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高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省2023屆高考數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷04一、單選題1.已知集合,,則(
)A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可得:,故選:D.2.若復(fù)數(shù),則(
)A. B.復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限C.復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之積為 D.〖答案〗C〖解析〗復(fù)數(shù),,故A錯(cuò)誤;復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為,在第三象限,故B錯(cuò)誤;復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之積為,故C正確;,故D錯(cuò)誤.故選:C.3.已知向量,,若,則(
)A.3 B.6 C. D.〖答案〗B〖解析〗,,,則.故選:B.4.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為(
)A.48 B.34 C.24 D.12〖答案〗B〖解析〗圖示幾何體由長(zhǎng)方體切去一個(gè)三棱臺(tái)所得,三棱臺(tái)上底,下底,所以故選擇:B.5.甲、乙、丙3人去食堂用餐,每個(gè)人從這5種菜中任意選用2種,則菜有2人選用、菜有1人選用的情形共有(
)A.54 B.81 C.135 D.162〖答案〗C〖解析〗菜有2人選用有種,比如甲、乙選用了菜,①甲、乙之中有1人選用了B菜,有種,比如甲用了B菜,則乙從中任意選用1種,有種,丙從C,D,E中任意選用2種,有種,故共有②丙選用了B菜,丙再?gòu)闹腥我膺x用1種,有種,甲、乙再?gòu)闹懈魅我膺x用1種,有種,故共有由①②可知所有情形是.故選:C6.已知函數(shù),下列說(shuō)法正確的是(
)A.若,則函數(shù)在上存在零點(diǎn)B.若,則將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C.若函數(shù)在上取到最大值,則的最小值為D.若函數(shù)在上存在兩個(gè)最值,則的取值范圍是〖答案〗C〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A,,當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在上不存在零點(diǎn),所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)B,將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,所得函數(shù)為是偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)楹瘮?shù)在上取到最大值,所以,即有,化簡(jiǎn)得因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),的最小值為,所以選項(xiàng)C正確;對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)時(shí),,要使函數(shù)在上存在兩個(gè)最值,則,解得,所以選項(xiàng)D不正確.故選:C.7.已知,,且,則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是(
)①的最小值是4;
②恒成立;③恒成立;
④的最大值是.A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)〖答案〗C〖解析〗①,當(dāng)且僅當(dāng),即,即等號(hào)成立,而,故錯(cuò)誤;②令,因?yàn)?,,且,所以,,則,所以在上遞減,則,即,故正確;③因?yàn)?,,且,所以,?dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,則,故正確;④因?yàn)?,令,則,令,解得當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),取得最大值,故正確.故選:C8.在四棱錐中,.記三棱錐的體積分別為,四棱錐的體積分別為,則(
)A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意知:,設(shè)到平面的距離分別為,易得,則,,則,即,則A,B錯(cuò)誤;設(shè)三棱錐的體積分別為,設(shè)到平面的距離分別為,易得,則,,則,即,又,即,又,則C正確,D錯(cuò)誤.故選:C.二、多選題9.下列結(jié)論中,正確的有(
