廣東省揭陽(yáng)市普寧市2023-2024學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試題 解析版

廣東省揭陽(yáng)市普寧市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

第團(tuán)卷

閱卷人

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出

得分的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求.

1.已知橢圓2哈+2竽=1,則它的短軸長(zhǎng)為()

A.2B.4C.6D.8

2.已知直線m經(jīng)過4(-2,1),B(0,一3)兩點(diǎn)，則直線m的斜率為()

A.-2B._1D.2

-2

3.已知空間向量2=(0,1,4)，b-(1,-1,0)，貝!)|五+)=()

A.V19B.19C.17D.V17

4.在等差數(shù)列｛。九｝中，已知=12,則數(shù)列九｝的前6項(xiàng)之和為()

A.12B.32C.36D.37

5.地震預(yù)警是指在破壞性地震發(fā)生以后，在某些區(qū)域可以利用“電磁波”搶在“地震波”之前發(fā)出避險(xiǎn)警報(bào)

信息，以減小相關(guān)預(yù)警區(qū)域的災(zāi)害損失.根據(jù)Rydelek和Pujol提出的雙臺(tái)子臺(tái)陣方法，在一次地震發(fā)生

后，通過兩個(gè)地震臺(tái)站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在雙曲線的一支上，這兩個(gè)地

震臺(tái)站的位置就是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn).在一次地震預(yù)警中，兩地震臺(tái)A站和3站相距10/cni.根據(jù)它們收到

的信息，可知震中到3站與震中到Z站的距離之差為6Mn.據(jù)此可以判斷，震中到地震臺(tái)3站的距離至少為

)

A.8kmB.6kmC.4kmD.2km

6.已知圓M：+y2=1和N：(x—2V2)2+(y—2V2)2=m2(m>0)存在公共點(diǎn)，則m的值不可能為

)

A.3B.3V2C.5D.4V2

7.如圖，在四面體04BC中，G是的中點(diǎn)，設(shè)e1=五，OB=b>OC=c>則尼=()

1—>1

A.a-Ah-A?B.—d+b+c

C.—^S+h+cD-—h—c

8.對(duì)于數(shù)列｛eJ，若存在正數(shù)M，使得對(duì)一切正整數(shù)n,都有<M,則稱數(shù)列是有界的.若這樣

的正數(shù)M不存在，則稱數(shù)列｛的J是無(wú)界的.記數(shù)列8"的前幾項(xiàng)和為5個(gè)下列結(jié)論正確的是()

A.若斯則數(shù)列的｝是無(wú)界的

B.若an=nsinn,則數(shù)列｛an｝是有界的

C.若斯=(—l)n,則數(shù)列｛S"是有界的

D.若即=2+今，則數(shù)列｛S"是有界的

閱卷人L多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出

一的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0

得分|分,部分選對(duì)的得2分.

9.已知向量2=(1,1,0),則與反同向共線的單位向量3=()

A.(—辛，—辛，0)B.(0,1,0)

c.(辛，:，0)D.(-1,-1,0)

a

10.已知數(shù)列｛時(shí)｝滿足=2,an+i=、Q"+1'n為了?上記bn=2n-i>則()

(c1n+3,n為偶數(shù)一

A.歷=3B.①=6c.bn+1-bn=4D.bn=4n+2

11.已知直線I：9+1)久+g/+￡1=0(￡1€/?)與圓。：%2+y2-4%-5=0,則下列結(jié)論正確的是

()

A.存在a,使得/的傾斜角為90°

B.存在a,使得/的傾斜角為135。

C.存在a,使直線/與圓C相離

D.對(duì)任意的a,直線/與圓C相交，且a=1時(shí)相交弦最短

12.已知雙曲線C：m―S=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為B、F2,左、右頂點(diǎn)分別為①、A2,

a"/'

P為雙曲線右支上的一點(diǎn)，且直線P&與尸&的斜率之積等于3,則下列說(shuō)法正確的是()

A.雙曲線C的漸近線方程為y=±百久

B.若Pa1PF2,且SAPFI&=6，則a=1

C.分別以線段PF-&&為直徑的兩個(gè)圓內(nèi)切

D.APF2A1=2APA1F2

閱卷人|三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

得分

13.若直線2%—y+1=0與直線x+ay+3=0平行，貝!Ja=.

