2024年3月江蘇宿遷高三聯(lián)考一模考試數(shù)學試卷及答案

2023-2024學年高三第二學期學情調研考試(二十三)

數(shù)學

(滿分：150分考試時間：120分鐘)

2024.3

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.己知集合A={x|0WxW4,xGN},B^{x\x—3k—l,kGZ},則AC2=()

A.[0,2}B.[2,4}C.{2}D.{1,3}

2.已知復數(shù)z滿足z(3+4i)=5,其中i為虛數(shù)單位，則z在復平面內對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

71714

3.已知a￡(0,兀)，cos(a+1)+cos(Q—a)=—1，則sina的值為()

AIR亞「五口空

33,3?3

4.已知函數(shù)兀0=2，—3二，則不等式八尤+3)的解集為()

A.(-1,3)B.(—8,-1)U(3,+8)

C.(-3,1)D.(—8,-3)U(1,+°O)

5.設S,是等比數(shù)列{扇}的前"項和，若S3,%，$6成等差數(shù)歹U，ai=-2,則的的值為()

A.-2B.—2C.；D.1

6,已知⑷=2,%=(、3，3),向量。在分上的投影向量為;人則向量。與的夾角為()

7L兀5兀7T__d5JC

A-6B-3CTD-6或不

7.已知橢圓5+母=1(。>6>0)的左焦點為尸，過原點且斜率為乎的直線與橢圓交于

P，0兩點，若際QF=舌,則橢圓的離心率為()

A近R也1D近

/>..2-D.2Vr-2.L^.3

8.人工智能領域讓貝葉斯公式：P(A|B)=-九區(qū)---站在了世界中心位置.AI換

臉是一項深度偽造技術，某視頻網(wǎng)站利用該技術摻入了一些“AI”視頻，“AI”視頻占有率為

0.001.某團隊決定用AI對抗AL研究了深度鑒偽技術來甄別視頻的真假.該鑒偽技術的準確

率是0.98,即在該視頻是偽造的情況下，它有98%的可能鑒定為“AI”；它的誤報率是0.04,

即在該視頻是真實的情況下，它有4%的可能鑒定為“AI”.已知某個視頻被鑒定為“AI”，則該

視頻是“AI”合成的可能性為()

A.0.1%B.0.4%C.2.4%D.4%

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.設隨機變量X?N(0,1),犬x)=P(XWx),其中x>0,下列說法正確的是()

A.變量X的方差為1,均值為0B.P(因Wx)=l—軟x)

C.函數(shù)7U)在(0,+8)上是單調增函數(shù)

1

10.在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線C：y2=4x,A,B為拋物線C上兩點.下列

說法正確的是()

A.若直線過點(1,0),則△O4B面積的最小值為2

B.若直線過點(4,0),則點。在以線段為直徑的圓外

C.若直線42過點(1,0),則以線段為直徑的圓與直線/：尤=-1相切

D.過A,B兩點分別作拋物線C的切線，若兩切線的交點在直線/：尤=一1上，則直線

48過點(4,0)

11.已知正方體的棱長為3,E,RG分別為棱BS，DD{,CG上的點，

且BBi，DF與DDltCG=^CG，若點P為正方體內部(含邊界)一點,滿足崩=楊

+MF,九〃為實數(shù)，則下列說法正確的是()

A.點P的軌跡為菱形AEGP及其內部

B.當4=1時，點尸的軌跡長度為恒

C.4P的最小值為嚼

D.當〃=；時，直線AP與平面ABC。所成角的正弦值的最大值為華

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知(/+%)"的展開式中二項式系數(shù)和為32,則展開式中的常數(shù)項為.

13.已知定義在區(qū)間［0,兀］上的函數(shù)yU)=2sin(ox+}~)(。＞0)的值域為［-2,?。?則

。的取值范圍是.

14.如圖，在一個軸截面為正三角形的圓錐內放入一個與側面及底面都相切的實心球后,

再在該圓錐內的空隙處放入〃個小球，這些小球與實心球、圓錐的側面以及底面都相切，則

n的最大值為.(取sin17。=為-)

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演

算步驟.

15.(本小題滿分13分)

己知亂為公差不為0的等差數(shù)列{為}的前"項和，且的"=船"+1(*R，力dN*).

(1)求文的值；

(2)若$4=452，求證：'一H----F—'—.

〃2〃3

anan+i2

2

16.(本小題滿分15分)

如圖，在四棱錐PA2C。中，四邊形ABC。為梯形，其中A2〃C￡),ZBC￡>=60°,AB

=2BC=2CO=4,平面PBZ)_L平面ABCD.

(1)求證：AD±PD；

(2)若AB±PD,且PC與平面ABCD所成角的正切值為2,求平面PBC與平面PAD所

成二面角的正弦值.

