九年級上冊數(shù)學(xué)概率-知識點(diǎn)梳理

隨機(jī)事件和概率一知識講解

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1、通過對生活中各種事件的判斷，歸納出必然事件、不可能事件和隨機(jī)事件的特點(diǎn)，

并根據(jù)這些特點(diǎn)對有關(guān)事件作出準(zhǔn)確判斷；

2、初步理解概率定義，通過具體情境了解概率意義.

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、必然事件、不可能事件和隨機(jī)事件

1.定義：

(1)必然事件

在一定條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)時，在每次試驗(yàn)中必然會發(fā)生的事件，叫做必然事件.

(2)不可能事件

在每次試驗(yàn)中都不會發(fā)生的事件叫做不可能事件.

(3)隨機(jī)事件

在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機(jī)事件.

要點(diǎn)詮釋：

1.必然發(fā)生的事件和不可能發(fā)生的事件均為“確定事件”，隨機(jī)事件又稱為“不確定事

件”；

2.要知道事件發(fā)生的可能性大小首先要確定事件是什么類型.一般地，必然發(fā)生的事件

發(fā)生的可能性最大，不可能發(fā)生的事件發(fā)生的可能性最小，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有大

有小，不同的隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小有可能不同.

要點(diǎn)二、概率的意義

概率是從數(shù)量上刻畫了一個隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小.一般地，在大量重復(fù)試

驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率少會穩(wěn)定在某個常數(shù)P附近，那么這個常數(shù)P就叫做事

n

件A的概率(probability),記為尸(力)=p.

要點(diǎn)詮釋：

(1)概率是頻率的穩(wěn)定值，而頻率是概率的近似值；

(2)概率反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小；

(3)事件A的概率是一個大于等于0,且小于等于1的數(shù),，即0W尸其中P(必

然事件)=1,P(不可能事件)=0,0〈P(隨機(jī)事件)〈1.

【典型例題】

類型一、隨機(jī)事件

(1)指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是隨機(jī)事件？

①若a、b、c都是實(shí)數(shù)，則a(bc)=(ab)c；

②沒有空氣，動物也能生存下去；

③在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在90℃時沸騰；

④直線y=k(x+l)過定點(diǎn)(T,0)；

⑤某一天內(nèi)電話收到的呼叫次數(shù)為0；

⑥一個袋內(nèi)裝有形狀大小完全相同的一個白球和一個黑球,從中任意摸出1個球則為

白球.

【答案與解析】①④是必然事件；②③是不可能事件；⑤⑥是隨機(jī)事件.

【總結(jié)升華】準(zhǔn)確掌握定義，依據(jù)定義判別.

舉一反三

【變式1］下列事件是必然事件的是().

A.明天要下雨；

B.打開電視機(jī)，正在直播足球比賽；

C.拋擲一枚正方體骰子，擲得的點(diǎn)數(shù)不會小于1;

D.買一張彩票，一定會中一等獎.

【答案】C.

【變式2】下列說法中，正確的是().

A.生活中，如果一個事件不是不可能事件，那么它就必然發(fā)生；

B.生活中，如果一個事件可能發(fā)生，那么它就是必然事件；

C.生活中，如果一個事件發(fā)生的可能性很大，那么它也可能不發(fā)生；

D.生活中，如果一個事件不是必然事件，那么它就不可能發(fā)生.

【答案】C.

?’2.在一個不透明的口袋中，裝有10個除顏色外其它完全相同的球，其中5個紅

球，3個藍(lán)球，2個白球，它們己經(jīng)在口袋中攪勻了.下列事件中，哪些是必然發(fā)生的？

哪些是不可能發(fā)生的？哪些是可能發(fā)生的？

(1)從口袋中任取出一個球，它恰是紅球；

(2)從口袋中一次性任意取出2個球，它們恰好全是白球；

(3)從口袋中一次性任意取出5個球，它們恰好是1個紅球，1個藍(lán)球，3個白球.

【答案與解析】(1)可能發(fā)生，因?yàn)榇杏屑t球；

(2)可能發(fā)生，因?yàn)榇袆偤糜?個白球；

(3)不可能發(fā)生，因?yàn)榇兄挥?個白球，取不出3個白球.

【總結(jié)升華】了解并掌握三種事件的區(qū)別和聯(lián)系.

舉一反三

【變式】甲、乙兩人做擲六面體骰子的游戲，雙方規(guī)定，若擲出的骰子的點(diǎn)數(shù)大于3,

則甲勝，若擲出的點(diǎn)數(shù)小于3,則乙勝，游戲公平嗎？若不公平，請你設(shè)計出一種對于

雙方都公平的游戲.

