專題06 二次函數(shù)的應(yīng)用（講練）-2024年中考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)講練測(cè)（浙江新中考）（解析版）

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考點(diǎn)要求命題預(yù)測(cè)二次函數(shù)的應(yīng)用在中考中.二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用是中考必考考點(diǎn).常以解答題形式考查.往往會(huì)結(jié)合方程（組）與一次函數(shù)考查。一、解答題1．（2023·浙江湖州·中考真題）某水產(chǎn)經(jīng)銷商以每千克30元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批某品種淡水魚，由銷售經(jīng)驗(yàn)可知，這種淡水魚的日銷售量y（千克）與銷售價(jià)格x（元/千克）存在一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：銷售價(jià)格x（元/千克）5040日銷售量y（千克）100200(1)試求出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．(2)設(shè)該經(jīng)銷商銷售這種淡水魚的日銷售利潤(rùn)為W元，如果不考慮其他因素，求當(dāng)銷售價(jià)格x為多少時(shí)，日銷售利潤(rùn)W最大？最大的日銷售利潤(rùn)是多少元？【答案】(1)(2)銷售價(jià)格為每千克45元時(shí)，日銷售利潤(rùn)最大，最大日銷售利潤(rùn)是2250元【分析】（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為，由表中數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)每日總利潤(rùn)=每千克利潤(rùn)×銷售量列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．【詳解】（1）解：設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為．將和分別代入，得：，解得：，∴y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是：；（2）解：，∵，∴當(dāng)時(shí)，在的范圍內(nèi)，W取到最大值，最大值是2250．答：銷售價(jià)格為每千克45元時(shí)，日銷售利潤(rùn)最大，最大日銷售利潤(rùn)是2250元．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系寫出函數(shù)解析式．2．（2023·浙江溫州·中考真題）一次足球訓(xùn)練中，小明從球門正前方的A處射門，球射向球門的路線呈拋物線．當(dāng)球飛行的水平距離為時(shí)，球達(dá)到最高點(diǎn)，此時(shí)球離地面．已知球門高為2.44m，現(xiàn)以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并通過計(jì)算判斷球能否射進(jìn)球門（忽略其他因素）．(2)對(duì)本次訓(xùn)練進(jìn)行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當(dāng)時(shí)他應(yīng)該帶球向正后方移動(dòng)多少米射門，才能讓足球經(jīng)過點(diǎn)O正上方2.25m處？【答案】(1)，球不能射進(jìn)球門(2)當(dāng)時(shí)他應(yīng)該帶球向正后方移動(dòng)1米射門【分析】（1）根據(jù)建立的平面直角三角坐標(biāo)系設(shè)拋物線解析式為頂點(diǎn)式，代入A點(diǎn)坐標(biāo)求出a的值即可得到函數(shù)表達(dá)式，再把代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)值，與球門高度比較即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)二次函數(shù)平移的規(guī)律，設(shè)出平移后的解析式，然后將點(diǎn)代入即可求解．【詳解】（1）解：由題意得：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)拋物線解析式為，把點(diǎn)代入，得，解得，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，，∴球不能射進(jìn)球門；（2）設(shè)小明帶球向正后方移動(dòng)米，則移動(dòng)后的拋物線為，把點(diǎn)代入得，解得（舍去），，∴當(dāng)時(shí)他應(yīng)該帶球向正后方移動(dòng)1米射門．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象的平移等知識(shí)，讀懂題意，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．3．（2022·浙江金華·中考真題）“八婺”菜場(chǎng)指導(dǎo)菜農(nóng)生產(chǎn)和銷售某種蔬菜，提供如下信息：①統(tǒng)計(jì)售價(jià)與需求量的數(shù)據(jù)，通過描點(diǎn)（圖1），發(fā)現(xiàn)該蔬菜需求量（噸）關(guān)于售價(jià)x（元/千克）的函數(shù)圖象可以看成拋物線，其表達(dá)式為，部分對(duì)應(yīng)值如表：售價(jià)x（元/千克）…2.533.54…需求量（噸）…7.757.26.555.8…②該蔬菜供給量（噸）關(guān)于售價(jià)x（元/千克）的函數(shù)表達(dá)式為，函數(shù)圖象見圖1．③1~7月份該蔬菜售價(jià)（元/千克），成本（元/千克）關(guān)于月份t的函數(shù)表達(dá)式分別為，，函數(shù)圖象見圖2．請(qǐng)解答下列問題：(1)求a，c的值．(2)根據(jù)圖2，哪個(gè)月出售這種蔬菜每千克獲利最大？并說明理由．(3)求該蔬菜供給量與需求量相等時(shí)的售價(jià)，以及按此價(jià)格出售獲得的總利潤(rùn)．【答案】(1)(2)在4月份出售這種蔬菜每千克獲利最大，見解析(3)該蔬菜供給量與需求量相等時(shí)的售價(jià)為5元/千克，按此價(jià)格出售獲得的總利潤(rùn)為8000元【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；（2）設(shè)這種蔬菜每千克獲利w元，根據(jù)列出函數(shù)關(guān)系式，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）根據(jù)題意列出方程，求出x的值，再求出總利潤(rùn)即可．【詳解】（1）把，代入可得②-①，得，解得，把代入①，得，∴．（2）設(shè)這種蔬菜每千克獲利w元，根據(jù)題意，有，化簡(jiǎn)，得，∵在的范圍內(nèi)，∴當(dāng)時(shí)，w有最大值．答：在4月份出售這種蔬菜每千克獲利最大．（3）由，得，化簡(jiǎn)，得，解得（舍去），∴售價(jià)為5元/千克．此時(shí)，（噸）（千克），把代入，得，把代入，得，∴總利潤(rùn)（元）．答：該蔬菜供給量與需求量相等時(shí)的售價(jià)為5元/千克，按此價(jià)格出售獲得的總利潤(rùn)為8000元．【點(diǎn)睛】此題主要考查了函數(shù)的綜合應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)圖象得出各點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．4．（2021·浙江紹興·中考真題）小聰設(shè)計(jì)獎(jiǎng)杯，從拋物線形狀上獲得靈感，在平面直角坐標(biāo)系中畫出截面示意圖，如圖1，杯體ACB是拋物線的一部分，拋物線的頂點(diǎn)C在y軸上，杯口直徑，且點(diǎn)A，B關(guān)于y軸對(duì)稱，杯腳高，杯高，杯底MN在x軸上．