2024年3月北京市豐臺區(qū)高三數(shù)學高考一模綜合練習卷附答案解析

2024年3月北京市豐臺區(qū)高三數(shù)學高考一模綜合練習卷

試卷150分.考試時長120分鐘2024.03

第一部分（選擇題40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.

1.已知集合/={小2一2%<0},5={RX—1〉0},則（）

A.{x|x>01B.{x|0<x<l}C.{x|x>l|D.{x|l<x<2}

2.已知公差為d的等差數(shù)列{%}滿足：%-2〃3=1,且“2=。，則"=（）

A.-1B.0C.1D.2

3.已知雙曲線C：W-/=i（。>0）的離心率為逅，貝（|。=（）

a22

行1

A.2B.V2C.—D.-

22

4.在二項式（f-2）5的展開式中，x的系數(shù)為（）

X

A.-80B.-40C.40D.80

5.已知向量Z,B滿足否=（百］），6=Aa（2eR）,且￡%=］,貝（］力=（）

11

A.-B.vC.2D.4

42

6.按國際標準，復印紙幅面規(guī)格分為A系列和8系列，其中A系列以NO,/I,…等來標記紙張的幅面規(guī)

格，具體規(guī)格標準為：

①40規(guī)格紙張的幅寬和幅長的比例關(guān)系為1：血；

②將/i（i=0」,…,9）紙張平行幅寬方向裁開成兩等份，便成為/（i+1）規(guī)格紙張（如圖）.

某班級進行社會實踐活動匯報，要用40規(guī)格紙張裁剪其他規(guī)格紙張.共需N4規(guī)格紙張40張，/2規(guī)格紙

張10張，加規(guī)格紙張5張.為滿足上述要求，至少提供闌規(guī)格紙張的張數(shù)為（）

A.6B.7C.8D.9

7.在平面直角坐標系％帆中，直線/：辦+少=1上有且僅有一點P,使|。尸|=1,貝IJ直線/被圓。:一+/=4

截得的弦長為（）

A.1B.V3C.2D.2百

8.已知函數(shù)/（x）=sin（2x+￡）,則“。=曰+癡（左EZ）?是“/（x+a）是偶函數(shù)，且/（x-戊）是奇函數(shù)”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9.正月十五元宵節(jié)，中國民間有觀賞花燈的習俗.在2024年元宵節(jié)，小明制作了一個“半正多面體”形狀

的花燈（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.圖2

是一個棱數(shù)為24的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為2.關(guān)于

該半正多面體的四個結(jié)論：

①棱長為行；

②兩條棱所在直線異面時，這兩條異面直線所成角的大小是60°；

③表面積為5=12+46;

④外接球的體積為憶=4岳.

其中所有正確結(jié)論的序號是（）

圖1圖2

A.①②B.①③C.②④D.③④

—（n-2k,左eN*）,

10.已知數(shù)列｛%｝滿足%+1=,：則（）

^■（"=2左一1,左eN*）,

A.當《<0時，｛4｝為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)M>0,使得％<河恒成立

B.當q>1時，｛%｝為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)M>0,使得%>w恒成立

2

11

C.當0<%<l時，存在正整數(shù)N0,當〃〉No時,一<---

2100

D.當0<%<1時，對于任意正整數(shù)N。，存在”>N°,使得高

第二部分（非選擇題110分）

填空題共5小題，每小題5分,共25分.

計算月

II.

3-41

TT

12.在中，若6=5,B=-cosA=，貝！J。.

45

13.已知尸是拋物線/=4x的焦點，42是該拋物線上的兩點，|/司+怛尸|=8,則線段N8的中點到V軸

的距離為.

14.已知函數(shù)/（尤）具有下列性質(zhì)：

①當再,入e[0,+s）時，都有/（占+%）=/（占）+/（尤2）+1；

②在區(qū)間（0,+功上，/（無）單調(diào)遞增；

③/（n）是偶函數(shù).

則/⑼=;函數(shù)〃x）可能的一個解析式為「（X）=.

