人教版八年級數(shù)學(xué)上冊第15章整式的乘除與因式分解教案

第14章整式的乘除與因式分解

第一課時14.1.1整式的乘法

教學(xué)目標(biāo)

①感受生活中累的運算的存在與價值.

②經(jīng)歷自主探索同底數(shù)基的乘法、帚的乘方和積的乘方等運算性質(zhì)的過程，能用代數(shù)式和文字正確

地表述這些性質(zhì)，并會運用它們熟練地進行計算.

③逐步形成獨立思考、主動探索的習(xí)慣.

④通過由特殊到一般的猜測與說理、驗證，培養(yǎng)學(xué)生一定的說理能力和歸納表達能力.

教學(xué)重點與難點

重點：曙的三個運算性質(zhì).

難點：塞的三個運算性質(zhì).

教學(xué)設(shè)計

創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課

問題：一種電子計算機每秒可以進行10吵次運算，它工作103s可以進行多少次運算?你能用學(xué)過的

知識解決嗎？

從實際問題的導(dǎo)入，讓學(xué)生自己動手試一試，主動探索，在自己的實踐中獲得知識.從而構(gòu)建新的

知識體系，同時因為關(guān)于底數(shù)、指數(shù)、幕等概念是在有理數(shù)的乘法中學(xué)習(xí)的，學(xué)生可能生疏或遺忘，在

新課講解之前利用這個實際問題進行復(fù)習(xí).

學(xué)生略作思考后得出，它工作103s可以進行的運算次數(shù)是10"X10：'.怎樣計算

根據(jù)乘方的意義可以知道：

10,2X103

=(1OX…X10)X(10X10X10^

104*10

=(10X…10)

13個10

=]015

探究新知L探一探根據(jù)乘方的意義填空：

(1)22X25=2(

(2)a4Xa3=a(?;

⑶(號)卬音)匕信廠

(4)5mX5n=5().

從引例到“探一探”，“猜一猜”，“說一說”是一個從特殊到一般，從具體到抽象，把幕的底數(shù)

與指數(shù)分兩步有層次地進行概括抽象的過程.在這一過程中，要注意留給學(xué)生探索與交流的空間，讓學(xué)

生在自己的實踐中獲得運算法那么.

學(xué)生獨立思考后答復(fù)，教師板演.

2.猜一猜

問：看看計算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)結(jié)果有什么規(guī)律嗎？

學(xué)生小組討論后交流結(jié)果：不管底數(shù)是什么數(shù)，只要底數(shù)相同，結(jié)果就是指數(shù)相加.

3.說一說

an

aXa(m)n是正整數(shù))？學(xué)生說出理由，教師板演共同得出結(jié)論：a"Xa三建"(m,n都是正整數(shù))

即同底數(shù)基相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

注意性質(zhì)中的m、n的取值范圍.

注：要求學(xué)生用語言表達這個性質(zhì)，即“同底數(shù)的幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加”，這對于學(xué)生提

高數(shù)學(xué)語言的表述能力是有益的.

4.想一想

amXanXap=?

5.做一做

例1教科書第96頁的例1(1)?(4)

(5)-a*?a'；

(6)(x+l)2?(x+1)3

同底數(shù)森的性質(zhì)很容易推廣到三個以上的同底數(shù)幕相乘.

在例1的課堂教學(xué)中教師要求學(xué)生說明底數(shù)是什么，指數(shù)是什么，引導(dǎo)學(xué)生觀察是不是同底數(shù)繇相

乘，再利用性質(zhì)進行計算.例1(5)中注意讓學(xué)生說清"-a"'的底數(shù)是“a”還是“-a”.性質(zhì)中的字母

可以是單項式也可以是多項式，如例1(6),把底數(shù)進一步擴充到式的范圍.

6.自主學(xué)習(xí)

根據(jù)乘方的意義及同底數(shù)哥的乘法，讓學(xué)生自主探究教科書第170頁探究問題.學(xué)生在獨立思考、

合作交流的根底上，得出靠的乘方運算性質(zhì)：(a”)"=a""(m,n都是正整數(shù))即基的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)

相乘.

7,做一做

例2教科書第96頁的例2(1)~(4)

(5)-(x3)1?x2

8.想一想

讓學(xué)生自主探究教科書第171頁的探究問題，并完成填空.嘗試分析運算過程中用到哪些運算律？

運算結(jié)果有什么規(guī)律？

學(xué)生自己歸納出積的乘方的運算性質(zhì)：(ab)"=a"b"(n為正整數(shù))即積的乘方，等于把積的每一個因式

分別乘方，再把所得的事相乘.

那么,(abc)"=?

注：和前兩個性質(zhì)的教學(xué)一樣，這個性質(zhì)也是先用具體指數(shù)為例說明積的乘方的意義和導(dǎo)出性質(zhì)的

每一步依據(jù)，從而歸納出一般指數(shù)情形的性質(zhì).這個性質(zhì)也很容易推廣到三個以上因式的乘方.

9.做一做

例3教科書第97頁的例的例?⑷；補充:(5)t-3(x+y)2]3

例4計算：x?(x2)3~2X4?x2

比一比

這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了三個運算性質(zhì)：“同底數(shù)累的乘法”、“幕的乘方”和“積的乘方”.組織學(xué)生

進行計時比賽，在規(guī)定時間內(nèi)完成教科書第各頁的練習(xí).

深入探究例5計算：⑴(-8產(chǎn)?(-0.125產(chǎn)⑵(-2嚴(yán)+2?(-2產(chǎn)(n為正整數(shù)).

在這三個性質(zhì)中的底數(shù)、指數(shù)中，指數(shù)注明為正整數(shù)，而底數(shù)可以是數(shù)、字母或式.把底數(shù)進一步

擴充到式的范圍.

議一議

下面的計算對不對?如果不對，應(yīng)當(dāng)怎樣改正.

(1)a3,a3=a6；(2)b',b-2b1；

(3)x5+xs=x10;(4)y7?y=ys；

(5)(a')"=a"；(6)aJ,a5=al3;

(7)(a2)：，?a,-a9；(8)(xy3)2=xy()；

(9)(-2X)3=-2X3

注：補充議一議與辨析題的目的是讓學(xué)生通過對這些判斷題的討論甚至爭論，加強對運算性質(zhì)的掌

握，同時也培養(yǎng)學(xué)生一定的批判性思維能力.

小結(jié)

組織學(xué)生討論和辨析三個運算性質(zhì).

課外穩(wěn)固

1.必做題：教科書第97頁習(xí)題第1、2題.

2.備選題：

（1）計算：（一9）3x（一

⑵計算：am-'-an+2+am+2-an-|+am-an+1

（3）：an,=7,bm=4,那么觸嚴(yán)=

（4）：3x+2y-3=0,那么27x.9>'=

第二課時14.1整式的乘法（2）

教學(xué)目標(biāo)：

①探索并了解單項式與單項式、單項式與多項式相乘的法那么，并運用它們進行運算.

②讓學(xué)生主動參與到探索過程中去，逐步形成獨立思考、主動探索的習(xí)慣，培養(yǎng)思維的批判性、嚴(yán)

密性和初步解決問題的愿望與能力.

教學(xué)重點與難點

重點：單項式與單項式、單項式與多項式相乘的法那么.