【答案】不公平，小于3的點(diǎn)數(shù)有1、2,大于3的點(diǎn)數(shù)有4、5、6,因此，它們的可能

性是不同的，所以不公平.可設(shè)計擲出的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)時甲勝，擲出的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)時乙勝.

類型二、概率

^^3.(2015春?山亭區(qū)期末)一只口袋里放著4個紅球、8個黑球和若干個白球，這三種

球除顏色外沒有任何區(qū)別，并攪勻.

(1)取出紅球的概率為工，白球有多少個？

5

(2)取出黑球的概率是多少？

(3)再在原來的袋中放進(jìn)多少個紅球，能使取出紅球的概率達(dá)到工？

3

【答案與解析】解：(1)設(shè)袋中有白球X個.

由題意得：4+8+x=4x5,

解得：x=8,

答：白球有8個；

(2)取出黑球的概率為：.*

4+8+85

答：取出黑球的概率是Z

5

(3)設(shè)再在原來的袋中放入y個紅球.

由題意得：3(4+y)=20+y,或2(4+y)=8+8,

解得：y=4,

答：再在原來的袋中放進(jìn)4個紅球，能使取出紅球的概率達(dá)到

3

【總結(jié)升華】此題考查了概率公式的應(yīng)用.用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)

之比.

舉一反三

【變式】(2014?寧波模擬)中央電視臺"非常6+1”欄目中有個互動環(huán)節(jié)，在電視直播現(xiàn)場有

三個"金蛋"三個"銀蛋”其中只有一個"金蛋”內(nèi)有禮物，銀蛋也是如此.有一個打進(jìn)電話的觀

眾，選擇并打開后得到禮物的可能性是()

A.1B.1C.1D.1

4563

【答案】D.

Ch.某籃球運(yùn)動員在近幾場大賽中罰球投籃的結(jié)果如下:

投籃次數(shù)〃8101291610

進(jìn)球次數(shù)m6897127

進(jìn)球頻率竺

n

⑴計算表中各場次比賽進(jìn)球的頻率；

(2)這位運(yùn)動員每次投籃，進(jìn)球的概率約為多少？

【答案與解析】

(1)

投籃次數(shù)〃8101291610

進(jìn)球次數(shù)m6897127

進(jìn)球頻率,0.750.80.750.780.750.7

n

(2)P(進(jìn)球)P0.75.

【總結(jié)升華】頻率和概率的關(guān)系：當(dāng)大量重復(fù)試驗(yàn)時，頻率會穩(wěn)定在概率附近.

舉一反三

【變式】某射手在同一條件下進(jìn)行射擊，結(jié)果如下表所示：

射擊次數(shù)（n）102050100200500

擊中靶心次數(shù)（m）9194491178451

m

擊中靶心頻率（n）

⑴計算表中擊中靶心的各個頻率（精確到0.01）；

（2）這個射手射擊一次，擊中靶心的概率約是多少（精確到0.1）?

【答案】（1）擊中靶心的各個頻率依次是：0.90,0.95,0.88,0.91,0.89,0.90.

（2）這個射手擊中靶心的概率約為0.9.

概率的計算一知識講解

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1、通過具體情境了解概率的意義，體會概率是描述不確定現(xiàn)象的規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，理解概率的取值

范圍的意義，能夠運(yùn)用列舉法(包括列表、畫樹形圖)計算簡單事件發(fā)生的概率；

2、能夠通過實(shí)驗(yàn)，獲得事件發(fā)生的頻率利用穩(wěn)定后的頻率值來估計概率的大小，理解頻率與概率

的區(qū)別與聯(lián)系.

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、古典概型

滿足下列兩個特點(diǎn)的概率問題稱為古典概型.

(1)一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限的；

(2)一次試驗(yàn)中，各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等的.

古典概型可以從事件所包含的各種可能的結(jié)果在全部可能的試驗(yàn)結(jié)果中所占的比例分析事件的概率.

要點(diǎn)詮釋如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性相等，事件A包含其中的m

m

種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P(A)

n

要點(diǎn)二、用列舉法求概率

常用的列舉法有兩種：列表法和樹形圖法.

1.列表法：

當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果,

通常采用列表法.

列表法是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次

數(shù)和方式，并求出概率的方法.

要點(diǎn)詮釋：(1)列表法適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時，求概率的問題；

(2)列表法適用于涉及兩步試驗(yàn)的隨機(jī)事件發(fā)生的概率.

2.樹形圖：當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及3個或更多個因素時，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用

樹形圖.