15.目前發(fā)射人造天體，多采用多級火箭作為運載工具.其做法是在前一級火箭燃料燃燒完后，連同其殼

體一起拋掉，讓后一級火箭開始工作，使火箭系統(tǒng)加速到一定的速度時將人造天體送入預定軌道.現(xiàn)有材

料科技條件下，對于一個"級火箭，在第"級火箭的燃料耗盡時，火箭的速度可以近似表示為

v=3In_____10"%&_____

（9+a1）（9+a2）---（9+a?）'

_n

%+X嗎

其中a,=--------產(chǎn)----（i=1,2,…箝）.

mp+YmJ-mi

J=i

注：勺,表示人造天體質(zhì)量，嗎表示第/（）=1,2,…級火箭結(jié)構(gòu)和燃料的總質(zhì)量.

給出下列三個結(jié)論：

①生出…<1;

②當"=1時，v<3In10；

3

③當〃=2時，若v=121n2,則師Z26.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.如圖，在直三棱柱N8C-4AG中，CA=CB=CG=2,。為中點.

（1）求證：NG〃平面片CD；

（2）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求二面角的余弦值.

條件①：BC1AQ.

條件②：8盧=瓜.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

17.已知函數(shù)/（X）=J^sinscosox-sin??x+—（（y>0）.

⑴若0=2,求/f勺值；

⑵若/（X）在區(qū)間上單調(diào)遞減，益=0,求0的值.

o2\12/

18.某醫(yī)學小組為了比較白鼠注射/,3兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積，選20只健康白鼠做試驗.將

這20只白鼠隨機分成兩組，每組10只，其中第1組注射藥物/,第2組注射藥物及試驗結(jié)果如下表所

小.

皰疹面積（單位：mm2）[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)

第1組（只）34120

第2組（只）13231

⑴現(xiàn)分別從第1組，第2組的白鼠中各隨機選取1只，求被選出的2只白鼠皮膚皰疹面積均小于60mm2的

概率；

4

(2)從兩組皮膚皰疹面積在［60,80)區(qū)間內(nèi)的白鼠中隨機選取3只抽血化驗，求第2組中被抽中白鼠只數(shù)X的

分布列和數(shù)學期望E(X);

(3)用“短=0”表示第4組白鼠注射藥物后皮膚皰疹面積在［30,50)區(qū)間內(nèi)，“4=1”表示第左組白鼠注射藥物

后皮膚皰疹面積在［50,80)區(qū)間內(nèi)(左=1,2),寫出方差。信)，。催)的大小關(guān)系.(結(jié)論不要求證明)

22

XV

19.已知橢圓E:/十萬=1(。>6>0)的焦距為4及，以橢圓￡的四個頂點為頂點的四邊形的周長為16.

⑴求橢圓E的標準方程;

⑵過點S(0,l)的直線/交橢圓￡于尸，。兩點，線段尸。的中點為是否存在定點使得陶=；?

若存在，求出。的坐標；若不存在，請說明理由.

20.已知函數(shù)/(x)=e*+ln(x+l)-x,曲線C:了=/(x)在點,/宙))處的切線為/:y=g(x),記

A(x)=/(x)-g(x).

⑴當尤。=0時，求切線/的方程；

⑵在(1)的條件下，求函數(shù)〃(無)的零點并證明M(x"0；

⑶當小r0時，直接寫出函數(shù)〃(力的零點個數(shù).(結(jié)論不要求證明)

21.已知集合(neN,?>4),若存在數(shù)陣T=:?…?滿足：

,?)他b2…bn\

①{%,a2，-i/}U佃也，…也}=%；

②a「bk=k(k=1、2,…,n).

則稱集合”“為“好集合”，并稱數(shù)陣7為/”的一個“好數(shù)陣”.

xyz6

⑴己知數(shù)陣7=,?,、是的一個“好數(shù)陣”，試寫出X，兒Z,W的值；

7w12

(2)若集合M0為“好集合”，證明：集合M”的“好數(shù)陣”必有偶數(shù)個；

⑶判斷MG=5,6)是否為“好集合”.若是，求出滿足條件"儀％,七，的所有“好數(shù)陣”；若不是，說明

理由.