難點：單項式與多項式相乘去括號法那么的應(yīng)用.

教學(xué)設(shè)計

復(fù)習(xí)引新

1.知識回憶：

回憶幕的運算性質(zhì)：

am-an=am+n（rn,n都是正整數(shù)）

即同底數(shù)基相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

（am）ymn（m,n都是正整數(shù)）

即幕的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

（ab）n=anbn（n為正整數(shù)）

即積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的幕相乘.

2.練一練

口答：

賽的三個運算性質(zhì)是學(xué)習(xí)單項式與單項式、單項式與多項式乘法的根底，所以先組織學(xué)生對上述內(nèi)

容做復(fù)習(xí).

（a2）2=;

（-231=；

［（4）7=——；

（a3）2*a3=;

23?25=;

（聲4=----------;

創(chuàng)設(shè)情境引入新課

問題光的速度約為3X10-千米/秒，太陽光照射到地球上需要的時間大約是5X102秒，你知道地球

與太陽的距離約是多少千米嗎？

注：從實際的問題導(dǎo)入，讓學(xué)生自己動手試一試，主動探索，在自己的實踐中獲得知識，從而構(gòu)建

新的知識體系.

地球與太陽的距離約為（3X10$）X（5XIO?）千米.問題是（3義10）*（5X10，）等于多少呢?學(xué)生提出

運用乘法交換律和結(jié)合律可以解決：

(3X10s)X(5X102)=(3X5)X(IO5X102)=15XIO7

在此處再問學(xué)生更加標(biāo)準(zhǔn)的書寫是什么？應(yīng)該是地球與太陽的距離約為1.5X108千米.

請學(xué)生回憶，我們是如何解決問題的.

探究新知

1.問題：如果將上式中的數(shù)字改為字母，即ac5.bc?,你會算嗎？

學(xué)生獨立思考，小組交流.

注：從特殊到一般，從具體到抽象，在這一過程中，要注意留給學(xué)生探索與交流的空間，讓學(xué)生在

自己的實踐中獲得單項式與單項式相乘的運算法那么.

學(xué)生分析：跟剛剛的解決過程類似，可以將ad和be?分別看成a-1和b?c2,再利用乘法交換律

和結(jié)合律.

ac5-bc2

=(a-c5)-(b-c2)

=(a-b)-(c5-c2)

=abc5+2

=abc7

注：在教學(xué)過程中注意運用類比的方法來解決實際問題.

2.試一試：

類似地,請你試著計算：(l)2c25c2；(2)(-5a2b3)-(-4b2c)

ac5和be?,2c5和5c2,(-5a2b3)和(-4b?c)都是單項式，通過剛剛的嘗試，誰能告訴大家怎樣進行單項

式乘法？

注：先不給出單項式與單項式相乘的運算法那么，而是讓學(xué)生類比，自己動手試一試，再相互交流，

自己小結(jié)出如何進行單項式的乘法.要求學(xué)生用語言表達這個性質(zhì)，這對于學(xué)生提高數(shù)學(xué)語言的表述能

力是有益的.

學(xué)生小結(jié)：單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有

的字母，那么連同它的指數(shù)作為積的一個因式.

3.算一算例1教科書第145頁例4

在例題教學(xué)中應(yīng)該先讓學(xué)生觀察有哪些運算，如何利用運算性質(zhì)和法那么。分析后再動手做，同時

讓學(xué)生說一說每一步的依據(jù).提醒學(xué)生在單項式的運算中應(yīng)該先確定符號.

例2小民的步長為a米，他量得家里的臥室長15步，寬14步，這間臥室的面積有多少平方米？

注：將運算法那么應(yīng)用在實際問題中，提高學(xué)生解決實際問題的能力.

4.辯一辯教科書第145頁練習(xí)2

注：辯一辯的目的是讓學(xué)生通過對這些判斷題的討論甚至爭論，加強對運算法那么的掌握，同時也

培養(yǎng)學(xué)生一定的批判性思維能力.

深入探究

1.師生共同研究教科書第145頁的問題，對單項式與多項式相乘的方法能有感性認(rèn)識.

注：這個實際問題來源于學(xué)生的生活實際，所以在教學(xué)中通過師生共同探討，再結(jié)合分配律學(xué)生不

難得到結(jié)論.

2.試一試計算：2a2.(3a2-5b)(根據(jù)乘法分配律，不難算出結(jié)果吧!)

注：因為整式的運算是在數(shù)的運算的根底上開展起來的，所以在解決問題時讓學(xué)生類比數(shù)的運算律，

將單項式乘以多項式轉(zhuǎn)化為單項式的乘法，自己嘗試得出結(jié)論.

3.想一想

從上面解決的兩個問題中，誰能總結(jié)一下，怎樣將單項式和多項式相乘？

學(xué)生發(fā)言，互相補充后得出結(jié)論：

單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.

4.做一做

教科書第146頁例5(在學(xué)習(xí)過程中提醒學(xué)生注意符號問題，多項式的每一項都包括它前面的符號)

注：學(xué)生在計算過程中，容易出現(xiàn)符號問題，要特別提醒學(xué)生注意.

小結(jié)

課外穩(wěn)固

1.必做題：教科書104頁習(xí)題14.1第3、4、6題

2.備選題：

⑴假設(shè)(-5am+lb2nT)(2anbm)=-10a4b4,那么O1F的值為—

(2)計算：(a3b)2(a2b)3

(3)計算：(3a2b)2+(-2ab)(-4a3b)

(4)計算：

第三課時14.1整式的乘法(3)

教學(xué)目標(biāo)

①探索并了解多項式與多項式相乘的法那么，并運用它們進行運算.②讓學(xué)生主動參與到一些探索

過程中去，逐步形成獨立思考，主動探索的習(xí)慣，培養(yǎng)思維的批判性、嚴(yán)密性和初步解決問題的愿望和

能力.

教學(xué)重點與難點

重點：多項式與多項式相乘.

難點：多項式與多項式相乘.

教學(xué)設(shè)計

復(fù)習(xí)引新

1.前面這節(jié)課我們研究了單項式與單項式、單項式與多項式相乘的方法，請同學(xué)回憶方法.

2.練一練：教科書第147頁練習(xí)2

我們再來看一看第一節(jié)課懸而未決的問題：

為了擴大綠地面積，要把街心花園的一塊長a米，寬m米的長方形綠地增長b米，加寬n米(課件

展示街心花園實景，而后抽象成數(shù)學(xué)圖形，并用不同的色彩表示出原有局部

及其新增局部).提出問題：你能用幾種方法表示擴大后綠地的面積?不同的

表示方法之間有什么關(guān)系？

用不同的方法怎樣表示擴大后的綠地面積？用不同的方法得到的代數(shù)式

為什么是相等的呢？這個問題激起學(xué)生的求知欲望，引起學(xué)生對多項式乘法學(xué)習(xí)的興趣.

學(xué)生獨立思考后交換各自的解法：

方法一：這塊花園現(xiàn)在長(a+b)米，寬(m+n)米，因而面積為(a+b)(m+n)米

方法二：這塊花園現(xiàn)在是由四小塊組成，它們的面積分別為：

am米\an米'、bm米,、bn米'故這塊綠地的面積為(am+an+bm+bn)米

(a+b)(m+n)和(am+an+bm+bn)表示同一塊綠地的面積，所以有(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

注：借助幾何圖形的直觀，使學(xué)生從圖形中可以看到(a+b)(m+n)是一個長方形的面積，而這個長方

形又可以分割成四小塊，它們的面積和是am+an+bm+bn,因此，(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.讓學(xué)生對這

個結(jié)論有直觀感受.