（1）求杯體ACB所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式（不必寫出x的取值范圍）．（2）為使獎(jiǎng)杯更加美觀，小敏提出了改進(jìn)方案，如圖2，杯體所在拋物線形狀不變，杯口直徑，杯腳高CO不變，杯深與杯高之比為0.6，求的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）【分析】（1）確定B點(diǎn)坐標(biāo)后，設(shè)出拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）利用杯深CD′與杯高OD′之比為0.6，求出OD′，接著利用拋物線解析式求出B'或A'橫坐標(biāo)即可完成求解．【詳解】解：（1）設(shè)，∵杯口直徑AB=4，杯高DO=8，∴將，代入，得，．（2），，，，當(dāng)時(shí)，，或，，即杯口直徑的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的應(yīng)用，涉及到待定系數(shù)法求拋物線解析式、求拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出相等關(guān)系列出等式等．5．（2017·浙江湖州·中考真題）湖州素有魚米之鄉(xiāng)之稱，某水產(chǎn)養(yǎng)殖大戶為了更好地發(fā)揮技術(shù)優(yōu)勢(shì)，一次性收購(gòu)了淡水魚，計(jì)劃養(yǎng)殖一段時(shí)間后再出售．已知每天放養(yǎng)的費(fèi)用相同，放養(yǎng)天的總成本為萬元；放養(yǎng)天的總成本為萬元（總成本=放養(yǎng)總費(fèi)用+收購(gòu)成本）．（1）設(shè)每天的放養(yǎng)費(fèi)用是萬元，收購(gòu)成本為萬元，求和的值；（2）設(shè)這批淡水魚放養(yǎng)天后的質(zhì)量為（），銷售單價(jià)為元/．根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)可知：與的函數(shù)關(guān)系為；與的函數(shù)關(guān)系如圖所示．①分別求出當(dāng)和時(shí)，與的函數(shù)關(guān)系式；②設(shè)將這批淡水魚放養(yǎng)天后一次性出售所得利潤(rùn)為元，求當(dāng)為何值時(shí)，最大？并求出最大值．（利潤(rùn)=銷售總額-總成本）【答案】（1）a的值為0.04，b的值為30（2）①y=t+15，y=t+30②當(dāng)t為55天時(shí)，W最大，最大值為180250元【詳解】試題分析：（1）根據(jù)題意，列方程組求解即可；（2）①通過圖像找到相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法分類列方程組求解即可得到函數(shù)的解析式；然后根據(jù)利潤(rùn)=銷售總額-總成本可列式=銷售單價(jià)×銷售天數(shù)-（放養(yǎng)總費(fèi)用+收購(gòu)成本），然后根據(jù)一次函數(shù)的特點(diǎn)和二次函數(shù)的最值求解即可.試題解析：（1）由題意得解得答：a的值為0.04，b的值為30.（2）①當(dāng)0≤t≤50時(shí)，設(shè)y與t的函數(shù)關(guān)系式為y=k1t+n1把點(diǎn)（0，15）和（50，25）的坐標(biāo)分別代入y=k1t+n1，得解得∴y與t的函數(shù)關(guān)系式為y=t+15當(dāng)50＜t≤100時(shí)，設(shè)y與t的函數(shù)關(guān)系式為y=k2t+n2把點(diǎn)（50，25）和（100，20）的坐標(biāo)分別代入y=k2t+n2，得解得∴y與t的函數(shù)關(guān)系式為y=t+30②由題意得，當(dāng)0≤t≤50時(shí)，W=20000×（t+15）-（400t+300000）=3600t∵3600＞0，∴當(dāng)t=50時(shí)，W最大值=180000（元）當(dāng)50＜t≤100時(shí)，W=（100t+15000）（t+30）-（400t+300000）=-10t2+1100t+150000=-10（t-55）2+180250∵-10＜0，∴當(dāng)t=55時(shí)，W最大值=180250綜上所述，當(dāng)t為55天時(shí)，W最大，最大值為180250元.考點(diǎn)：1、解二元一次方程組，2、一次函數(shù)，3、二次函數(shù)6．（2021·浙江·中考真題）今年以來，我市接待的游客人數(shù)逐月增加，據(jù)統(tǒng)計(jì)，游玩某景區(qū)的游客人數(shù)三月份為4萬人，五月份為5.76萬人．（1）求四月和五月這兩個(gè)月中，該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長(zhǎng)百分之幾；（2）若該景區(qū)僅有兩個(gè)景點(diǎn)，售票處出示的三種購(gòu)票方式如表所示：購(gòu)票方式甲乙丙可游玩景點(diǎn)和門票價(jià)格100元/人80元/人160元/人據(jù)預(yù)測(cè)，六月份選擇甲、乙、丙三種購(gòu)票方式的人數(shù)分別有2萬、3萬和2萬．并且當(dāng)甲、乙兩種門票價(jià)格不變時(shí)，丙種門票價(jià)格每下降1元，將有600人原計(jì)劃購(gòu)買甲種門票的游客和400人原計(jì)劃購(gòu)買乙種門票的游客改為購(gòu)買丙種門票．①若丙種門票價(jià)格下降10元，求景區(qū)六月份的門票總收入；②問：將丙種門票價(jià)格下降多少元時(shí)，景區(qū)六月份的門票總收入有最大值？最大值是多少萬元？【答案】（1）20%；（2）①798萬元，②當(dāng)丙種門票價(jià)格降低24元時(shí)，景區(qū)六月份的門票總收入有最大值，為817.6萬元【分析】（1）設(shè)四月和五月這兩個(gè)月中，該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為，則四月份的游客為人，五月份的游客為人，再列方程，解方程可得答案；（2）①分別計(jì)算購(gòu)買甲，乙，丙種門票的人數(shù)，再計(jì)算門票收入即可得到答案；②設(shè)丙種門票價(jià)格降低元，景區(qū)六月份的門票總收入為萬元，再列出與的二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最大利潤(rùn)即可得到答案．【詳解】解：（1）設(shè)四月和五月這兩個(gè)月中，該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為，由題意，得解這個(gè)方程，得（舍去）答：四月和五月這兩個(gè)月中，該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長(zhǎng)20%．（2）①由題意，丙種門票價(jià)格下降10元，得：購(gòu)買丙種門票的人數(shù)增加：（萬人），購(gòu)買甲種門票的人數(shù)為：（萬人），購(gòu)買乙種門票的人數(shù)為：（萬人），所以：門票收入問；（萬元）答：景區(qū)六月份的門票總收入為798萬元．②設(shè)丙種門票價(jià)格降低元，景區(qū)六月份的門票總收入為萬元，由題意，得化簡(jiǎn)，得，，∴當(dāng)時(shí)，取最大值，為817.6萬元．答：當(dāng)丙種門票價(jià)格降低24元時(shí)，景區(qū)六月份的門票總收入有最大值，為817.6萬元．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解利潤(rùn)的最大值是解題的關(guān)鍵．7．（2023·浙江衢州·中考真題）某龍舟隊(duì)進(jìn)行500米直道訓(xùn)練，全程分為啟航，途中和沖刺三個(gè)階段．圖1，圖2分別表示啟航階段和途中階段龍舟劃行總路程與時(shí)間的近似函數(shù)圖象．啟航階段的函數(shù)表達(dá)式為；途中階段勻速劃行，函數(shù)圖象為線段；在沖刺階段，龍舟先加速后勻速劃行，加速期龍舟劃行總路程與時(shí)間的函數(shù)表達(dá)式為．