2

14.已知雙曲線與—y2=l(a>0)的一條漸近線方程為％+2y=0,則a=.

15.已知數(shù)列5｝為I，…，則該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可以

是.

16.《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為

直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵ABC—2/16，中，M是的中點(diǎn)，AB=2AA1=2AC,BN=

g西,MG=3GN,若前=%初+丫而+z前，貝氏+y+z=.

閱卷入

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或

演算步驟.

得分

17.已知直線a久+2y+6=0和直線Lx+y-1=0.

(1)若。1%時(shí)，求a的值；

(2)當(dāng)Zi||%平行，求兩直線m%的距離.

18.已知直線1：2%-y+4=0與x軸的交點(diǎn)為A,圓O：/+y2=廠2&>°)經(jīng)過點(diǎn)A.

(1)求r的值；

(2)若點(diǎn)B為圓O上一點(diǎn)，且直線48垂直于直線1,求弦長(zhǎng)|4B].

19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA_L平面ABCD,AD〃BC,AD±CD,且AD=CD=1,BC=2,

PA=1.

(1)求證:ABXPC；

（2）點(diǎn)M在線段PD上，二面角M-AC-D的余弦值為孚求三棱錐M-ACP體積.

20.已知數(shù)列｛an）的前n項(xiàng)和為Sn.Sn=2an-2（nE.

（1）求數(shù)列｛a"的通項(xiàng)公式；

（2）從下面兩個(gè)條件中選擇一個(gè)填在橫線上，并完成下面的問題.①①=4,①=8；@b2是

h和b4的等比中項(xiàng)，0=72.若公差不為0的等差數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為Tn,且▲,求數(shù)

列｛卷~｝的前71項(xiàng)和An"

21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)*,1）在拋物線C：y2=2px±.

（1）求p的值；

（2）若直線1與拋物線C交于P（；q,y。，Q（%2，力）兩點(diǎn)，y/2<°，且赤?麗=3,求|yil+21y

的最小值.

22.已知圓心：（久+2值/+y2=64，定點(diǎn)尸2（28，0），A是圓F1上的一動(dòng)點(diǎn)，線段出▲的垂直平分線

交半徑尸通于P點(diǎn).

（1）求P點(diǎn)的軌跡C的方程；

（2）設(shè)直線1過點(diǎn)（4,—2）且與曲線C相交于M,N兩點(diǎn)，/不經(jīng)過點(diǎn)Q（0,2）.證明：直線MQ的斜

率與直線NQ的斜率之和為定值.

答案解析部分

L【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

【解析】【解答】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：b=2,所以該橢圓的短軸長(zhǎng)為2X2=4。

故答案為：B

【分析】利用已知條件結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)的位置，從而求出b的值，進(jìn)而結(jié)合短軸長(zhǎng)的定義

求出橢圓的短軸長(zhǎng)。

2.【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】斜率的計(jì)算公式

【解析】【解答】直線小的斜率為：士寺盤=—2.

故答案為：A

【分析】根據(jù)直線的斜率公式，即可求解.

3.【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】向量的模；平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

【解析】【解答】因?yàn)槲?(0,1,4),b=(1,—1,0),

所以五+石=(1,0,4),故忻+山=舊,

故答案為：D.

【分析】求出向量熱+力的坐標(biāo)，然后直接根據(jù)向量的模的公式求出答案.

