2023屆上海市高考模擬測(cè)數(shù)學(xué)試卷04（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市2023屆高考數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷04一、填空題1．i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，則的虛部為______.〖答案〗〖解析〗由題得，所以.所以的虛部為.故〖答案〗為：.2．設(shè)為奇函數(shù)，且時(shí)，，則___________.〖答案〗〖解析〗由題可知，．故〖答案〗為：．3．已知四個(gè)數(shù)，，，的平均數(shù)為，則這四個(gè)數(shù)的中位數(shù)是________．〖答案〗3〖解析〗由題意，，解得，故中位數(shù)為故〖答案〗為：3.4．已知，，則__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，，所以，所?故〖答案〗為：.5．在中，中，且，則的面積是______．〖答案〗6〖解析〗由,即所以，則故〖答案〗為：6.6．若的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為24，則實(shí)數(shù)a的值為______．〖答案〗〖解析〗二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式是，令；令（舍去）所以.故〖答案〗為：.7．已知冪函數(shù)，若，則a的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗由冪函數(shù)，可得函數(shù)的定義域?yàn)?，且是遞減函數(shù)，因?yàn)?，可得，解得，即?shí)數(shù)的取值范圍為.故〖答案〗為：.8．一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1、、3，則此球的體積為______．〖答案〗〖解析〗長(zhǎng)方體外接球的直徑為，所以外接球半徑為，所以球的體積為.故〖答案〗為：9．已知等差數(shù)列的公差為，且滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式______．〖答案〗〖解析〗由，，得，由解得，所以.故〖答案〗為：.10．已知，是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上的任意一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)），過作的角平分線的垂線，垂足為，線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線的漸近線方程為______〖答案〗〖解析〗因?yàn)槭堑慕瞧椒志€，，所以是等腰三角形，，為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以是的中位線，所以，因?yàn)?，?dāng)點(diǎn)在雙曲線的右支上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在雙曲線的左支上時(shí)，，所以，即，所以，所以，所以雙曲線的漸近線方程為.故〖答案〗為：.11．已知定義在R上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，．設(shè)在區(qū)間（）上的最小值為．若存在，使得有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槎x在上的函數(shù)滿足，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，有，即當(dāng)時(shí)，，又，令，則，，有，所以當(dāng)時(shí)，，同理可得，時(shí)，，根據(jù)規(guī)律，得當(dāng)，，且此時(shí)的在單調(diào)遞增，又因?yàn)闉樵趨^(qū)間上的最小值，所以，，，，，若存在，使得有解，則有有解，進(jìn)而必有，令，設(shè)最大，則，即，即，即最大；所以當(dāng)時(shí)，有，所以.故〖答案〗為：.12．對(duì)于函數(shù)和，設(shè)，，若存在m，n，使得，則稱和互為“零點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)”，若函數(shù)與互為“零點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的最小值是______．〖答案〗〖解析〗由函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，，得僅有唯一零點(diǎn)，設(shè)函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，則有，即，所以由題知，在有零點(diǎn)，即方程在有解,構(gòu)造函數(shù)，，，，在單調(diào)遞減，，所以，，單調(diào)遞增，且，,要使方程在有解，則，所以實(shí)數(shù)的最小值是-2.故〖答案〗為：-2．二、單選題13．已知集合，則下列Venn圖中陰影部分可以表示集合的是（

）A． B．C． D．〖答案〗B〖解析〗，選項(xiàng)A中Venn圖中陰影部分表示，不符合題意；選項(xiàng)B中Venn圖中陰影部分表示，符合題意；選項(xiàng)C中Venn圖中陰影部分表示，不符合題意；選項(xiàng)D中Venn圖中陰影部分表示，不符合題意，故選：B.14．如圖，在三棱錐M－EFG中，，EF=FG=2，平面平面EFG，則異面直線ME與FG所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗解法一

如圖，設(shè)O，C，D分別為線段，，的中點(diǎn)，連接，，，則，，，，∴是異面直線與所成的角或其補(bǔ)角.∵，為的中點(diǎn)，∴，，∵平面平面，平面平面，∴平面.設(shè)為的中點(diǎn)，連接，，則平面，，，，∴，連接，易得，，∴在中，，∴，∴，∴異面直線與所成角的余弦值為.故選：D.解法二

