河南省焦作市2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

河南省焦作市2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合4={x|，一3工+2>0}乃={%|-3<%<3},則/口8=()

A.{%|一3<%<一2或-1<%<3}B.{x|l<x<2}

C.{引-3<、<1或2<x<3}D.{x\x>1}

2.已知復(fù)數(shù)40在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)分別為(1,-3),(-2,5),則三+1=()

4

6

A.—B.1C.J2D.2

2

5

3.已知2x--^I=tzox+ax+a2—+a3+a4+a5—(mGR),貝『々2=720”是

【⑺必y儼y儼

“加=3”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知“3C的內(nèi)角48,C的對邊分別是a,6c8/C.若cos/=迪,“=1,貝I

3

j=()

siii5-sinC

13

A.-B.-C.2D.3

22

5.已知直四棱柱々co-44GA的底面為梯形，

3___，__.

AB=BBX=—CXDX=6,CDHAB,BM=AMBl(0<2<1),若?！╟平面/G"=N,貝(j

DN=()

424Z+22A+62A+4

A.B.C.--------D.--------

4+12+12+12+1

6.如圖所示，cos2^AOB=()

[/(4,6)

O\%

試卷第1頁，共4頁

22

7.記橢圓。：三+1=1（°>6>0）與圓。2：/+/=/的公共點(diǎn)為w,N,其中W

ab

在N的左側(cè)，A是圓。2上異于M，N的點(diǎn)，連接交。于3,若

2tan//7W=5tan/AW,則C］的離心率為（）

A.3B.9C.巫D.叵

5555

8.若函數(shù)/（》）=二+。尤2_6在定義域區(qū)上存在最小值6,則當(dāng)。-6取得最小值時(shí)，a=

（）

二、多選題

9.在一次數(shù)學(xué)測試中，老師將班級60位同學(xué)的成績按照從小到大的順序進(jìn)行排列后得

到的原始數(shù)據(jù)為％,。2,60（數(shù)據(jù)互不相同），其極差為加，平均數(shù)為。，則下列結(jié)

論中正確的是（）

A.4%—3,4%—3,4%—3,…,4&（）—3的平均數(shù)為4.-3

B.。|+2,%+2,%+2廣、4（）+2的第25百分位數(shù)與原始數(shù)據(jù)的相同

C.若色墳電旦，…，細(xì)包旦的極差為加'，則〃?'〈機(jī)

22222

D%+%+。3+。4…。59+&0°60+%的平均數(shù)大于.

'2，2，2，，2，2,

10.已知函數(shù)〃x）=2sin（ox+0）（o>O）/（x）為“X）的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的

是（）

A.函數(shù)ga）=/（x）+/‘（x）的圖象不可能關(guān)于y軸對稱

B.若夕=<且。"，/⑴在［0,萼］上恰有4個(gè)零點(diǎn)，則0=3

6L3_

7T4

C.若。=：,/（3兀-x）+/（x）=0,則。的最小值為、

D.若。*，夕=/，且"X）在卡,機(jī)上的值域?yàn)椴稬2］,則加的取值范圍是

3兀971

_20,20_

11.費(fèi)馬原理是幾何光學(xué)中的一條重要定理，由此定理可以推導(dǎo)出圓錐曲線的一些性質(zhì)，

例如，若點(diǎn)A是雙曲線C（片,匕為C的兩個(gè)焦點(diǎn)）上的一點(diǎn)，則C在點(diǎn)A處的切線平

試卷第2頁，共4頁

22

分立小4乙.已知雙曲線C:土-匕=1的左、右焦點(diǎn)分別為號耳，直線/為。在其上一點(diǎn)

84一

/（46,2百）處的切線，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.C的一條漸近線與直線孤-/+3=0相互垂直

B.若點(diǎn)B在直線/上，且耳8,43,則|。同=2行（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）

C.直線/的方程為后-島-4=0

D.延長/巴交C于點(diǎn)尸，則△/尸片的內(nèi)切圓圓心在直線x=迪上

3

三、填空題

12.大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作注時(shí)介紹了“勾股圓方圖”，即“趙

爽弦圖”.如圖是某同學(xué)繪制的趙爽弦圖，其中四邊形“BCD,EFG”均為正方形，

AD=AE=2,貝！J而而=.

13.已知數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和5“="2-3〃也=°“?（百尸，若?是如也+2的等差中項(xiàng),

貝1」左=.

