中考數(shù)學(xué)圓與相似綜合經(jīng)典題

中考數(shù)學(xué)圓與相似綜合經(jīng)典題

一、相似

1.綜合題

（1）【探索發(fā)現(xiàn)】

如圖①，是一張直角三角形紙片，NB=90。，小明想從中剪出一個(gè)以ZB為內(nèi)角且面積最大

的矩形，經(jīng)過多次操作發(fā)現(xiàn)，當(dāng)沿著中位線DE、EF剪下時(shí)，所得的矩形的面積最大，隨

后，他通過證明驗(yàn)證了其正確性，并得出：矩形的最大面積與原三角形面積的比值為多

（2）【拓展應(yīng)用】

如圖②，在△ABC中，BC=a,BC邊上的高AD=h,矩形PQMN的頂點(diǎn)P、N分別在邊AB、

AC上，頂點(diǎn)Q、M在邊BC上，則矩形PQMN面積的最大值為多少.（用含a,h的代數(shù)

式表示）

（3）【靈活應(yīng)用】

如圖③，有一塊"缺角矩形'ABCDE,AB=32,BC=40,AE=20,CD=16,小明從中剪出了一個(gè)

面積最大的矩形（NB為所剪出矩形的內(nèi)角），求該矩形的面積.

（4）【實(shí)際應(yīng)用】

如圖④，現(xiàn)有一塊四邊形的木板余料ABCD,經(jīng)測量AB=50cm,BC=108cm,CD=60cm,且

4

tanB=tanC=1,木匠徐師傅從這塊余料中裁出了頂點(diǎn)M、N在邊BC上且面積最大的矩形

PQMN,求該矩形的面積.

【答案】（1）解：:EF、ED為△ABC中位線，

11

：.EDIIAB,EFIIBC,EF=2BC,ED=2；AB,

又NB=90",

?1.四邊形FEDB是矩形,

11

S矩形FEDBEF,DE221

sABC112

-AS-SC-AB-BC

則/J

(2)解：PNIIBC,

AAPN-AABC,

PN_AtPNh-PC.

AL,即Th

PN=a"PQ,

設(shè)PQ=x,

hah

貝°S電般PQMN=PQ'PN=X(a-'x)=-"x2+ax=-"(X-2)2+4,

hah

當(dāng)PQ=1時(shí)，scMz最大值為7.

矩形P11QMN

(3)解：如圖1,延長BA、DE交于點(diǎn)F,延長BC、ED交于點(diǎn)G,延長AE、CD交于點(diǎn)

H,取BF中點(diǎn)I,FG的中點(diǎn)K,

由題意知四邊形ABCH是矩形，

VAB=32,BC=40,AE=20,CD=16,

EH=20、DH=16,

AE=EH>CD=DH,

在^AEF和^HED中，

NFAE=/DHE

AE=AH

,/NAEF=/HED，

/.△AEa△HED(ASA),

/.AF=DH=16,

同理△CDG堊△HDE,

/.CG=HE=20,

AB+Ab

/.Bl=2=24,

,/Bl=24<32,

「?中位線IK的兩端點(diǎn)在線段AB和DE上，

過點(diǎn)K作KL_LBC于點(diǎn)L,

1111

由【探索發(fā)現(xiàn)】知矩形的最大面積為2XBG?2BF=2X(40+20)xi(32+16)=720,

答：該矩形的面積為720；

(4)解：如圖2,延長BA、CD交于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EH_LBC于點(diǎn)H,

E

,/tanB=tanC=3,

ZB=ZC,

???EB=EC,

,/BC=108cm,且EH_LBC,

J

：.BH=CH=2BC=54cm,

Eh4

tanB==3,

44

EH=JBH=Jx54=72cm,

在RtABHE中，BE=\^/游=90cm,

AB=50cm,

AE=40cm,

BE的中點(diǎn)Q在線段AB上,

CD=60cm,

ED=30cm,

?CE的中點(diǎn)P在線段CD上,

二中位線PQ的兩端點(diǎn)在線段AB、CD±,

1

由【拓展應(yīng)用】知，矩形PQMN的最大面積為4BC?EH=1944cm2,

答：該矩形的面積為1944cm2.