如圖，設(shè)為線段的中點(diǎn)，連接，，∵，∴，，∵平面平面，平面平面，∴平面，∵，∴，，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，∴，M（0，0，3），，，∴，，∴，∴異面直線與所成角的余弦值為.故選:D.15．?dāng)?shù)列是無窮項(xiàng)數(shù)列，則“存在，且”是“存在最大項(xiàng)”的（

）A．充分且不必要條件 B．必要且不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意可知，若存在，且，不妨設(shè)即數(shù)列從第三項(xiàng)起滿足，此時(shí)存在滿足且，但數(shù)列從第三項(xiàng)開始是遞增數(shù)列，無最大項(xiàng)；所以充分性不成立；若存在最大項(xiàng)，不妨設(shè)數(shù)列，此時(shí)的最大項(xiàng)為，且為遞減數(shù)列；所以不存在，且，即必要性不成立.故選：D.16．在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，自動(dòng)化控制技術(shù)的應(yīng)用有效提高了農(nóng)業(yè)生產(chǎn)效率.如圖所示，在某矩形試驗(yàn)田中，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，三角形區(qū)域種植小麥，梯形區(qū)域種植玉米.為提高勞動(dòng)效率，節(jié)約用水，現(xiàn)采用自動(dòng)澆水機(jī)器人（忽略機(jī)器人的面積）對(duì)試驗(yàn)田進(jìn)行灌溉.已知該機(jī)器人沿著以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線運(yùn)動(dòng)，且向以自身為圓心，半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)澆水.記小麥田能夠被機(jī)器人灌溉的面積為，則（

）（若直線與拋物線相切于點(diǎn)，平行于的直線與交于兩點(diǎn)，記與圍成的圖形面積為的面積為，則）A． B．C． D．〖答案〗D〖解析〗如圖1，取的中點(diǎn)，以所在直線為軸，的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)拋物線的方程為，則所以拋物線的方程為.則，,所以直線的斜率為，所以直線的方程為.如圖2，把拋物線向右平移個(gè)單位得，設(shè)平行于且與相切的直線方程為，其中為切點(diǎn)，則，所以，解得，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為.則切點(diǎn)到直線：的距離，設(shè)直線與相交于聯(lián)立方程組得：，.則，，，所以，則與拋物線圍成的圖形的面積.如圖3，把拋物線向左平移個(gè)單位得，設(shè)平行于且與相切的直線方程為，其中為切點(diǎn)，則，所以，解得，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為.則切點(diǎn)到直線：的距離，設(shè)直線與相交于聯(lián)立方程組得：，.則，，，所以.則與拋物線圍成的圖形的面積.如圖4，直線左側(cè)兩條拋物線與圍成的區(qū)域的面積.又因?yàn)闄C(jī)器人澆水的區(qū)域?yàn)閳A形，方程可設(shè)為，聯(lián)立得，令，易知，所以有零點(diǎn)，又，所以必有兩個(gè)零點(diǎn)，則機(jī)器人澆水的區(qū)域必然大于兩條拋物線圍成的區(qū)域，所以,即.故選：D.三、解答題17．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1），則函數(shù)的最小正周期；令，解得，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為·令，解得，可得因數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）由（1）可知，時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，，由增大到1，當(dāng)，，由1減小到，若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為18．已知平行六面體中，底面和側(cè)面都是邊長(zhǎng)為2的菱形，平面平面，．（1）求證：四邊形是正方形；（2）若，求二面角的余弦值．（1）證明：連接，作于．因?yàn)槭橇庑危?，又因?yàn)?，，面，所以面，而面，所以，又平面平面，平面平面，所以面，又因?yàn)槊鍭BCD，所以.、相交，且、面，所以面，面，所以，而為菱形，所以四邊形是正方形．（2）解：在時(shí)，易知為的中點(diǎn)，如圖以H為中心，建立空間直角坐標(biāo)系則，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即，令，則，故

