湖北省咸寧市五校2024屆數(shù)學(xué)高二年級(jí)上冊(cè)期末考試試題含解析

湖北省咸寧市五校2024屆數(shù)學(xué)高二上期末考試試題

請(qǐng)考生注意：

1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知拋物線y=Y,則其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()

11

A.-B.—

42

C.1D.4

2.圓好+步―4=0與圓，+y2—4x+4y—12=0公共弦所在直線方程為()

A.x-2y-l=0B.x-y+2=0

C.x-y-2=QD.x-2y+l=0

3.是“Iog2a〉log2b”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.在正方體ABCD-AgCQ中，分別為AD,CQ的中點(diǎn)，。為側(cè)面BCC4的中心，則異面直線肱V與。，

所成角的余弦值為()

1RA/6

A.-D.-------

66

5.在正方體ABC。—A與GR中，AQ=xA^+yAB+zAD,貝!!(羽y,z)=()

A.(1,1,1)B.(l,l,0)

C.(l,l,-1)D.(l,0,-l)

1,、-1a(b+2c)

6.已知關(guān)于工的不等式一9己+己+。＜0(“。＞1)的解集為空集，則丁=“，〃+I，的最小值為()

a2(ab—l)ab—1

A.#)B.2

C.2V3D.4

YTC

7.函數(shù)%）=e—cosx在一萬(wàn)，乃上的最小值為O

n

A.-----B+1

2-f

D-H2

8.設(shè)命題〃：X/%wR,%3NO,則n?為（）

A.Vxe7?,%3<0B.3x7?,x3<0

C.3xe7?,x3>0D.$x?R,%30

2227cQ

9.已知片（一3,0）,耳（3,0）是橢圓二+1=1（?！?〉0）兩個(gè)焦點(diǎn)，尸在橢圓上，ZF.PF^a,且當(dāng)a=—時(shí),

ab3

△大尸耳的面積最大，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

X2V2122

A?-----1-----—1B.土+工=1

123145

2222

」+二=1D.±+匕=1

156167

10.已知遞增等比數(shù)列｛凡｝的前n項(xiàng)和為S〃，q=l,且%=2%+3。2,則S2021與。2021的關(guān)系是（）

A.^2021=2〃2021+3B?S2021=2a2021-3

C.2s2021=34021+1D.25,2021—3。2021—1

11.平面a的法向量為3=（2,—2,2）,平面口的法向量為1=（1,2,1）,則下列命題正確的是（）

Za,0平行B.a,0垂直

C.a,0重合D.a,P相交不垂直

22

12.設(shè)雙曲線C：1—與=1（?！?/〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，鳥，點(diǎn)尸在雙曲線C上，若線段PK的中點(diǎn)在y

ab

軸上，且△尸耳工為等腰三角形，則雙曲線C的離心率為（）

A.1+V2B.2

C.2+V2D.V2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.將邊長(zhǎng)為2的正方形ABC。繞其一邊A3所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的圓柱體積為.

14.若直線/的方向向量為v=(l,O,3),平面a的一個(gè)法向量為”=(-2,0,2),則直線/與平面a所成角的正弦值為

22(]]、

15.若斜率為左的直線/與橢圓。:匕+匕=1交于A,B兩點(diǎn),且的中點(diǎn)坐標(biāo)為不；，則左=_________.

32U3)

TT

16.已知函數(shù)y=2cosx定義域?yàn)樯?%],值域?yàn)閇。,勿，貝！]/?一。=

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)已知圓O：f+y2=/(廠＞0)與直線y=x+4后相切

(1)求圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若線段A8的端點(diǎn)A在圓。上運(yùn)動(dòng)，端點(diǎn)3的坐標(biāo)是(6,0),求線段A3的中點(diǎn)M的軌跡方程

_尤3

18.(12分)已知％=-1,x=2是函數(shù)/(x)=-了+。r+Zzx+1的兩個(gè)極值點(diǎn).

(1)求的解析式;

⑵記g(x)=/(%)-〃7,xe[-2,4],若函數(shù)g(x)有三個(gè)零點(diǎn)，求機(jī)的取值范圍.