(1)求出啟航階段關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式（寫出自變量的取值范圍），(2)已知途中階段龍舟速度為5m/s．①當(dāng)時(shí)，求出此時(shí)龍舟劃行的總路程，②在距離終點(diǎn)125米處設(shè)置計(jì)時(shí)點(diǎn)，龍舟到達(dá)時(shí)，視為達(dá)標(biāo)，請(qǐng)說明該龍舟隊(duì)能否達(dá)標(biāo)；(3)沖刺階段，加速期龍舟用時(shí)1s將速度從5m/s提高到5.25m/s，之后保持勻速劃行至終點(diǎn).求該龍舟隊(duì)完成訓(xùn)練所需時(shí)間（精確到0.01s）．【答案】(1)(2)①龍舟劃行的總路程為；②該龍舟隊(duì)能達(dá)標(biāo)．(3)該龍舟隊(duì)完成訓(xùn)練所需時(shí)間為【分析】（1）把代入得出的值，則可得出答案；（2）①設(shè)，把代入，得出，求得，當(dāng)時(shí)，求出，則可得出答案；②把代入，求得，則可得出答案；（3）由（1）可知，把代入，求得．求出，則可得出答案．【詳解】（1）把代入得，解得，啟航階段總路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)表達(dá)式為；（2）①設(shè)，把代入，得，解得，．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，龍舟劃行的總路程為．②，把代入，得．，該龍舟隊(duì)能達(dá)標(biāo)．（3）加速期：由（1）可知，把代入，得．函數(shù)表達(dá)式為，把代入，解得．，．答：該龍舟隊(duì)完成訓(xùn)練所需時(shí)間為．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法，根據(jù)條件準(zhǔn)確得到表達(dá)式是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)一二次函數(shù)的應(yīng)用題型01二次函數(shù)的應(yīng)用-運(yùn)功類（1）落地模型最值模型1．（2023·浙江臺(tái)州·一模）如圖，不考慮空氣阻力，以一定的速度將小球沿斜上方擊出時(shí)，小球飛行的高度是飛行時(shí)間的二次函數(shù)．現(xiàn)以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次擊出三個(gè)質(zhì)地一樣的小球，小球在各自擊出后1秒到達(dá)相同的最大飛行高度，若整個(gè)過程中同時(shí)出現(xiàn)在空中的小球個(gè)數(shù)最大值為2（不考慮小球落地后再?gòu)椘穑?，則t的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意建立直角坐標(biāo)系，再分析二次函數(shù)的性質(zhì)即可．【詳解】以球出發(fā)的地方為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，由題意得，二次函數(shù)過原點(diǎn)且對(duì)稱軸為直線，∴設(shè)二次函數(shù)解析式為，代入原點(diǎn)得，解得，∴，令得，解得∴一個(gè)球從出發(fā)到落地用時(shí)2秒，∵整個(gè)過程中同時(shí)出現(xiàn)在空中的小球個(gè)數(shù)最大值為2（不考慮小球落地后再?gòu)椘穑?，∴，解得，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，根據(jù)題意建立方程是解決問題的關(guān)鍵．2．（2022·浙江衢州·二模）教練對(duì)小明投擲實(shí)心球的訓(xùn)練錄像進(jìn)行了技術(shù)分析，發(fā)現(xiàn)實(shí)心球在行進(jìn)過程中高度y（m）與水平距離x（m）之間的關(guān)系為，由此可知小明此次投擲的成績(jī)是m．【答案】9【分析】要求鉛球推出的距離，實(shí)際上是求鉛球的落腳點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，故可直接令，求出x的值，則x的正值即為所求．【詳解】在函數(shù)式，令，則，解得：（舍），∴鉛球推出的距離是．故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題．理解當(dāng)時(shí)，x的正值代表的是鉛球的落腳點(diǎn)離原點(diǎn)的距離是解題關(guān)鍵．3．（2023·浙江·一模）根據(jù)我市體育中考排球墊球考試要求，女生受試者需在3米×3米的正方形區(qū)域內(nèi)原地將球墊起，球在運(yùn)動(dòng)中的最高點(diǎn)離地面至少為2米．某女生在測(cè)試區(qū)域中心離地面1米的P處第一次將球墊偏，之后又先后在A，B兩處將球救起，球沿拋物線運(yùn)動(dòng)（假設(shè)拋物線在同一平面內(nèi)），最終球正好回到P處墊起．如圖所示，已知點(diǎn)A，B均位于邊界正上方，且離地面高度分別為米、米．現(xiàn)以圖示地面所在直線為x軸且P的坐標(biāo)為，建立平面直角坐標(biāo)系．