探究新知

引導(dǎo)學(xué)生觀察等式的左邊(a+b)(m+n)是兩個多項式(a+b)與(m+n)相乘，我們從剛剛問題的解決過程

中發(fā)現(xiàn)了多項式與多項式相乘的方法.

進一步引導(dǎo)學(xué)生，如果我們把(m+n)看成一個整體，那么兩個多項式(a+b)與(m+n)相乘的問題就轉(zhuǎn)

化為單項式與多項式相乘，這是一個我們已經(jīng)解決的問題，請同學(xué)們試著做一做.

注：把(m+n)看成一個單項式，因?qū)W生過去接觸不多，可能不易理解.實際上，這是一個很重要的

思想和方法.學(xué)習(xí)一種新的知識、方法，通常的做法是把它歸結(jié)為的數(shù)學(xué)知識、方法，從而使學(xué)習(xí)能夠

進行.在此，如果學(xué)生真正理解了把(m+n)看成一個單項式，那么，兩次運用單項式與多項式相乘的法

那么，就得出多項式相乘的法那么了.

1.做一做(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bn

2.講一講

讓學(xué)生試著總結(jié)多項式與多項式相乘的法那么：

多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.

3.試一試

例1教科書第147頁例6

教學(xué)中要強調(diào)多項式與多項式相乘的根本法那么，提醒學(xué)生注意多項式的每一項都應(yīng)該帶上他前面

的正負(fù)號.多項式是單項式的和，每一項都包括前面的符號，在計算時一定要注意確定積中各項的符號.

例2先化簡，再求值：

(a-3b)2+(3a+b)2-(a+5b)2+(a-5b)2,其中a=-8,b=-6

4.練一練

教科書第148頁練習(xí)1

深入探索

1.試一試

例3計算：(x+2)(x-3)

注：讓學(xué)生通過“試一試”、“想一想”，結(jié)合直觀圖形，自己嘗試發(fā)現(xiàn)規(guī)律，激發(fā)學(xué)生對問題中

所蘊藏的一些數(shù)學(xué)規(guī)律進行探索的興趣.

2.想一想問：結(jié)果中的-6是怎樣得到的?學(xué)生口答.繼續(xù)完成教科書第177頁練習(xí)2

問：從剛剛解決問題的過程中你們有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

(1)學(xué)生交流各自的發(fā)現(xiàn).

(2)結(jié)合教科書第148頁練習(xí)第2題圖，直觀認(rèn)識規(guī)律，并完成此題.

3.練一練

(1)計算(口答):

①(x+2)(x+3)；②(x-1)(x+2)；

③(x+2)(x-2)；④(x-5)(x-6)；

⑤(x+5)(x+5)；@(x-5)(x-5)；

(2)口答：教科書104頁習(xí)題15.1第3題.

4.用一用

例4一塊長m米，寬n米的玻璃，長寬各裁掉a米后恰好能鋪蓋一張辦公桌臺面(玻璃與臺面一樣

大小)，問臺面面積是多少？

課外穩(wěn)固

1.必做題：教科書第104頁第6、7題.

2.備選題：

⑴計算:(x+2y-l)2

(2)x-2x=2,將下式化簡，再求值.

(X-1)2+(X+3)(X-3)+(X-3)(X-1)

(3)小明找來一張掛歷畫包數(shù)學(xué)課本.課本長a厘米，寬b厘米，厚c厘米，小明想將課本封面與

封底的每一邊都包進去m厘米.問小明應(yīng)該在掛歷畫上裁下多大面積的長方形？

14.2乘法公式

第四課時14.2.1平方差公式

教學(xué)目標(biāo)

①經(jīng)歷探索平方差公式的過程，進一步開展學(xué)生的符號感和推理能力、歸納能力.

②會推導(dǎo)平方差公式并掌握公式的結(jié)構(gòu)特征，能運用公式進行簡單的計算.

③了解平方差公式的幾何背景，體會數(shù)形結(jié)合的思想方法.

教學(xué)重點與難點

重點：平方差公式的推導(dǎo)及應(yīng)用.

難點：用公式的結(jié)構(gòu)特征判斷題目能否使用公式.

教學(xué)準(zhǔn)備

卡片及多媒體課件

教學(xué)設(shè)計

引入

同學(xué)們，前面我們剛剛學(xué)習(xí)了整式的乘法，知道了一般情形下兩個多項式相乘的法那么.今天我們

要繼續(xù)學(xué)習(xí)某些特殊情形下的多項式相乘.下面請同學(xué)們應(yīng)用你所學(xué)的知識，自己來探究下面的問題：

探究：計算以下多項式的積，你能發(fā)現(xiàn)它們的運算形式與結(jié)果有什么規(guī)律嗎？

⑴(x+l)(x-l)=

(2)(m+2)(m-2)=

(3)(2x+l)(2x-l)=

引導(dǎo)學(xué)生用自己的語言表達所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，允許學(xué)生之間互相補充，教師不急于概括.

注：平方差公式是多項式乘法運算中一個重要的公式，它的得出可以直接利用多項式與多項式相乘

的運算法那么，利用多項式乘法推導(dǎo)乘法公式是從一般到特殊的過程，對今后學(xué)習(xí)其他乘法公式的推導(dǎo)

有一定的指導(dǎo)意義，同時也可培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、概括等能力，因此在教學(xué)中，首先應(yīng)讓學(xué)生思考：

你能發(fā)現(xiàn)什么？讓學(xué)生經(jīng)歷觀察(每個算式和結(jié)果的特點)、比擬(不同算式之間的異同)、歸納(可能具有

的規(guī)律)、提出猜測的過程，學(xué)生在發(fā)現(xiàn)規(guī)律后，還應(yīng)通過符號運算對規(guī)律進行證明.

舉例

再舉幾個這樣的運算例子.

在：讓學(xué)生獨立思考，每人在組內(nèi)舉一個例子(可口述或書寫)，然后由其中一個小組的代表來匯報.

驗證

我們再來計算(a+b)(a-b)=

公式的推導(dǎo)既是對上述特例的概括，更是從特殊到一般的歸納證明，在此應(yīng)注意向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)的

思想方法：特例一歸納一猜測一驗證一用數(shù)學(xué)符號表示.

注：這里是對前邊進行的運算的討論，目的是讓學(xué)生通過觀察、歸納，鼓勵他們發(fā)現(xiàn)這個公式的一

些特點，如公式左右邊的結(jié)構(gòu)特征，為下一步運用公式進行簡單計算打下根底.

概括

平方差公式及其形式特征.

教師可以在前面的根底上繼續(xù)鼓勵學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個公式的一些特點：如公式左、右邊的結(jié)構(gòu)，并嘗試

說明這些特點的原因.

