2024年高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 空間向量知識點總結(jié)

2024年高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：一文讀懂空間向量所有高

考知識點

高中數(shù)學(xué)成績不好，其原因無非就兩點，一是基礎(chǔ)知識不牢，二是沒有

一個好的方法，對于題型理解不透，思維能力不強，所以說，只要解決

了這兩大問題，那么，高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也就沒有多大問題了。

今天為同學(xué)們總結(jié)了高中數(shù)學(xué)【空間向量】的知識點！輕松記憶拿高分！

基本定理

a,d(bKO)共線u>

共線定理

存在實數(shù)對xy,使占二

〃與a以多〃不共線)共面u>

共面定理

存在實數(shù)對X-使戶rw+心

ab、c不共面，空間任意向量〃存在唯

基本定理

一的(Xy,刁使得p=xa+心

直角坐標(biāo)運算

a+h,a+益)

a-b=（ai-bi,出一ba、合一打）

a二⑶，女、

2a-(Aai.Aa?,A<^)

㈤

a。=abi+合益

b二也、0、甸

a_Ld<=>aib+ab+aj匕產(chǎn)0

a〃b0%=M\,a2二孫,

&=Ab"wR;o￡L="二幺

a瓦&

_ab

cos<a、b>=-：—

ayb

〃1優(yōu)+a2b2+《A

&；+〃22+〃3??揚?+b；+42

空間位置關(guān)系

線線平行方向向量共線

線面平行判定定理：直線的方向向量與平面的法向

量垂直；使用共面向量定理

面面平行判定定理：兩個平面的法向量平行

線線垂直兩直線的方向向量垂直

線面垂直判定定理：直線的方向向量與平面的法向

量平行

面面垂直判定定理：兩個平面的法向量垂直

空間角

線線角e兩直線方向向量為ab,cos/9=|cos<a,i>|

直線的方向向量為a平面的法向量為〃

線面角e

貝ijsind=|COS<Q浦>

兩個平面的法向量分別為e,限

二面角6

貝iJcosO=>|

空間距離

直線的方向向量為仇直線上任一點為"

點線距點例到直線的距離為

J=|Aw|-sin<A//V,a>

平面a的法向量為平面二內(nèi)任一點為

N,點、例到直平面a的距離為

點面距

__.MNn

d=MN-cos<MN.n>=———

產(chǎn)I同

利用空間向量解立體幾何

建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運算證明線線、線面、面

面的平行與垂直，以及空間角（線線角、線面角、面面角）與距離的求

解問題，以解答題為主。

1.兩條異面直線所成角的求法

設(shè)兩條異面直線a,b的方向向量為。，b,

其夾角為0,則cos0=gs4=稱就（其中（p為異

面直線。，b所成的角）.

2,直線和平面所成的角的求法：如圖所

示，設(shè)直線，的方向向量為己平面a的法向量

為〃，直線/與平面a所成的角為0,兩向量e

\n*e\

與n的夾角為仇則有sin0=|cos4=焉兩.

I"11cl

(1)如圖①，月反8是二面角a，蟲的兩個

面內(nèi)與棱/垂直的直線，則二面角的大小6=

IMUULI.

(AB,CD〉.

(2)如圖②③，〃1，〃2分別是二面角G?/R的

兩個半平面內(nèi)尸的法向量，則二面角的大小6

=〈/小"2)(或兀一〈〃1，“2)).

易錯知識點：

1.求異面直線所成角時，易求出余弦值為

77-1

根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向，從

而確定二面角與向量〃I,的夾角是相等（一個

平面的法向量指向二面角的內(nèi)部，另一個平面

的法向量指向二面角的外部），還是互補（兩個法

向量同時指向二面角的內(nèi)部或外部），這是利用

向量求二面角的難點、易錯點.

類題通法,

1.求兩異面直線。，b的夾角仇須求出它

們的方向向量。，力的夾角，則cos6=|cos〈0,

b）|.