14.已知函數(shù)/（x）的定義域?yàn)镽,且/（4x+l）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0,2）中心對稱，若

100

/（2+x）-/（2-x）+4x=0,則￡/?）=.

i=l

四、解答題

15.已知等比數(shù)列｛叫的首項(xiàng)為2,公比9為整數(shù)，且4%+2a2+的=4%.

⑴求｛?！埃耐?xiàng)公式;

（2）設(shè)數(shù)列的前〃項(xiàng)和為S”，比較S”與4的大小關(guān)系，并說明理由.

4n-an

16.如圖，在四棱柱/BCD-44中，二面角4一7D-民4一均為直二面角.

試卷第3頁，共4頁

⑴求證：44—平面/BCD；

(2)若2。48=/4BC=90°,Z4=40=248,二面角。-4C-8的正弦值為好，求生

5AB

的值.

17.在某公司舉辦的職業(yè)技能競賽中，只有甲、乙兩人晉級決賽，己知決賽第一天采用

五場三勝制，即先贏三場者獲勝，當(dāng)天的比賽結(jié)束，決賽第二天的賽制與第一天相同.

在兩天的比賽中，若某位選手連勝兩天，則他獲得最終冠軍，決賽結(jié)束，若兩位選手各

勝一天，則需進(jìn)行第三天的比賽，第三天的比賽為三場兩勝制，即先贏兩場者獲勝，并

獲得最終冠軍，決賽結(jié)束.每天每場的比賽只有甲勝與乙勝兩種結(jié)果，每場比賽的結(jié)果

相互獨(dú)立，且每場比賽甲獲勝的概率均為p(0<p<1).

(1)若,求第一天比賽的總場數(shù)為4的概率；

(2)若p=；,求決出最終冠軍時(shí)比賽的總場數(shù)至多為8的概率.

18.已知拋物線C:/=4x的焦點(diǎn)為尸，在x軸上的截距為正數(shù)的直線/與C交于尸，。兩

點(diǎn)，直線打'與C的另一個(gè)交點(diǎn)為R.

⑴若求附；

(2)過點(diǎn)及作C的切線若/〃則當(dāng)?shù)拿娣e取得最小值時(shí)，求直線/的斜率.

19.已知函數(shù)/(x)=ax-lnx(QeR).

⑴若xe,討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

⑵若4%是函數(shù)g(x)=/(x)+/((/'(尤)為〃月的導(dǎo)函數(shù))的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且

玉<%2，求證：/(X1)_/(X2)----1--<%2一%.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.c

【分析】化簡集合A,直接利用交集運(yùn)算求解即可.

［詳角型］由4={x|x2-3x+2>Oj=>2<1},

所以力cB={x［2<x<3或一3cx<1}.

故選：C

2.A

【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義和復(fù)數(shù)的模長公式求解即可.

【詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義可得句=1-3i/2=-2+5i,

故選：A.

3.B

【分析】根據(jù)二項(xiàng)定理的通項(xiàng)公式，結(jié)合4=720求出冽的值，判斷“％=720”和“冽=3

的邏輯關(guān)系，即得答案.

【詳解】由題意得%=C；"加/=720,解得加=±3,

故。2=720時(shí)，不一定推出加=3,而加=3時(shí)，必有。2=720,

故"4=720”是“m=3”的必要不充分條件，

故選：B

【分析】由同角的三角函數(shù)關(guān)系求出sinZ,根據(jù)正弦定理求得2H=3,（及為外接圓

半徑），再根據(jù)正弦定理邊化角，即可求得答案.

2R=----=—=3

故sin/1,（及為力5C外接圓半徑）,

3

,,b-c2RsinB-2RsinC_?_

故---------=----------：------=2R=3,

sinB-sinCsin5-sinC

答案第1頁，共18頁

故選：D

5.C

【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得力/〃GN,結(jié)合空間的等角定理可得

RtACRNsRfABM,即得對應(yīng)邊成比例，結(jié)合題意，即可求得答案.