)A.?dāng)?shù)據(jù)4,1,6,2,9,5,8的第60百分位數(shù)為5B.若隨機(jī)變量,則C.已知經(jīng)驗(yàn)回歸方程為,且,則D.根據(jù)分類變量X與Y的成對(duì)樣本數(shù)據(jù),計(jì)算得到,依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn),可判斷X與Y有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001〖答案〗BC〖解析〗數(shù)據(jù)4,1,6,2,9,5,8整理為1,2,4,5,6,8,9,,則數(shù)據(jù)4,1,6,2,9,5,8的第60百分位數(shù)為第五位數(shù)據(jù)6,所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤:隨機(jī)變量,則,所以選項(xiàng)B正確;經(jīng)驗(yàn)回歸方程為,且,則,所以選項(xiàng)C正確;根據(jù)分類變量X與Y的成對(duì)樣本數(shù)據(jù),計(jì)算得到,依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn),可判斷X與Y有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯(cuò)誤的概率大于0.001,所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:BC.10.如圖,在平行六面體中,以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6,且它們彼此的夾角都是,下列說(shuō)法中正確的是(
)A.平面B.C.直線與平面所成的角的正弦值為D.直線與所成角的余弦值為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A中,由底面為菱形,所以,由題可知,因?yàn)椋?,又因?yàn)榍移矫妫云矫?,所以A正確;對(duì)于B中,因?yàn)椋傻?,所以B不正確;對(duì)于C中,因?yàn)槠矫?,且平面,所以平面平面,所以在平面?nèi)的射影為,所以為直線與平面所成的角,又因?yàn)椋?,,所以,所以,所以C正確;對(duì)于D中,由B中知且,,所以,所以D正確.故選:ACD.11.已知橢圓,O是坐標(biāo)原點(diǎn),P是橢圓Q上的動(dòng)點(diǎn),是Q的兩個(gè)焦點(diǎn)(
)A.若的面積為S,則S的最大值為9B.若P的坐標(biāo)為,則過(guò)P的Q的切線方程為C.若過(guò)O的直線l交Q于不同兩點(diǎn)A,B,設(shè)PA,PB的斜率分別為,則D.若A,B是Q的長(zhǎng)軸上的兩端點(diǎn),不與重合,且,則R點(diǎn)的軌跡方程為〖答案〗BCD〖解析〗由橢圓可得,設(shè)點(diǎn),A項(xiàng):,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為短軸上的頂點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立,A錯(cuò)誤;B項(xiàng):顯然過(guò)P處切線的斜率存在,設(shè)為,則切線方程為,聯(lián)立方程,消去y得,則,整理得,解得故過(guò)P處切線方程為:,即,B正確;C項(xiàng):設(shè),則,則,兩式相減得,則,即,C正確;D項(xiàng):法一:當(dāng)不與重合時(shí),由C知:,∵,,所以,所以,設(shè),則,,可得,整理得;當(dāng)與重合時(shí),滿足題意,符合上式;綜上所述:R的方程為,D正確.法二:設(shè),則,可得,∵,解得,由點(diǎn)在橢圓上,可得,則,即,整理得,D正確.故選:BCD.12.已知為非常數(shù)數(shù)列且,,,則(
)A.對(duì)任意的,數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列B.對(duì)任意的正數(shù),存在,當(dāng)時(shí),C.不存在,使得數(shù)列的周期為D.不存在,使得〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A,當(dāng)時(shí),,此時(shí)為單調(diào)遞減數(shù)列,A錯(cuò)誤;對(duì)于B,令,令,,則;,令,則,可取,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增;令,解得:或,如圖所示,在區(qū)間內(nèi),總能找到一個(gè),使得的極限為,B正確;對(duì)于C,假設(shè)存在,使得數(shù)列的周期為,則;,,,即;令,則,在上單調(diào)遞增,則由得:,即為常數(shù)列,與已知矛盾,假設(shè)錯(cuò)誤,即不存在,使得數(shù)列的周期為,C正確;對(duì)于D,,,不存在,使得,D正確.故選:BCD.三、填空題13.已知:,則______.〖答案〗14〖解析〗,展開式的通項(xiàng)為,.故〖答案〗為:14.在橢圓上有點(diǎn),斜率為1的直線l與橢圓交于不同的A,B兩點(diǎn)(且不同于P),若三角形的外接圓恰過(guò)點(diǎn)P,則外接圓的圓心坐標(biāo)為______.〖答案〗〖解析〗依題意,設(shè),,直線,聯(lián)立,消去,得,所以,,則,,.法一:因?yàn)?,所以,的中點(diǎn)坐標(biāo)為,中垂線的斜率為,所以中垂線方程為,即,因?yàn)榈男甭蕿?,的中點(diǎn)坐標(biāo)為,即,所以中垂線的斜率為,則中垂線方程,即,聯(lián)立,解得,則圓心坐標(biāo),因?yàn)椋?,整理得,因?yàn)椋?,,,所以,,則,整理得,解得,,當(dāng)時(shí),直線,顯然直線過(guò)P點(diǎn),舍去,當(dāng)時(shí),,直線,滿足題意,又,所以此時(shí)圓心坐標(biāo).法二:因?yàn)閳A過(guò)原點(diǎn),所以設(shè)圓的方程為,聯(lián)立,消去,得,所以,,又,,所以,,所以,,因?yàn)辄c(diǎn)在圓上,所以,即,所以,整理得,解得,,當(dāng)時(shí),直線,顯然直線過(guò)P點(diǎn),舍去,當(dāng)時(shí),,,對(duì)于方程,有,對(duì)于方程,即,有,滿足題意,又因?yàn)橥饨訄A的圓心坐標(biāo)為,所以圓心為.