八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 勾股定理全章復(fù)習(xí)與鞏固（學(xué)生版）

勾股定理全章復(fù)習(xí)與鞏固

0目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)

1.了解勾股定理的歷史，掌握勾股定理的證明方法；

2.理解并掌握勾股定理及逆定理的內(nèi)容；

3.能應(yīng)用勾股定理及逆定理解決有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.

繼知識(shí)精講

知識(shí)點(diǎn)01勾股定理

1.勾股定理：

直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方.(即：)

2.勾股定理的應(yīng)用

勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用是:

(1)已知直角三角形的兩邊，求第三邊；

(2)利用勾股定理可以證明有關(guān)線段平方關(guān)系的問(wèn)題;

（3）求作長(zhǎng)度為6的線段.

知識(shí)點(diǎn)02勾股定理的逆定理

1.原命題與逆命題

如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題.如果把

其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題.

2.勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理：

如果三角形的三邊長(zhǎng)a、bc,滿足/+〃=。2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.

應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形的基本步驟：

（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最大邊長(zhǎng)為c；

（2）驗(yàn)證與/+〃是否具有相等關(guān)系，若/+62=，，則4ABC是以/C為直角的直角三角形，反

之，則不是直角三角形.

3.勾股數(shù)

滿足不定方程/+/=z2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以X、VZ

為三邊長(zhǎng)的三角形一定是直角三角形.

常見(jiàn)的勾股數(shù)：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.

如果（a、bc）是勾股數(shù)，當(dāng)t為正整數(shù)時(shí)，以川、bt以為三角形的三邊長(zhǎng)，此三角形必為直角三角

形.

觀察上面的①、②、④、⑤四組勾股數(shù)，它們具有以下特征：

1.較小的直角邊為連續(xù)奇數(shù)；

2.較長(zhǎng)的直角邊與對(duì)應(yīng)斜邊相差1.

3.假設(shè)三個(gè)數(shù)分別為a、bc,S.a<b<c,那么存在/=辦+。成立.（例如④中存在7?=24+

25、9z=40+41等）

知識(shí)點(diǎn)03勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系

區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；

聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關(guān).

Q能力拓展

考法01勾股定理及逆定理的應(yīng)用

【典例1】如圖所示，直角梯形ABCD中，AD//BC,ZB=90°,AD=375,AB=10A/5,BC=8A/5,E是

AB上一點(diǎn)，且AE=4j^,求點(diǎn)E到CD的距離EF.

【即學(xué)即練】如圖所示，在AABC中，D是BC邊上的點(diǎn)，已知AB=13,AD=12,AC=15,BD=5,求DC的

長(zhǎng).

考法02勾股定理與其他知識(shí)結(jié)合應(yīng)用

【典例2】如圖所示，牧童在A處放牛，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC=400米，BD=200

米，CD=800米，牧童從A處把牛牽到河邊飲水后再回家.試問(wèn)在何處飲水，所走路程最短？最短路程是

多少？

□

cD

C

'B

A,

【即學(xué)即練】如圖所示，正方形ABCD的AB邊上有一點(diǎn)E,AE=3,EB=1,在AC上有一點(diǎn)P,使EP+BP

最短.求EP+BP的最小值.

【典例3］如圖所示，等腰直角AABC中，ZACB=90°,E、F為AB上兩點(diǎn)(E左F右)，且NECF=45°,

求證：線段AE,BF,EF之間的數(shù)量關(guān)系.

【典例4】在AABC中，BC=a,AC=b,AB=c,設(shè)c為最長(zhǎng)邊.當(dāng)a2+b2=c2時(shí)，AABC是直角三角形；當(dāng)

a2+b2/c2時(shí)，利用代數(shù)式a2+b2和c2的大小關(guān)系，可以判斷AABC的形狀(按角分類).

(1)請(qǐng)你通過(guò)畫圖探究并判斷：當(dāng)AABC三邊長(zhǎng)分別為6,8,9時(shí)，AABC為三角形；當(dāng)△ABC三

邊長(zhǎng)分別為6,8,11時(shí)，AABC為三角形.

(2)小明同學(xué)根據(jù)上述探究，有下面的猜想：“當(dāng)a2+b2>c2時(shí)，AABC為銳角三角形；當(dāng)a2+b2<c2時(shí)，

△ABC為鈍角三角形.”請(qǐng)你根據(jù)小明的猜想完成下面的問(wèn)題：

當(dāng)a=2,b=4時(shí)，最長(zhǎng)邊c在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，4ABC是直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形？

考法03本章中的數(shù)學(xué)思想方法

1.轉(zhuǎn)化的思想方法：我們?cè)谇笕切蔚倪吇蚪?，或進(jìn)行推理論證時(shí)，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問(wèn)

題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題來(lái)解決.

【典例5］如圖所示，4ABC是等腰直角三角形，AB=AC,D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上

的點(diǎn)，且DELDF,若BE=12,CF=5.求線段EF的長(zhǎng).

【即學(xué)即練】已知凸四邊形ABCD中，ZABC=30°,ZADC=60°,AD=DC,

求證：BD2=AB2+BC2

2.方程的思想方法

【典例6】如圖所示，已知aABC中，/C=90°,NA=60°,a+b=3+返,求的值.

【即學(xué)即練】直角三角形周長(zhǎng)為12c機(jī)，斜邊長(zhǎng)為5c機(jī)，求直角三角形的面積.