應(yīng)用

教科書第152頁例1運用平方差公式計算：

(1)(3x+2)(3x-2)

(2)(b+2a)(2a-b)

(3)(-x+2y)(-x-2y)

填表：

(a+b)(a-b)aba2—b2最后結(jié)果

(3x+2)(3x-2)2(3X)2-22

(b+2a)(2a-b)

(-x+2y)(-x-2y)

對本例的前面兩個小題可以采用學(xué)生獨立完成，然后搶答的形式完成；第三小題可采用小組討論的

形式，要求學(xué)生在給出表格所提示的解法之后，思考別的解法：提取后一個因式里的負(fù)號，將2y看作

“a”，將x看作“b”，然后運用平方差公式計算.

注：(1)正確理解公式中字母的廣泛含義，是正確運用這一公式的關(guān)鍵.設(shè)計本環(huán)節(jié)，旨在通過將

算式中的各項與公式里的a、b進行對照，進一步體會字母a、b的含義，加深對字母含義廣泛性的理解：

即它們既可以是數(shù)，也可以是含字母的整式.

(2)在具體計算時，當(dāng)有一個二項式兩項都負(fù)時，往往不易判明a、b,如第三小題，此時可以通過

小組合作交流，放手讓學(xué)生去思考、討論，有助于學(xué)生思維互補、有條理地思考和表達，更有助于學(xué)生

合作精神的培養(yǎng).

(3)例1第⑶小題引導(dǎo)學(xué)生多角度思考問題，可以加深對公式的理解.

教科書第108頁例2計算：

(1)102X98

(2)(y+2)(y-2)-(y-l)(y+5)

此處仍先讓學(xué)生獨立思考，然后自主發(fā)言，口述解題思路，允許他們算法的多樣化，然后通過比擬,

優(yōu)化算法，到達簡便計算的目的.

注：(1)運用平方差公式進行數(shù)的簡便運算的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)的形式特征，把相乘的兩數(shù)化成兩數(shù)和

與兩數(shù)差的乘積形式，教學(xué)時可讓學(xué)生自己尋找相乘兩數(shù)的形式特征.

(2)第二小題要引導(dǎo)學(xué)生注意到一般形式的整式乘法與特殊形式的整式乘法的區(qū)別與聯(lián)系，強調(diào)：

只有符合公式要求的乘法，才能運用公式簡化運算，其余的運算仍按整式乘法法那么進行.

穩(wěn)固

教科書第108頁練習(xí)1、2

練習(xí)1口答完成；練習(xí)2采用大組競賽的形式進行，其中(1)(4)由兩個大組完成，(2)(3)由另兩個

大組完成.

注：讓學(xué)生通過穩(wěn)固練習(xí)，達本錢節(jié)課的根本學(xué)習(xí)目標(biāo)，并通過豐富的活動形式，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，

培養(yǎng)競爭意識和集體榮譽感.

解釋

你能根據(jù)下面的兩個圖形解釋平方差公式嗎?

多媒體動畫演示圖形的變換過程，體會過程中不變的量，并能用代數(shù)恒等式表示.

注：(1)重視公式的幾何背景，可以幫助學(xué)生運用幾何直觀理解、解決有關(guān)代數(shù)問題.

(2)此處將教科書的圖15.3-1分解為兩個圖形，是考慮到學(xué)生數(shù)與形結(jié)合的思想方法掌握的不夠熟

練；利用兩個圖形可以清楚變化的過程，便于聯(lián)想代數(shù)的形式.

小結(jié)

談一談：你這一節(jié)課有什么收獲？

注：這兒采取的是先由每個學(xué)生自己小結(jié)，然后由小組代表作答，把教師做小結(jié)變成了課堂上人人

做小結(jié)，有助于學(xué)生概括能力、抽象能力、表達能力的提高.同時，由于人人都要做小結(jié)，促使學(xué)生注

意力集中，學(xué)習(xí)主動性加強.

作業(yè)

1.必做題：教科書第112頁習(xí)題14.2第1題

2.選做題：計算：

(l)x2+(y-x)(y+x)

(2)20082-2009X2007

(3)(-0.25x-2y)(-0.25x+2y)

(4)(a+—b)(a--b)-(3a~2b)(3a+2b)

22

第五課時14.2.2完全平方公式

教學(xué)目標(biāo)

①經(jīng)歷探索完全平方公式的過程，使學(xué)生感受從一般到特殊的研究方法，進一步開展符號感和推理

能力.

②會推導(dǎo)完全平方公式，能說出公式的結(jié)構(gòu)特征，并能運用公式進行簡單計算.

③了解公式的幾何背景，進一步培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題的能力.

教學(xué)重點與難點

重點：(a±b>=a2±2ab+b2的推導(dǎo)及應(yīng)用.

難點：公式的結(jié)構(gòu)特征及教科書P184例5.

教學(xué)準(zhǔn)備

投影儀；多媒體課件；小黑板，邊長為a、b的兩種正方形卡片每小組一張；長為a、寬為b的長方

形卡片每小組一張.

教學(xué)設(shè)計

引入

同學(xué)們，前一節(jié)課我們已經(jīng)探究了一種特殊形式的多項式乘法，學(xué)會了平方差公式的一些簡單應(yīng)

用.今天我們在這個根底上要繼續(xù)學(xué)習(xí)另一種特殊形式的多項式乘法.下面請同學(xué)們像上一節(jié)課一樣，

自己來探究下面的問題：

(1)完全平方公式也是多項式乘法運算中一個重要的公式，由于學(xué)生在前面已經(jīng)接觸過乘法公式推

導(dǎo)的思路和方法，所以在此引導(dǎo)他們再次自主推導(dǎo)即可.在推導(dǎo)公式的過程中，要重視學(xué)生對運算依據(jù)

的理解與表達，強調(diào)推理，培養(yǎng)他們的代數(shù)推理能力、用數(shù)學(xué)語言進行表達的能力.

探究

計算以下各式，你能發(fā)現(xiàn)它們的運算形式與結(jié)果有什么規(guī)律嗎？

(l)(p+l)2=(P+l)(P+l)=

⑵(m+2)2=

⑶(pT)2=(p-l)(p-l)=

⑷(m-2)2=

注：引導(dǎo)學(xué)生用自己的語言表達所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，允許學(xué)生之間互相補充，教師不急于概括.

(2)這里是對前邊進行的運算的討論，目的是讓學(xué)生通過觀察、歸納，鼓勵他們發(fā)現(xiàn)這個公式的一

些特點，如公式左右邊的特征，便于進一步應(yīng)用公式計算.

舉例：再舉幾個這樣的運算例子.讓學(xué)生獨立思考，每人在組內(nèi)舉一個例子(可口述或書寫)，然后

由其中一個小組的代表來匯報.

驗證

我們再來計算(a+6)2,(a-b)2.

公式的推導(dǎo)既是對上述特例的概括，更是從特殊到一般的歸納證明，在此應(yīng)注意向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)的

思想方法：特例一一歸納一一猜測一一驗證一一用數(shù)學(xué)符號表示.

概括

完全平方公式及其形式特征.

注：教師可以在前面的根底上繼續(xù)鼓勵學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個公式的一些特點：如公式左、右邊的結(jié)構(gòu)，并

嘗試說明產(chǎn)生這些特點的原因.

還可以引導(dǎo)學(xué)生將(a-b)2的結(jié)果用(a+b)2來解釋：(a-b)2={a+(-b)]2=a2+2a(-b)+(~b)2=a2-2ab+b?