【詳解】因?yàn)樗睦庵?CD-44GA為直四棱柱，CD//AB,

故平面/班14〃平面。CG2,而平面/MC]Nn平面DCCQ=C]N,

平面力MqNCl平面故AM〃C】N,

又CQIICOI力5,則/〃GN=/A4M,故RSCQNsRQ/BM,

,C,D,AB3—、___.,62

故7777=^7,又AB=BBi=^CQi=6,BM=<2<1),則8"=-；~,

BM2Z+l

46

____—_____414;9;A

則AN—62,故，N=X，則。N=6—X=+

1--72+12+1A+l

2+1

故選：C

6.C

【分析】由題意求出的正弦值以及余弦值，根據(jù)兩角差的余弦公式求得

cos乙405,再由二倍角余弦公式，即可求得答案.

【詳解】由題意知I0/卜V42+62=2VH,\OB|=V32+12=71c,

13.32

則sin/BOx=-,—,cos/BOx=->—.sin^-AOx-—,cos^-AOx——.

V10V10V13V13

故cosNAOB=cos(ZAOx-/BOx)=cosZAOxcosZBOx+sinZAOxsinZBOx

32139

一回屈M屈一屈,

ikcos2ZAOB=2cos2ZAOB-]=2x[-^]-1=應(yīng)，

IV130J65

答案第2頁，共18頁

故選：c

7.D

【分析】根據(jù)題意可知M(-。,0),N(a,O),結(jié)合圖象和橢圓方程可知

2

b,八…、r士——ATT/—r-^/口tanZ.BMN

=一■，由為直角二角形，可求得tanN4/W(2)

a-

tan/BNMt^nZBNM

由題意可知點(diǎn)M,N分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，所以M(-〃,0),N(a,O),

設(shè)點(diǎn)A在第一象限，設(shè)點(diǎn)B(xj),所以

b2,

tan/BMN?tanNBNM=-產(chǎn)f=

\a+x\\a-x\a2-x2

tan--ZBMN

tanZANM12J1=J

tan/BNMtanNBNMtanZBNM-tanABMN2

故選：D.

8.A

【分析】求出/'(x),設(shè)/(x)最小值在x=%o處取得，用與表示出“，求出利用導(dǎo)數(shù)

即可求解.

【詳解】因?yàn)?(x)=e'+&,所以廣(x)=e"+2ax,

當(dāng)。=0時(shí)，/(%)>0恒成立，則/(%)在定義域上單調(diào)遞增，不存在最小值，故舍去;

當(dāng)QVO時(shí)，若x<0,貝ij/(x)=e'+辦2—e<辦2一?+1,

答案第3頁，共18頁

又了="2_e+l(。<0)在(-。,0)上單調(diào)遞增，

則當(dāng)X--°0時(shí)/(尤)-—8,所以/(X)無最小值，故舍去；

所以a>0,又/''(;<)=e*+2ax,易知/''(x)=e*+2ax在定義域上單調(diào)遞增，

且/(0)=1,所以存在唯一零點(diǎn)七,即1。+2辦o=O,且與<0,

當(dāng)x</時(shí)f\x)<0,當(dāng)x>Xo時(shí)f'{x}>0,

所以/(X)在(-00/0)上單調(diào)遞減，在(%,+00)上單調(diào)遞增，

T

所以/(X)在x=/處取得最小值,即f(力*=/(x0)=e-0+ax1-Q=b,

x

又。=一「e殉，所以"公一^p-°一/(%)=e-(r4=1-l)+e,

2x02x022x0

令=,(x<0),

所以g'(x)=;e"(x---H--1)=eA(x-l)2(x+l),

2xx2x

所以當(dāng)x<-1時(shí)g'(x)<0,當(dāng)-l<x<0時(shí)g'(x)>0,

所以g(x)在(e,T)上單調(diào)遞減，在(TO)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)尸-1時(shí)g(x)取得極小值，即最小值，

所以％=-1,所以。=二.

2e

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于設(shè)/(工)最小值在x=x。處取得，用％表示出。，求出。-上

9.AC

【分析】由平均數(shù)、百分位數(shù)、極差的計(jì)算公式對選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.