2.求直線/與平面0所成的角氏可先求

出平面儀的法向量，與直線/的方向向量。的夾

角.貝sin6=|cos[n,a）|.

3,求二面角a?/力的大小8，可先求出兩

個平面的法向量/ij,肛所成的角,則6=51，

112）或兀—{ill，I”〉.

^301亞V15

A'—R—p△—n-i—

1021510

2.如圖，在棱長為1的正方體

?4BCQ1中，”和N分別是41和BB\的中

點，那么直線AM與CN所成角的余弦值為

類題通法:

1.向量法求異面直線所成的角的方法有兩

種

(1)基向量法：利用線性運算.(2)坐標(biāo)法：

利用坐標(biāo)運算.

2.注意向量的夾角與異面直線所成角的區(qū)

別

如圖，在直棱柱

員中，AD//BC,

90。，ACLBD,8C=1,/。=必=3.(1)證明:

/CJ_5Q；

(2)求直線5cl與平面ACD1所成角的正弦

值.

［類題通法］:利用平面的法向量求線面角

時，應(yīng)注意

(1)求出直線的方向向量與平面的法向量所

夾的銳角(鈍角時取其補角)，取其余角即為所

求.

(2)若求線面角的余弦值，要注意利用平方

關(guān)系sin汨+cos汨=1求出其值,不要誤為直線

的方向向量與平面的法向量所夾角的余弦值為

所求.

(2)求二面角D-AiC-E的正弦值.

在,原件下.求―D與平面4E黨成二意角的大

小.

［類題通法上

利用法向量求二面角時應(yīng)注意

(1)對于某些平面的法向量要注意題中隱含

著，不用單獨求.

(2)注意判斷二面角的平面角是銳角還是鈍

角，可結(jié)合圖形進行，以防結(jié)論失誤.

題型二空間向址的應(yīng)用

考點一空間向量法解決探索性問題

探索存在性問題在立體幾何綜合考查中是

_L底面48。，N/CB=90。，石是棱CO上的動

點，尸是的中點，AC=\,BC=2,X4i=4.

(1)當(dāng)E是棱CG的中點時，求證：CF"平

面/冏；

(2)在棱CCi上是否存在點E,使得二面角A

?EBi?B的余弦值是坐？若存在，求CE的

i/

長，若不存在，請說明理由.

問題2探索性問題與垂直相結(jié)合

2.如圖是多面體4BC和它的三視

反I

俯視圖

問題3探索性問題與平行相結(jié)合

3.如圖，四邊形488是邊長為3的正

方形，平面ABCD,

AF//DE,DE=3AF,BE與平面

N58所成的角為60。.(1)求證：/C_L平面

BDE；(2)求二面角尸的余弦值；(3)設(shè)點

是線段AD上一個動點，試確定點他的位

置.住得/“〃平面Z?月產(chǎn).并濟弟你的結(jié)論.

情況相矛盾的結(jié)論，則說明假設(shè)不成立，即不存

2.探索線段上是否存在點時，注意三點共

線條件的應(yīng)用.如角度二中的a=2屆，這樣

可減少坐標(biāo)未知量.

考點二空間向量的綜合應(yīng)用

［典例］如圖，是等腰直角三角形，N

ACB=90°,AC=2a,D,E分別為/C,48的

中點，沿DE將AWE折起，得到如圖所示的四

棱錐A'-BCDE.

題，處理時常用如下兩種方法:

(1)結(jié)合條件與圖形恰當(dāng)分析取得最值的條

件

(2)直接建系后，表示出最值函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求

最值問題.

1

設(shè)8C=1,則N(-1QQ),Fl_卞0，1：，

I/)

11、tM??

B(0,-1.0),D\\—y,—5,1，則AT】=

I/4J

；1一111

5，0,1BI\=-5,5,1.