11

【解析】【分析】（1）由三角形的中位線定理可得EDIIAB,EFIIBC,EF-BC,ED=2

AB,根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可得四邊形FEDB是平行四邊形，而

NB=90。，根據(jù)一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形可得四邊形FEDB是矩形，所以

11

c-BC?-AB

SDFEDBEF?DE221

sABC112

-AB?BC-AB?BC

22.>

PN_At

則可得比例式而一無，即

(2)因?yàn)镻NIIBC,由相似三角形的判定可得AAPN-AABC,

PNh-PGaa

---------PN=a—PQa—x

力，解得力，設(shè)貝（h）

aPQ=x,ljS“i；,PQMN=PQ'PN=X

a4人丫成‘力

--r*ax=—\x-0+——<―

h〃-/,因?yàn)閔0,所以函數(shù)有最大值，即當(dāng)PQ“時(shí)，

ah

。S短彩PQMN有旦最取■大八值以為人4;

（3）延長BA、DE交于點(diǎn)F,延長BC、ED交于點(diǎn)G,延長AE、CD交于點(diǎn)H,取BF中點(diǎn)

I,FG的中點(diǎn)K,由矩形的判定可得四邊形ABCH是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)和已知條件易得

AE=EH、CD=DH,于是用角邊角可得△AEF^△HED,所以AF=DH=16,同理可得

AB+Ab

BI=----------

△CDG空△HDE,則CG=HE=20,所以2=24,BI=24<32,所以中位線IK的兩端點(diǎn)

11

在線段AB和DE上，過點(diǎn)K作KL_LBC于點(diǎn)L,由（1）得矩形的最大面積為幺xBG?2BF=

11

-x（40+20）xE（32+16）=720；

（4）延長BA、CD交于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EH±BC于點(diǎn)H,因?yàn)閠anB=tanC,所以NB=ZC,

144

則EB=EC,由等腰三角形的三線合一可得BH=CH=-BC=54cm；由tanB可求得EH=）BH=3

x54=72cm,在RtABHE中，由勾股定理可得BE=90cm,所以AE=BE-AB=40cm,所以BE的中

點(diǎn)Q在線段AB上，易得CE的中點(diǎn)P在線段CD上，由（2）得矩形PQMN的最大面積為

1

4BC?EH=1944cm2

2.閱讀下列材料，完成任務(wù)：

自相似圖形

定義：若某個(gè)圖形可分割為若干個(gè)都與它相似的圖形，則稱這個(gè)圖形是自相似圖形.例

如：正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊的中點(diǎn)，連接EG,HF交

于點(diǎn)0,易知分割成的四個(gè)四邊形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均為正方形，且與原正方

形相似，故正方形是自相似圖形.

任務(wù)：

A

圈3-2

圖4-1國右2

（1）圖1中正方形ABCD分割成的四個(gè)小正方形中，每個(gè)正方形與原正方形的相似比為

（2）如圖2,已知△ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,小明發(fā)現(xiàn)△ABC也是“自相似圖

形”，他的思路是：過點(diǎn)C作CD±AB于點(diǎn)D,則CD將4ABC分割成2個(gè)與它自己相似的

小直角三角形.已知△ACD-△ABC,則AACD與^ABC的相似比為;

（3）現(xiàn)有一個(gè)矩形ABCD是自相似圖形，其中長AD=a,寬AB=b（a>b）.

請從下列A、B兩題中任選一條作答.

A：①如圖3-1,若將矩形ABCD縱向分割成兩個(gè)全等矩形，且與原矩形都相似，則

a=（用含b的式子表示）；

②如圖3-2若將矩形ABCD縱向分割成n個(gè)全等矩形，且與原矩形都相似，則

a=（用含n>b的式子表示）；

B:①如圖4-1,若將矩形ABCD先縱向分割出2個(gè)全等矩形，再將剩余的部分橫向分割

成3個(gè)全等矩形，且分割得到的矩形與原矩形都相似，則a=（用含b的式子表

示）；

②如圖4-2,若將矩形ABCD先縱向分割出m個(gè)全等矩形，再將剩余的部分橫向分割成n

個(gè)全等矩形，且分割得到的矩形與原矩形都相似，則a=（用含m,n,b的式子

表示）.

1

【答案】（1）2

4

⑵之

y[21ImImn-f-J

（3）?g；近76或3；（A-，或1n

【解析】【解答】（解：（1）?.?點(diǎn)H是AD的中點(diǎn)，

1

AH=2AD,

正方形AEOH~正方形ABCD,

Ah1

相似比為：〃==2；

故答案為：2;

(2)在RtZkABC中，AC=4,BC=3,根據(jù)勾股定理得，AB=5,

AC_4

「.△ACD與△ABC相似的相似比為：而一

4

故答案為：5；

(3)A、①矩形ABEF-矩形FECD,

AF：AB=AB：AD,

1

BP^a：b=b：a,

3=\J2b；

故答案為：J?