【詳解】對于A,由平均數(shù)的性質(zhì)知4q-3,4%-3,4%-3,…,4a6。-3的平均數(shù)為4a-3,故A

正確；

對于B%+2,收+2馮+2,。+2的第25百分位數(shù)比原始數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)大2,故

B錯(cuò)誤；

a+aa+a%+aa59+060&o+%

對于C,x2234的極差為:

答案第4頁，共18頁

^(^60~a\

L。6(pQ1=加,故C正確;

。60+。59+。2。60—%+%9—。2

m〈

2222

116+。22+。3。3+。4。59+。60。60+41

對于D,-----------------1-------------------1-----------------+------1---------------------+--------------

6022222

)

—+a2+a3-\---------1~。60=。，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.AC

【分析】求出廣(X),化簡g(x)=/(x)+/'(x)的表達(dá)式，判斷奇偶性，即可判斷A；確定

71714。兀7T

a)x—G-，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)列出不等式，求得。，判斷B；根據(jù)三角函數(shù)的對

66'3O

兀1\0jn加i兀.,,口工*丁t,[,__*t、兀，1Otn兀，7兀、

稱性可判斷C;確定至X+]￡+7，結(jié)合題意列出不等式彳求

6932936

出m的范圍，判斷D.

【詳解】對于A,/(x)=2sin(ox+9),/./'(x)=20cos(啰x+9),

故g(x)=/(%)+/'(x)-2sin(ox+9)+2℃os(ox+9),

fx+y|=2^-COSX為偶函數(shù),

當(dāng)啰=1，9=工時(shí)，g(x)=2sinx+—+2cos

44V4；

此時(shí)函數(shù)g(x)=/(尤)+/'(無)的圖象關(guān)于V軸對稱，A錯(cuò)誤;

LI71k714〃7兀71

對于B,XG0,

6636

4/7)717T1925

由于“X)在0,上恰有4個(gè)零點(diǎn)，故皿亍-廠4兀，即丁/<二

而GEZ,故口=3,B正確;

3兀

對于C由于〃3兀-x)+/(x)=0,則/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn),0對稱,

2

371兀

71八136971兀T/,丁、nn22kr

即/2sin'------+——0,貝U----1——ku(kGZ),即co-------1---,kGZ,

22323v793

4

又G>O,故左=1時(shí)，G的最小值為5，c正確;

rtT10兀rt10兀

對于D,@==H時(shí)，/(Cx()\=2sin——x-\——

93

,十9兀71立1°兀7i10m7i

由于%￡一茄，加，故]G，----1—

20693

而“X)在一'，加上的值域?yàn)楣暑贺＃?兀3713兀

——<m<——,D錯(cuò)誤,

36204

故選：AC

11.ABD

答案第5頁，共18頁

【分析】根據(jù)雙曲線方程即可求出漸近線可判斷A,由角平分線性質(zhì)可得G點(diǎn)坐標(biāo)，求出

直線/方程可判斷C,設(shè)出2點(diǎn)坐標(biāo)由條件可判斷B,假設(shè)△，尸片的內(nèi)切圓圓心在直線

尤=地上，由內(nèi)心性質(zhì)可判斷D.

3

【詳解】選項(xiàng)A：雙曲線=l的一條漸近線方程為y=-字尤與缶-y+3=0相互

垂直，故A正確；

選項(xiàng)BC：因?yàn)椤?2夜,6=2,所以C=2A/§\耳卜2山,0）線06,0）,

所以防=44右+26『+(2可=86,\AF2\=4S/2,

,_2A/5_屈

又IG易FI=\A信F\=2,所以G,所以勺二粒;小五二可

3

直線/：y,即一后一2=0,故C錯(cuò)誤,

屈-2_

'兒E>[y/^x—2

設(shè)Bx,-j=，貝U_5,化簡得：x=-6,

I75)

所以川-百，-石），則|0兇=2后，故B正確;

2A/5J?直線/月：了=半［一26卜

選項(xiàng)D：

f22

------二1

o412G

聯(lián)立?,化簡得：7--40缶+144=0,解得西=4指,超

y=^^1一2⑹7

所以直線PF1:y=-與?1+2百上

上，若又在直線x=迪上,

因?yàn)椤?因的內(nèi)切圓圓心在直線直線/：y

3

答案第6頁，共18頁

4百275、

則內(nèi)切圓圓心為,圓心到直線:y/15x-3y-675=0的距離為:

7

V15x--3x--675

354而，

dy—

J15+915

圓心到直線尸片：V15x+39y+6V5=0的距離為:

x逑+39*通

V15+6囪

354J30，即4=4，

d2=

V15+39215

4J32J5丁4“G八27?5、

所以點(diǎn)子，亡也在44尸片的角平分線上，即點(diǎn):，子為△，尸片的內(nèi)切圓

35

77

圓心，圓心在直線1=生8上，故D正確;

3

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：充分利用角平分線的性質(zhì)得出G點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線垂直關(guān)系及點(diǎn)到

直線距離公式可判斷各項(xiàng).