樹形圖是用樹狀圖形的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能

的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.

要點(diǎn)詮釋：(D樹形圖法同樣適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時，求概率的問題；

(2)在用列表法或樹形圖法求可能事件的概率時，應(yīng)注意各種情況出現(xiàn)的可能性務(wù)必相同.

要點(diǎn)三、利用頻率估計概率

當(dāng)試驗(yàn)的可能結(jié)果不是有限個，或各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時，一般用統(tǒng)計頻率的方法來估

計概率.

要點(diǎn)詮釋：用試驗(yàn)去估計隨機(jī)事件發(fā)生的概率應(yīng)盡可能多地增加試驗(yàn)次數(shù)，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時，結(jié)果

將較為精確.

【典型例題】

類型一、用列舉法求概率

fl.一個不透明的袋中裝有除顏色外其余均相同的5個紅球和3個黃球，從中隨機(jī)摸出一個，則摸

1133

到黃球的概率是()A.-B.-C.-D.-

8385

【答案】c.

【解析】從袋中隨機(jī)摸出一個球的所有可能情況有8種，其中是黃球的情況有3種，故摸到黃球的概率

【總結(jié)升華】這是一道典型的古典概型題.

舉一反三：

【變式】如圖是地板格的一部分，一只蟋蟀在該地板格上跳來跳去，如果它隨意停留在某一個地方，則

它停留在陰影部分的概率是.

123

【答案】尸（停在陰影部分）=-.

3

C2.（2015?朝陽）在學(xué)習(xí)概率的課堂上，老師提出問題：只有一張電影票，小明和小剛想通過抽取撲克

牌的游戲來決定誰去看電影，請你設(shè)計一個對小明和小剛都公平的方案.

甲同學(xué)的方案：將紅桃2、3、4、5四張牌背面向上，小明先抽一張，小剛從剩下的三張牌中抽一張，若兩

張牌上的數(shù)字之和是奇數(shù)，則小明看電影，否則小剛看電影.

（1）甲同學(xué)的方案公平嗎？請用列表或畫樹狀圖的方法說明；

（2）乙同學(xué)將甲的方案修改為只用紅桃2、3、4三張牌，抽取方式及規(guī)則不變，乙的方案公平嗎？（只回

答，不說明理由）

【思路點(diǎn)撥】依據(jù)題意先用列表法或畫樹狀圖法分析所有等可能的出現(xiàn)結(jié)果，然后根據(jù)概率公式求出該事件

的概率，比較即可.

【答案與解析】

解：（1）甲同學(xué)的方案不公平.理由如下：

列表法，

小明2345

小剛

2(2,3)(2,4)(2,5)

3(3,2)(3,4)(3,5)

4(4,2)(4,3)(4,5)

5(5,2)(5,3)(5,4)

所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種，其中抽出的牌面上的數(shù)字之和為奇數(shù)的存8種，故小明獲勝的概率為：&

12

=2則小剛獲勝的概率為：1,

33

故此游戲兩人獲勝的概率不相同，即他們的游戲規(guī)則不公平；

（2）不公平.理由如下:

小明234

小剛

2(2,3)(2,4)

3(3,2)(3,4)

舉一反三：

【變式】不透明的口袋里裝有白、黃、藍(lán)三種顏色的乒乓球(除顏色外其余都相同)，其中白球有2個,

黃球有1個，現(xiàn)從中任意摸出一個是白球的概率為工.

2

(1)試求袋中藍(lán)球的個數(shù).

(2)第一次任意摸一個球(不放回)，第二次再摸一個球，請用畫樹狀圖法，求兩次摸到的都是白球

的概率.

【答案】(1)1個；

(2)尸(兩次摸到白球)=4，

開始

類型二、利用頻率估計概率

@3.某商場設(shè)立了一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤(如圖)，并規(guī)定顧客購物10元以上能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的

機(jī)會，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時，指針落在哪一區(qū)域就可以獲得相應(yīng)的獎品，下表是活動進(jìn)行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù):

(1)計算并完成表格：

轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的次數(shù)n1001502005008001000

落在“鉛筆”的次數(shù)m68111136345546701

落在“鉛筆”的頻率匯

(2)請估計，當(dāng)"很大時，頻率將會接近多少？

(3)轉(zhuǎn)動該轉(zhuǎn)盤一次，獲得鉛筆的概率約是多少？

(4)在該轉(zhuǎn)盤中，標(biāo)有“鉛筆”區(qū)域的扇形的圓心角大約是多少？(精確到1°)

【答案與解析】(1)0.68、0.74、0.68、0.69、0.6825、0.701；

(2)0.69；