5

1.A

【分析】

解不等式化簡結(jié)合，結(jié)合并集的概念即可求解.

【詳解】因為Z={Rd—2xWO}={0?x<2},B=|x|x-1>0|=,

所以4°5={小20}.

故選：A.

2.C

【分析】

根據(jù)等差數(shù)列通項公式直接求解即可.

【詳角軍]<%—2%=%+44—2(q+2d)=—%=1,%=—1,

:.d=a?—%—0—(—1)=].

故選：C.

3.B

【分析】

根據(jù)雙曲線方程求出6、。，再由離心率公式計算可得.

【詳解】雙曲線C：+-V=1(。>0)中6=1,所以c=J7石，

a

則離心率e=￡=紅a="，解得/=2,所以。(負值舍去).

aa2

故選：B

4.A

【分析】根據(jù)二項展開式的通項，可得&-令廠=3,即可求得x的系數(shù)，得到答案.

【詳解】由題意，二項式(/-2)5的展開式的通項為=仁(/廣，(_2)，=(_2)(3°3,

XX

令廠=3,可得7；=(-2)3c)=-80x,

即展開式中x的系數(shù)為-80,故選A.

【點睛】本題主要考查了二項式定理的應用，其中解答中熟記二項展開式的通項是解答本題的關(guān)鍵，著重

考查了推理與運算能力，屬于基礎題.

5.D

6

【分析】

用2表示出向量方的坐標，再根據(jù)數(shù)量積的坐標運算即可求得答案.

【詳解】=I.,.萬w0,

一13I1

ci,b=—I—=I,X=4.

A2

故選：D.

6.C

【分析】設一張加規(guī)格紙張的面積為x,從而得到一張加、42、/4紙的面積，再求出所需要的紙的總面

積，即可判斷.

【詳解】依題意I張40規(guī)格紙張可以裁剪出2張/I,或4張42或16張N4,

設一張A0規(guī)格紙張的面積為無，則一張A1規(guī)格紙張的面積為［x,

2

一張/2規(guī)格紙張的面積為!x,一張N4規(guī)格紙張的面積為

416

依題意總共需要的紙張的面積為40x—x+10x—x+5x—%=7XH—x,

16422

所以至少需要提供8張NO規(guī)格紙張，

其中將3張40裁出5張加和2張/2；將2張40裁出8張/2；

將剩下的3張N0裁出3x16=48張N4,

即共可以裁出5張可、10張N2、48張/4.

故選：C

7.D

【分析】

利用垂徑定理直接求解即可.

【詳解】由題意知：坐標原點。到直線/的距離1=1；

???圓C的圓心為。(0,0),半徑r=2,二/被圓C截得的弦長為2產(chǎn)方=26.

故選：D.

8.A

【分析】首先求出/(x+a)、/(x-c)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出使/■(尤+。)是偶函數(shù)且

7

/(x-a)是奇函數(shù)時a的取值，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.

［詳角牟］因為/(x)=sin［2x+；］,則/(x+a)=sin(2x+2a+；j,

/(x-cr)=sin［2x—2a+；］,

若—a)是奇函數(shù)，則—2。+?=/7i￡￡Z,解得。=?—"水苫％,

若/(x+a)是偶函數(shù)，則2a+：=］+心兀，心eZ,解得￡=￡+?,右eZ,

所以若/(x+a)是偶函數(shù)且/(x-a)是奇函數(shù)，則a=丁+2,4eZ,

所以由a=?+E(4eZ)推得出/(x+0是偶函數(shù)，且〃x-a)是奇函數(shù)，故充分性成立；

O

由f(x+a)是偶函數(shù)，且f(x-a)是奇函數(shù)推不出a=?+E化eZ),故必要性不成立，

O

所以“&=?+桁(丘2)”是“/@+0是偶函數(shù)，且/(尤-⑷是奇函數(shù)”的充分不必要條件.

