n階行列式的性質(zhì)

性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式的值相等，即D=DT。證明：記D=|aij|，D

T=|bij|，且bij=aji

，D

T的一般項(xiàng)為第二節(jié)n階行列式的性質(zhì)

將行列式D的行與列互換后得到的行列式稱為D的轉(zhuǎn)置行列式，記為DT或D

。行列式的轉(zhuǎn)置：這也是D

的一般項(xiàng)，所以D=DT。結(jié)論：行列式的行具有什么性質(zhì)，列也具有同樣的性質(zhì)下頁(yè)

性質(zhì)2

互換行列式的兩行(列)，行列式的值變號(hào)。證明：記D=|aij|，交換D的第s行與第t(s<t)行得到的行列式為D1=|bij|，那么bsj=atj、btj=asj(j=1,2,,n)。D1的一般項(xiàng)為它與D的一般項(xiàng)相差一個(gè)負(fù)號(hào)，所以D1=-D。，下頁(yè)推論如果行列式中有兩行(列)的對(duì)應(yīng)元素相同，那么此行列式的值為零。

性質(zhì)2

互換行列式的兩行(列)，行列式的值變號(hào)。

這是因?yàn)?，將行列式D中具有相同元素的兩行互換后所得的行列式仍為D，但由性質(zhì)2，D=-D，所以D=0。12-72-144406461838如=0推論如果行列式中有兩行(列)的對(duì)應(yīng)元素相同，那么此行列式的值為零。

性質(zhì)2

互換行列式的兩行(列)，行列式的值變號(hào)。

性質(zhì)3

用數(shù)k乘以行列式的某一行(列)，等于用數(shù)k乘以此行列式。即a11…ka31…an1

a12…ka32…an2

a1n…ka3n…ann

……………

這是因?yàn)?，?k。a11…a31…an1

a12…a32…an2

a1n…a3n…ann

……………下頁(yè)推論2如果行列式有兩行(列)的對(duì)應(yīng)元素成比例，那么此行列式的值為零。推論1如果行列式中某一行(列)的所有元素有公因子，那么公因子可以提到行列式符號(hào)的外面。推論如果行列式中有兩行(列)的對(duì)應(yīng)元素相同，那么此行列式的值為零。

性質(zhì)2

互換行列式的兩行(列)，行列式的值變號(hào)。

性質(zhì)3

用數(shù)k乘以行列式的某一行(列)，等于用數(shù)k乘以此行列式。下頁(yè)

例1．計(jì)算行列式

解：因?yàn)榈谝涣信c第二列對(duì)應(yīng)元素成比例，所以=0。

反對(duì)稱行列式：a

ij=-a

ji(i

j)，a

ii=0(i=j)。

反對(duì)稱行列式的特點(diǎn)是：0-a12-a13…-a1n

a120-a23…-a2n

a13a230…-a3n

a1na2na3n…0

……………

。下頁(yè)

解：設(shè)

例2．證明奇數(shù)階反對(duì)稱行列式的值為零。0-a12-a13…-a1n

a120-a23…-a2n

a13a230…-a3n

a1na2na3n…0

……………

，D=那么0a12a13…a1n

-a120a23…a2n

-a13-a230…a3n

-a1n-a2n-a3n…0

……………

=(-1)nDTD=(-1)n當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有D=-D，=(-1)n

D，所以D=0。(將D的每一行提出一個(gè)-1)(DT=

D)下頁(yè)

例3．設(shè)a11a21a31a12a22a32a13a23a33=1，6a11-3a21-3a31-2a12a22a32-10a135a235a33求。6a11-3a21-3a31-2a12a22a32-10a135a235a33

解：-3a11-3a21-3a31a12a22a325a135a235a33-2a11a21a31a12a22a32a13a23a33-2

(-3)

5=30。=-2

(-3)

5

1下頁(yè)(-2)①5③(-3)①性質(zhì)4假設(shè)行列式中的某一行(列)的元素都是兩數(shù)之和，那么此行列式可以寫成兩個(gè)行列式之和：a11…ai1+bi1…an1a12…ai2+bi2…an2a1n…ain+bin…ann……………a11…ai1…an1

a12…ai2…an2

a1n…ain…ann

……………

=+a11…bi1…an1

a12…bi2…an2

a1n…bin…ann

……………

這是因?yàn)椋马?yè)推論：如果將行列式某一行〔列〕的每一個(gè)元素都寫成m個(gè)數(shù)〔m為大于2的整數(shù)〕的和，那么此行列式可以寫成m個(gè)行列式的和下頁(yè)練習(xí)．設(shè)a11a21a31a12a22a32a13a23a33=1，下頁(yè)那么＝＿＿＿＿＿＿-12

性質(zhì)5

將行列式的某一行(列)的所有元素同乘以數(shù)k后加到另一行(列)對(duì)應(yīng)位置的元素上，行列式的值不變。a11…ai1…an1

a12…ai2…an2

a1n…ain…ann

……………

a11…ai1+kaj1…an1a12…ai2+kaj2…an2a1n…ain+kajn…ann……………=。下頁(yè)a11…aj1…an1a12…aj2…an2a1n…ajn…ann……………+k。a11…ai1…an1

a12…ai2…an2

a1n…ain…ann

……………

右邊=即

這是因?yàn)槔从?jì)算以下行列式〔１〕解＝０應(yīng)用舉例〔２〕解①+１×②＝０例５證明結(jié)束證明16例6計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．化三角形法17解00-10-2ccccccccc0204-10-21-530022-2ccc1801-1219c0

例7．0-1-122110-12-101-1020-1-122110-12-101-102-00-2

2

00-24-0-1-121-102下頁(yè)(①,②)031-4

01-120-1-121-102-③+①1④+①(-2)③+②

1④+②

300

0-2

00-24-0-1-121-102=-1

(-1)

(-2)

(-2)=4。④+③(-1)21例8

計(jì)算階行列式解將第列都加到第一列得2223例9設(shè)

證明24證明對(duì)作運(yùn)算，把化為下三角形行列式設(shè)為對(duì)作運(yùn)算，把化為下三角形行列式設(shè)為