JT

19.(12分)如圖1是ABC,AC=2BC=6,ZACB=-,D,石分別是邊AC,A3上兩點(diǎn)，且BC=3ED，

71

將人即沿功折起使得NADC=§,如圖2.

(1)證明：圖2中，AC,平面4萬(wàn)。；

(2)圖2中，求二面角C—AB—E的正切值.

20.(12分)已知點(diǎn)M(l,2)和直線4：x—y—5=0.

(1)求以/為圓心，且與直線《相切的圓河的方程;

（2）過(guò)直線/2：x-y+9=0上一點(diǎn)P作圓加的切線QAP3,其中A3為切點(diǎn)，求四邊形的面積的最小值.

21.（12分）已知［x?+寧］的展開式中，第4項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第4項(xiàng)的系數(shù)之比為5.

（1）求小的值；

（2）求展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和.

22.（10分）已知數(shù)列｛為｝的前"項(xiàng)和為S“，且4=2,S“=a”+「2,〃eN*

（1）求數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式；

,1，、

⑵若”（log-Xlog/［數(shù)列｛2｝的前"項(xiàng)和為力求4ZZ……4022的值

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】化簡(jiǎn)拋物線的方程為必=>,求得即為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.

【詳解】由題意，拋物線>=/，即必=>=2點(diǎn)，解得〃=；,

即焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是

故選：B

2、B

【解析】?jī)蓤A的方程消掉二次項(xiàng)后的二元一次方程即為公共弦所在直線方程.

【詳解】由x2+j2—4=0與x2+j2—4x+4j—12=0兩式相減

得：4x-4y+8=0,gpx-y+2=0.

故選：B

3、B

【解析】求出log2a>log2b的等價(jià)條件，結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.

【詳解】log2a>log2^?a>z?>0,因“a>b”/"a>b>0"且“a>b”<="a>b>0”，

因此，“。”是“l(fā)og?a>log,b”的必要不充分條件.

故選：B.

4、A

【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量求解異面直線夾角的余弦值.

【詳解】如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，。。所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)

系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,則〃。,0,0),N(0,l,2),0(1,2,1),D,(0,0,2),則MN=(-1』,2),OO；=(-1,-2,1),設(shè)異

(-1,1,2).(-I,-2,1)1

面直線肱V與0"所成角為a(ael0,^),貝！Jcoso=cos=

^6x^66

故選：A

5、A

【解析】根據(jù)空間向量基本定理，結(jié)合空間向量加法的幾何意義進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)锳GMAC+CGMAB+^C+CGMAB+AD+A^,

而ACX-xAA^+yAB+zAD，

所以有x=Ly=Lz=i,

故選：A

6、D

【解析】根據(jù)一元二次不等式的解集的情況得出二次項(xiàng)系數(shù)大于零，根的判別式小于零，可得出c?也，再將

4

=]a("2c)l+2ab+a2b2

2(ab-l)ab-1化為—2(ab—1),由aZ?>l和均值不等式可求得最小值.

1

2

【詳解】由題意可得：一>o,b--<Qf可以得到絲，

aa4

工.1a(b+2c)1+2ab+4ac、1+lab+c^b2

no]—"i"="—"9

2(〃。-1)ab-l2(ab-V)2(aZ?-l)

可以令出?—1=m>0,

e-f1+2(m+1)+(m+1)2m2..

則有T2——--------—=—+—+2>4,

2m2m

當(dāng)且僅當(dāng)加=l>0取等號(hào)，

所以T的最小值為4.

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查均值不等式，關(guān)鍵在于由一元二次不等式的解集的情況得出的關(guān)系，再將所求的式子運(yùn)

用不等式的性質(zhì)降低元的個(gè)數(shù)，運(yùn)用均值不等式，是中檔題.

7、D

【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.

Y1

【詳解】解：因?yàn)?(x)=Q—cosx,所以r(x)=5+sinx,

當(dāng)xe—W]時(shí)，/(%)<0,小)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe、?/時(shí)，/'(x)〉0,單調(diào)遞增，

故選：D.

8、D

【解析】利用含有一個(gè)量詞的命題的否定的定義判斷.