O

故選：A

9.B

【分析】

注意到棱長總是一個等腰直角三角形的斜邊，即可通過直角邊的長度判斷①正確；可以找到一對位于正方

形相對的面上的兩條垂直且異面的棱，得到②錯誤；根據(jù)該幾何體每種面(正三角形和正方形)各自的數(shù)

量和面積，可以計算出該幾何體的表面積，從而判斷出③正確；直接證明正方形的中心到該幾何體每個頂

點的距離都相等，并計算出距離，即可求出外接球的體積，得到④錯誤.這就得到全部正確的結(jié)論是①③,

從而選B.

【詳解】如圖所示：

該幾何體的每條棱都是的一個等腰直角三角形的斜邊，且該等腰直角三角形的直角邊長度為正方體邊長的

8

一半，

故該等腰直角三角形的直角邊長度為1,從而該幾何體的每條棱的長度都是①正確；

若4片,42為該幾何體位于正方體的一組相對的面上的兩個平行的棱，4與，42為該幾何體位于正方體

的同一個面的兩條棱，

則4與J-43，平行于&B?,44,43異面，所以4綜42異面，44-J-43，

這意味著存在一對異面的棱所成角是直角，②錯誤；

該幾何體「共有14個面，其中6個是正方形，8個是正三角形，邊長均為亞，故每個正方形的面積都是2,

每個正三角形的面積都是走，故表面積為S=6?2+8?且=12+WG，③正確；

22

設正方體的中心為。，由于對該幾何體的任意一個頂點都是正方體的某條邊的中點，

故。到該幾何體的任意一個頂點的距離都是正方體邊長的立倍，即V2.

2

這意味著以。為球心，半徑為④的球是該幾何體的外接球，從而外接球的體積%=^兀（也）=胃兀，@

錯誤.

從而全部正確的結(jié)論是①③.

故選：B.

10.D

【分析】

直接構(gòu)造反例即可說明A和B錯誤；然后證明引理：當0<%<1時，對任意的正整數(shù)N。，都存在“〉乂，

使得見-;2卷.最后由該引理推出C錯誤，D正確.

【詳解】當用=-8時，出="獸=：，%=?=：<:=?，所以此時｛4｝不是遞增數(shù)列，A錯誤；

2242o4

當q=：時，=所以此時｛%｝不是遞減數(shù)列，B錯誤；

224282168

我們證明以下引理：當0</<1時，對任意的正整數(shù)牝，都存在〃〉或，使得%-g2焉.

若該引理成立，則它有兩個直接的推論：

①存在使得對任意的正整數(shù)既，都存在〃〉乂，使得見一；》焉；

②當0</<1時，對任意的正整數(shù)N。，都存在〃〉N。，使得焉.

然后由①是C的否定，故可以說明C錯誤；而②可以直接說明D正確.

9

最后，我們來證明引理:

當0<%<1時，對任意確定的正整數(shù)N。：

11111E1、1

如果任］一麗5+而J,則即「升面;

1111］

如果。為+1￡2-ioo,2+iooJ?

j.J_

:“M+i則a「為一+而「?1J\1J(11］」_L；

此時若叫+2

一^T5224200242002\420()j210(

a

_N0+l+1則.，。—+1；5一IPP+L31JJ1='仁'J_

右a

N0+2一_2

5224200242002400J2100

無論哪種情況，都有。%+2/I一焉，；+白］，從而即。+2一；

>---

\乙JLUU乙JL\J\JJ乙100

這說明〃為+1-；或〃M)+2—；-TZZ，所以可以選取〃E{NO+1,NO+2},使得這就說明存

乙JLUU乙X\J\J乙JLUU

在"〉M),使得凡一上之擊―

這就證明了引理，從而可以推出C錯誤，D正確.

故選：D.

【點睛】最關(guān)鍵的地方在于引理：當0<%<1時，對任意的正整數(shù)牝，都存在〃〉N。，使得a,-g2焉.這

一引理可以幫助我們判斷出較難判斷的C和D選項.

,12.

11.一一+-1

55

【分析】利用復數(shù)的除法公式，即可計算結(jié)果.

l+2i(l+2i)(3+4i)_-5+10i_12.