故〖答案〗為:.15.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,,過(guò)點(diǎn)作直線交兩條漸近線于點(diǎn),,且.若點(diǎn)在軸上的射影為,則__________.〖答案〗〖解析〗如圖所示:則,雙曲線的漸近線為,,,不妨設(shè),,,則,,,,,.故〖答案〗為:.16.已知,是非零不共線的向量,設(shè),定義點(diǎn)集,當(dāng),時(shí),若對(duì)于任意的,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的最小值為______.〖答案〗.〖解析〗由,可得,,共線,由,可得,即有,則為的平分線,由角平分線的性質(zhì)定理可得,即的軌跡為圓心在上的圓,由,可得,由,可得,可得,由函數(shù)在上遞增,可得,即有,即,由題意可得,故的最小值為.故〖答案〗為:.四、解答題17.的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別是、、,已知.(1)求s;(2)若是銳角三角形,,求周長(zhǎng)的取值范圍.(1)解:因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?,即,因?yàn)椋瑒t,所以,,則,因?yàn)?,則,所以,,解得.(2)解:由正弦定理可得,即,所以,,,易知,所以,,因?yàn)闉殇J角三角形,且,則,解得,所以,,因?yàn)?,所以,,所以?18.在數(shù)列中,,在數(shù)列中,.(1)求證數(shù)列成等差數(shù)列并求;(1)求證:.(1)解:由知,故,即,數(shù)列成等差數(shù)列,所以,所以;(2)證明:由,得,于是所以,,所以.19.如圖,在三棱錐中,,為的中點(diǎn),.(1)證明:平面平面;(2)若是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,點(diǎn)在棱上,,且二面角的大小為,求三棱錐的體積.(1)證明:,為中點(diǎn),,又,,平面,平面,平面,平面平面.(2)解:以為坐標(biāo)原點(diǎn),正方向?yàn)檩S,過(guò)作垂直于的直線為軸,可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,,,,,設(shè)平面的法向量,則,令,解得:,,;軸平面,平面的一個(gè)法向量;二面角的大小為,,解得:;,.20.據(jù)第19屆亞運(yùn)會(huì)組委會(huì)消息,杭州亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日舉行,為此,某校開展了青少年亞運(yùn)會(huì)知識(shí)問答競(jìng)賽,有400名學(xué)生參賽,競(jìng)賽成績(jī)所得分?jǐn)?shù)的分組區(qū)間為,由此得到如下的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表:分?jǐn)?shù)區(qū)間性別男生/名10707545女生/名10904555(1)若某學(xué)生得分不低于80分則認(rèn)為他亞運(yùn)會(huì)知識(shí)掌握良好,若某學(xué)生得分低于80分則認(rèn)為他亞運(yùn)會(huì)知識(shí)掌握一般,那么是否有95%的把握認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)亞運(yùn)會(huì)知識(shí)的掌握情況與性別有關(guān)?(2)利用對(duì)不同分?jǐn)?shù)段進(jìn)行分層抽樣的方式從參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取20名學(xué)生作進(jìn)一步調(diào)研.(i)從這20名學(xué)生中依次再抽取3名進(jìn)行調(diào)查分析,求在第一次抽出的1名學(xué)生分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的條件下,后兩次抽出的2名學(xué)生分?jǐn)?shù)都在內(nèi)的概率;(ii)從這20名學(xué)生中再任取3名進(jìn)行調(diào)查分析,記取出的3人中分?jǐn)?shù)在[90,100]內(nèi)的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附:0.100.050.0102.7063.8416.635解:(1)根據(jù)題意得如下2×2列聯(lián)表男生女生合計(jì)掌握良好120100220掌握一般80100180合計(jì)200200400因此,有95%的把握認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)亞運(yùn)會(huì)知識(shí)的掌握情況與性別有關(guān).(2)分?jǐn)?shù)區(qū)間頻率0.050.40.30.25分層抽樣得分位于的共有6人,得分位于的有5人,(i)記事件:第一次抽出1名學(xué)生分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi),記事件:后兩次抽出的2名學(xué)生分?jǐn)?shù)在同一分組區(qū)間內(nèi),則,由條件概率公式得;(ii)由題意知,的可能取值有,故,故的分布列如下,0123.21.如圖,已知橢圓,拋物線,O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)若拋物線的焦點(diǎn)正好為橢圓的上頂點(diǎn),求p的值;(2)橢圓與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)P但不過(guò)原點(diǎn)的的直線l交橢圓于點(diǎn)Q,交拋物線于點(diǎn)M(Q,M不同于點(diǎn)P),若M是線段PQ的中點(diǎn),求p的最大值,并求當(dāng)p取最大時(shí)直線l的斜率.