3

17.(本小題滿分15分)

某班欲從6人中選派3人參加學?；@球投籃比賽，現(xiàn)將6人均分成甲、乙隊進行選拔比

213

賽.經(jīng)分析甲隊每名隊員投籃命中概率均為1,乙隊三名隊員投籃命中的概率分別為^，

p(O<p<l).現(xiàn)要求所有隊員各投籃一次(隊員投籃是否投中互不影響).

(1)若,求甲、乙兩隊共投中5次的概率；

(2)以甲、乙兩隊投中次數(shù)的期望為依據(jù)，若甲隊獲勝，求p的取值范圍.

18.(本小題滿分17分)

已知函數(shù)4x)=alnx+尹,aGR.

(1)若tz=2e2,求危)的極小值;

(2)若過原點可以作兩條直線與曲線y=/(x)相切，求a的取值范圍.

4

19.(本小題滿分17分)

已知雙曲線M：/-p=1(40,6>0)的右頂點為尸，過點P且與無軸垂直的直線交

一條漸近線于。(1,2).

(1)求雙曲線M的方程；

(2)過點。作直線/與雙曲線M相交于A,B兩點，直線出，尸2分別交直線y=2于C,

。兩點，求為+1萬的取值范圍.

YD

5

2023?2024學年高三第二學期學情調研考試（二十三）（宿遷）

數(shù)學參考答案及評分標準

1.C2.D3.A4.A5.B6.A7.B8.C9.ACD10.AC11.ABD

12.1013.[|,|]14.10

15.(1)解:設｛如｝的公差為d(dW0),

由。2〃=2斯+1①，得〃2八+2=2斯+1+1②，

則②—①得。2〃+2一。2及=%(斯+1一斯)，(2分)

即2d=〃,

又dWO,則丸=2.(4分)

注：取〃=1,2求出結果后需要驗證，否則扣1分.

(2)證明：由S4=4S2得4的+64=4(2的+菊,即2g=d,(6分)

所以斯=〃1+(〃-l)d=2〃i〃一的.

又〃2〃=2斯+1,即4〃i九一。1=2(2。1〃一“1)+1,則。尸1,

因此斯=2〃-1,(9分)

川||----4--~-+，?,+=—--+—~—+，??+-----------------------------

〃2〃3dnan+i1X33X5(2n—1)(2n+l)

=2(1—W+3-I+.一++-^+T)=2(1—肅)<2。3分)

16.解：(1)因為NBC￡>=60。，BC=CD=2,所以△BCD為等邊三角形，所以A2=2BD

=4,

又四邊形ABC。為梯形，AB//DC,

則NA8D=60。，(1分)

在△A3。中，由余弦定理可知，

AD2=AB2+BD--2ABBDCOSZABD=42+22-2X4X2X1=12,

根據(jù)勾股定理可知，AD2+BD2^AB2,即（2分）

因為平面平面ABCD,平面PBOn平面ABCD=BD,AOu平面ABCD,

所以AO_L平面PB。，（5分）

又因為POu平面PBD,所以AO_LPD（6分）

（2）（解法1）由（1）可知AOLP。，

又因為ADCiAB^A,所以PO_L平面A8C￡）,

所以NPCD就是PC與平面ABCD所成角，

DP

所以tan/PCD=灰=2,所以尸。=4.（8分）

以｛3,DB,DP｝為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系。孫z,

6

則8（0,2,0）,C（一小，1,0）,尸（0,0,4）,

所以筋=（0,-2,4）,BC=（一小，-1,0）,（9分）

設平面P8C的法向量為"1=（無，y,z）,

1―2y+4z=0,

則有4取〃i=（—2g，6,3）,

［一弧r―y=0,

由題意得"2=（0，1，0）為平面力。的一個法向量，（12分）

m、i,、nrn__6___2對

所以cos5i,“2〉—2一廝—19'

即平面PBC與平面PAD所成二面角的正弦值為瞎.（15分）

（解法2）在平面ABC。內，延長BC與AD相交于點

連接PM,則PM為平面PBC與平面PAD的交線，

在平面PDM內，過點。作EW_LRW,垂足為N,連接2N.（7分）

由（1）得，AD±PD,

因為AB±PD,A￡）nAB=A且均在平面ABC。內，

所以PD_L平面ABC￡>.（8分）

因為BDu平面ABC。，所以PD_L3D

又因為AO_LB。，PDLBD,A￡>nPD=。且均在平面B4D內，

所以BZ）_L平面PAD,即2。_1_平面PDM.

因為RWu平面P￡）M,所以

因為DNLPM,N￡）nBD=。且均在平面BDN內，

所以PM_L平面B￡W,由BNu平面BON,所以BN_LRW,（10分）

所以/2N。就是二面角3PMD的平面角.（11分）

又因為尸。,平面ABCD,所以NPCD就是PC與平面ABCD所成角,

DP

所以tanNPCD=灰=2,所以尸0=4.