【詳解】

3-4i(3-4i)(3+4i)2555,

一?12

故答案為：-y

12.2V10

【分析】由cosZ=且求出sin",

根據(jù)正弦定理求解即可.

5

【詳解】〈cosA王,

5

..r.2V5

二.smZ=41—cosA=-----,

5

由正弦定理可得：-j=一”,

sinAsinB

10

a_5

即2V|-V|,

亨T

解得：a=2A/10

故答案為：2所

【點睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系，正弦定理，屬于容易題.

13.3

【分析】

根據(jù)拋物線定義可得%+%，結(jié)合中點坐標公式可求得結(jié)果.

【詳解】由拋物線方程知：尸(1,0)；

設4(國,必),8(工2，%)，由拋物線定義知：|^F|+|5F|=X1+l+x2+1=8,:.x1+x2=6,

???線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為空迤=3.

故答案為：3.

14.-1/(x)=|x|-l(答案不唯一)

【分析】

令%=%=0即可求出f(0),再找到符合題意的函數(shù)解析式(一個)，然后一一驗證即可.

【詳解】因為當再,迎e[0,+oo)時，都有/(%+%)=[(再)+[(%2)+1,

令3=々=0可得/(0)=/(0)+/(0)+1,解得/(0)=-1,

不妨令/(x)=|x|-l，xeR,

屋一]x>0

則〃尤)=岡-1=_J",所以“X)在(0,+旬上單調(diào)遞增，滿足②；

I1,X<U

又/(-x)=|-x|-l=|x|-l=/(x),所以/(無)為偶函數(shù)，滿足③；

當X],尤2e時/(%[+x2)=+x21-1=Xj+x2-1,

/(x1)=|x1|-l=x1-l,/(x2)=|x2|-l=x2-l,

所以滿足①.

故答案為：-1;fM=\x\-l(答案不唯一)

11

15.②③

【分析】

只需證明每個4都大于1即可判斷①錯誤；直接考慮”=1時v的表達式即可判斷②正確；〃=2時，將條件

v=121n2轉(zhuǎn)化為關(guān)于生，出的等式，再得到一個不等關(guān)系，即可證明師ZN6,推出③正確.

［詳角軍］首先，對"12…有￡嗎±1%,>mp>0,mp+^mj>mp>0,這推出q>0.

J=iJ=iJ=i

J=ij=i

mp+￡m.+X嗎

由于q=-----R~~—>-------告一=1（i=1,2,…，力,故每個4都大于1,從而4電…?！?gt;1，①錯誤;

加夕+Znij-mimp+￡加/

由于當"=1時，有—In言<31nT=31nl0,故②正確;

由于當〃=2時,心/若"⑵「2’則31n就翳丁121n2.

,100a.一i“100a,a9“

從而In7------------——r=41n2=In16,故7----------------------——r=16

川川（9+%）（9+出）以（9+4）（9+出）

這意味著100%。2=16（9+4乂9+。2）,即25%出=4（9+QJ（9+“2）,從而我們有

25axa2=4（9+%）（9+%）

=4（81+%出+9（%+%））

=4。避2+726鬲+324.等號成立當且僅當q=a2,

故25%。2-4%〃2+72j%〃2+324,即21%%-72，％%-324>0,即7%%-24^^-108>0,

分解因式可得（Jqg-6）（7飆2+18）?0,再由+18>0即矢口Jq%—620,故26,③正確.

故答案為：②③.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：判斷第三問的關(guān)鍵是得到條件等式25%%=4（9+%）（9+%）,結(jié)合基本不等式即可順

利得解.

16.（1）證明過程見解析

（2）無論選條件①還是選條件②，二面角B-B,C-D的余弦值都是，

【分析】（1）連接&G交8。于點E，連接?！辏芍形痪€定理得4G“DE,結(jié)合線面平行的判定定理即

12

可得證;

(2)首先證明無論選條件①還是選條件②，都有C4c8,CQ兩兩互相垂直，建立適當?shù)目臻g直角坐標系，

求出平面直4、平面CZ)4的法向量，注意到二面角是銳角，結(jié)合向量夾角的坐標公式即可求解.