(3)對公式(a-b)2=a2-2ab+b2的多角度解釋，是為了加深學(xué)生對公式中字母a、b的廣泛意義的理解，

并再次讓學(xué)生體會加、減法的互相轉(zhuǎn)化與統(tǒng)一

應(yīng)用教科書第154頁例3運用完全平方公式計算：(l)(4m+n)2(2)(y-1)2

2

引導(dǎo)學(xué)生用如下的填空形式完成例3：

解：(l)；(4m+n)2是_與_和的平方，

.,.(4/n+n)2=()2+2()?()+()2=;

111：t：

(a+6)2=a2+2?a?b+b2

(2)：(y-L尸是—與—和的平方，

2

)2-2()?()+(y=.

Ill111

(a-bY=a2—2?a?b+b2

注：可由學(xué)生口答完成，教師多媒體展示結(jié)果，提高課堂效率.

(1)正確理解公式中字母的廣泛含義，是正確運用這一公式的關(guān)鍵.設(shè)計本環(huán)節(jié)，旨在通過將算式

中的各項與公式里的a、b進行對照，進一步體會字母a、b的含義，加深對字母含義廣泛性的理解.

(2)在具體計算時，當(dāng)二項式的項不再是單獨的數(shù)或字母時，或者項是小數(shù)時，往往容易出現(xiàn)運算

錯誤，如例1第(1)小題，易錯解得(而尸=加；通過這樣的填空，可引起學(xué)生的思考、討論，有助于學(xué)

生辨析公式，熟悉公式的結(jié)構(gòu)特征，繼而正確進行運用.

教科教科書第154頁例4運用完全平方公式計算：(1)102"2)99?

此處可先讓學(xué)生獨立思考，然后自主發(fā)言，口述解題思路，可先不給出題目中“運用完全平方公式

計算”的要求，允許他們算法的多樣化，但要求明白每種算法的局限和優(yōu)越性.

注：運用完全平方公式進行數(shù)的簡便運算的目的是進一步穩(wěn)固完全平方公式，體會符號運算對解決

問題的作用，教學(xué)時可讓學(xué)生自己獨立解決此問題.

穩(wěn)固

教科書110頁練習(xí)1、2

練習(xí)1采用大組競賽的形式進行，其中(1)(3)由兩個大組完成，(2)(4)由另兩個大組完成；練習(xí)2

由學(xué)生獨立完成，投影儀顯示兩位學(xué)生的完成情況.

注：讓學(xué)生通過穩(wěn)固練習(xí)，達本錢節(jié)課的根本學(xué)習(xí)目標(biāo).利用投影儀可以提高課堂效率。

思考

(a+b)2與(-a-b)?相等嗎?(a-bp與(b-ap相等嗎?(a-b＞與a2-b2相等嗎?為什么？

組織學(xué)生進行討論，通過自主推導(dǎo)，互相合作交流，共同解決難題.

注：前兩對算式可通過引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)“互為相反數(shù)的兩個數(shù)的同次偶次森相等”得出結(jié)論，后面一

對算式由于前面學(xué)習(xí)的(ab)2=a2b2等公式的負(fù)遷移作用，學(xué)生常出現(xiàn)(a-b)2=a2-b2>(a+b)2=a2+b2等錯誤，

教學(xué)時有必要辨析.

拓展

教科書第155頁例5運用乘法公式計算：

(1)(x+2y-3)(x-2y+3)(2)(a+b+c)2

講解此例之前可先讓學(xué)生自學(xué)教科書第183頁的“添括號法那么”并完成教科書第184頁練習(xí)1.然

后給出例5的題目，讓學(xué)生思考該選擇哪個公式.第(1)小題的解決關(guān)鍵是要引導(dǎo)學(xué)生比擬兩個因式的

各項符號，分別找出符號相同及相反的項，學(xué)會運用整體思想，將其與公式中的字母a、b對照，其中

-2y+3=-(2y-3),故應(yīng)運用平方差公式.第(2)小題可將任意兩項之和看作一個整體，然后運用完全平方

公式.

注：在解此例的過程中，應(yīng)注意邊辨析各項的符號特征，邊對照兩個公式的結(jié)構(gòu)特征，教師應(yīng)完整

詳細(xì)地書寫解題過程，幫助學(xué)生理解這一公式的拓展應(yīng)用，突破難點.

(1)“添括號法那么”采用自學(xué)的方法得出，可培養(yǎng)學(xué)生一定的自學(xué)能力.

(2)有些整式相乘需要先作適當(dāng)變形，然后再用公式，在此可通過解題思路的分析，注意公式中字

母的廣泛意義，并滲透換元的思想.其中第二小題的結(jié)果特征明顯，可要求局部學(xué)有余力的學(xué)生與完全

平方公式聯(lián)系起來記憶，作為一個新的乘法公式.

小結(jié)

談一談：你對完全平方公式有了哪一些認(rèn)識?它與平方差公式有什么區(qū)別和聯(lián)系？

梳理知識，形成體系.

作業(yè)

1.必做題：教科書第112頁習(xí)題14.2第二大題的(1)、(3)、(4)、(5).

2.選做題：教科書第112頁習(xí)題14.2第二大題的(2)、(6).

14.3整式的除法

第六課時14.3.1同底數(shù)幕的除法

教學(xué)目標(biāo)

①經(jīng)歷探索同底數(shù)新的除法的運算性質(zhì)的過程，進一步體會幕的意義，開展推理能力和有條理的表

達能力.②了解同底數(shù)累的除法的運算性質(zhì)，能解決一些實際問題，提高應(yīng)用能力.③感受數(shù)學(xué)法那么、

公式的簡潔美與和諧美.

教學(xué)重點與難點

重點：同底數(shù)第的除法法那么.

難點：同底數(shù)幕的除法法那么一的推導(dǎo).

教學(xué)準(zhǔn)備

卡片及多媒體課件.

教學(xué)設(shè)計

情境引入

探究新知根據(jù)除法的意義填空，看看計算結(jié)果有什么規(guī)律？

(1)554-53=5(>；

(2)1074-105=10(>；

C3)fl6-ra3=a<

注：教師可以鼓勵學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)底數(shù)和指數(shù)發(fā)生的變化，并運用自己的語言進行描述.

同底數(shù)幕的除法法那么的推導(dǎo)，應(yīng)按從具體到一般的步豚進行.探究活動的安排，是使學(xué)生在引例

的根底上，繼續(xù)通過對具體的特例的計算，歸納出同底數(shù)森的除法運算性質(zhì)，并能運用乘除互逆的關(guān)系

加以說明，也可引導(dǎo)學(xué)生運用感的意義和分?jǐn)?shù)的約分對此加以說明.在這些活動過程中，學(xué)生的化歸、

符號演算等代數(shù)推理能力和有條理的表達能力得到進一步開展.

歸納法那么

一般地，我們有

a"+a"=ai(aWO,m,n都是正整數(shù)，并且m>n).即同底數(shù)事相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.

討論為什么這里規(guī)定a#0?

應(yīng)用新知

例1計算：

(l)xx4-x2；(2)a'4-a；⑶(ab)"+(ab)；(4)(x+y)=(x+y)".

對本例可以采用學(xué)生口述每一步計算的過程以及依據(jù)，同時教師板書的形式完成.口述和板書都應(yīng)

注意強調(diào)哥的意義，不停留于套用的層面，可再現(xiàn)法那么的推導(dǎo).計算過程的詳盡可使學(xué)生進一步體會

算理，并更深刻地理解法那么.