【即學(xué)即練】如圖所示，在4ABC中，AB：BC：CA=3：4：5,且周長(zhǎng)為36cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊向B點(diǎn)

以每秒1cm的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿BC邊向點(diǎn)C以每秒2cm的速度移動(dòng)，如果同時(shí)出發(fā)，問(wèn)過(guò)3秒

時(shí)，4BPQ的面積為多少？

航分層提分

題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.下列各組數(shù)中不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的是（）.

A.1,5,2,2B.7,24,25C.6,8,10D.9,12,15

2.在AABC中，NA,NB,NC的對(duì)邊分別記為a,b,c,下列結(jié)論中不正確的是（）

A.如果NA—NB=NC,那么aABC是直角三角形

B.如果a2=b2—c2,那么AABC是直角三角形，且NC=90°

C.如果NA:NB:NC=1：3：2,那么aABC是直角三角形

D.如果a?：b2:c2=9：16：25,那么aABC是直角三角形

3.如圖，在3x3的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)JB,C都在格點(diǎn)匕若AD是

△/8C的邊NC上的高，則8。的長(zhǎng)為（）

W

A.13B.13C.7D.13

4.如圖，在四邊形中，ND=乙4cB=90。,8=12,AD=16,8c=15,貝ij43=（）.

D

A.20B.25C.35D.30

5.已知放△45。中，Z.C=90°,若a+b=14cm,c=10cm,則放△45C的面積是（）

A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.60cm2

6.如圖，已知A/BC中，//BC=45。，F(xiàn)是高4D和BE的交點(diǎn)，心#,BD=2,則線段。尸的長(zhǎng)度

為（）

A.2&B.2C.拒D.1

7.如圖，圓柱的底面周長(zhǎng)是24,高是5,一只在N點(diǎn)的螞蟻想吃到3點(diǎn)的食物，沿著側(cè)面需要爬行的最

短路徑是（）

A.9B.13C.14D.25

8.如果三角形有一邊上的中線長(zhǎng)恰好等于這邊的長(zhǎng)，那么稱這個(gè)三角形為"勻稱三角形〃.若RM4BC是

"勻稱三角形"，且NC=90°,AC>BC,貝i"C:8C:/3為（）

A.石：1：2B.2:e:5c.2:1:0D.無(wú)法確定

9.如圖，將矩形4BCD沿對(duì)角線AD折疊，使點(diǎn)C落在尸處，2尸交4D于點(diǎn)￡若LBDC=62°,則

乙DM的度數(shù)為（）

A.31°B.28°C.62°D.56°

10.如圖，在RMABC中，AB=AC,NBAC=90。，點(diǎn)D,E為BC上兩點(diǎn).NDAE=45。，F(xiàn)為AABC外一

點(diǎn)，且F5L8C,FAVAE,則下列結(jié)論:

S=3AD-EF

①CE=BF；②BD.CE2=DE2；③4；@CE2+BE2=2AE2,其中正確的是（）

A.①②③④B.①②④C.①③④D.②③

題組B能力提升練

11.如圖，一個(gè)池塘，其底面是邊長(zhǎng)為10尺的正方形，一棵蘆葦N8生長(zhǎng)在它的中央，高出水面的部分

為1尺.如果把這根蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，蘆葦?shù)捻敳?恰好碰到岸邊的"，則這根

蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度是尺.

12.如圖，等腰中，4B=AC,BC—10,5。_1_4(7于0,日BD=8.貝|5根8。二

13.如圖，在四邊形/BCD中，AD=2叵,AB=2^,BC=IO,CD=8,ABAD=90°,那么四邊形

ABCD的面積是.

14.如圖所示，在數(shù)軸上點(diǎn)N所表示的數(shù)為0,則a的值為

15.如圖一只螞蟻從長(zhǎng)為5cm,寬為3cm,高為4cm的長(zhǎng)方體紙箱的/點(diǎn)沿紙箱爬到5點(diǎn)，那么它爬行的

最短距離是cm.

B

題組C培優(yōu)拔尖練

16.已知直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為26+1和2百-1,求斜邊c的長(zhǎng).

17.在四邊形中，乙4=NB=9O。,E為邊上的點(diǎn).

圖1圖2圖)

(1)連接CE,DE,CE1DE.

①如圖1,若/E=8C,求證：AD=BE.

②如圖2,若AE=BE,求證：CE平分乙BCD；

(2)如圖3,尸是/BCD的平分線CE上的點(diǎn)，連接瓦"DF,若BC=4,CD=6,2,

求0尸的長(zhǎng).

18.臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周圍上百千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的破壞

力，如圖，有一臺(tái)風(fēng)中心沿東西方向42由A行駛向8,已知點(diǎn)C為一海港，且點(diǎn)C與直線43上的兩點(diǎn)A

,B的距離分別為/C=30。而，BC=400km,又AB=500km,以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周圍250碗以內(nèi)為受影

響區(qū)域.

c

(1)求的度數(shù).

(2)海港C受臺(tái)風(fēng)影響嗎？為什么？

(3)若臺(tái)風(fēng)的速度為20千米/小時(shí)，當(dāng)臺(tái)風(fēng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E處時(shí)，海港0剛好受到影響，當(dāng)臺(tái)風(fēng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)尸

時(shí)，海港C