12.16

【分析】建立直角坐標(biāo)系，由數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解即可.

【詳解】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，因?yàn)镹O=/E=2,

所以下(-2,0),8(2,2),1(0,2),H(4,2),

所以麗=（4,2）,屈=（4,0）,所以麗.京=16.

故答案為：16.

答案第7頁，共18頁

【分析】當(dāng)心2時(shí)，由4=S"-S“T可求出｛%｝,由a=aj（6尸求出也｝,再由等差中

項(xiàng)的性質(zhì)代入即可得出答案.

【詳解】當(dāng)〃=1時(shí)，a1=S1=l-3=-2,

當(dāng)“22時(shí)，an=Sn-Sn_x-“2=2〃-4,

顯然力也滿足，故幾EN*,an=2n-4f

則bn=an-（百尸=（2〃-4）.（百I*=（2〃-4）?3m2=,

因?yàn)?，?+1也+2的等差中項(xiàng)，即d=4+1+4+2，

即==于1+下，貝|2左一4=丁+3,解得：k=3.

故答案為：3.

14.-9700

【分析】先根據(jù)條件證明/（l+x）+/（l-x）=4,然后由〃2+x）-/（2-x）+4x=0證明

/（M-2）+/（M）=12-4H,再由止匕證明/■（4〃一3）+/（4〃一2）+/（4〃-1）+［（4"）=28-32〃，

10025

最后由1/（0=2（/（4，-3）+/（4z-2）+X4/-1）+X4））得到結(jié)果.

1=11=1

【詳解】對任意xeR,由于4x+leR,且函數(shù)/（x）的定義域?yàn)镽,

故點(diǎn)（x,〃4x+l））在曲線了=/（4x+l）上，且曲線了=/（4尤+1）關(guān)于點(diǎn)（0,2）中心對稱，

故點(diǎn)（f,4-〃4x+l））也在曲線了=/（4尤+1）上，從而4-/（4x+l）=〃-4x+l）,

從而對任意xeR有/■（l+4x）+〃l-4x）=4.

答案第8頁，共18頁

從而對任意xeR,由jeR知/1+4.；］+(1-4.：)=4,即/(l+x)+/(l-x)=4.

根據(jù)條件又有/(2+X)-/(2-X)+4X=0,即/(2+X)-〃2-X)=-4X.

現(xiàn)在對任意的整數(shù)〃，我們有：

/(?)=/(2+(?-2))

=/(2-(?-2))-4(?-2)

=/(4-〃)+8-4〃

=/(l+(3-n))+8-4w

=4-/(l-(3-w))+8-4n

=-/(〃-2)+12-4〃，

所以-2)+/(")=12-4〃，從而有：

/(4H-3)+/(4H-2)+/(4H-1)+/(4?)

=(/(4〃—3)+/(4〃-1))+(/(4-2)+/(4冷)

=12-4(41)+12-4(4〃)

=28—32〃.

故有：

100

￡/(Z)=/(1)+/(2)+...+/(100)

1=1

=(7(1)+/(2)+/(3)+/(4)>(/'6”8)>.??+f好｝f驅(qū)”?毀V@))

25

=￡(〃4「3)+〃4"2)+/(4-1)+〃旬)

i=l

25

=￡(28-32。

i=l

25

=28-25-32^z

i=l

=28-25-32-1-(l+25)-25

=-9700.

答案第9頁，共18頁

故答案為：-9700.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是對函數(shù)方程的處理，通過其中x取值的任意性，代入合

適的值得到關(guān)鍵條件.

15.(l)a,=2"("eN")

⑵S“<4

【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合條件求出公比，即可得解;

⑵由⑴得出「二色一設(shè)出“號’間前〃項(xiàng)和為G，利用錯(cuò)

位相減法求出Q,令居=7看zr，可知x“>0,進(jìn)而即可判斷得出S“=￡,-4<4.

【詳解】（1）由己知可得。"=2xq"T,

因?yàn)?%+2%+%=4%,所以4x2+2x2q+2x/=4x212,

即/-4/+2g+4=0,則（"2乂/_2”2）=0,解得4=2或1±右（舍去）,

所以q=2,a?=2-2-1=2"(neN，).