i

②每個(gè)小矩形都是全等的，則其邊長為b和7a,

1

則b：na=a：b,

/.a=xjnb；

故答案為：7石

B、①如圖2,

圖2

由①②可知縱向2塊矩形全等，橫向3塊矩形也全等,

1

：.DN=3b,

I、當(dāng)FM是矩形DFMN的長時(shí)，

矩形FMND-矩形ABCD,

FD：DN=AD：AB,

1

即FD：Jb=a：b,

1

解得FD=3a,

12

?"AF=a一Ja=3a,

2

Ab5d1

/.AG=2=2=Ja,

矩形GABH-矩形ABCD,

/.AG：AB=AB：AD

1

即Ja：b=b：a

得：a=b；

II、當(dāng)DF是矩形DFMN的長時(shí),

,/矩形DFMN-矩形ABCD,

/.FD：DN=AB：AD

/

即FD：*3b=b：a

解得FD=3a,

j3/

AF=a-=3a,

竺3/-4

AG=2-3a,

1.,矩形GABH-矩形ABCD,

AG：AB=AB：AD

即3a：b=b：a,

更

得：a=3b；

故答案為：、萬或3；

由①②可知縱向m塊矩形全等，橫向n塊矩形也全等,

1

/.DN=/jb,

I、當(dāng)FM是矩形DFMN的長時(shí)，

,/矩形FMND~矩形ABCD,

/.FD：DN=AD：AB,

即FD：nb=a：b,

解得FD=〃a,

1

AF=a-na.

AG=m-zzz=mna,

■：矩形GABHs矩形ABCD,

AG：AB=AB：AD

n-1

即加7a：b=b：a

口、當(dāng)DF是矩形DFMN的長時(shí),

矩形DFMN-矩形ABCD,

FD：DN=AB：AD

即FD：nb=b：a

生

解得FD=〃a,

￡

AF=a-rm?,

Abnd-Ir

AG=m=mna,

??,矩形GABH-矩形ABCD,

AG：AB=AB：AD

na2-g

即mna；b=b：a,

故答案為：或7

7"-/bnb.

【分析】由題意可知，用相似多邊形的性質(zhì)即可求解。相似多邊形的性質(zhì)是;相似多邊形的

對應(yīng)邊的比相等。相似多邊形的對應(yīng)邊的比等于相似比。

1

(1)山題意知，小正方形的邊長等于大正方形的邊長的一半，所以其相似比必；

(2)在直角三角形BC中，由勾股定理易得AB=5,而CD工AB,所以用面積法可求得

12

12CL~4

CD=5,所以相似比二/"=，二5;

a

2_b

,——

ba

(3)A、①由題意可得，解得。二、%

a

nb

②同理可得;％-Z解得，a=\lnb.

B、①最小的矩形的長和寬與大矩形的場和寬的對應(yīng)方式有兩種，所以分兩種情況來解：

FDa

FD_AL~-1)1

I、當(dāng)FM是矩形DFMN的長時(shí)，由題意可得成比例線段，~DN=7^3，解得FD=Z則

1

AF的長也可用含a的代數(shù)式表示，而AG=GF=-；AF,再根據(jù)矩形GABH-矩形ABCD,得到相

對應(yīng)的比例式即可求得a=/b;

更

II、當(dāng)DF是矩形DFMN的長時(shí)，同理可得@=3b;

②同①中的兩種情況類似。

3.如圖，AB是半圓0的直徑，AB=2,射線AM、BN為半圓0的切線.在AM上取一點(diǎn)

D,連接BD交半圓于點(diǎn)C,連接AC.過。點(diǎn)作BC的垂線0E,垂足為點(diǎn)E,與BN相交于點(diǎn)

F.過D點(diǎn)作半圓。的切線DP,切點(diǎn)為P,與BN相交于點(diǎn)Q.

求BQ的長；

(2)求證：FQ=BQ

【答案】(1)解：???AAB人ABF6,

AD=OB=-^B=1

VDP,DA均為半圓切線,

：.DA=DP=1

連接辦,

則OP=OA-DA=DF,

「?四邊形加”為菱形，

???DQIIAb，

,他朋均為半圓切線，

/.DAIIQb,

四邊形〃仍4為平行四邊形「?BQAD二1,

(2)證明：易得」/應(yīng)?」BF。9

BFAB

OB=AD,

9

?"二方

???2%是半圓的切線，

：..W=DP,QB=QF.

過&點(diǎn)作QK工，必于點(diǎn)K,

則QK-AB-2.

在放4%中，旅=Kd+旅，

：.（AD+BQ/=（他-BQ）2+2s,

BQ--

解得：，

2

FQ=BF-BQ=—

ADADAL

??.FQ=BQ

【解析】【分析】(1)連接0P,由AABDMABFO可得AD=OB,由切線長定理可得AD=DP,

于是易得OP=OA=DA=DP,根據(jù)菱形的判定可得四邊形DAOP為菱形，則可得DQIIAB,易

得四邊形DABQ為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求解；

BFAb

(2)過Q點(diǎn)作QKJLAM于點(diǎn)K,由已知易證得AABD-ABF。，可得比例式施?也可得

BF與AD的關(guān)系，由切線長定理可得AD=DP,QB=QP,解直角三角形DQK可求得BQ與AD

的關(guān)系，則根據(jù)FQ=BF-BQ可得FQ與AD的關(guān)系，從而結(jié)論得證。

4.如圖1,在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=4,D是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD,以AD為

邊向右側(cè)作等腰直角△ADE,其中NADE=90。.