4.【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；等差數(shù)列的性質(zhì)

【解析】【解答】解：因?yàn)椋鸻n)為等差數(shù)列，

所以數(shù)列的前6項(xiàng)之和為6(叼：。6)=3(。3+(14)=36.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)運(yùn)算求解.

5.【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的應(yīng)用

【解析】【解答】設(shè)震中為P,依題意有|PB|—|PA|=6<|AB|=10,所以點(diǎn)P的軌跡是以力，B為焦點(diǎn)的

雙曲線靠近4的一支，

因?yàn)閨P*+2MBi=10,當(dāng)且僅當(dāng)4,P,B三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào)，

所以|PB|-6+|PB|210,所以

所以震中到地震臺(tái)B站的距離至少為8kzn。

故答案為：A

【分析】設(shè)震中為P,依題意有|PB|-|P4|=6<\AB\=10,再結(jié)合雙曲線的定義判斷出點(diǎn)P的軌跡是

以力，B為焦點(diǎn)的雙曲線靠近力的一支，再結(jié)合|PA|+|PB|2|48|=10,當(dāng)且僅當(dāng)AP,B三點(diǎn)共線時(shí)取

等號(hào)，進(jìn)而得出PB長(zhǎng)的取值范圍，從而得出震中到地震臺(tái)B站的距離至少的長(zhǎng)度。

6.【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；圓與圓的位置關(guān)系及其判定

【解析】【解答】解：圓M：x2+y2=1的圓心為M(0,0),半徑r=l；

圓N：(%—2A/2)2+(y—2V2)2=m2(m>0)的圓心為可(2魚,2魚)，半徑R=m；

可知|MN|=4,

若圓M和N存在公共點(diǎn)，則|R—r|W|MN|WR+r,

即-1|〈4Wm+1,解得34TH〈5,

所以ABC成立，D不成立.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)題意結(jié)合兩圓間的位置關(guān)系分析求解.

7.【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】向量加法的三角形法則

【解析】【解答】解：AC=OC-OA=c-a,

AB^OB-~OA=b-a^

AG=2(4C+4B)=2(—2d+/?+c)=—3.+)b+)乙

故答案為：B.

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算，即可求解出答案.

8.【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；函數(shù)恒成立問題

【解析】【解答】對(duì)于=弓|=應(yīng)<恒成立，二存在正數(shù)使得恒成立,

A,\an\1M=1,<M

二數(shù)列是有界的，A不符合題意；

對(duì)于

B,\an\=|nsinn|=n|sinn|,

即隨著"的增大，不存在正數(shù)使得廝恒成立，

??1|sinn|<1,\an\<n,11WM

??.數(shù)列是無(wú)界的，B不符合題意；

對(duì)于當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，

C,nSn=0；nSn=-1；

??.|SM<1,.?.存在正數(shù)M=1,使得<M恒成立，

數(shù)列｛S"是有界的，C符合題意；

對(duì)小D,滔=京w（2n-l）（2n+l）=共王口一吉而'），

11111111

合+夢(mèng)+-滔〈九二耳+-+而=-而不

.?$=2"+1+2+4（1-2+11）

=2點(diǎn)+曲1-磊）=2九+磊=2（九一高+2）;

y=%—刃%在（0，+8）上單調(diào)遞增，九一萬(wàn)&e盛，+oo）,

不存在正數(shù)M,使得FnlMM恒成立，數(shù)列｛Sn｝是無(wú)界的，D不符合題意.

故答案為：C.

【分析】利用已知條件結(jié)合分類討論的方法，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和不等式恒成立問題求解方法，再結(jié)

合數(shù)列的有界性和無(wú)界性，進(jìn)而找出結(jié)論正確的選項(xiàng)。

9.【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示

一a無(wú)/V2V2\

【解析】【解答】解：由題意可知：與行同向共線的單位向量。=同=0。=（三，萬(wàn)，。n）

故答案為：C.

【分析】根據(jù)單位向量的定義結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.