【詳解】因?yàn)槊}"：VxwR,/20是全稱量詞命題,

所以其否定是存在量詞命題，即$x?民三0,

故選：D

9、A

【解析】由題意知c=3,當(dāng)△HPF2的面積最大時(shí)，點(diǎn)P與橢圓在y軸上的頂點(diǎn)重合，即可解出

【詳解】由題意知c=3,當(dāng)△尸1PF2的面積最大時(shí)，點(diǎn)尸與橢圓在y軸上的頂點(diǎn)重合，

27r3_

?:a=——時(shí)，AFiP尸2的面積最大，；?“=.公=2幣,b=y[3

3sin60

22

J橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+匕=1

123

故選：A

10、D

【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q>0),由已知列式求得彘再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和求解.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q>0),

由%=2a3+3a2,得q?—2q—3=0)

所以(q—3)(q+l)=0,

又q>0,所以4=3,

所以％021=3202%5誣=尸;=；-32°21—；,

1-3LL

所以S2°2]=|-3202。1_31

2=2^1-2

即2s2021=3。2021-1

故選：D

11、B

【解析】根據(jù)5)=0可判斷兩平面垂直.

XA1

【詳解】因?yàn)閍f=2xl+(—2)x2+2xl=0,所以1r,丫，所以a,￡垂直.

故選：B.

12、A

【解析】根據(jù)△尸大工是等腰直角三角形，再表示出「耳,2心的長(zhǎng)，利用三角形的幾何性質(zhì)即可求得答案.

【詳解】線段P《的中點(diǎn)在y軸上，設(shè)的中點(diǎn)為M,

因?yàn)?。為耳工的中點(diǎn)，所以O(shè)M\PF?

而耳耳，則尸為，耳工，

△PE身為等腰三角形，故IPBK用Kl=2c,

由IPKHP鳥1=2。，得|「耳|=2。+2c,

又△尸耳心為等腰直角三角形，故|。耳|=口|耳心|,

即2a+2c=后x2c，解得工=0+1，即6=應(yīng)+1，

a

故選：A.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、87r

【解析】依題意可得圓柱的底面半徑、高，再根據(jù)圓柱的體積公式計(jì)算可得；

【詳解】解：依題意可得圓柱的底面半徑r=2,高〃=2,所以V=乃/〃=乃*2?*2=8不;

故答案為：8%

14、.

5

【解析】根據(jù)空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】設(shè)v=（l,0,3）與“=（一2,0,2）的夾角為巴直線/與平面a所成角為。，

所以由小。，。卜痛=J—"）。?1’

故答案為：好

5

15、-1

【解析】根據(jù)給定條件設(shè)出點(diǎn)45的坐標(biāo)，再借助“點(diǎn)差法”即可計(jì)算得解.

【詳解】依題意，線段A3的中點(diǎn)在橢圓C內(nèi)，設(shè)4(西,%)，6(9,%)，

i+i=1

由32兩式相減得：(玉山(玉+々)+(%一％也+%)=0,

32

-----1-1

132

而為+招=1,%+%=2，于是得'°。+x.%=0,即％=$一^五=一1,

333%-%

所以無(wú)=—1.

故答案為：—1

16、3

【解析】根據(jù)定義域和值域，結(jié)合余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可求得。/的值，進(jìn)而得解.

【詳解】因?yàn)橛捎嘞液瘮?shù)的圖像與性質(zhì)可得cosxw[-l,g],

貝!Iy=2cosxe[-2,1],

由值域?yàn)?,切可得a=一23=1,

所以Z?_a=l_(_2)=3,

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查了余弦函數(shù)圖像與性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)x2+y2=16

(2)(x-3)2+y2=4

【解析】(1)由圓心到直線的距離等于半徑即可求出.

⑵由相關(guān)點(diǎn)法即可求出軌跡方程.

【小問(wèn)1詳解】

已知圓0：/+丁2=/(/>0)與直線>=尤+4后相切，所以圓心0(0,0)到直線.—>+4應(yīng)=0的距離為半徑r.所

以廠=1~^^=4,所以圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2+y2=16

V1+1

【小問(wèn)2詳解】

%+6

X=

2

設(shè)M(x,y),A(Xo，%),因?yàn)锳5的中點(diǎn)是M,貝上所以%=2x—6,%=2y,

%+。

y二

2

又因A在圓。上運(yùn)動(dòng)，則/2+為2=16,所以帶入有：(2x-6)2+(2y)2=16,化簡(jiǎn)得:

(x—3)2+V=4.線段A3的中點(diǎn)M的軌跡方程為：(x—3)2+丁=4.