設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即令，則，解得，

則

又因?yàn)闉殇J二面角，所以的余弦值為．19．在臨床檢測(cè)試驗(yàn)中，某地用某種抗原來診斷試驗(yàn)者是否患有某種疾病．設(shè)事件表示試驗(yàn)者的檢測(cè)結(jié)果為陽性，事件表示試驗(yàn)者患有此疾病，據(jù)臨床統(tǒng)計(jì)顯示，，．已知該地人群中患有此種疾病的概率為．（下列兩小題計(jì)算結(jié)果中的概率值精確到）（1）對(duì)該地某人進(jìn)行抗原檢測(cè)，求事件與同時(shí)發(fā)生的概率；（2）對(duì)該地個(gè)患有此疾病的患者進(jìn)行抗原檢測(cè)，用隨機(jī)變量表示檢測(cè)結(jié)果為陽性的人數(shù)，求的分布和期望．解：（1）由題意知：，，，即事件與同時(shí)發(fā)生的概率為.（2），，所有可能的取值為，；；；；的分布為，數(shù)學(xué)期望.20．點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)的雙曲線上，已知，，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求雙曲線的離心率；（2）過點(diǎn)作直線分別與雙曲線漸近線相交于、兩點(diǎn)，且，，求雙曲線的方程；（3）若過點(diǎn)（為非零常數(shù)）的直線與（2）中雙曲線相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)、，且（為非零常數(shù)），問在軸上是否存在定點(diǎn)，使？若存在，求出所有這種定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）因?yàn)椋瑒t，可得，因?yàn)?，由勾股定理可得，即，所以，，因此，該雙曲線的離心率為.（2）因?yàn)?，則，所以，雙曲線的方程為，即，雙曲線的漸近線方程為，設(shè)點(diǎn)、、，，可得，因?yàn)椋?，可得，即點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得，可得，所以，，所以，，因此，雙曲線的方程為.（3）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)使得，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，由題意可得，可得，由韋達(dá)定理可得，，易知、，所以，，，因?yàn)?，所以，，即，即，即，?）由可得，則，將代入（*）可得，（**）將代入韋達(dá)定理可得，所以，，將代入（**）式可得，故在軸上存在定點(diǎn)使得．21．已知，函數(shù).（1）若，求曲線在處的切線方程；（2）若，且在其定義域上恰有一個(gè)駐點(diǎn)，求；（3）若在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，證明：在區(qū)間上也沒有零點(diǎn).（1）解：的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以切點(diǎn)為，,所以切線斜率為2，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）解：，則，設(shè)，令，函數(shù)在定義內(nèi)恰有一個(gè)的駐點(diǎn)，即方程在定義域內(nèi)恰有一個(gè)解，所以有，當(dāng)時(shí)，方程不成立.所以有，令，則，由于，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，所以當(dāng)時(shí)，.所以時(shí)，即，解得；時(shí)，即，解得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以，因此，當(dāng)時(shí)，方程有唯一的解，所以（3）證明：由（2），設(shè)若,當(dāng),即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，顯然恒成立，所以在區(qū)間上也沒有零點(diǎn).若,當(dāng),則所以在上單調(diào)遞增所以,即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒有零點(diǎn).若時(shí).①當(dāng),則,所以在上單調(diào)遞增所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增所以當(dāng)，當(dāng)，所以在上有唯一零點(diǎn)又上沒有零點(diǎn),即在上有唯一零點(diǎn)②當(dāng)設(shè)所以在單調(diào)遞增所以存在,使得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增,，又所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減又而,所以當(dāng)所以在上有唯一零點(diǎn),上無零點(diǎn)即在上有唯一零點(diǎn)，所以不合題意；綜上可知，若在上沒有零點(diǎn)，在區(qū)間上也沒有零點(diǎn).上海市2023屆高考數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷04一、填空題1．i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，則的虛部為______.〖答案〗〖解析〗由題得，所以.所以的虛部為.故〖答案〗為：.2．設(shè)為奇函數(shù)，且時(shí)，，則___________.〖答案〗〖解析〗由題可知，．故〖答案〗為：．3．已知四個(gè)數(shù)，，，的平均數(shù)為，則這四個(gè)數(shù)的中位數(shù)是________．〖答案〗3〖解析〗由題意，，解得，故中位數(shù)為故〖答案〗為：3.4．已知，，則__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，，所以，所?故〖答案〗為：.5．在中，中，且，則的面積是______．〖答案〗6〖解析〗由,即所以，則故〖答案〗為：6.6．若的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為24，則實(shí)數(shù)a的值為______．〖答案〗〖解析〗二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式是，令；令（舍去）所以.故〖答案〗為：.7．已知冪函數(shù)，若，則a的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗由冪函數(shù)，可得函數(shù)的定義域?yàn)椋沂沁f減函數(shù)，因?yàn)?，可得，解得，即?shí)數(shù)的取值范圍為.故〖答案〗為：.8．一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1、、3，則此球的體積為______．〖答案〗〖解析〗長(zhǎng)方體外接球的直徑為，所以外接球半徑為，所以球的體積為.故〖答案〗為：9．已知等差數(shù)列的公差為，且滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式______．〖答案〗〖解析〗由，，得，由解得，所以.故〖答案〗為：.10．已知，是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上的任意一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)），過作的角平分線的垂線，垂足為，線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線的漸近線方程為______〖答案〗〖解析〗因?yàn)槭堑慕瞧椒志€，，所以是等腰三角形，，為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以是的中位線，所以，因?yàn)椋?dāng)點(diǎn)在雙曲線的右支上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在雙曲線的左支上時(shí)，，所以，即，所以，所以，所以雙曲線的漸近線方程為.故〖答案〗為：.11．已知定義在R上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，．設(shè)在區(qū)間（）上的最小值為．若存在，使得有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槎x在上的函數(shù)滿足，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，有，即當(dāng)時(shí)，，又，令，則，，有，所以當(dāng)時(shí)，，同理可得，時(shí)，，根據(jù)規(guī)律，得當(dāng)，，且此時(shí)的在單調(diào)遞增，又因?yàn)闉樵趨^(qū)間上的最小值，所以，，，，，若存在，使得有解，則有有解，進(jìn)而必有，令，設(shè)最大，則，即，即，即最大；所以當(dāng)時(shí)，有，所以.故〖答案〗為：.12．對(duì)于函數(shù)和，設(shè)，，若存在m，n，使得，則稱和互為“零點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)”，若函數(shù)與互為“零點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的最小值是______．〖答案〗〖解析〗由函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，，得僅有唯一零點(diǎn)，設(shè)函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，則有，即，所以由題知，在有零點(diǎn)，即方程在有解,構(gòu)造函數(shù)，，，，在單調(diào)遞減，，所以，，單調(diào)遞增，且，,要使方程在有解，則，所以實(shí)數(shù)的最小值是-2.故〖答案〗為：-2．二、單選題13．已知集合，則下列Venn圖中陰影部分可以表示集合的是（