(1)如圖2,G,H分別是邊AB,BC的中點(diǎn)，連接DG,AH,EH.求證：

△AGD-△AHE；

(2)如圖3,連接BE,直接寫出當(dāng)BD為何值時(shí)，△ABE是等腰三角形；

(3)在點(diǎn)D從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)過程中，求△ABE周長的最小值.

【答案】(1)證明：如圖2,由題意知AABC和AADE都是等腰直角三角形,

ZB=NDAE=45°.

H為BC中點(diǎn)，

AH±BC.

ZBAH=45°=ZDAE.

ZGAD=ZHAE.

在等腰直角△BAH和等腰直角△DAE中，

叱

AH=2AB=MAG,AE=A/^AD.

AHAt

**.AGALf

/.△AGD~△AHE；

(2)解：分三種情況：①當(dāng)B與D重合時(shí)，即BD=O,如圖3,此時(shí)AB=BE；

A

②當(dāng)AB=AE時(shí)，如圖4,此時(shí)E與C重合,

圖4

■D是BC的中點(diǎn),

BD=EBC=2；

③當(dāng)AB=BE時(shí)，如圖5,過E作EHJ_AB于H,交BC于M,連接AM,過E作EG_LBC于

G,連接DH,

AH=BH,

/.AM=BM,

ZABC=45°,

AM±BC,△BMH是等腰直角三角形,

,,,AD=DE,ZADE=90°,

易得△ADM合△DEG,

DM=EG,

,/ZEMG=ZBMH=45°,

…EMG是等腰直角三角形，

ME=xfiMG,

由（1）得：△AHD-△AME,且DH,

：.ZAHD=ZAME=135\ME=x/iDH,

ZBHD=45°,MG=DH,

.〔ABDH是等腰直角三角形，

/.BD=DH=EG=DM=W；

綜上所述，當(dāng)BD=O或屹或2屹時(shí)，△ABE是等腰三角形;

（3）解：當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)E的位置記為點(diǎn)M,連接CM,如圖6,

此時(shí)，ZABM=ZBAC=90°,ZAMB=ZBAM=45°,BM=AB=AC.

四邊形ABMC是正方形.

ZBMC=90°,

/.ZAMC=ZBMC-ZAMB=45°,

,/ZBAM=ZDAE=45°,

ZBAD=ZMAE,

在等腰直角△BAM和等腰直角△DAE中，

AM=V^AB,AE=\fiAD.

AM_Ab

AL.

/.△ABD?△AME.

ZAME=ZABD=45°

.??點(diǎn)E在射線MC±,

作點(diǎn)B關(guān)于直線MC的對稱點(diǎn)N,連接AN交MC于點(diǎn)匕

1/BE+AE=NE+AENAN=NE'+AE'=BE'+AE',

△ABE7就是所求周長最小的△ABE.

在RtAABN中，

「AB=4,BN=2BM=2AB=8,

AN=qg+B盧-

△ABE周長最小值為AB+AN=4+4J3.

【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得NB=NDAE=NBAH=45。，所以

AH_Ab

NGADNHAE,計(jì)算可得比例式：AGAL,根據(jù)有兩對邊對應(yīng)相等，且它們的夾角也相等

的兩個(gè)三角形相似可得4AGD-AAHE；

（2）根據(jù)等腰三角形的定義可知分3種情況討論：①當(dāng)B與D重合時(shí)，即BD=O,此時(shí)

AB=BE；

②當(dāng)AB=AE時(shí)，此時(shí)E與C重合，用勾股定理可求得BD的值；

③當(dāng)AB=BE時(shí)，過E作EH_LAB于H,交BC于M,連接AM,過E作EG_LBC于G,連接

DH,由已知條件和（1）的結(jié)論可求解；

（3）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)E的位置記為點(diǎn)M,連接CM,作點(diǎn)B關(guān)于直線MC的對稱

點(diǎn)N,連接AN交MC于點(diǎn)F,由已知條件易證四邊形ABMC是正方形，由已知條件通過計(jì)

AM_At

算易得比例式：益一元，根據(jù)有兩對邊對應(yīng)相等，且它們的夾角也相等的兩個(gè)三角形相似

可得AABDs△AME,則NAME=NABD=45。，于是可得點(diǎn)E在射線MC上，根據(jù)軸對稱的性

質(zhì)可得△ABE，就是所求周長最小的△ABE,在RtAABN中，用勾股定理即可求得AN的值，

則^ABE周長最小值=AB+AN即可求解。

5.如圖，△ABC內(nèi)接于。。，且AB=AC.延長BC到點(diǎn)D,使CD=CA,連接AD交。0于點(diǎn)

E.