\rJI工工，

mai<w-42*1-BI\.30

:‘COS'；,巧，BD.=-?r—

1"I?II叫I10

2

)一AB

考點2:［解］法一：(1)證明：如圖1,因

為ASiJ?平面ABCD,NCU平面488,所以

ACLBB^AClBD,所以NC_L平面8BD

=H4i=3,所以四邊形NDA4是正方形，于是

/Q_L4“.

故/。1_1_平面481），于是/D_L3Q.

由（1）知，ACS.BxD,所以8Q_L平面/8；?

故/4。81=90。-6.在直角梯形/88中，因為

NC1BO,所以zS/C=/4O5.

ABBC

從而RtA4BC^RtAD.4B,故.即

DAABAB

=、DA，BC=?

連接NBi,易知是直角三角形，且

BQ?=BB《+BD?=BB：+AB2+AD2=21,即

AD

民。=V?T.在RtZ\45Q中，cosZW5i=

BQ

3x/iTx/iT

,即cos。。。一團=7.從而sm6=

叵

~7~t

即直線BiCi與平面N8i所成角的正弦值

圖2

■■■■,■■■

/C=?,1,O),50=(—r,3Q).因為/C±8。，

UMLluuar—

所以.4C?助=—￡+3+0=0,修得r=V3

或r=—3(舍去).

Q■■■i-UULBi-

于是B】D=(—小,3,—3),AC=(^3,1.0).

因為2??即=—3+3+0=0,所以

■■■?ULS^B

ACYBXD,即/C_LBQ.

(2)由⑴知，.Q■犯■■=。3,3),L.MM4AC=(gi-,l：0),

配=。1,0).

設(shè)〃=(x,V，z)走平面/81的一個法向量，

則

*

即直線BiCi與平面所成角的正弦值

為華

考點3:

［解］(1)證明：連接NG交4C于點尸，則

尸為/0的中點.又。是的中點，連接DF,

則尸,因為。尸U平面AiCD,8。依平面

小8,所以BQ〃平面48.

S

(2)由AC=CB=^AB得,,4C_L3c.

以。為坐標(biāo)原點，G4,CB,CC的方

向為x軸，J,軸，z軸的正方向，建立如

圖所示的空間直角坐標(biāo)系C?.nz.設(shè)C4=2,則

?F*

1XLL0).H0.2.D,JiQ.0.2\

mCE=0,

可取〃i=(2,l,—2),從而

mCA1=0.

nm_事加

cos</i,"1〉|川|〃i|一丁，故sin〈〃，〃i〉=

76

即二面角。-A\C?石的正弦值為學(xué)

變式：解：*:AC=BC9。為ZB中點,:.

IMAM

...C。是平面/14D的一個法向量.由(2)建系條

<&!■

件下可知CD=(1,1,0),

又平面4EC的法向量/n=(2.1,—2),

/—、2+1+0小

??cos〈CD,m)=6x3=》

，平面與平面4EC所成角為45°.

第二課時向量應(yīng)用答案

考點1:1.解析：(1)證明：取NS的中點G,

形，：.CF//EG,

???。產(chǎn)。平面/EBi,EGU平面/石昆，：.CF

〃平面/E&.

(2)以C為坐標(biāo)原點，射線

CA,CB,CG為x,y,饞[z軸正半

軸，建立如圖所示的空'f'間直角坐

標(biāo)系。-xyz,

則C(0?0?0),41。0)，81(024).

設(shè)E(0.0,根)(0WaW4),平面NEBi的法向

量〃i=(x,y9z).則罰=(—1,2,4),AE=(—

1.0,a).

由罰J_,AE±/li,得

—x+2v+4z=0,

",，.令z=2,

—x+mz=0.

則〃1=(2優(yōu)，—4.2).連接AE1,：C4J■平

面CCBB],

.?.在棱CC1上存在點E,符合題意，此時CE

=1.

考點2:

(1)點尸為棱Z'B的中點.證