(1)解:橢圓,所以上頂點(diǎn)為,依題意,所以;(2)解:因?yàn)辄c(diǎn)既在橢圓上,又在拋物線上,所以且,設(shè)直線的方程為,,,聯(lián)立,消去整理得,則,所以;聯(lián)立,消去整理得,則,所以,代入拋物線方程得,再代入橢圓方程得,整理得,令,則,依題意可知且,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),所以所以,即,即的最大值為,此時(shí)直線的斜率為;22.已知函數(shù),.(1)若,求的單調(diào)區(qū)間;(2)若不單調(diào),且.(i)證明:;(ii)若,且,證明.(1)解:若,即,定義域?yàn)楫?dāng)時(shí),又因?yàn)?,所以所以在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),所以在單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.綜上:時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為,無(wú)減區(qū)間;時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)證明:(i),即又因?yàn)椴粏握{(diào),即在上有零點(diǎn),又所以且,所以所以,即又因?yàn)樗杂忠驗(yàn)樗?,?(ii)設(shè),則,故由即即可知,則.要證,也就是證明成立,即證,把代入,即證明:即可.設(shè).即所以在上單調(diào)遞增,又,故在上單調(diào)遞增,又因?yàn)?,故,即,也就是證明,令,即證:,易知,原不等式等價(jià)于先證明:當(dāng)成立.即,等價(jià)于,即則故,所以不等式成立,故成立,原不等式得證.浙江省2023屆高考數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷04一、單選題1.已知集合,,則(
)A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可得:,故選:D.2.若復(fù)數(shù),則(
)A. B.復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限C.復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之積為 D.〖答案〗C〖解析〗復(fù)數(shù),,故A錯(cuò)誤;復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為,在第三象限,故B錯(cuò)誤;復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之積為,故C正確;,故D錯(cuò)誤.故選:C.3.已知向量,,若,則(
)A.3 B.6 C. D.〖答案〗B〖解析〗,,,則.故選:B.4.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為(
)A.48 B.34 C.24 D.12〖答案〗B〖解析〗圖示幾何體由長(zhǎng)方體切去一個(gè)三棱臺(tái)所得,三棱臺(tái)上底,下底,所以故選擇:B.5.甲、乙、丙3人去食堂用餐,每個(gè)人從這5種菜中任意選用2種,則菜有2人選用、菜有1人選用的情形共有(
)A.54 B.81 C.135 D.162〖答案〗C〖解析〗菜有2人選用有種,比如甲、乙選用了菜,①甲、乙之中有1人選用了B菜,有種,比如甲用了B菜,則乙從中任意選用1種,有種,丙從C,D,E中任意選用2種,有種,故共有②丙選用了B菜,丙再?gòu)闹腥我膺x用1種,有種,甲、乙再?gòu)闹懈魅我膺x用1種,有種,故共有由①②可知所有情形是.故選:C6.已知函數(shù),下列說(shuō)法正確的是(
)A.若,則函數(shù)在上存在零點(diǎn)B.若,則將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C.若函數(shù)在上取到最大值,則的最小值為D.若函數(shù)在上存在兩個(gè)最值,則的取值范圍是〖答案〗C〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A,,當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在上不存在零點(diǎn),所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)B,將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,所得函數(shù)為是偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)楹瘮?shù)在上取到最大值,所以,即有,化簡(jiǎn)得因?yàn)椋援?dāng)時(shí),的最小值為,所以選項(xiàng)C正確;對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)時(shí),,要使函數(shù)在上存在兩個(gè)最值,則,解得,所以選項(xiàng)D不正確.故選:C.7.已知,,且,則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是(
)①的最小值是4;
②恒成立;③恒成立;