(1)請(qǐng)直接寫出A，B的坐標(biāo)．(2)排球第一次被墊起后，在區(qū)域內(nèi)側(cè)離邊界水平距離米處達(dá)到最高，則該女生此次墊球是否達(dá)標(biāo)，請(qǐng)說明理由．(3)第三次墊球后，球在運(yùn)動(dòng)中離地面的最大高度恰好達(dá)標(biāo)，求拋物線的解析式．【答案】(1)，(2)該女生此次墊球不達(dá)標(biāo)．理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)受試者需在3米米的正方形區(qū)域內(nèi)原地將球墊起，某女生在測(cè)試區(qū)域中心且A，B均位于邊界正上方，寫出坐標(biāo)即可；（2）求出拋物線的解析式，求出最高點(diǎn)縱坐標(biāo)，比較即可；（3）設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式，求出解析式即可．【詳解】（1）解：根據(jù)受試者需在3米米的正方形區(qū)域內(nèi)原地將球墊起，某女生在測(cè)試區(qū)域中心且A，B均位于邊界正上方，則點(diǎn)A坐標(biāo)為；點(diǎn)B坐標(biāo)為．（2）解：該女生此次墊球不達(dá)標(biāo)．排球第一次被墊起后，在區(qū)域內(nèi)側(cè)離邊界水平距離米處達(dá)到最高，則拋物線的對(duì)稱軸為直線，設(shè)拋物線解析式為，把，代入得，，解得，，拋物線解析式為，最高點(diǎn)離地面米，該女生此次墊球不達(dá)標(biāo)．（3）解：第三次墊球后，球在運(yùn)動(dòng)中離地面的最大高度恰好達(dá)標(biāo)，則頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為，設(shè)拋物線解析式為，把，代入得，，解得，，（舍去）拋物線解析式為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意求出二次函數(shù)解析式．4．（2023·浙江紹興·三模）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)如何調(diào)整電梯球、落葉球的發(fā)球方向素材1：如圖是某足球場(chǎng)的一部分，球門寬，高．小梅站在A處向門柱一側(cè)發(fā)球，點(diǎn)A正對(duì)門柱（即），，足球運(yùn)動(dòng)的路線是拋物線的一部分．

素材2：如圖，當(dāng)足球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)Q時(shí)，高度為，即，此時(shí)水平距離，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．