18、(1)/(x)=——%3+—x2+2x+1；(2)I

32I63」

【解析】(1)根據(jù)極值點(diǎn)的定義，可知方程廣(幻=。的兩個(gè)解即為l=-1,x=2,代入即得結(jié)果;

(2)根據(jù)題意，將方程g(x)=O轉(zhuǎn)化為/(尤)=機(jī)，則函數(shù)y=/(x)與直線丁=加在區(qū)間［-2,4］上有三個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)

而求解"?的取值范圍

丫3

【詳解】解：(1)因?yàn)?(x)=—所以尸(x)=—6

根據(jù)極值點(diǎn)定義，方程/'(?=0的兩個(gè)根即為l=-1,x=2,

f\x)--x2+2ax+b,代入x=—1,x=2,可得

-l-2a+b=0

,解之可得,

T+4a+b=0

b=2

故有/(x)=——x3+—x2+2x+1?

(2)根據(jù)題意，g(%)=—+萬(wàn)/+2%+1—機(jī)，xG［—2,4］,

根據(jù)題意，可得方程根=-!》3+［*2+2彳+1在區(qū)間［_2,4］內(nèi)有三個(gè)實(shí)數(shù)根,

即函數(shù)/(尤)=-3三+：尤2+2苫+1與直線y=機(jī)在區(qū)間-2,4］內(nèi)有三個(gè)交點(diǎn),

又因?yàn)?'(1)=一九2+X+2,

則令/解得—1＜工＜2；令/'(%)＜。，解得％＞2或x＜-1,

所以函數(shù)/■(%)在］—2,—1),(2,4］上單調(diào)遞減，在(-1,2)上單調(diào)遞增;

113513

又因?yàn)?(-1)=-之，/(2)=-,/(-2)=-,/(4)=--,

6333

函數(shù)圖象如下所示:

若使函數(shù)f(x)=-1X3+|X2+2X+I與直線y=機(jī)有三個(gè)交點(diǎn)，

則需使即根

63I63_

19、(1)證明見解析

(2)—不

【解析】(1)、利用線面垂直的判定，及線面垂直的性質(zhì)即可證明；

(2)、建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面ABC、平面觀的法向量，利用cos(凡加求出兩平面所成角的

11網(wǎng)網(wǎng)

余弦值，進(jìn)而求出求二面角C-AB-E的正切值.

【小問(wèn)1詳解】

由已知得：DE±AD,DE±AC,

ADcDC=￡>,..DEL平面ADC,

又ACu平面ADC..DE_LAC,

7Tl

在AOC中，4。=2,。。=4,4。。=§,由余弦定理得：AC=2百，

AC2+AD2=DC2，即ACLAZ),QADcDE：。..AC,平面AED.

【小問(wèn)2詳解】

由(1)知：OE，平面AOC,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A0,0,6),3(4,—3,0),C(4,0,0),D(0,0,0),E(0,-l,0),

AB=(3,-3,-6),5C=(0,3,0),BE=(-4,2,0),

設(shè)平面ABC的法向量為〃=(％,zj,平面ABE的法向量為m=(x2,y2,z2),

AB〃二0一AB-m=0

則與＜

BCn=0BE-m=0

3%一3%_百4=0與＜

即《

3%=0_＜匕:工片。,叫

卜。s("3孝，

cos

觀察可知二面角C-AB-E為鈍二面角，，二面角C-AB-E的正切值為—幣.

20、(1)(x-l)2+(y-2)2=18

⑵6A/7

【解析】(1)利用聞到直線4的距離求得半徑，由此求得圓”的方程.

(2)結(jié)合M到直線Z2的距離來(lái)求得四邊形面積的最小值.

【小問(wèn)1詳解】

11—2—51/—

圓加的半徑/=J]2+(]；2=3,2,

二圓〃