④的最大值是.A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)〖答案〗C〖解析〗①,當(dāng)且僅當(dāng),即,即等號(hào)成立,而,故錯(cuò)誤;②令,因?yàn)椋?,且,所以,,則,所以在上遞減,則,即,故正確;③因?yàn)?,,且,所以,?dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,則,故正確;④因?yàn)?,令,則,令,解得當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),取得最大值,故正確.故選:C8.在四棱錐中,.記三棱錐的體積分別為,四棱錐的體積分別為,則(
)A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意知:,設(shè)到平面的距離分別為,易得,則,,則,即,則A,B錯(cuò)誤;設(shè)三棱錐的體積分別為,設(shè)到平面的距離分別為,易得,則,,則,即,又,即,又,則C正確,D錯(cuò)誤.故選:C.二、多選題9.下列結(jié)論中,正確的有(
)A.?dāng)?shù)據(jù)4,1,6,2,9,5,8的第60百分位數(shù)為5B.若隨機(jī)變量,則C.已知經(jīng)驗(yàn)回歸方程為,且,則D.根據(jù)分類變量X與Y的成對(duì)樣本數(shù)據(jù),計(jì)算得到,依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn),可判斷X與Y有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001〖答案〗BC〖解析〗數(shù)據(jù)4,1,6,2,9,5,8整理為1,2,4,5,6,8,9,,則數(shù)據(jù)4,1,6,2,9,5,8的第60百分位數(shù)為第五位數(shù)據(jù)6,所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤:隨機(jī)變量,則,所以選項(xiàng)B正確;經(jīng)驗(yàn)回歸方程為,且,則,所以選項(xiàng)C正確;根據(jù)分類變量X與Y的成對(duì)樣本數(shù)據(jù),計(jì)算得到,依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn),可判斷X與Y有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯(cuò)誤的概率大于0.001,所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:BC.10.如圖,在平行六面體中,以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6,且它們彼此的夾角都是,下列說(shuō)法中正確的是(
)A.平面B.C.直線與平面所成的角的正弦值為D.直線與所成角的余弦值為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A中,由底面為菱形,所以,由題可知,因?yàn)?,所以,又因?yàn)榍移矫?,所以平面,所以A正確;對(duì)于B中,因?yàn)?,可得,所以B不正確;對(duì)于C中,因?yàn)槠矫妫移矫?,所以平面平面,所以在平面?nèi)的射影為,所以為直線與平面所成的角,又因?yàn)?,,,所以,所以,所以C正確;對(duì)于D中,由B中知且,,所以,所以D正確.故選:ACD.11.已知橢圓,O是坐標(biāo)原點(diǎn),P是橢圓Q上的動(dòng)點(diǎn),是Q的兩個(gè)焦點(diǎn)(
)A.若的面積為S,則S的最大值為9B.若P的坐標(biāo)為,則過(guò)P的Q的切線方程為C.若過(guò)O的直線l交Q于不同兩點(diǎn)A,B,設(shè)PA,PB的斜率分別為,則D.若A,B是Q的長(zhǎng)軸上的兩端點(diǎn),不與重合,且,則R點(diǎn)的軌跡方程為〖答案〗BCD〖解析〗由橢圓可得,設(shè)點(diǎn),A項(xiàng):,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為短軸上的頂點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立,A錯(cuò)誤;B項(xiàng):顯然過(guò)P處切線的斜率存在,設(shè)為,則切線方程為,聯(lián)立方程,消去y得,則,整理得,解得故過(guò)P處切線方程為:,即,B正確;C項(xiàng):設(shè),則,則,兩式相減得,則,即,C正確;D項(xiàng):法一:當(dāng)不與重合時(shí),由C知:,∵,,所以,所以,設(shè),則,,可得,整理得;當(dāng)與重合時(shí),滿足題意,符合上式;綜上所述:R的方程為,D正確.法二:設(shè),則,可得,∵,解得,由點(diǎn)在橢圓上,可得,則,即,整理得,D正確.故選:BCD.12.已知為非常數(shù)數(shù)列且,,,則(