(1)求足球運(yùn)動(dòng)的高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系式，此時(shí)足球能否入網(wǎng)？(2)小梅改變發(fā)球方向，發(fā)球時(shí)起點(diǎn)不變，運(yùn)動(dòng)路線的形狀不變，足球是否能打到遠(yuǎn)角E處再入網(wǎng)？（上述（1），（2）中球落在門柱邊線視同球入網(wǎng)）【答案】(1)，足球不能進(jìn)入球網(wǎng)(2)能【分析】（1）由題意知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)拋物線解析式的頂點(diǎn)式為，由拋物線過原點(diǎn)即可求出a的值，從而確定拋物線的解析式；求出當(dāng)時(shí)的函數(shù)值，與球門高對(duì)比即可作出判斷；（2）原點(diǎn)不變，所在直線為x軸，函數(shù)解析式不變，求出的長(zhǎng)，計(jì)算當(dāng)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值并與比較，即可判斷足球是否入門．【詳解】（1）解：由題得拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（0，0），∴，∴，∴足球運(yùn)動(dòng)軌跡拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；當(dāng)時(shí)，，，∴足球不能進(jìn)入球網(wǎng)．（2）解：∵足球運(yùn)動(dòng)軌跡拋物線形狀不變，此時(shí)以點(diǎn)A為原點(diǎn)，所在直線為x軸，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式仍為∵，∴由勾股定理得：，當(dāng)，，∴能打到遠(yuǎn)角E處入網(wǎng)．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的應(yīng)用問題，考查了求二次函數(shù)的解析式，求函數(shù)值，勾股定理等知識(shí)，正確理解題意，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江金華·三模）如圖所示，取某一位置的水平線為軸，建立了平面坐標(biāo)系后，小山坡可以近似看成拋物線．小明在離點(diǎn)的樓頂拋出一球，其運(yùn)動(dòng)軌跡為拋物線，落在山坡的點(diǎn)處，測(cè)得點(diǎn)離軸的距離為．