(1)求證：△ABE2△CDE；

(2)填空：

①當(dāng)NABC的度數(shù)為時(shí)，四邊形AOCE是菱形；

②若AE=6,BE=8,則EF的長為.

【答案】(1)證明：,,,AB=AC,CD=CA,ZABC=ZACB,AB=CD.

,四邊形ABCE是圓內(nèi)接四邊形，,NECD=NBAE,ZCED=ZABC.

ZABC=ZACB=ZAEB,/.ZCED=ZAEB,二△ABE合△CDE(AAS)

5

(2)60；2

【解析】【解答】解：（2）①當(dāng)NABC的度數(shù)為60。時(shí)，四邊形AOCE是菱形;

理由是：連接AO、OC.

,/四邊形ABCE是圓內(nèi)接四邊形，，NABC+NAEC=180。.

ZABC=60,ZAEC=120°=ZAOC.

?1,OA=OC,ZOAC=ZOCA=30".

AB=AC,J.AABC是等邊三角形，CACB=60".

,/ZACB=NCAD+ZD.

,..AC=CD,J.NCAD=ND=30",NACE=180°-120°-30°=30°,，NOAE=NOCE=60°,...四

邊形AOCE是平行四邊形.

OA=OC,.,“AOCE是菱形；

②由(1)得：AABE^△CDE,r.BE=DE=8,AE=CE=6,，ND=NEBC.

ECCf6

?：ZCED=NABC=NACB,△ECD-△CFB,/.EDBC=8.

AEBC.6836

■：ZAFE=NBFC,ZAEB=NFCB,△AEF-△BCF,/.EF~CfEF=6,：.EF=8=

5

~2.

故答案為：①60。；②2.

【分析】(1)由題意易證NABC=ZACB,AB=CD；再由四點(diǎn)共圓和己證可得

ZABC=ZACB=ZAEB,ZCED=ZAEB,則利用AAS可證得結(jié)論；

(2)①連接A。、CO.憲政△ABC是等邊三角形，再證明四邊形AOCE是平行四邊形，又

AO=CO可得結(jié)論；

②先證△ECD-△CFB,可得EC：ED=CF：BC=6:8：再證aAEFsABCF,則AE：EF=BC：

CF,從而求出EF.

6.如圖，在矩形ABCD中，AB=2cm,ZADB=30°.P,Q兩點(diǎn)分別從A,B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P

沿折線AB-BC運(yùn)動(dòng)，在AB上的速度是2cm/s,在BC上的速度是2Bcm/s；點(diǎn)Q在BD

上以2cm/s的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PN±AD,垂足為點(diǎn)N.連接PQ,以PQ,PN

為鄰邊作叩QMN.設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x(s),qPQMN與矩形ABCD重疊部分的圖形面積為y

(cm2)

DCDC

(1)當(dāng)PQj_AB時(shí)，x=；

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；

(3)直線AM將矩形ABCD的面積分成1：3兩部分時(shí)，直接寫出x的值.

2

s

【答案】⑴3

(2)解：①如圖1中，當(dāng)0<x4；時(shí)，重疊部分是四邊形PQMN.

②如圖②中，當(dāng)時(shí)，重疊部分是四邊形PQEN.

③如圖3中，當(dāng)l<x<2時(shí)，重疊部分是四邊形PNEQ.

圖3

1V3

y=2(2-x+2)X[\6X-2\G(x-1)]=2x2-3V^x+4

鄧x2(0<xwm

A/J2

{—JT+y[3x(-<xW1)

23

-3\j3x+4^3(1<x<2)

綜上所述，y=2Y

,當(dāng)直線AM經(jīng)過BC中點(diǎn)E時(shí)，滿足條件.

圖4

則有：tanNEAB=tanZQPB,

A/3%每

2=2-2x-x

2

解得x=?.

E時(shí)，滿足條件.

此時(shí)tanzDEA=tanZQPB,

2\[3\[3x

1=2-2x-k,

4

解得x.,

24

綜上所述，當(dāng)x=2s或；時(shí)，直線AM將矩形ABCD的面積分成1：3兩部分

【解析】【解答】解：⑴當(dāng)PQLAB時(shí)，BQ=2PB,

2x=2（2-2x）,

2

x=3s.

2

故答案為三s.