【詳解】(1)

連接BG交4c于點E,連接。E,

因為四邊形8CG4為平行四邊形，E為它的對角線8G、4c交點,

所以點￡是5G的中點，

因為。是48中點，

所以?！晔堑闹形痪€，

所以///DE,

因為。Eu平面CDBt,/J①平面CDB},

所以/q//平面qco；

(2)若選條件①：BC1AQ,

因為CC]_L底面/8C,C4,C8u底面Z3C,

所以CG_LC/,CG_LC2,

又因為BC_L/G，且NGccq=G，/q,CGu面/CG4,

所以8C工面/CG4，

而/Cu面/eq/1,

所以8C1AC,

即CA,CB,CC{兩兩互相垂直，

13

若選條件②：B1D=A，

因為耳8_1面48(7,ADu面/3C,

所以,

因為BQ=m,BBt=CCj=2,

所以M)=：6-4=血,

因為點。是48中點，

所以4B=2BD=2^，

因為C4=C3=2,

所以C/2+Cg2=4g2,BPCA±CB,

由前面分析可知CC,1CA,CC,1CB,

所以c4c民CG兩兩互相垂直，

綜上，無論選條件①還是選條件②，都有c4c民cq兩兩互相垂直，

故以點C為原點，CA,CB,CC｛所在直線分別為XJ，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系:

由題意8(0,2,0)山(0,2,2),C(0,0,0),。。,1,0),

所以而=（0,2,0）,西=（0,2,2）,麗=（1,1,0）,

設平面CBBi、平面CDB1的法向量分別為4=（占,外,4）,%%,z?）,

\cB-nx=QJc5-^=0J2必=0jx2+y2=0

從而有，-----,\---------’也就是有口k工。n

C/〃i=0CB}n,=0[2K+2ZJ=0[2y2+2z2=0

令%=%=1,解得必=4=0,%=-1/2=1,

14

所以可取平面C8耳、平面CD用的法向量分別為1=(1,0,0)兄=(1,-M)，

顯然二面角是銳角,

同?同一1x6-3

17.(1)1;(2)1.

【分析】

(1)直接代入。=2及x=JJT計算即可；

6

冗jr

(2)化簡｛x)解析式，根據(jù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減可知該區(qū)間長度小于或等于｛x)的半個周期，再結(jié)

o2_

合/(-曰=0,0>0可得。的值.

【詳解】(1)；0=2,

g=VJsin|cosf-sin2

2

]也l-cos2^yx1

(2)/(%)=VJsinGxcosox-sin2Gx+,=^-sin2<z>x-+—=sin26>X+—

22I6

?."(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減,

.T>兀71427r27r

2263|?|3

0<<3.

=0,一詈+巳=也，4eZ即0=1—6左(左eZ),

所以當左=0時，。=1.

此時/(X)=sin+￡；

當x?，M，2尤+!,故此時/(x)單調(diào)遞減，符合題意.

6262622

綜上，a)—\.

18.(1)菰(2)分布列見解析，石(用=2(3)。信)<。?)

【分析】

15

(1)根據(jù)古典概型的概率公式及相互獨立事件的概率公式計算可得；

(2)依題意X的可能取值為1、2、3,求出所對應的概率，即可得到分布列與數(shù)學期望；

(3)分別求出「信=0),「信=1),P催=0)，尸值=1)，從而求出。品即可比較.

【詳解】(1)記被選出的2只白鼠皮膚皰疹面積均小于60mm2為事件C,

O

其中從第1組中選出的1只白鼠皮膚皰疹面積小于60mm2的概率為正，

從第2組中選出的1只白鼠皮膚皰疹面積小于60mm2的概率為，

所以尸(C)=*xS=絲.