10.【答案】B,C

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列概念與表示；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的遞推公式；數(shù)列的通項(xiàng)公式

【解析】【解答】解：由題意可知：=2,。2=3,。3=6,則bl=CZ1=232=。3=6,故A錯(cuò)誤，B正

確；

a

因?yàn)閎n+l=?2n+l—2n+3=?2n-l+1+3=CL2n-l+4=bn+4，

即bn+1-bn=4,

可知數(shù)列｛%｝是以首項(xiàng)為2,公差為4的等差數(shù)列，

所以bn=2+4(n-1)=4n-2,故C正確，D錯(cuò)誤；

故答案為：BC.

【分析】根據(jù)題意代入求解即可判斷AB；根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式判斷CD.

11.【答案】A,D

【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系；圓與圓的位置關(guān)系及其判定

【解析】【解答】對(duì)于A中，當(dāng)a=0時(shí)，直線人久=0,此時(shí)直線/的傾斜角為90。，所以A符合題意；

對(duì)于B中，當(dāng)時(shí)，可得直線Z的斜率為左=—?3,

a

若直線/的傾斜角為135。，可得—生已=—1,即a+l=a,此時(shí)方程無(wú)解，所以B不符合題意；

a

對(duì)于C中，由直線/：(a+l)x+ay+cz=0,可化為a(x+y+1)+x=0,

令解得x=0，y=-1>即直線1恒經(jīng)過點(diǎn)P(0,-I)，

又由圓C：/+y2一4久一5=o的圓心坐標(biāo)為c(2,o),半徑為r=3,

因?yàn)閨PC|=j22+(-l)2=而,則|PC|<r,所以點(diǎn)P在圓C內(nèi)部，

所以無(wú)論a為何值，直線/與圓C總相交，所以C不符合題意；

對(duì)于D中，當(dāng)a=l時(shí)，直線八2x+y+l=0,此時(shí)直線的斜率為周=一2,

又由kpc=一稱，此時(shí)/Q,kpc=—1,即PC_LI,

根據(jù)圓的弦的性質(zhì)，此時(shí)弦長(zhǎng)最短，所以D符合題意.

故答案為：AD.

【分析】當(dāng)a=0時(shí)，得到直線/：久=0,可判定A符合題意；求得直線/的斜率為k=-組口，令

a

—￡±1=_1,根據(jù)方程無(wú)解，可判定B不符合題意；化簡(jiǎn)直線為aQ+y+l)+久=0,聯(lián)立方程組，得

到直線/恒經(jīng)過點(diǎn)P(0,-1),結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，可判定CC不符合題意；當(dāng)a=l時(shí)，得到直線的

斜率為心=-2,根據(jù)號(hào)?kpc=-1,結(jié)合圓的弦的性質(zhì)，可判定D符合題意.

12.【答案】A,C,D

【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；雙曲線的應(yīng)用；直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【解答】A、設(shè)P(x,y),則儼=必償一1),

因?yàn)?),々(a,0),直線P&,P&的斜率之積等于3,

h2|4.2-l

所以4，j,___y__y22_廬得2

a—2—a

kPAl"P&-~x2_a2%2—a2

所以雙曲線的漸近線方程為：y=±B%,A正確.

,2

B、由A已得：勺=3，所以e=1+嗎=2，所以c=2a,

因?yàn)镻為雙曲線右支上的一點(diǎn)，所以|P%|-|P&I=2a,

又因?yàn)镻Fi1PF2且S"FF2=6,貝!J|P尸SPF2I=12,

又因?yàn)閨P尸I『+|P4|2=(2C)2,

222

所以(IPF1I一出&|)2=(2a)=IPFIF+|PF2|-2|PF1||PF2|=(2c)-24

即4a2=4c2—24,得c?—次=6=b?，所以M=2,所以a=V2,B錯(cuò)誤.