注：在熟悉公式根本應(yīng)用的同時，還要引導(dǎo)學(xué)生正確理解公式中字母的廣泛意義，進一步體會底數(shù)

a的含義，即它既可以是單獨的一個數(shù)，也可以是含有字母的整式，故在此補充了第(4)小題.

穩(wěn)固新知

①你問我答：自主編題，同桌互答

②教科書第160頁練習(xí)1及練習(xí)2的(1)、(3)、(4).采用“比一比，賽一賽”的形式進行.

注：抓住初中學(xué)生好勝的心理，調(diào)節(jié)課堂節(jié)奏.

33

再探新知分別根據(jù)除法的意義填空，你能得出什么結(jié)論?(1)32日2=();(2)10-10=()；

(3)am4-am=()(a#0).

規(guī)定：

a°=l(aWO).

即任何不等于0的數(shù)的0次基都等于1.法那么擴展：一般地，我們有

am+an=am-n(aro,m,n都是正整數(shù),并且mNn).

即同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.

注：使學(xué)生明確：零指數(shù)的出現(xiàn)是對原有正整數(shù)指數(shù)概念的擴展，它的意義：a°=1(a#0),并不是

由同底數(shù)源的除法得出的，而是為了使同底數(shù)寐的除法法那么在被除式的指數(shù)和除式的指數(shù)相等的情況

下也能適用所作出的規(guī)定.并使學(xué)生體會：數(shù)的概念往往是由于運算的需要而擴展，概念擴展的結(jié)果又

往往帶來運算法那么、性質(zhì)在更大范圍的適用，將法那么擴展后的形式寫出正是基于這個考慮.

解決問題1.教科書第160頁練習(xí)3

注：可由四位學(xué)生板演，盡可能把時機留給學(xué)習(xí)困難的學(xué)生.

(1)練習(xí)3的難度不大，由學(xué)習(xí)困難的學(xué)生來展示自己本節(jié)課的所學(xué)成果，可使他們獲得成就感，

樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.

(2)列舉實際問題中的例子，要求稍高，可以讓學(xué)生合作完成，教師可先示范擬題舉例.

2.請舉一個應(yīng)用同底數(shù)事除法解決實際問題的例子.

小結(jié)

使學(xué)生全面地了解自己的學(xué)習(xí)過程，感受自己的成長與進步，這有利于培養(yǎng)學(xué)生的自信心，也為教

師全面了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況、改良教學(xué)、實施因材施教提供了重要依據(jù).

布置作業(yè)

1.必做題：教科書第193頁習(xí)題15.4第一大題(1)、(2)、(3)；

2.選做題：教科書第193頁習(xí)題15.4第七大題

第七課時14.3.2整式的除法(1〕

教學(xué)目標(biāo)

①經(jīng)歷探索整式除法運算法那么的過程，會進行簡單的整式除法運算(只要求單項式除以單項式，

并且結(jié)果都是整式)，培養(yǎng)學(xué)生獨立思考、集體協(xié)作的能力.

②理解整式除法的算理，開展有條理的思考及表達能力.

教學(xué)重點與難點

重點：整式除法的運算法那么及其運用.

難點：整式除法的運算法那么的推導(dǎo)和理解，尤其是單項式除以單項式的運算法那么.

教學(xué)準(zhǔn)備

卡片及多媒體課件.

教學(xué)設(shè)計

情境引入

教科書第161頁問題：木星的質(zhì)量約為1.90X102”噸，地球的質(zhì)量約為5.98X1021噸，你知道木星

的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的多少倍嗎？

重點研究算式(1.90X10*+(5.98X10與怎樣進行計算，目的是給出下面兩個單項式相除的模型.

注：教科書從實際問題引入單項式的除法運算，學(xué)生在探索這個問題的過程中，將自然地體會到學(xué)

習(xí)單項式的除法運算的必要性，了解數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，同時再次經(jīng)歷感受較大數(shù)據(jù)的過程.

探究新知

⑴計算(1.90X1024)+(5.98X1021),說說你計算的根據(jù)是什么？

(2)你能利用(1)中的方法計算以下各式嗎？

8a'4-2a；6x3y-r3xy；12a3b2x34-3ab-.

(3)你能根據(jù)(2)說說單項式除以單項式的運算法那么嗎？

注：教師可以鼓勵學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)系數(shù)、同底數(shù)幕的底數(shù)和指數(shù)發(fā)生的變化，并運用自己的語言進行

描述.

單項式的除法法那么的推導(dǎo)，應(yīng)按從具體到一般的步驟進行.探究活動的安排，是使學(xué)生通過對具

體的特例的計算，歸納出單項式的除法運算性質(zhì)，并能運用乘除互逆的關(guān)系加以說明，也可類比分?jǐn)?shù)的

約分進行.在這些活動過程中，學(xué)生的化歸、符號演算等代數(shù)推理能力和有條理的表達能力得到進一步

開展.重視算理算法的滲透是新課標(biāo)所強調(diào)的.

歸納法那么

單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)嘉分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，那么連同

它的指數(shù)作為商的一個因式.

注：通過總結(jié)法那么，培養(yǎng)學(xué)生的概括能力，養(yǎng)成用數(shù)學(xué)語言表達自己想法的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣.

應(yīng)用新知

例2計算：

(l)28x'1y2-j-7x3y；

⑵-5abc+15ab

首先指明28x'y2與7x，y分別是被除式與除式，在這兒省去了括號.對本例可以采用學(xué)生口述，教師

板書的形式完成?？谑龊桶鍟紤?yīng)注意展示法那么的應(yīng)用，計算過程要詳盡，使學(xué)生盡快熟悉法那么.

注：單項式除以單項式，既要對系數(shù)進行運算，又要對相同字母進行指數(shù)運算，同時對只在一個單

項式里含有的幕要加以注意，這些對剛剛接觸整式除法的學(xué)生來講，難免會出現(xiàn)照看不全的情況，所以

更應(yīng)催促學(xué)生細(xì)心解答問題.

穩(wěn)固新知教科書第162頁練習(xí)1及練習(xí)2.

學(xué)生自己嘗試完成計算題，同桌交流.

注：在獨立解題和同伴的相互交流過程中讓學(xué)生自己去體會法那么、掌握法那么，印象更為深刻，

也有助于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣和主動參與學(xué)習(xí)的習(xí)慣.

作業(yè)

1.必做題：教科書第164頁習(xí)題15.3第1題；第2題.

2.選做題：教科書第164頁習(xí)題15.3第8題

第八課時14.3.2整式的除法〔3〕

教學(xué)目標(biāo)

①經(jīng)歷探索整式除法運算法那么的過程，會進行簡單的整式除法運算(只要求多項式除以單項式，

并且結(jié)果都是整式)，培養(yǎng)學(xué)生獨立思考、集體協(xié)作的能力.

②理解整式除法的算理，開展有條理的思考及表達能力.

教學(xué)重點與難點

重點：整式除法的運算法那么及其運用.

難點：整式除法的運算法那么的推導(dǎo)和理解，尤其是多項式除以單項式的運算法那么.

教學(xué)準(zhǔn)備

卡片及多媒體課件.