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)求小球飛行過程中，離山坡的最大高度．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)在拋物線上，把代入計(jì)算出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）根據(jù)題意求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)和點(diǎn)在拋物線上，利用待定系數(shù)法求出，的值，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)求出小球飛行過程中，離山坡的最大高度．【詳解】（1）測(cè)得點(diǎn)離軸的距離為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)的坐標(biāo)是．（2），當(dāng)時(shí)，，，，，，點(diǎn)和點(diǎn)在拋物線上，．∴．高山坡的高度．小球飛行過程中，離山坡的最大高度為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)求出二次函數(shù)的最大值是解本題的關(guān)鍵．題型02二次函數(shù)的應(yīng)用-經(jīng)濟(jì)類銷售問題常用等量關(guān)系：利潤(rùn)=收入-成本；利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷量；1．（2024·浙江寧波·一模）某款旅游紀(jì)念品很受游客喜愛，每個(gè)紀(jì)念品進(jìn)價(jià)40元，規(guī)定銷售單價(jià)不低于44元，且不高于52元．某商戶在銷售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價(jià)定為44元時(shí)，每天可售出300個(gè)，銷售單價(jià)每上漲1元，每天銷量減少10個(gè)．現(xiàn)商家決定提價(jià)銷售，設(shè)每天銷售量為y個(gè)，銷售單價(jià)為x元．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)將紀(jì)念品的銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，商家每天銷售紀(jì)念品獲得的利潤(rùn)w元最大？最大利潤(rùn)是多少元？(3)該商戶從每天的利潤(rùn)中捐出200元做慈善，為了保證捐款后每天剩余利潤(rùn)不低于2200元，求銷售單價(jià)x的范圍．【答案】(1)；(2)紀(jì)念品的銷售單價(jià)定為52元時(shí)，商家每天銷售紀(jì)念品獲得的利潤(rùn)元最大，最大利潤(rùn)是2640元；(3)．【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用．得到銷售量以及利潤(rùn)的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵．（1）銷售量原來的銷售量提升的價(jià)格，把相關(guān)數(shù)值代入化簡(jiǎn)即可；（2）利潤(rùn)每件紀(jì)念品的利潤(rùn)銷售量，把相關(guān)數(shù)值代入后可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)可得拋物線的開口方向，判斷出二次函數(shù)的對(duì)稱軸后，與自變量的取值范圍結(jié)合，可得相關(guān)定價(jià)和最大利潤(rùn)；（3）讓（2）中的利潤(rùn)得到新的利潤(rùn)，根據(jù)捐款后每天剩余利潤(rùn)不低于2200元，利用函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的開口方向及自變量的取值范圍可得銷售單價(jià)的取值范圍．【詳解】（1）解：．關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為：；（2）解：．拋物線的對(duì)稱軸為：．，，當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為：；答：紀(jì)念品的銷售單價(jià)定為52元時(shí)，商家每天銷售紀(jì)念品獲得的利潤(rùn)元最大，最大利潤(rùn)是2640元；（3）解：捐款后每天剩余利潤(rùn)不低于2200元，．．當(dāng)時(shí)，．，．，．，，為了保證捐款后每天剩余利潤(rùn)不低于2200元，．答：為了保證捐款后每天剩余利潤(rùn)不低于2200元，銷售單價(jià)的范圍為：．2．（2023·浙江寧波·一模）烏饅頭是江北慈城地方特色點(diǎn)心，用麥粉發(fā)酵，再摻以白糖黃糖，蒸制而成．因其用黃糖，顏色暗黃，所以稱之謂“烏饅頭”．某商店銷售烏饅頭，通過分析銷售情況發(fā)現(xiàn)，烏饅頭的日銷售量（盒）是銷售單價(jià)（元/盒）的一次函數(shù)，銷售單價(jià)、日銷售量的部分對(duì)應(yīng)值如下表，已知銷售單價(jià)不低于成本價(jià)且不高于20元，每天銷售烏饅頭的固定損耗為20元，且銷售單價(jià)為18元/盒時(shí)，日銷售純利潤(rùn)為1180元．銷售單價(jià)（元/盒）1513日銷售量（盒）500700(1)求烏饅頭的日銷售量（盒）與銷售單價(jià)（元/盒）的函數(shù)表達(dá)式；(2)“端午烏饅重陽(yáng)粽”是慈城的習(xí)俗．端午節(jié)期間，商店決定采用降價(jià)促銷的方式回饋顧客．在顧客獲得最大實(shí)惠的前提下，當(dāng)烏饅頭每盒降價(jià)多少元時(shí)，商店日銷售純利潤(rùn)為1480元？(3)當(dāng)銷售單價(jià)定為多少時(shí)，日銷售純利潤(rùn)最大，并求此日銷售最大純利潤(rùn)．【答案】(1)(2)當(dāng)烏饅頭每盒降價(jià)3元時(shí)，商店每天獲利為1480元(3)當(dāng)銷售單價(jià)定為16元/盒時(shí)，日銷售純利潤(rùn)最大，最大純利潤(rùn)為1580元【分析】（1）設(shè)，根據(jù)表格即可求解；（2）根據(jù)：銷售量單件利潤(rùn)損耗費(fèi)用銷售總利潤(rùn)，列出方程即可求解；（3）設(shè)日銷售純利潤(rùn)為元，根據(jù)：銷售量單件利潤(rùn)損耗費(fèi)用銷售總利潤(rùn)，列出函數(shù)關(guān)系式，并在求最值即可．【詳解】（1）解：設(shè)，由題意得，解得，∴．（2）解：當(dāng)時(shí)，，即銷售200盒的純利潤(rùn)為1180元，成本價(jià)為：（元），，解得：（舍），，（元）．答：當(dāng)烏饅頭每盒降價(jià)3元時(shí)，商店每天獲利為1480元．（3）解：設(shè)日銷售純利潤(rùn)為元，由題意得，，，當(dāng)時(shí)，有最大值1580元，答：當(dāng)銷售單價(jià)定為16元/盒時(shí)，日銷售純利潤(rùn)最大，最大純利潤(rùn)為1580元．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)，一元二次方程，二次函數(shù)在銷售利潤(rùn)中的應(yīng)用，掌握銷售問題中的等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）2023年秋，某工業(yè)大學(xué)小組進(jìn)行為期90天的三創(chuàng)賽實(shí)戰(zhàn)項(xiàng)目，此小組前往某農(nóng)村進(jìn)行產(chǎn)品銷售，已知該產(chǎn)品的每件成本為40元，組長(zhǎng)根據(jù)市場(chǎng)情況列出了以下表格：①該產(chǎn)品90天內(nèi)時(shí)間和日銷量的關(guān)系如下表：時(shí)間（第x天）13610···日銷量（a件）198194188180···②該產(chǎn)品90天內(nèi)時(shí)間和銷售價(jià)格關(guān)系如下表：時(shí)間（第x天）銷售價(jià)格（元/件）100(1)設(shè)銷售該商品每天利潤(rùn)為y元，請(qǐng)寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求出90天內(nèi)該產(chǎn)品哪天銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？(2)若該比賽規(guī)定，25天銷售利潤(rùn)不低于5400元即可晉級(jí)，那么該小組是否能順利晉級(jí)呢？【答案】(1)當(dāng)時(shí)，的值最大，最大值是7200，即在90天內(nèi)該產(chǎn)品第40天的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是7200元(2)在該產(chǎn)品銷售的過程中，共有46天銷售利潤(rùn)不低于5400元，該小組能順利晉級(jí)【分析】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意根據(jù)銷售問題中總利潤(rùn)的相等關(guān)系，結(jié)合的取值范圍列出分段函數(shù)解析式及二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)．（1）設(shè)利潤(rùn)為元，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，分別求出各段上的最大值，比較即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)和時(shí)，由求得的范圍，據(jù)此可得銷售利潤(rùn)不低于5400元的天數(shù)．【詳解】（1）解：設(shè)銷售該產(chǎn)品每天利潤(rùn)為元，關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為：，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值是7200；當(dāng)時(shí)，，，隨增大而減小，即當(dāng)時(shí)，的值最大，最大值是6000；綜上所述，當(dāng)時(shí)，的值最大，最大值是7200，即在90天內(nèi)該產(chǎn)品第40天的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是7200元；（2）解：當(dāng)時(shí)，由可得，解得：，，；當(dāng)時(shí)，由可得，解得：，，，綜上，，故在該產(chǎn)品銷售的過程中，共有46天銷售利潤(rùn)不低于5400元，該小組能順利晉級(jí)．題型03二次函數(shù)的應(yīng)用-面積類1．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）為了給學(xué)校的柯爾鴨過冬提供舒適的環(huán)境，飼養(yǎng)小組決定用長(zhǎng)為米的籬笆，和一面長(zhǎng)為6米的墻圍成如圖所示的長(zhǎng)方形的鴨圈．整個(gè)鴨圈的正中間被籬笆隔斷成活動(dòng)區(qū)和生活區(qū)，活動(dòng)區(qū)和兩區(qū)中間的籬笆上分別開了一個(gè)門，兩個(gè)門的尺寸均為米，鴨圈垂直于墻的一邊的長(zhǎng)為米．（其中籬笆全部用完，不考慮高度，籬笆占地面積忽略，門的材料另備）