C、設(shè)PFi的中點(diǎn)為01，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，貝IJOO1為APFiF2的中位線,

所以001=1|PF2|=^(|PF1|-2a)=^\PF1\-a,

以線段PF1為直徑的圓，圓心為。1，半徑勺=；仍%|,

以線段&&為直徑的圓，圓心為0,半徑「2=a

所以。。1=勺一「2，故兩圓內(nèi)切，C正確.

D、設(shè)P(%o，y0),則％o>a,假設(shè)兀>0,

已得：c=2a,b=V3a,漸近線方程為y=+V3x,

所以ZPA/2G(0,

APF2A1e(0,冬),

又因?yàn)閠anQPF24)=\/tan(zPX1F2)=

Xn-CXn一乙a久。十Q

2yo

,、Xn+a2yo(和+Q)2y(x+a)

所以tanQzP&Fz)=--------200

z

(x0+a)-yo(x+a)—b

\x0+a/0

2yoOo+a)一居…(NPF2&),

222

(X0+GL)—3(X0—Gt)

又因?yàn)?N24/2e（0,等），所以NPF24=2NP&F2，D正確.

故選：ACD

,2

【分析】設(shè)出P的坐標(biāo)，利用直線P&與P&的斜率之積等于3,可求得目的值，進(jìn)而得到漸近線方

程，判斷A選項(xiàng)；由A的結(jié)論可得離心率e,根據(jù)雙曲線的定義可得|PFi|-IPF2I=2a,結(jié)合面積公式

可求得a的值，進(jìn)而判斷B選項(xiàng)；設(shè)出P0的中點(diǎn)為01，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，貝1」0。1為APFiF2的中位線，根

據(jù)兩個(gè)圓的位置關(guān)系可判斷C選項(xiàng)；利用二倍角的正切公式可判斷D選項(xiàng)。

13.【答案】-2

【知識(shí)點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系

【解析】【解答】解：?直線2光一y+l=0與直線x+ay+3=0平行，

A2a+l=0

解得Q=—

故答案為：-￡

【分析】根據(jù)兩直線平行的充要條件求解即可.

14.【答案】2

【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

【解析】【解答】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為％+2y=0,

所以雙曲線的方程可設(shè)為岑_曠2=犯h°）,即A_唾=1，

4J'74/A.

因?yàn)槎唷獃2=l（a>0）,

所以解得a=2（負(fù)值舍去），

所以a=2.

故答案為：2.

【分析】利用雙曲線的漸近線方程求解即可.

15.【答案】即=陪（答案不唯一）

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的通項(xiàng)公式

【解析】【解答】解：由題意可知：數(shù)列｛廝｝為巖，雷，霜，蕓|，…，

所以該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是an=陪.

故答案為：M=陪（答案不唯一）.

【分析】根據(jù)題意結(jié)合通項(xiàng)公式的定義分析求解.

16.【答案】導(dǎo)

【知識(shí)點(diǎn)】空間向量的正交分解及坐標(biāo)表示；空間向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

【解析】【解答】解：以&為坐標(biāo)原點(diǎn)，硒，出瓦，砧;的方向分別為x,y,z軸的正方向建立空間直

角坐標(biāo)系&-xyz.

設(shè)AB=4,則4(2,0,0),B(2,4,0),&(0,0,0),<7(2,0,2),M(0,0,1),嗚4,0).

因?yàn)榱?頹，可得G(l,3金)，

貝I」前=(―1,3,3，磯=(一2,0,0),荏=(0,4,0),AC=(0,0,2),

因?yàn)榱?/p>

G=xAA1+yAB+zAC=(-2%,4y,2z),

(—1=—2x

則］:-4、,解得久=［，y=?z=*,

(4=2Z11

所以x+y+z=也

故答案為：圣

【分析】建系標(biāo)點(diǎn)，根據(jù)題意空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算分析求解.