⑵由⑴得分二-L

令4二券,設(shè)也｝前〃項(xiàng)和為則C二!+京+襄+…+奈，

所以;c〃=，+最+最+…+￡，兩式相減得

ic?=ii±-A--n-2+n

++—=2----

221222“T2"2〃2〃

所以C,=4一4+詈2力<4，

令='則"

設(shè)｛%｝前“項(xiàng)和為（，則4>0,

所以S“=C“一(<4.

16.（1）證明見解析

答案第10頁，共18頁

【分析】(1)在平面48CD內(nèi)取點(diǎn)E,過E作直線a_L4D,blAB,根據(jù)面垂直的性質(zhì)可

證明bVAAx,再根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證明結(jié)論；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)48=1,3C=t,求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面48c和平面/QC

的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.

【詳解】(1)證明：在平面內(nèi)取點(diǎn)E,過E作直線由于二面角4-/D-8為

直二面角，

即平面44QQ，平面ABCD,平面AAlDiDn平面ABCD=AD,

au平面/BCD,故a_L平面//QD,44]€=平面/4。。，故〃，/%;

同理過￡作直線6_L4B,由于二面角4-力8-。為直二面角，

即平面AA[B[B1平面ABCD,平面AA^BQ平面ABCD=AB,

6u平面48cD,故6_L平面叫42,041U平面//再2，故

由于N3,40不平行，故。,6不重合，aC\b=E,a,Z>c5]21]ABCD,

故44]_L平面/BCD；

(2)由題意可得，可以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為x,%z軸，建立空間直角

坐標(biāo)系，

設(shè)48=1,3C=8（0,1,0）,￡＞（2,0,0）,4（0,0,2）,C",1,0）,

則還=（0,1,—2）,麗=（2,0,—2）,元=（t,O,0,DC=（t-2,l，9,

答案第11頁，共18頁

m-AB=0

設(shè)平面48c的法向量為成=（%,坨4）,則＜X

m-BC=Q

y,-2z,=0/、

即1，令馬=1,則玩=(0,2,1),

tx^—U

.4D=o

設(shè)平面4CD的法向量為為

n-DC=0

2X-2Z=0/、

即"27此9+%=。'令",則方Ml"一」），

二面角。-4c-8的正弦值為咚，故其余弦值的絕對值為《,

遙

m-n乎，即21

即三‘解得

|^||?|

jBC1

故——

AB4

10

17.(1)—

')27

/、39

(2)----

一128

【分析】（1）分甲獲勝和乙獲勝兩種情況，求出相應(yīng)的概率，相加后得到答案；

（2）設(shè)決出最終冠軍時(shí)比賽的總場數(shù)為Y,求出丫最小為6,并求出相應(yīng)的概率,再求出K=7

和y=8的概率，相加后得到答案.

【詳解】（1）若第一天比賽的總場數(shù)為4,且甲獲勝，

故前3場甲贏了2場，第4場甲獲勝，則概率為“=砥［2）4\2=3_,

13J3327

若第一天比賽的總場數(shù)為4,且乙獲勝，

故前3場乙贏了2場，第4場乙獲勝，則概率為=

D3327

QO1Q

故第一天比賽的總場數(shù)為4的概率為0+0=點(diǎn)+點(diǎn)=方；

（2）設(shè)決出最終冠軍時(shí)比賽的總場數(shù)為人

其中y最小為6,即決賽第一天和第二天均比賽3場結(jié)束，且兩場均為甲勝或乙勝,

答案第12頁，共18頁

故尸(y=6)=

當(dāng)y=7時(shí)，即決賽第一天和第二天均為甲勝或乙勝，且一天比賽了4場，另一天比賽了3

場，

其中比賽了4場的概率為《出手;比賽了3場的概率為出j

結(jié)合可能第一天比賽了4場，可能第二天比賽了4場，且可能甲勝，可能乙勝,

31…3

貝l|p(Y=7)=—X—x2x2=——

16832

當(dāng)y=8時(shí),分為三種情況,

第一種，決賽第一天和第二天均為甲勝或乙勝，且兩天均比賽了4場,

339

此時(shí)概率為-x—x2=----,

1616128

第二種，決賽第一天和第二天均為甲勝或乙勝，且一天比賽了5場，另一天比賽了3場,

此時(shí)概率為c：］；］x2x2=3

32

第三種，決賽第一天和第二天，甲乙分別勝一場，且兩天均比賽了3場,

決賽第三天比賽了2場，甲勝或乙勝，

此時(shí)概率為出,[I]X2X]￡|X2=專

則/>a=8)=2+2+,=互，

''1283264128

1339

^p(r<8)=p(y=6)+p(y=7)+p(y=8)=-+-+—=—.