設(shè)計(jì)方案小成小韓小林（米的長(zhǎng)（米）（

）（

）（

）(1)用含，的代數(shù)式表示鴨圈另一邊長(zhǎng)米．(2)若固定不變．①若要求鴨圈面積為10平方米，求的值．②小成、小韓和小林根據(jù)的長(zhǎng)度分別給出了3種不同的設(shè)計(jì)方案見上表，請(qǐng)驗(yàn)算并分析誰(shuí)的方案比較靠譜．③請(qǐng)通過上述探究，直接寫出的取值范圍，并計(jì)算鴨圈面積的最大值．(3)若籬笆最多有16米，問：鴨圈面積能否達(dá)到24平方米？【答案】(1)(2)①或；②；小成；③；(3)鴨圈面積能達(dá)到24平方米【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，列代數(shù)式和代數(shù)式求值：（1）（1）根據(jù)題意和圖形，可以用含a的代數(shù)式表示出的長(zhǎng)即可；（2）①先求出，再利用矩形面積公式建立方程求解即可；②根據(jù)（1）所求代值計(jì)算即可；③先求出，再利用矩形面積計(jì)算公式用含a的式子表示出矩形面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）令時(shí)，則，再同（2）③求解即可．【詳解】（1）解：由題意得：（米，故答案為：；（2）解：①由題意得，∴，解得：或；②當(dāng)時(shí)，（米，同理可得：時(shí)，（米，時(shí)，（米，從上述數(shù)據(jù)看，小成的方案更為靠譜；③由題意得：，即，解得：，設(shè)鴨圈面積為平方米，則，，故有最大值，當(dāng)時(shí)，的最大值為：；（3）解：當(dāng)時(shí)，，設(shè)鴨圈面積為平方米，則，，當(dāng)時(shí)，的最大值為：，∴鴨圈面積能達(dá)到24平方米．2．（2024·浙江臺(tái)州·一模）圖1是即將建造的“碗形”景觀池的模擬圖，設(shè)計(jì)師將它的外輪廓設(shè)計(jì)成如圖2所示的圖形．它是由線段，線段，曲線，曲線圍成的封閉圖形，且，在x軸上，曲線與曲線關(guān)于y軸對(duì)稱．已知曲線是以C為頂點(diǎn)的拋物線的一部分，其函數(shù)解析式為：（p為常數(shù)，）．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線的函數(shù)解析式．(2)如圖3，用三段塑料管，，圍成一個(gè)一邊靠岸的矩形荷花種植區(qū)，E，F(xiàn)分別在曲線，曲線上，G，H在x軸上．記米時(shí)所需的塑料管總長(zhǎng)度為，米時(shí)所需的塑料管總長(zhǎng)度為．若，求p的取值范圍．當(dāng)與的差為多少時(shí)，三段塑料管總長(zhǎng)度最大？請(qǐng)你求出三段塑料管總長(zhǎng)度的最大值．【答案】(1)(2)；當(dāng)與的差為時(shí)，三段塑料管總長(zhǎng)度最大，最大值為【分析】本題考查了二次函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱性求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可求出拋物線的解析式；（2）設(shè)，，根據(jù)，得出關(guān)于p的不等式解得即可；設(shè)，三段塑料管總長(zhǎng)度為L(zhǎng)，根據(jù)題意得出化簡(jiǎn)即可得出答案．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，C坐標(biāo)為，由對(duì)稱得點(diǎn)A坐標(biāo)為，拋物線的解析式為：；（2）解：根據(jù)題意，設(shè)，

，

，，

即：，化簡(jiǎn)得：，

，；解：設(shè)，三段塑料管總長(zhǎng)度為L(zhǎng)，根據(jù)題意可得：，，化簡(jiǎn)得：，當(dāng)時(shí)，L有最大值110，