''101025

(2)依題意X的可能取值為1、2、3,

C2cl03

且尸(X=l)=皆尸(X=3)=罟CC1

g網(wǎng)底小雪與

所以X的分布列為:

73

(3)依題意可得尸q=0)=5,P(^=l)=-,

73|23_210

所以借)=歷+3；；

E0xlxm=j所以%邛4Ixiolooo

101

46

又尸(女=0)=凝尸值=1)=",

所以后俗)=0x^+1哈*,

|26240210

所以。俗)=。-211010001000

所以。俗)<。C).

19.(唁+[=1；(2)存在,￡>(0,-2).

【分析】

(1)根據(jù)焦距可求c,根據(jù)已知四邊形周長及0、b、c的關(guān)系可求出06,從而可求橢圓標準方程;

16

⑵由題可知，若存在定點。，使得牌=;,等價于以尸。為直徑的圓恒過定點。.從而只需從直線/斜

率不存著時入手求出該定點D,斜率存在時驗算麗.麗=0即可.

4y1a2+b2=16,,

【詳解】（1）由題意得2c=4也，解得：=產(chǎn)，

同=4.

工橢圓E的方程為《+仁=1.

124

1

（2）若存在定點D,使得\D屈M\=5,等價于以P。為直徑的圓恒過定點。.

當直線/的斜率不存在時，尸。為直徑的圓的方程為尤2+y=4①,

當直線/的斜率為0時，令y=l,得了=±3,

因此尸。為直徑的圓的方程為一+3-1）2=9②.

Ix=0,/、

聯(lián)立①②，得;猜測點。的坐標為（o,-2）.

[y=-2,

設直線/的方程為了=丘+1,

y=kx+\,

由，/y2得(3左2+1)/+6區(qū)一9=0.

,12+T-'

6k9

設P（X1,必）,。（工2，%），則須+%2=-玉/=一素7?

DPDQ=(xi,yl+2)?(x2,y2+2)

=中2+（必+2）（%+2）

=x1x2+(g+3)(AX2+3)

二(左2+1)為工2+3人(西+工2)+9

綜上，存在定點。（/0,-2、）,使得\D時M\=]1.

17

20.⑴y=x+l⑵函數(shù)”x）有唯一零點x=0,證明過程見解析（3）2

【分析】⑴只需分別求出/（o）J'（o）即可得解；

（2）首先有〃（x）=e*+ln（x+l）-2尤一1,〃（尤）=,令切（x）=（尤+l）e*-2x-l,（x>-l）,我

X+1

們可以通過構(gòu)造導數(shù)來說明加（x）>0,即〃（x）>0,這表明了〃（無）單調(diào)遞增，注意到〃（0）=0,由此即可

進一步得證；

（3）首先我們可以連續(xù)求導說明函數(shù)/'（X）在上遞減，在［0,+力）上遞增.其次

〃（x）=/（X）-（X。）（尤-尤0）-/（尤0）,故"（X）=7'（x）-/伉）.進一步有〃（尤0）=〃'（尤0）=0,然后分

xo>O,-l<xo<O兩種情況分類討論即可求解.

【詳解】（1）當/=0時，/（xo）=/（O）=l,

而/'（"）=/+匕T，所以/'（°）=1，

從而切線方程為>-1=工-0,也就是>=x+l.

(2)由題意=/(x)-A(x)=ex+In(x+1)-x-+1)=ex+In(x+1)-2x-1,

1+2x—1

所以l(x)=e、H------2=--------------

x+1x+1

令冽(x)=(x+l)e"-2x-1,則=(x+2)ex-2,

當一l<x<0時，l<x+2<2,0<ex<B

所以(x+2)e、<2ex<2x1=2,即*(x)<0,

所以當一1<%<0時，冽（x）單調(diào)遞減，m（x）>m（O）=O,

當%>0時，x+2>2,ex>1,

所以（x+2）e、>2ex〉2xl=2,即加'（x）〉0,

所以當x〉0時，加（x）單調(diào)遞增，m（x）>m（0）=0,

綜上，冽（力20恒成立，也就是恒成立，

所以人（外在（T+。）上單調(diào)遞增，

又因為〃（。）=0,故函數(shù)”x）有唯一零點x=0,

18

且當-l<x<0時，A(x)<0,當x>0時，力(尤)>0；

因止匕當T<無<0時，xA(x)>0,當x>0時，x/z(x)>0,

故x〃(x"0；

(3)對"個實數(shù)為,2,…,。“，定義max(q,a2，...,a,)和min?,%，…，％)分別為%，的，…,巴中最大的一個和最

小的一個.