）A． B．C． D．〖答案〗B〖解析〗，選項(xiàng)A中Venn圖中陰影部分表示，不符合題意；選項(xiàng)B中Venn圖中陰影部分表示，符合題意；選項(xiàng)C中Venn圖中陰影部分表示，不符合題意；選項(xiàng)D中Venn圖中陰影部分表示，不符合題意，故選：B.14．如圖，在三棱錐M－EFG中，，EF=FG=2，平面平面EFG，則異面直線ME與FG所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗解法一

如圖，設(shè)O，C，D分別為線段，，的中點(diǎn)，連接，，，則，，，，∴是異面直線與所成的角或其補(bǔ)角.∵，為的中點(diǎn)，∴，，∵平面平面，平面平面，∴平面.設(shè)為的中點(diǎn)，連接，，則平面，，，，∴，連接，易得，，∴在中，，∴，∴，∴異面直線與所成角的余弦值為.故選：D.解法二

如圖，設(shè)為線段的中點(diǎn)，連接，，∵，∴，，∵平面平面，平面平面，∴平面，∵，∴，，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，∴，M（0，0，3），，，∴，，∴，∴異面直線與所成角的余弦值為.故選:D.15．?dāng)?shù)列是無窮項(xiàng)數(shù)列，則“存在，且”是“存在最大項(xiàng)”的（

）A．充分且不必要條件 B．必要且不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意可知，若存在，且，不妨設(shè)即數(shù)列從第三項(xiàng)起滿足，此時(shí)存在滿足且，但數(shù)列從第三項(xiàng)開始是遞增數(shù)列，無最大項(xiàng)；所以充分性不成立；若存在最大項(xiàng)，不妨設(shè)數(shù)列，此時(shí)的最大項(xiàng)為，且為遞減數(shù)列；所以不存在，且，即必要性不成立.故選：D.16．在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，自動(dòng)化控制技術(shù)的應(yīng)用有效提高了農(nóng)業(yè)生產(chǎn)效率.如圖所示，在某矩形試驗(yàn)田中，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，三角形區(qū)域種植小麥，梯形區(qū)域種植玉米.為提高勞動(dòng)效率，節(jié)約用水，現(xiàn)采用自動(dòng)澆水機(jī)器人（忽略機(jī)器人的面積）對(duì)試驗(yàn)田進(jìn)行灌溉.已知該機(jī)器人沿著以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線運(yùn)動(dòng)，且向以自身為圓心，半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)澆水.記小麥田能夠被機(jī)器人灌溉的面積為，則（