【分析】（1）由題意BQ=2x,PB=2-2x,當(dāng)PQJLAB時(shí)，根據(jù)含30。直角三角形的邊之間的關(guān)

系得：BQ=2PB,從而列出方程，求解即可；

2

（2）①如圖1中，當(dāng)0Vxs3時(shí)，重疊部分是四邊形PQMN.由題意知：AP=2x,BQ=2x,

故平行四邊形AP邊上的高是、/⑦，根據(jù)平行四邊形的面積計(jì)算方法得出y與x之間的函數(shù)

2

關(guān)系式；②如圖②中，當(dāng)3VXS1時(shí)，重疊部分的面積等于平行四邊形APQM的面積減去

△AEM的面積，即可得出y與x的函數(shù)關(guān)系式；③如圖3中，當(dāng)l<x<2時(shí)，重疊部分是

四邊形PNEQ.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，分別表示出EQ,ME,NE的長，根據(jù)重疊部分等于平

行四邊形NPQM的面積減去△MNE的面積，即可列出y與x之間的函數(shù)關(guān)系；

（3）①如圖4中，當(dāng)直線AM經(jīng)過BC中點(diǎn)E時(shí)，滿足條件.根據(jù)等角的同名三角函數(shù)值

相等，即tanNEAB=tanNQPB,再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可建立方程，求解得出x的值；

②如圖5中，當(dāng)直線AM經(jīng)過CD的中點(diǎn)E時(shí);滿足條件.根據(jù)等角的同名三角函數(shù)值相

等，即tanNDEA=tanNQPB,再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可建立方程，求解得出x的值；綜

上所述即可得出答案。

7.如圖，正方形，傷a、等腰附4即C的頂點(diǎn)/在對角線〃上（點(diǎn)尸與月、C不重合），QF

與況交于￡,。/延長線與R上交于點(diǎn)，，連接4.

(1)求證：，“CG,

(2)求證：P:二Af.AL

(3)^AP:PC1:3,求tanNZ說的值.

【答案】(1)解：四。是正方形，

二四二G,/ABC=90°,

放」屈％是等腰三角形，

PB=Qb,NPBQ=90。,

ZABP=NCBQ=90'-/PBC,

AABP=^CBQ,

：.AP=a

(2)解：???，始是正方形，

???/CAB=ZPAF=45°,AD=AB=BC=S,

V放4小是等腰三角形，

NQPB=45°,

ZFPA=180°-/?B-/APB=180°-45°-NAPB=131°-ZAPb,

/ABP+ZPAB+NAPB=180：

??./ABP=180°-ZPAB-ZAPB=180°-45°-/APB,

NABP=NFPA,

AAFP~△施,

AF:AP=AP:Ab,

APAF■,Ab,

AF2=AF'AL

(3)解：山⑴得O>=",NABP=NCB4,NPAB=NBCQ=45

NQCP=90°,

由⑵ZAPF=/ABF,

ZAPF=/函,

???NAPF=/CPQ,

NCPQ=/函，

在放dPC6中，

QCAP1

tan^CPQ=-=-=-

PCPC3,

tan/%0--

J

【解析】【分析】(1)證出NABP=NCBQ,由SAS證明△ABP2△CBQ可得結(jié)論；

(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)得到/CAB=NPAF=45。

ZAPF=ZABP,可證明△APF"△ABP,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；

(3)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到NBCQ=NBAC=45。，可得NPCQ=90。，根據(jù)三角函數(shù)和已

QCAP1

X^Xi^CPQ------

知條件得到PCPC3,由(2)可得NAPF二NABF,等量代換可得

ZCBQ=ZCPQ即可求解.

8.如圖(1),P為4ABe所在平面上一點(diǎn)，且NAPB=NBPC=NCPA=120°,則點(diǎn)P叫做

△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).

5

(1)如果點(diǎn)P為銳角AABC的費(fèi)馬點(diǎn),且NABC=60。.

①求證：△ABP-△BCP；

(2)已知銳角△ABC,分別以AB、AC為邊向外作正△ABE和正△ACD,CE和BD相交于P

點(diǎn).如圖(2)

①求NCPD的度數(shù)；

②求證：P點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).

【答案】(1)證明：①TZPAB+ZPBA=180°-ZAPB=60°,ZPBC+ZPBA=ZABC=60°,

ZPAB=NPBC,

又，ZAPB=ZBPC=120°,

△ABP"△BCP

2V3

②若PA=3,PC=4,則PB=_.

20

(2)解：如圖,

E

A

BC

①;△ABE與AACD都為等邊三角形，

ZBAE=ZCAD=60°,AE=AB,AC=AD,

??.ZBAE+ZBAC=ZCAD+ZBAC,即NEAC=ZBAD,

在^ACE和^ABD中，

AC=AD

{NEAC=NBAL

EA=AB,

「.△ACE合△ABD(SAS),

Z1=Z2,

?/Z3=Z4,

???ZCPD=Z6=Z5=60°；

②證明：:△ADF-△CFP,

/.AF*PF=DF*CF,

??,ZAFP=ZCFD,

/.△AFP-△CDF.