當(dāng)與的差為時(shí)，三段塑料管總長(zhǎng)度最大，最大值為．題型04二次函數(shù)的應(yīng)用-拱橋類一般步驟：(1)恰當(dāng)?shù)亟⒅苯亲鴺?biāo)系；(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)合理地設(shè)出所求函數(shù)關(guān)系式；(4)代入已知條件或點(diǎn)的坐標(biāo)，求出關(guān)系式；(5)利用關(guān)系式求解問題．1．（2023·浙江金華·一模）如圖1，某公園有一個(gè)圓形噴水池，噴水池中心有一個(gè)垂直于地面自動(dòng)升降的噴頭，噴出的水柱形狀呈拋物線．如圖2，以噴水池中心O為原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤軸，1米為1個(gè)單位長(zhǎng)度建立平面直角坐標(biāo)系，噴頭A的坐標(biāo)為．設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式中二次項(xiàng)系數(shù)為a．(1)當(dāng)水柱都滿足水平距離為4米時(shí)，達(dá)到最大高度為6米．①若時(shí)，求第一象限內(nèi)水柱的函數(shù)表達(dá)式．②用含t的代數(shù)式表示a．(2)為了美化公園，對(duì)公園及噴水設(shè)備進(jìn)行升級(jí)改造，a與t之間滿足，且當(dāng)水平距離為6米時(shí)，水柱達(dá)到最大高度．①求改造后水柱達(dá)到的最大高度．②若水池的直徑為25米，要使水柱不能落在水池外，求t的取值范圍．【答案】(1)①；②(2)①水柱達(dá)到的最大高度8米；②【分析】（1）①設(shè)第一象限內(nèi)水柱的函數(shù)表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，把代入函數(shù)表達(dá)式即可得解，②把代入即可得解；（2）①設(shè)第一象限內(nèi)水柱的函數(shù)表達(dá)式為，利用得出a與t的關(guān)系，將代入，即可得解②把代入，得，要使水柱不能落在水池外，即可確定a的取值范圍，再利用等量代即可得出t的取值范圍．．【詳解】（1）①設(shè)第一象限內(nèi)水柱的函數(shù)表達(dá)式為．當(dāng)時(shí)，把代入函數(shù)表達(dá)式，得．第一象限內(nèi)水柱的函數(shù)表達(dá)式為．②把代入，得得（2）①設(shè)第一象限內(nèi)水柱的函數(shù)表達(dá)式為．．把代入，得，．水柱達(dá)到的最大高度8米．②把代入，得．要使水柱不能落在水池外，則a的取值范圍為．，，解得．．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用以及二次函數(shù)的性質(zhì)，理解題意，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵．2．（2022·浙江金華·二模）跳繩是一項(xiàng)很好的健身活動(dòng)，如圖是小明跳繩運(yùn)動(dòng)時(shí)的示意圖，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，甩繩近似拋物線形狀，腳底、相距20cm，頭頂離地175cm，相距60cm的雙手、離地均為80cm．點(diǎn)、、、、在同一平面內(nèi)，腳離地面的高度忽略不計(jì)．小明調(diào)節(jié)繩子，使跳動(dòng)時(shí)繩子剛好經(jīng)過腳底、兩點(diǎn)，且甩繩形狀始終保持不變．(1)求經(jīng)過腳底、時(shí)繩子所在拋物線的解析式．(2)判斷小明此次跳繩能否成功，并說明理由．【答案】(1)(2)不成功，理由見解析【分析】（1）建立如圖所示的坐標(biāo)系：結(jié)合題意可得：由雙手、離地均為80cm，可得C點(diǎn)坐標(biāo)為：再利用待定系數(shù)法求解解析式即可；（2）由可得跳繩不過頭頂，從而可得答案．【詳解】（1）解：建立如圖所示的坐標(biāo)系：結(jié)合題意可得：雙手、離地均為80cm．C點(diǎn)坐標(biāo)為：設(shè)拋物線為：解得：所以拋物線為（2）解：∵y=0.1x2－90，∴頂點(diǎn)為（0，－90）.即跳繩頂點(diǎn)到手的距離是90cm，跳繩不過頭頂，小明此次跳繩能不成功．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，理解題意，建立合適的坐標(biāo)系是解本題的關(guān)鍵．3．（2024·浙江寧波·一模）根據(jù)下列素材，探索完成任務(wù)．如何設(shè)計(jì)跳繩的方案素材1參加跳長(zhǎng)繩比賽時(shí)，各隊(duì)跳繩6人，搖繩2人，共計(jì)8人，他們?cè)谕黄矫鎯?nèi)站成一路縱隊(duì)．圖2是長(zhǎng)繩甩到最高處時(shí)的示意圖，可以近似的看作一條拋物線．搖繩的兩名隊(duì)員水平間距為5米，他們的手到地面的高度米，繩子最高點(diǎn)距離地面2米．

素材2某隊(duì)的6名跳繩隊(duì)員中，男女生各3名，男生身高均在－米，女生身高一人為米高，兩人都為米，為保證安全，跳繩隊(duì)員之間的距離至少米．問題解決任務(wù)1確定長(zhǎng)繩在最高點(diǎn)時(shí)的形狀在圖2中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．任務(wù)2探究站隊(duì)的方式若將最高的男生站在搖繩隊(duì)員的中點(diǎn)，長(zhǎng)繩能否順利甩過所有隊(duì)員的頭頂？任務(wù)3設(shè)計(jì)位置方案為了更順利的完成跳繩，現(xiàn)按中間高兩邊低的方式站隊(duì)，請(qǐng)?jiān)谀闼⒌淖鴺?biāo)系中，求出左邊第一位隊(duì)員橫坐標(biāo)的取值范圍．【答案】任務(wù)一：；任務(wù)二：繩子