)A.對(duì)任意的,數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列B.對(duì)任意的正數(shù),存在,當(dāng)時(shí),C.不存在,使得數(shù)列的周期為D.不存在,使得〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A,當(dāng)時(shí),,此時(shí)為單調(diào)遞減數(shù)列,A錯(cuò)誤;對(duì)于B,令,令,,則;,令,則,可取,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增;令,解得:或,如圖所示,在區(qū)間內(nèi),總能找到一個(gè),使得的極限為,B正確;對(duì)于C,假設(shè)存在,使得數(shù)列的周期為,則;,,,即;令,則,在上單調(diào)遞增,則由得:,即為常數(shù)列,與已知矛盾,假設(shè)錯(cuò)誤,即不存在,使得數(shù)列的周期為,C正確;對(duì)于D,,,不存在,使得,D正確.故選:BCD.三、填空題13.已知:,則______.〖答案〗14〖解析〗,展開式的通項(xiàng)為,.故〖答案〗為:14.在橢圓上有點(diǎn),斜率為1的直線l與橢圓交于不同的A,B兩點(diǎn)(且不同于P),若三角形的外接圓恰過(guò)點(diǎn)P,則外接圓的圓心坐標(biāo)為______.〖答案〗〖解析〗依題意,設(shè),,直線,聯(lián)立,消去,得,所以,,則,,.法一:因?yàn)?,所以,的中點(diǎn)坐標(biāo)為,中垂線的斜率為,所以中垂線方程為,即,因?yàn)榈男甭蕿椋闹悬c(diǎn)坐標(biāo)為,即,所以中垂線的斜率為,則中垂線方程,即,聯(lián)立,解得,則圓心坐標(biāo),因?yàn)椋?,整理得,因?yàn)椋?,,,所以,,則,整理得,解得,,當(dāng)時(shí),直線,顯然直線過(guò)P點(diǎn),舍去,當(dāng)時(shí),,直線,滿足題意,又,所以此時(shí)圓心坐標(biāo).法二:因?yàn)閳A過(guò)原點(diǎn),所以設(shè)圓的方程為,聯(lián)立,消去,得,所以,,又,,所以,,所以,,因?yàn)辄c(diǎn)在圓上,所以,即,所以,整理得,解得,,當(dāng)時(shí),直線,顯然直線過(guò)P點(diǎn),舍去,當(dāng)時(shí),,,對(duì)于方程,有,對(duì)于方程,即,有,滿足題意,又因?yàn)橥饨訄A的圓心坐標(biāo)為,所以圓心為.故〖答案〗為:.15.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,,過(guò)點(diǎn)作直線交兩條漸近線于點(diǎn),,且.若點(diǎn)在軸上的射影為,則__________.〖答案〗〖解析〗如圖所示:則,雙曲線的漸近線為,,,不妨設(shè),,,則,,,,,.故〖答案〗為:.16.已知,是非零不共線的向量,設(shè),定義點(diǎn)集,當(dāng),時(shí),若對(duì)于任意的,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的最小值為______.〖答案〗.〖解析〗由,可得,,共線,由,可得,即有,則為的平分線,由角平分線的性質(zhì)定理可得,即的軌跡為圓心在上的圓,由,可得,由,可得,可得,由函數(shù)在上遞增,可得,即有,即,由題意可得,故的最小值為.故〖答案〗為:.四、解答題17.的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別是、、,已知.(1)求s;(2)若是銳角三角形,,求周長(zhǎng)的取值范圍.(1)解:因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?,即,因?yàn)?,則,所以,,則,因?yàn)?,則,所以,,解得.(2)解:由正弦定理可得,即,所以,,,易知,所以,,因?yàn)闉殇J角三角形,且,則,解得,所以,,因?yàn)?,所以,,所以?18.在數(shù)列中,,在數(shù)列中,.(1)求證數(shù)列成等差數(shù)列并求;(1)求證:.(1)解:由知,故,即,數(shù)列成等差數(shù)列,所以,所以;(2)證明:由,得,于是所以,,所以.19.如圖,在三棱錐中,,為的中點(diǎn),.(1)證明:平面平面;(2)若是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,點(diǎn)在棱上,,且二面角的大小為,求三棱錐的體積.(1)證明:,為中點(diǎn),,又,,平面,平面,平面,平面平面.(2)解:以為坐標(biāo)原點(diǎn),正方向?yàn)檩S,過(guò)作垂直于的直線為軸,可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,,,,,設(shè)平面的法向量,則,令,解得:,,;軸平面,平面的一個(gè)法向量;二面角的大小為,,解得:;,.20.據(jù)第19屆亞運(yùn)會(huì)組委會(huì)消息,杭州亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日舉行,為此,某校開展了青少年亞運(yùn)會(huì)知識(shí)問答競(jìng)賽,有400名學(xué)生參賽,競(jìng)賽成績(jī)所得分?jǐn)?shù)的分組區(qū)間為,由此得到如下的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表:分?jǐn)?shù)區(qū)間性別男生/名10707545女生/名10904555(1)若某學(xué)生得分不低于80分則認(rèn)為他亞運(yùn)會(huì)知識(shí)掌握良好,若某學(xué)生得分低于80分則認(rèn)為他亞運(yùn)會(huì)知識(shí)掌握一般,那么是否有95%的把握認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)亞運(yùn)會(huì)知識(shí)的掌握情況與性別有關(guān)?(2)利用對(duì)不同分?jǐn)?shù)段進(jìn)行分層抽樣的方式從參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取20名學(xué)生作進(jìn)一步調(diào)研.(i)從這20名
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