/.ZAPF=ZACD=60°,

ZAPC=ZCPD+ZAPF=120°,

/.ZBPC=120°,

ZAPB=360°-ZBPC-ZAPC=120°,

P點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).

【解析】【解答】⑴②解：,??△ABP-△BCP,

PAPb

:?麗一元，

PB23PA?PC=12,

PB=2\/j；

【分析】⑴由已知可知NAPB=ZBPC=120：利用三角形內(nèi)角和可知，

ZBAP+ZABP=60°,又因?yàn)镹ABP+ZCBP=60：所以可知NBAP=ZCBP,所以

△ABP-△BCP；

(2)①由等邊三角形可知AD=AC,AB=AE,ZEAC=ZBAD=ZBAC+60、，所以

△EACM△BAD,由全等可知NCPO=60°；

②利用AADFs△CFP,可得對應(yīng)邊成比例，由對應(yīng)邊成比例夾角相等，得到

△AFP-△CDF,所以NAPC=120'，即點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).

二、圓的綜合

9.如圖，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0,6）,（0,3）,點(diǎn)P為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過

點(diǎn)A作AP的垂線，過點(diǎn)B作BP的垂線，兩垂線交于點(diǎn)Q,連接PQ,M為線段PQ的中

點(diǎn).

（1）求證：A、B、P、Q四點(diǎn)在以M為圓心的同一個(gè)圓上；

（2）當(dāng)OM與x軸相切時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)（2,0）運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（3,0）時(shí)，請直接寫出線段QM掃過圖形的面積.

l63

【答案】⑴見解析;（2）Q的坐標(biāo)為（3點(diǎn)，9）;（3）—.

O

【解析】（1）解：連接AM、BM,

AQ±AP,BQJ_BP；△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜邊PQ的中點(diǎn)

1

AM=BM=PM=QM=—PQ,

:.A、B、P、Q四點(diǎn)在以M為圓心的同一個(gè)圓上。

（2）解：作MGJLy軸于G,MC_Lx軸于C,

AM=BM

，G是AB的中點(diǎn)，由A(0,6),B(0,3)可得MC=OG=4.5

二在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)M到x軸的距離始終為4.5

則點(diǎn)Q到x軸的距離始終為9,即點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)始終為9,

當(dāng)OM與X軸相切時(shí)則PQJLx軸，作QH±y軸于H,

HB=9-3=6,設(shè)OP=HQ=x

由△BOP-AQHB,得X2=3X6=8,X=342

二點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3J7,9)

(3)解：由相似可得：當(dāng)點(diǎn)P在P](2,0)時(shí)，Q](4,9)則M](3,4.5)

當(dāng)點(diǎn)在時(shí)，則

PP?(3,0)Q2(6,9),(4.5,4.5)

93

M

XM2=--3=-,QR=6—4=2

線段QM掃過的圖形為梯形M1M2Q2Q1

【解析】

【分析】

根據(jù)已知可得出三角形APQ和三角形BPQ都是直角三角形，再根據(jù)這個(gè)條件結(jié)合題意直接

解答此題.

【詳解】

(1)解：連接AM、BM,

AQ_LAP,BQJLBP：△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜邊PQ的中點(diǎn)

AM=BM=PM=QM=,PQ,

:.A、B、P、Q四點(diǎn)在以M為圓心的同一個(gè)圓上。

(2)解：作MG_Ly軸于G,MC_Lx軸于C,

AM=BM

二G是AB的中點(diǎn)，由A(0,6),B(0,3)可得MC=OG=4.5

二在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)M到x軸的距離始終為4.5

則點(diǎn)Q到x軸的距離始終為9,即點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)始終為9,

當(dāng)OM與X軸相切時(shí)則PQJLx軸，作QH±y軸于H,

由△BOP”AQHB,得X2=3x6=8,x=3亞

二點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3方，9)

(3)解：由相似可得：當(dāng)點(diǎn)P在P](2,0)時(shí)，Q](4,9)則M](3,4.5)

當(dāng)點(diǎn)P在P?(3,0)時(shí),生(6,9),則(4.5,4.5)

93

MM=—3=

,'I257，Q1Q2=6—4=2

線段QM掃過的圖形為梯形M1M2Q2Q1

其面積為：TX(2+2)x4.5=,y-

【點(diǎn)睛】

本題主要考查學(xué)生根據(jù)題意能找到三角形APQ和三角形BPQ都是直角三角形，而且考驗(yàn)學(xué)

生對相似三角形性質(zhì)的運(yùn)用，掌握探索題目隱含條件是解決此題的關(guān)鍵

10.如圖1,將長為10的線段OA繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)90。得到OB,點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡為翼8，P是

半徑OB上一動(dòng)點(diǎn)，Q是滅8上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PQ.