教學(xué)設(shè)計

222

再探新知計算以下各式：⑴(am+bm)+m；(2)(a+ab)4-a;(3)(4xy+2xy)-?2xy.①說說你是怎樣

計算的②還有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

在學(xué)生獨立解決問題之后，及時引導(dǎo)學(xué)生反思自己的思維過程，并對自己計算所得的結(jié)果進行觀察,

總結(jié)出計算的一般方法和結(jié)果的項數(shù)特征：商式與被除式的項數(shù)相同.

注：教科書提供了一些多項式除以單項式的題目，鼓勵學(xué)生利用已經(jīng)學(xué)習(xí)過的內(nèi)容獨立解決這些問

題.教學(xué)中仍應(yīng)提倡算法多樣化，讓學(xué)生說明每一步的理由，并鼓勵學(xué)生間的交流.學(xué)生可以類比數(shù)的

除法把除以單項式看成是乘以這個單項式的倒數(shù)，也可以利用逆運算進行考慮.

歸納法那么

多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加.

你能把這句話寫成公式的形式嗎？

注：這里重要的是學(xué)生能理解運算法那么及其探索過程，能夠運用自己的語言表達如何進行運算，

不必要求學(xué)生背誦法那么.用字母概括法那么是使算法一般化，可深化和開展對數(shù)的認(rèn)識.

解決問題

教科書第162頁例3計算

(1)(12a3-6a2+3a)+3a；

(2)(21x4y3-35x3y2+7x2y2)4-(-7x2y)；

(3)[(x+y)2-y(2x+y)-8x]4-2x

累的運算性質(zhì)是整式除法的關(guān)鍵，符號仍是運算中的重要問題.在此可由學(xué)生口答，要求學(xué)生說出

式子每步變形的依據(jù)，并要求學(xué)生養(yǎng)成檢驗的習(xí)慣，利用乘除互為逆運算，檢驗商式的正確性.

注：通過例題的剖析和解決，培養(yǎng)學(xué)生耐心細(xì)致、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維品質(zhì)，訓(xùn)練學(xué)生形成一定的計算

能力.

穩(wěn)固新知教科書第163頁練習(xí)利用投影儀反應(yīng)學(xué)生解題過程.

注：本課課堂容量較大，可利用多媒體提高效率.

小結(jié)

使學(xué)生全面地了解自己的學(xué)習(xí)過程，感受自己的成長與進步，這有利于培養(yǎng)學(xué)生的自信心，也為教

師全面了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況、改良教學(xué)、實施因材施教提供了重要依據(jù).

布置作業(yè)

1.必做題：教科書第193頁習(xí)題15.3第3題；第4題.

2.選做題：教科書第193頁習(xí)題15.3第6題

14.4因式分解

第九課時14.4因式分解(1)

教學(xué)目標(biāo)

①了解因式分解的意義，了解因式分解和整式的乘法是整式的兩種相反方向的變形.

②會確定多項式中各項的公因式，會用提取公因式法分解多項式的因式.

③會利用因式分解進行簡便計算.

④通過與質(zhì)因數(shù)分解的類比，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)中數(shù)與式的共同點，體驗數(shù)學(xué)的類比思想；通過對公

因式是多項式的因式分解的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)換元的意識.

教學(xué)重點與難點

重點：因式分解的概念.

難點：多項式中公因式確實定和當(dāng)公因式是多項式時的因式分解.

教學(xué)準(zhǔn)備

要求學(xué)生回憶整數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解的方法.

教學(xué)設(shè)計

問題討論(探究)引入

同學(xué)們，我們先來看下面2個問題：

1.630能被哪些數(shù)整除，說說你是怎樣想的？

2.當(dāng)a=101,b=99時，求a'-b'的值.

注：對于問題1我們必須對630進行質(zhì)因數(shù)分解，對于問題2,雖然可以直接把a=101,b=99代人進

行計算，但如果應(yīng)用平方差公式先把d-b?變形成(a+b)(a-b)的形式再代入進行計算，將會使計算過程

變得更加簡潔.

通過對上面2個問題解決方法和過程的討論，使學(xué)生感知到把一個數(shù)進行質(zhì)因數(shù)分解和把一個多項

式變?yōu)閹讉€整式的乘積是對數(shù)和式的一種恒等變形，能使演算簡便.

從質(zhì)因數(shù)的分解看，為了使運算更加簡便和準(zhǔn)確有時先把多項式進行變形再代入求值.這樣的兩個

題學(xué)生都容易接受.由此提出因式分解的概念，一方面突出了多項式因式分解本質(zhì)特征是一種式的恒等

變形，另一方面也說明了它可以與因數(shù)分解進行類比，從而對因式分解的概念和方法有一個整體的認(rèn)

識.也滲透著數(shù)學(xué)中的類比思想.

探究

教科書第166頁的探究題.

注：要在學(xué)生充分理解化成整式的積的形式的根底上進行探究，要注意突出寫成整式的積的形式的

具體含義，使學(xué)生聯(lián)想到可以運用整式的乘法來到達這個目的，為因式分解概念的建立埋下伏筆.

探究題使學(xué)生進一步認(rèn)識到多項式可以有不同形式的表示，而所謂因式分解就是把多項式化為積的

形式，分清它與整式乘法的關(guān)系對因式分解的概念的建立很有必要.

提出因式分解的概念.

注：利用書中的因式分解和整式乘法的關(guān)系圖，說明因式分解和整式乘法是對一個多項式的2種不

同的變形，并強調(diào)它們的特點.

練習(xí)

以下由左到右的變形，是否因式分解，為什么？

1.(x+2)(x-2)=x"-4

2.X2-4=(X+2)(X-2)

3.x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x

注：通過這個練習(xí)強化因式分解的概念.

因式分解方法研究

1.提公因式法

研究多項式：ma+mb+mc各項中每個因式的特點，提出公因式的概念.

注：公因式的概念是提公因式法的根底，必須予以重視.

讓學(xué)生體驗：ma+mb+mc=m(a+b+c)從左到右是怎樣得到的，你能對ax+2ay進行類似的變形嗎？

注：要說明公因式提出后，另一個因式是如何確定的.

例1把8a3b2+12ab%分解因式

分析：先要求學(xué)生思考這個問題的最后結(jié)果該是怎樣的，然后仿照課本進行分析，注意講清確定公

因式的具體步驟，從數(shù)、字母和字母的次數(shù)3個方面進行分析；解完后要分析公因式和另一個因式之間

的關(guān)系，并思考：如果提出公因式4ab,另一個因式是否還有公因式?從而把提公因式的“提”的具體含

意深刻化，這是提公因式法的正確性的重要保證.

注：例1是確定公因式和如何提公因式分解因式方法的具體化，所以教師要細(xì)致地講解，要讓學(xué)生

清楚地知道具體的方法和步驟.

練習(xí)

用提公因式法分解因式：1.3mx-6nx'2.4a"b+10ab-2ab"

注：通過練習(xí)熟練和穩(wěn)固提公因式法分解因式.

例2把2a(b+c)-3(b+c)因式分解分析：可引導(dǎo)學(xué)生對該多項式的每項因式的特點進行仔

注：例2中公因式可以是多項式，這一點對學(xué)生來說不是很容易接受，但卻很重要，這是對公因式

概念的深入理解.這里隱含著換元的思想，教師應(yīng)正確地講解.