17?【答案】(1)解：?//1：a%+2y+6=0,%：%+y—1=0且A%，

axl+2xl=0,

解得a=-2

(2)解：?I］：CLX+2y+6=0,%：%+y—1=0,且I"/%，

ax1=2x1且一aw2,解得a=2,

??Z1：2x+2y+6=0,%：%+y—1—0,即白：％+y+3=0,I?：%+y—1—0

J_|3+1|_DB

.??直線。,l2間的距離為d=6H=2立

【知識(shí)點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系；直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系；平面內(nèi)兩條平行直線

間的距離

【解析】【分析】（1）根據(jù)直線的一般方程結(jié)合垂直關(guān)系列式求解即可；

（2）根據(jù)直線的一般方程結(jié)合平行關(guān)系列式求解，并代入兩平行線間距離公式運(yùn)算求解.

18.【答案】（1）解：在2%-y+4=0中，令y=0,得久=—2,故4（一2,0）.

因?yàn)閳AO：/+y2=廠2&>°）經(jīng)過點(diǎn)A,所以（―2猿+02=r2（r>0）,解得r=2.

（2）解：直線1的斜率為2,因?yàn)橹本€AB垂直于直線1,所以直線AB的斜率為-今

所以直線的方程為y—0=—*+2）,即尤+2y+2=0.

22

圓心。到直線的距離為五軍R=西，

所以|AB|=2J22—備尸=喑.

【知識(shí)點(diǎn)】平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離公式

【解析】【分析】（1）先求得A點(diǎn)的坐標(biāo)，代入圓。的方程，由此求出r的值；

（2）求得直線AB的方程，根據(jù)直線與圓相交所得弦長(zhǎng)公式，求得弦長(zhǎng)|AB|.

19.【答案】（1）證明：由題意得四邊形ADCB是直角梯形，AD=CD=1,故NACD=45。，ZACB=45°,

AC=V2.XBC=2,所以空=煞=￥，所以△CDASASB,所以ABLAC.又PA_L平面ABCD,ABu平

面ABCD,所以PAJ_AB.而PAu平面PAC,ACu平面PAC,PACiAC=A,所以ABJ_平面PAC.又PCu

平面PAC,所以AB_LPC

（2）解：過點(diǎn)A作AELBC于E,易知E為BC中點(diǎn)，以A為原點(diǎn)，AE,AD,AP所在直線為x軸，y

軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則C(l,1,0),4(0,0,0),0(0,1,0),P(0,0,1).

則配=(1,1,0),AP=(0,0,1),~PD=(0,1,-1)

設(shè)前=而+4麗=(0,0,1)+A(0,1,-1)=(0,4,1-A),0<4<1.顯然，屁是平面ACD的

一個(gè)法向量，

設(shè)平面MAC的一個(gè)法向量為元=(%,y,z).則有

=0,取久=-L解得元=(-1,1,含

k\AP-n\lAl_V3,

由二面角M-AC-D的余弦值為竽，有|麗|阿一卜；；%/一T,解得4=1,所以M為PD中點(diǎn).

所以VM-4cp=VM-ACD=^VP-ACD=X|X.^\AD\\CD\\AP\=告

【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面垂直的判定；直線與平面垂直的性質(zhì)；用空間向量研究二面角

【解析】【分析】(1)根據(jù)△CZMSACAB,證得力BlAC,再由24,平面ABCD,證得PALAB,結(jié)合

線面垂直的判定定理，證得AB1平面R4C,進(jìn)而證得AB1PC.

(2)以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)薪=人+2而，分別求得平面MAC和平面AC。的法向

量，利用向量的夾角公式，求得4的值，結(jié)合UMTCP=UMYCD=±VPTCD，即可求解.