因為DC//AB,所以黑席=1，

所以AO=Z）M=2V§.

在Rt^PND中，ON=程PDD等MPDDM_4A/21

y）PD2+DM2一7

、出

在RtABND中，tanZBND=2L^~,（14分）

所以平面P8C與平面出。所成二面角的正弦值為曙.（15分）

17.解：（1）記“甲、乙兩隊共投中5次”為事件A,

則可以是甲隊投中3次，乙隊投中2次或者甲隊投中2次，乙隊投中3次.（1分）

7

2131132113511Q

則P(A)=(§>5X?彳X4+2Xq)2]+Ci(3)2X^X5XQ)2=石+g=發(fā)，

(5分)

io

答：甲、乙兩隊共投中5次的概率為制.(寫出一種情況給2分)(6分)

(2)記甲、乙兩隊投中次數(shù)分別為X,Y,

22

則X?8(3,T),所以E(X?=3Xg=2；(8分)

y的取值為0,1,2,3,

則尸(y=o)=Tx1(1-P)=F，

143P

X-

P(Y=l)=jX；(1—p)+；x!4-P-8

p(y=2)=Tx1(i-p)+；x|p+jx|P=^-，

133

P(Y=3)=］p=gp,

所以丫的分布列為

Y0123

4一3〃3+p3

Pl-p

8888^

(12分)

r11—P,4―3p?3+p?3.5

則E(y)=0X-+1X——+2X-^—+3Xg〃=p+a,

53

由E(Y)〈E(X)得p+a<2,所以p的取值范圍是(0,4).(15分)

2e222e2%2—2八

18.斛：(1)/(%)=三一r=-p—，(1分)

令［(x)<0得0<x(,則/(x)在(0,F)上單調遞減，

令［(x)>0得,則於)在(巳,+8)上單調遞增，

則於)的極小值為R)=2e21nI+e?=—e?.(5分)

(列表也可)

zj2CLJ3"-2

(2)/(%)=-一/=爐一,設切點分別為(尤1，加1)),(X2,加2)),

_2

則“X)在X=X1處的切線方程為y—K%1)=區(qū)七一(X—X1),

7._Q

又切線過原點，所以0—(0—X1),

8

即*+a(\nxi—1)-0,(7分)

33

同理適+〃(lnX2—1)=0，所以％i，刀2為方程7+〃(lnx—1)=0兩個不同的根.(9分)

3

設g(%)=J+a(\nx-l)f

EI“、6.a—6+加

則g(%)=—R+-=-p-，

若〃W0,，(X)〈0,

則g(%)在(0,+8)上單調遞減，不符合題意；(10分)

若4>0,令，(%)<。，得x￡(o,AJI)，g(x)在。)上單調遞減，

令gXx)>0,得％￡(\器,+°°),g(x)在(\聆,+8)上單調遞增，

所以g(x)min=g(y|)=f+〃(ln-1)，(12分)

若g(x)min2o，即,

.3..,

此t時方程7+〃(lnx—1)=0沒有兩個不同的根，不符合題意;

G2

若g(x)min<0，即a>-,g(e)=/>0,(14分)

因為，所以J一號」/<0，所以!<A/|,g(\)=a(3a-lna-l),

令/z(〃)=3〃一ln〃一1(4>§),

則砥〃)=3—5>0,所以/z(a)在哈，+8)上單調遞增，h(a)>h(^)>0,

即g(()=a(3a~\na~1)>0,

3

又g(%)=/+〃(lnx—1)的圖象是不間斷的曲線，

所以存在的，％2滿足:<X1<、:<X2<e使得g(Xl)=g(X2)=0,

C4,\/

所以。的取值范圍是a*.(17分)

19.解：(1)因為雙曲線M：^5—]=1的漸近線方程為〉=±彳尤,

4=1,

a=l,

所以<b.解得

一=b=2,

a2,

所以雙曲線M的方程為x2—：=1.(4分)

(2)由題知,直線AB的斜率存在,設AS方程為>=左(%一1)+2,A(xi，y。,B(xi，yi),

9

[y=k(x—1)+2,

聯(lián)立｛r得(4--%—2)x—R+4左一8=0,

14%2—/—4=0,

2k(%—2)——/+4左——8

貝U4—於W0且/>0,所以左<2且％#—2,xi+x2=-―4—二~，xiX2=---4—二---.(7

分）

因為B4的方程為Q—1），由題意得力/0，則上W1，

所以｛川M2且左片一2,左W1｝.(8分)

.2(xi-1),TB2(%2—1).

令y=2得C(---------+1,2),同1理。(----1----+1,2),

bir2(即-1)