）（若直線與拋物線相切于點(diǎn)，平行于的直線與交于兩點(diǎn)，記與圍成的圖形面積為的面積為，則）A． B．C． D．〖答案〗D〖解析〗如圖1，取的中點(diǎn)，以所在直線為軸，的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)拋物線的方程為，則所以拋物線的方程為.則，,所以直線的斜率為，所以直線的方程為.如圖2，把拋物線向右平移個(gè)單位得，設(shè)平行于且與相切的直線方程為，其中為切點(diǎn)，則，所以，解得，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為.則切點(diǎn)到直線：的距離，設(shè)直線與相交于聯(lián)立方程組得：，.則，，，所以，則與拋物線圍成的圖形的面積.如圖3，把拋物線向左平移個(gè)單位得，設(shè)平行于且與相切的直線方程為，其中為切點(diǎn)，則，所以，解得，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為.則切點(diǎn)到直線：的距離，設(shè)直線與相交于聯(lián)立方程組得：，.則，，，所以.則與拋物線圍成的圖形的面積.如圖4，直線左側(cè)兩條拋物線與圍成的區(qū)域的面積.又因?yàn)闄C(jī)器人澆水的區(qū)域?yàn)閳A形，方程可設(shè)為，聯(lián)立得，令，易知，所以有零點(diǎn)，又，所以必有兩個(gè)零點(diǎn)，則機(jī)器人澆水的區(qū)域必然大于兩條拋物線圍成的區(qū)域，所以,即.故選：D.三、解答題17．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1），則函數(shù)的最小正周期；令，解得，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為·令，解得，可得因數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）由（1）可知，時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，，由增大到1，當(dāng)，，由1減小到，若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為18．已知平行六面體中，底面和側(cè)面都是邊長(zhǎng)為2的菱形，平面平面，．（1）求證：四邊形是正方形；（2）若，求二面角的余弦值．（1）證明：連接，作于．因?yàn)槭橇庑?，所以，又因?yàn)?，，面，所以面，而面，所以，又平面平面，平面平面，所以面，又因?yàn)槊鍭BCD，所以.、相交，且、面，所以面，面，所以，而為菱形，所以四邊形是正方形．（2）解：在時(shí)，易知為的中點(diǎn)，如圖以H為中心，建立空間直角坐標(biāo)系則，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即，令，則，故

設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即令，則，解得，

則

又因?yàn)闉殇J二面角，所以的余弦值為．19．在臨床檢測(cè)試驗(yàn)中，某地用某種抗原來診斷試驗(yàn)者是否患有某種疾?。O(shè)事件表示試驗(yàn)者的檢測(cè)結(jié)果為陽性，事件表示試驗(yàn)者患有此疾病，據(jù)臨床統(tǒng)計(jì)顯示，，．已知該地人群中患有此種疾病的概率為．（下列兩小題計(jì)算結(jié)果中的概率值精確到）（1）對(duì)該地某人進(jìn)行抗原檢測(cè)，求事件與同時(shí)發(fā)生的概率；（2）對(duì)該地個(gè)患有此疾病的患者進(jìn)行抗原檢測(cè)，用隨機(jī)變量表示檢測(cè)結(jié)果為陽性的人數(shù)，求的分布和期望．解：（1）由題意知：，，，即事件與同時(shí)發(fā)生的概率為.（2），，所有可能的取值為，；；；；的分布為，數(shù)學(xué)期望.20．點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)的雙曲線上，已知，，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求雙曲線的離心率；（2）過點(diǎn)作直線分別與雙曲線漸近線相交于、兩點(diǎn)，且，，求雙曲線的方程；（3）若過點(diǎn)（為非零常數(shù)）的直線與（2）中雙曲線