發(fā)現(xiàn)：NPOQ=時(shí)，PQ有最大值，最大值為________；

思考：(1)如圖2,若P是OB中點(diǎn)，且QPLOB于點(diǎn)P,求片。的長；

(2)如圖3,將扇形AOB沿折痕AP折疊，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B，恰好落在。A的延長線上，

求陰影部分面積；

探究：如圖4,將扇形OAB沿PQ折疊，使折疊后的弧QB，恰好與半徑OA相切，切點(diǎn)為

C,若OP=6,求點(diǎn)。到折痕PQ的距離.

【答案】發(fā)現(xiàn)：90°,10yf2；思考：(1)；(2)25n-lOo7T+100；(3)點(diǎn)0

到折痕PQ的距離為而

【解析】

分析：發(fā)現(xiàn)：先判斷出當(dāng)PQ取最大時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，即可得出結(jié)

論；

思考：(1)先判斷出NPOQ=60。，最后用弧長用弧長公式即可得出結(jié)論；

(2)先在RtZ\B'OP中，OP2+(10―-10)2=(10-OP)2,解得OP=10j^-10,最后用面積

的和差即可得出結(jié)論.

探究：先找點(diǎn)。關(guān)于PQ的對稱點(diǎn)0',連接0。'、O'B、0(、O'P,證明四邊形OCCTB是矩

形，由勾股定理求O'B,從而求出。。，的長，則OM=]CXy=啊.

詳解：發(fā)現(xiàn)：rp是半徑0B上一動(dòng)點(diǎn)，Q是為8上的一動(dòng)點(diǎn)，

,當(dāng)PQ取最大時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，

此時(shí)，ZPOQ=90°,PQ.=JOA2+OB2=10^；

思考：（1）如圖，連接0Q,

QP±OB,

ZOPQ=90°

OP1

在RtAOPQ中，cosZ=y,

/.ZQOP=60°,

,6071x1010

I=----------=—71;

BQ1803

(2)由折疊的性質(zhì)可得，BP=B'P,AB'=AB=10j2,

在RtAB'OP中，OP2+(10JT-10)2=(10-OP)2

解得OP=IOJI-:LO,

90KX1021

S=S-2S=---------------2x-xl0x(l(\/2-10)

陰影場形AONBA△AOP3602

=25n-100V2+100；

探究：如圖2,找點(diǎn)。關(guān)于PQ的對稱點(diǎn)。，，連接0。'、O'B、CTC、?！?

則0M=CTM,OO-XPQ,0,P=0P=3,點(diǎn)0,是后。所在圓的圓心，

O'C=OB=10,

■■■折疊后的弧QB，恰好與半徑0A相切于C點(diǎn),

O,C±AO,

OTIIOB,

A四邊形OCOB是矩形,

在RtACTBP中，O，B=j62-42=2邪,

在RtAOBO-K,0（7="102一（2我2=2回,

11一—

一OM=-oO,=-x2V30=730，

即。到折痕PQ的距離為屈.

點(diǎn)睛：本題考查了折疊問題和圓的切線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和判定，熟練掌握弧長公式

nnR

上而~（n為圓心角度數(shù)，R為圓半徑），明確過圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑，這是常

考的性質(zhì)；對稱點(diǎn)的連線被對稱軸垂直平分.

11.已知：如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)。在對角線BD上，以0D的長為半徑的00與

AD,BD分別交于點(diǎn)E、點(diǎn)F,且NABE=ZDBC.

（1）判斷直線BE與O。的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

CD=2,求。。的半徑.

/T

【答案】（1）直線BE與O0相切，證明見解析；（2）O。的半徑為7

2

【解析】

分析：（1）連接。E,根據(jù)矩形的性質(zhì)，可證N8EO=90。，即可得出直線8E與。。相切；

（2）連接EF,先根據(jù)已知條件得出8。的值，再在ABE。中，利用勾股定理推知8E的

長，設(shè)出。。的半徑為r,利用切線的性質(zhì)，用勾股定理列出等式解之即可得出r的值.

詳解：（1）直線8E與0。相切.理由如下：

連接0E,在矩形A8C。中，ADWBC,ZADB=ZDBC.

---OD=OE,：.ZOED=ZODE.

又；ZA8E=NDBC,ZABE=ZOED,

■：矩形ABDC,ZA=90°,ZABE+NAEB^90°,

ZOED+ZAEB=90。，ZBEO=90。，/.直線8E與。。相切；

...四邊形A8CD是矩形，8=2,NA=NC=90°,AB=CD=2.

ZABE=Z.DBC,sinZCBD=sin^ABE=V,

3

"=』=2/,

在RSAEB中，1.CD=2,二BC=2yJl.

DC