3乙IZoIZo

(2)+1

【分析】(1)由題意計(jì)算直線尸尸的斜率，寫出直線尸尸的方程，聯(lián)立拋物線計(jì)算交點(diǎn)坐標(biāo),

由過焦點(diǎn)的焦點(diǎn)弦長公式可得結(jié)果；

(2)設(shè)直線網(wǎng)的方程為：x=my+l,并設(shè)尸@3，%),及@4，乂)，聯(lián)立直線與拋物線方程可

得韋達(dá)定理以及弦長|依|,求出在點(diǎn)R處的切線斜率，寫出直線尸。的方程，求解點(diǎn)。的坐

答案第13頁，共18頁

標(biāo)，以及點(diǎn)。到直線科的距離，用點(diǎn)坐標(biāo)尸（七,%）化簡計(jì)算，可求出面積最小時(shí)的力

的值，從而求出為,可求出斜率.

【詳解】（1）由題意可知尸（1,0）,因?yàn)閯t直線P產(chǎn)的斜率為左=-3，

4

所以直線P尸的方程為y=-（x-l）,

y2=4x

聯(lián)立4,、，可得4/一17x+4=0,即（4X-D（X-4）=0,

尸一]（1）

解得*=：,%=4,當(dāng)馬=4時(shí)，y=-4,則尸（4,一4）,

25

故1P底|=卜+x2+p\=—.

（2）設(shè)直線網(wǎng)的方程為1=町+1,并設(shè)尸（%3，%）,氏（％4，%），

PT?2—Ay

聯(lián)立7,消工可得/-4吵-4=0,

[x=my+l

fVo+y=4m

則｛4.,A=16加之+16>0恒成立，

[%,以=-4

二.|尸固=J1+蘇|j3-y4|=Jl+/，（%+乂）2-4%?乂

=J1+m2yjl6m2+16=4h+m2）,

設(shè)過點(diǎn)尺（乂,%）的切線方程為：y-y4^k（x-x4）,

”2—4x

聯(lián)立，,/、，得郎2-4夕-4死+4”=0,

=左（云一匕）

因?yàn)锳=。貝!]有16—4左（4%一4丘4）=0,

2

因?yàn)榛穑ㄘ?，乂）在拋物線上，所以只=4匕，代入求解可得太=一，

2

xx

所以尸。的直線方程為：y-y3=-^（-3）,設(shè)0（x（）,%）,

歹4

/=4x

聯(lián)立,2/、，消去工可得V—2yy-4x—8=0,

>_%=一9一/）43

、乂

因?yàn)镻（X3，%）在拋物線上，所以*二4/，代入可得V—2〉/—￥—8=0,

答案第14頁，共18頁

%+為=2乂816.

則有2Q，所以比==-y—，%=二+F+4,

%.%=_%.834%

anJ8箕16八

即。f---，T+F+4，

I84%J

8

-1

44-Wf-

點(diǎn)。到直線PR的距離為,%+%

a=

4

2i女%

y,16.y,y；8)

—frTr+4+-----2+r+4

4月42￡

Vl+m2

\l+m2

y；8.

乜+r+4

S

人」.PQR=-^dx\PR\=-X2￡

-X4

y/l+m2

16加

+二+8J1+2=yj

%

K+±+l

16yj2

當(dāng)且僅當(dāng)*=與,普=上時(shí)，即%=±2時(shí)，等號成立,

y316%

所以當(dāng)％=±2時(shí)，三角形P0R面積最小，

2

因?yàn)?”=-4,所以”=-2或乂=2,此時(shí)左=一=±1.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下:

答案第15頁，共18頁

(1)設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(土,必),(尤2,%)；

(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x(或了)的一元二次方程，注意△的判斷；

(3)列出韋達(dá)定理；

(4)將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為西+工2、為工2(或M+%、yxy2)的形式；

(5)代入韋達(dá)定理求解