現(xiàn)在，/(x)=e%+ln(x+l)-jc,故/，(x)=e"+^j-l,

令/(x)=W(x),再對夕(x)求導一次得到“(x)=e-而廣

當-l<x<0時，,⑺=/一1\<e°_^"=l_l=0,夕⑴單調(diào)遞減；

當尤>0時，0'(x)=e"--方>0°-有%=1_1=0,e(x)單調(diào)遞增.

故函數(shù)廣(尤)在(T,0］上遞減，在［0,+8)上遞增.

由于曲線尸/'(X)在(x°j(x。))處的切線斜率為/"aobeJ-T,

故該切線的方程為了=/'(*()-%)+/(%),從而8(0=方(%)@-/)+/(%).

,

現(xiàn)在我們有/z(x)=/(x)-/(x0)(x-x0)-/(x0),故拗(X)=7'(x)-.

首先我們有〃伉)=/(%)-/'伉乂工0-苫0)-/(%)=/伉)-/(與)=0,h'(x0)=f'(xo)-f'(xo)=O,故

已證函數(shù)/'(X)在(T,0］上遞減，在［0,+8)上遞增，下面我們分情況討論：

當10〉。時：

由于

i>----------------1=———1=1+4M。次Mo)

11

r#i2+\f'(x0)|2+/4)|

2+?。?/p>

19

(\(、

故”-1+—J,、1=f'-1+—?-/,(x)>0,

[2+/(x0)U[2+7國)「山0

同時由/''(x)在[0,+動上遞增，知〃(0)=廣(0)-廣伉)<0,而T+2+,,(X『T+g=_；<。，

故3)在卜+八“

上必存在一個零點，記該零點為〃，

1

則有〃(“)=0,且T+<u<0從而

2+/(％)|-15<0.

由于函數(shù)/'(X)在(-1,0]上遞減,在[0,+8)上遞增,-1<U<O<XO,

，，

當-1<尤<M時，h'[x)=f'(x)-f'[x0)>/(w)-/(x0)=〃(")=0；

，,,,,

當〃<x40時,^(X)=/(X)-7(XO)</(M)-7'(XO)=/Z(M)=O;

,,,,,

當0<x</時,A(x)=/(x)-/(xo)</(xo)-/(xo)=O；

，,,,,

當x>Xo時，A(x)=/(x)-y(xo)>/(xo)-/(xo)=O.

這表明〃(力在(”,無0)上遞減，在(-1,〃)和(%,+8)上各自遞增.

由于〃(x)在(-1,1/)上遞增,故〃(X)在(-1,M)上至多有一個零點，而%(〃)>〃(%)=/(/)-/(尤0)=0.

同時，當-l<x<0時，有〃。)=/。)-/'(%)。一％)-/(/)=4+111。+1)-(+/(/)卜+%尸(％)-/(%)

,,,,

<l+ln(x+l)+|(l+/(x0))|+x0/(x0)-/(x0)<ln(x+l)+|(l+/(x0))|+|l+x0/(x0)-/(x0)|

故〃(句<111(%+1)+](1+/(％))|+|1+//(%)-7(%)|,

這表明當XVminf-1+「("/'&)減時，有

,,

/!(x)<ln(x+l)+|(l+/(x0))|+|l+x0/(x0)-/(x0)|

Wln[e—則山州+”&)-/(咽]+[(1+八/))|+|1+/八%)./(%)|

=-(|(1+/(%))|+|1+獷(%)-/(%)|川(1+/，(%))卜『+//”。)-/(%)|=0.

故h(x)必有一個零點t,且min^-1+0-伸+/'('。))"。/'('。)-.曲)，0<f<“.

已證A(x)在上至多有一個零點,這就說明h(x)在上恰有一個零