(shù)的點，求％的取值范

圍.

題目0已知拋物線C：%=-/+6/+4.

(1)如圖，拋物線與力軸相交于兩點(1—館,0)、(1+m,0).

①求b的值；

②當nW力&n+l時，二次函數(shù)有最大值為3,求n的值.

(2)已知直線Z：y2—2/一b+9,當力＞0時，％＜紡恒成立，求b的取值范圍.

題目回(雨花區(qū))有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“和睦四邊形”，寓意是全世界和平共處，睦鄰友好,共同發(fā)

展.如菱形，正方形等都是“和睦四邊形”.

(1)如圖1,BD平分AABC,AD//BC,求證：四邊形ABCD為“和睦四邊形”；

⑵如圖2,直線夕=—予+6與，軸、沙軸分別交于兩點，點P、Q分別是線段O44B上的動點.

點P從點人出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度向點。運動.點Q從點人出發(fā)，以每秒5個單位長度的速度

向點B運動.P、Q兩點同時出發(fā)，設(shè)運動時間為t秒.當四邊形BOPQ為“和睦四邊形”時，求t的值；

(3)如圖3,拋物線v=a/+fec+c與，軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè))，與"軸交于點。，拋物線的

頂點為點。.當四邊形。。BD為“和睦四邊形"，且CD=。。.拋物線還滿足：

①aVO,abWO,c=2；

2

②頂點。在以AB為直徑的圓上.點P(/0,7/0)是拋物線y=ax-\-bx+c上任意一點，且力=y0—V3x0.若

t&m十日普恒成立