20.【答案】(1)解：當(dāng)n=1時(shí)，a】=Si=2al-2,可得%=2；

當(dāng)？122時(shí)，Sn-1=2%1-1—2,所以a”—Sn—Sn-1—2<in—2<1n—i，即-2。八_[(7122),

因?yàn)榫?2H0,所以數(shù)列｛an｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)歹U，

71

所以an=2-2nT=2；

(2)解：設(shè)數(shù)列｛0｝的公差為d,

若選擇①，由題意|3：￡=之，解得bi=d=2；

一(％十DU=O

所以T九=71X2+"弓1)x2=n2+n，

由⑴得，a=2",所以強(qiáng)=n2+nn+1,-、、，1

n=y=(九+1)X乃'

n-2

一1111

所以An=2x--r+3x—yH—+?2x—n—1+(九+1)X/,

212，2(

41111

=2X—+3X—Q+…+11X—+(71+1)X—

z2222,n+l'

兩式相減得冬=1+/+*+￡+…+十)-5+相義/T

,13九+3

=1+扣-6尸］

14一(九+1)X產(chǎn)I=2一萍I，

所以力幾=3一今策

若選擇②，有與=瓦?%，即（比+d）?=b]?（歷+3d），即b^d=d2，

因?yàn)閐W0,所以bi=d,

所以78=72=8瓦+夠4=364，解得b1=d=2,

2

所以Tn=nx2+"31）x2=n+n,

由（1）得，冊(cè)=2"，所以含-二"藍(lán)==（九+1）X$，

nann-222

一1111

所以4n=2x尹+3X/H-----\-nx2rl_i+（幾+1）X乃,

11II

T=2X72+3X73+…+nX乃+（九+1）X?

ZZ乙Z

兩式相減，得竽=1+（也+$+,+…+｝）-5+1）x卡T

n-1

/[1-④]/,1、13n+3

=1+-------5+l）x嚴(yán)=2一嚴(yán)’

所以An=3-.

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的求和

【解析】【分析】（1）根據(jù)題意由數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列前n項(xiàng)和公式之間的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，由

此即可判斷出數(shù)列為等比數(shù)列，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可。

（2）若選擇①，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式整理求出首項(xiàng)和公差的值由此即可求出數(shù)列前n項(xiàng)和公式，再由

由（1）的結(jié)論即可得出數(shù)列｛2｝的通項(xiàng)公式，由錯(cuò)位相減法即可求出數(shù)列前n項(xiàng)和；

若選擇②，由等比數(shù)列的性質(zhì)整理化簡(jiǎn)即可得出比=d再由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式代入數(shù)值計(jì)算出

bi=d=2,進(jìn)而求出數(shù)列前n項(xiàng)和再由由（1）的結(jié)論即可得出數(shù)歹U｛烏｝的通項(xiàng)公式，結(jié)合錯(cuò)位相減法即

可得出數(shù)列前n項(xiàng)和。

21.【答案】（1）解：將1）代入拋物線C：y2=2px,解得：p=l

71=2%1

（2）解：P（xr,%）,Q（%2,丫2）在拋物線C上,故

光=2%2'

麗?麗=%1久2+外力=%1為）2=3，解得:y*2=_6或2,

因?yàn)闉檠?<°，所以為、2=一6,即|乃|?伍1=6,

故"11+21y21=島+2僅21>2J島-2岡=4V3,

當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?2|丫21，即|丫2|=6時(shí)等號(hào)成立，

故Ml+21y21的最小值為4倔

【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

【解析】【分析】⑴將Z8,1)代入拋物線即可得解；

(2)根據(jù)拋物線方程結(jié)合數(shù)量積可得丫1丫2=-6,結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.