細(xì)觀察從而發(fā)現(xiàn)把b+c看作一個“整體”時公因式就是b+c,再用提公因式法進行分解.

例3計算：0.84X12+12X0.6-0.44X12

注：讓學(xué)生觀察并分析怎樣計算更簡單.

例3是因式分解在計算中的應(yīng)用，學(xué)習(xí)例3使學(xué)生對因式分解的重要性有新的認(rèn)識.

比擬歸納說說例1例2和例3的公因式有什么不同？

注：通過比擬歸納使學(xué)生對公因式的概念有更深刻的認(rèn)識，所謂公因式通俗地說就是多項式中的各

項中共有的“東西”，這個“東西”應(yīng)從數(shù)、相同字母、相同字母的個數(shù)(即最低次數(shù))這幾個方面進行

考慮，這個“東西”有時還可以是一個多項式.

穩(wěn)固練習(xí)

1.做教科書第115頁的練習(xí).

建議：這是提公因式法的第1次練習(xí)，要求學(xué)生認(rèn)真思考并完成，然后詳細(xì)分析解答中的錯誤并認(rèn)

真改正.第1題中的第3小題的公因式如何確定要特別說明.

2.討論：怎樣檢查因式分解是否正確?提公因式后的另一個公因式的項數(shù)和原多項式的項數(shù)有什么

關(guān)系？

小結(jié)提高

1.舉一個例子說說什么是因式分解.

2.什么是多項式的公因式?確定公因式該從哪幾個方面進行考慮？

3.說說提公因式法的一般步驟.

(1.確定提取的公因式2.用公因式去除這個多項式，所得的商式作為另一個因式3.把多項式

寫成這兩個因式的積的形式)

對因式分解概念的理解是本課的重點，公因式確實定和提公因式的具體方法是本課的關(guān)鍵，所以對

知識的小結(jié)可從這些問題入手帶著學(xué)生做深入的思考.

布置作業(yè)

1.必做題：教科書第119頁習(xí)題14.4第1題。

2.選做題：教科書第119頁第7題；

第十課時14.4因式分解(2)

教學(xué)目標(biāo)

①在掌握了解因式分解意義的根底上，會運用平方差公式和完全平方公式比照擬簡單的多項式進行

因式分解.

②在運用公式法進行因式分解的同時培養(yǎng)學(xué)生的觀察、比擬和判斷能力以及運算能力，用不同的方

法分解因式可以提高綜合運用知識的能力.

③進一步體驗“整體”的思想，培養(yǎng)“換元”的意識.

教學(xué)重點與難點

重點：運用平方差公式法進行因式分解.

難點：觀察多項式的特點，判斷是否符合公式的特征和綜合運用分解的方法，并完整地進行分解.

教學(xué)準(zhǔn)備

要求學(xué)生對平方差公式準(zhǔn)確理解.

教學(xué)設(shè)計

問題：1.什么叫因式分解？

問題1使學(xué)生回憶因式分解的概念.

注：對于問題1要強調(diào)因式分解是對多項式進行的一種變形，可引導(dǎo)比擬它與整式乘法的關(guān)系.

2.你能將多項式X2-4與多項式y(tǒng)2-25分解因式嗎?這兩個多項式有什么共同的特點？

問題2使學(xué)生感知到運用平方差公式可以把多項式進行因式分解.

注：對于問題2要求學(xué)生先進行思考，教師可視情況作適當(dāng)?shù)奶崾?，在此根底上討論這兩個多項式

有什么共同的特點.

特點：這兩個多項式都可以寫成兩個數(shù)的平方差的形式，對于這種形式的多項式，可以利用平方差

公式來分解因式.

即：(a+b)(a-bhaM?反過來就是：

a2-b2=(a+b)(a-b)

注：要求學(xué)生具體說說這個公式的意義.教師用語句清楚地進行表述.

利用平方差公式分解因式要注意更多地去分析公式的特征：是兩個“東西”的平方差，這里的“東

西”可以是具體的數(shù)、單項式或多項式，所以在分析時可應(yīng)用形式化的符號：如()、△、口以防止出

現(xiàn)類似4x?-9=(4x+3)(4x-3)樣的錯誤.

9

例3分解因式:(1)4X2-9;(2)—x-0.Oly2;(3)(x+p)c(x+q)2

49

分析：注意引導(dǎo)學(xué)生觀察這3個多項式的項數(shù)，每個項可以看成是什么“東西”的平方，使之與平

方差公式進行對照，確認(rèn)公式中的字母在每個題目中對應(yīng)的數(shù)或式后，再用平方差公式進行因式分解.

注：能否用平方差公式進行因式分解，取決于這個多項式是否符合平方差公式的特征，即兩個數(shù)的

平方差，所以要強調(diào)多項式是否可化為()-(尸的形式.括號里的“東西”是一個整體，它可以

是具體的數(shù)或單項式或多項式，如(3)題中應(yīng)是多項式了.

平方差公式能否正確應(yīng)用直接關(guān)系到下面的完全平方公式的學(xué)習(xí)，所以在分析時一定要到位，要抓

住形式的特點，要讓學(xué)生說說他們是怎樣應(yīng)用公式的.

因式分解要進行到不能分解為止和分解方法的綜合性，這是教學(xué)的難點，例題不要太難，重要的是

使學(xué)生取得共識.

例4分解因式

(1)x4-ys(2)a3b-ab

分析：(1)先把它寫成平方差的形式，再分解因式，注意它的第2次分解.

(2)現(xiàn)在不具備平方差的特征，引導(dǎo)繼續(xù)觀察特點，發(fā)現(xiàn)有公因式ab,應(yīng)先提公因式，再進一步分

解.

學(xué)生交流體會：因式分解要進行到不能再分解為止，提公因式法和應(yīng)用公式法的綜合應(yīng)用.

注：練習(xí)題要培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和審題習(xí)慣.

穩(wěn)固練習(xí)

做教科書第117頁的練習(xí).

第1題是4個小題的題組，對學(xué)生的觀察能力和判斷能力是一次很好的鍛煉，要求學(xué)生講出能否用

公式的道理.

第2題是用提公因式法和應(yīng)用平方差公式法進行因式分解的綜合應(yīng)用，要求學(xué)生養(yǎng)成先觀察多項式

的特點的習(xí)慣.

注：注意要將因式分解進行到不能再分解為止.

小結(jié)

1.舉一個例子說說應(yīng)用平方差公式分解因式的多項式應(yīng)具有怎樣的特征.

2.用平方差方公式分解因式類似用平方差公式分解因式，所以學(xué)生易于接受.教學(xué)方法以學(xué)生自

主探究為主，教師適當(dāng)引導(dǎo)和指導(dǎo)的方式進行，這樣有利于學(xué)生自己獲取知識能力的提高.

布置作業(yè)

1.必做題：教科書第119頁習(xí)題15.4第2、3題；

2.選做題：教科書第119頁第8題；

第十一課時14.4因式分解(3)

教學(xué)目標(biāo)

①在掌握了解因式分解意義的根底上，會運用平方差公式和完全平方公式比照擬簡單的多項式進行

因式分解.

②在運用公式法進行因式分解的同時培養(yǎng)學(xué)生的觀察、比擬和判斷能力以及運算能力，用不同的方

法