22.【答案】⑴解：圓小(久+28『+y2=64的圓心鼻(—28，0),半徑為8,

因A是圓力上的一動(dòng)點(diǎn)，線段尸2力的垂直平分線交半徑％A于P點(diǎn)，貝UIPF2I=伊川，

于是得|尸&|+\PF2\—|PFi|+\PA\=\FrA\=8>4>/3=\F1F2\?因此，P點(diǎn)的軌跡C是以％,F2為左右

焦點(diǎn)，

長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=8的橢圓，短半軸長(zhǎng)b有/=口2一Q遍『=4,

所以P點(diǎn)的軌跡C的方程是《+4=1-

(2)解：因直線/過點(diǎn)(4,-2)且與曲線C：岑+^=1相交于M,N兩點(diǎn)，則直線1的斜率存在且不為

164

0,

又/不經(jīng)過點(diǎn)Q(0,2),即直線/的斜率不等于-1,設(shè)直線/的斜率為k,卜6且卜工0,k^-1,

直線2的方程為：y+2=k(x—4),即y=k%一2(2k+l),

由『消去丫并整理得：(4k2+l)x2-16k(2k+l)x+16(2/c+l)2-16=0,

4=256k2Qk+I)2-64(4肥+l)[(2k+l)2-1]=-256k>0,即k<0,則有2<0且k豐-1,

?

設(shè)%),N(%2，了2)，則比1+久2=16k(y+1),=16[(2"1)T],

~4fc+14k+1

直線MQ的斜率/CMQ=笫=依]一胃+D=k-普"，直線NQ的斜率MQ=k-警產(chǎn)，

kMQ+kNQ=2k--^1)=2k-4(k+1)-=2k-4(k+1)-旗2"=2k-Qk+

X1X2xlx2(2/c+l)-1

1)=-1,

所以直線MQ的斜率與直線NQ的斜率之和為定值-1.

【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的定義；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】(1)由A是圓Fi上的一動(dòng)點(diǎn)，線段尸2^的垂直平分線交半徑5便于P點(diǎn)，得到仍尸2|=

\PA\,化簡(jiǎn)得到[PF/+IPF2I=8,結(jié)合橢圓的定義，即可求得P點(diǎn)的軌跡C的方程；

(2)設(shè)直線Z的方程為y=上久一2(2k+1),聯(lián)立方程組，根據(jù)A>0,求得k<0且k。一1,且亞+

久2=16)(,+1),=16[(2”1)2—1],分別求得媼=k-警1和5=k-琴1,進(jìn)而化簡(jiǎn)得

4/c+1加+1%1%2

到由畋+MQ=-1,即可求解.

試題分析部分

1、試卷總體分布分析

總分:150分

客觀題（占比）65.0(43.3%)

分值分布

主觀題（占比）85.0(56.7%)

客觀題（占比）13(59.1%)

題量分布

主觀題（占比）9(40.9%)

2、試卷題量分布分析

大題題型題目量（占比）分值（占比）

填空題：本題共4小

題，每小題5分，共4(18.2%)20.0(13.3%)

20分.

解答題：本題共6小

題，共70分.解答應(yīng)

6(27.3%)70.0(46.7%)

寫出文字說(shuō)明、證明

過程或演算步驟.

單項(xiàng)選擇題：本大題

共8小題，每小題5

分，共40分.在每小

8(36.4%)40.0(26.7%)

題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)符合要

求.

多項(xiàng)選擇題：本大題

共4小題，每小題5

分，共20分.在每小

題給出的四個(gè)選項(xiàng)

4(18.2%)20.0(13.3%)

中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得

5分，有選錯(cuò)的得0

分，部分選對(duì)的得2

分.

3、試卷難度結(jié)構(gòu)分析

序號(hào)難易度占比

1普通(50.0%)

2容易(36.4%)

3困難(13.6%)

4、試卷知識(shí)點(diǎn)分析

序號(hào)知識(shí)點(diǎn)（認(rèn)知水平）分值（占比）對(duì)應(yīng)題號(hào)

1直線與平面垂直的性質(zhì)11.5(7.7%)19

2空間向量的正交分解及坐標(biāo)表示5.0(3.3%)16

3橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)5.0(3.3%)1

4用空間向量研究二面角11.5(7.7%)19

5平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算5.0(3.3%)3

6直線與圓的位置關(guān)系5.0