廣東2024年高考數學模擬試卷（含答案）

1.已知集合4={-1,0,1,2},3={%|卜—1|>1},則Ac5=（）

A.{0}B,{-1}C.{-1,0,1}D.{-1,0,1,2}

2.（3+2i）（2-2i）=（）

A.-10+2iB.-10-2iC.10+2iD.10-2i

3.已知/（2"）=x,則/（3）=（）

A.8B.9C.log23D.log32

4.國家統(tǒng)計局發(fā)布的2018年至2022年我國居民消費水平情況如圖所示，則下列說法正確的是（）

A.2018年至2022年我國居民消費水平逐年提高

B.2018年至2022年我國城鎮(zhèn)居民消費水平逐年提高

C.2018年至2022年我國居民消費水平數據的60%分位數為27504元

D.2022年我國城鎮(zhèn)人口數比農村人口數的1.5倍還要多

5.已知sin]a-巴|+cos|a—烏|=sina,則tan|a-'|=（）

I4；I4；I4；

A.OB.lC.-lD.—

2

6.某班級舉行“變廢為寶”手工活動，某學生用扇形紙殼裁成扇環(huán)（如圖1）后，制成了簡易筆筒（如圖2）的

側面，在它的軌截面ABCD中，AB=AD=10cm,CD=15cm,則原扇形紙殼中扇形的圓心角為（）

71717171

A.—B.-C.一D.—

3246

7.過原點O的直線/:y=近與圓V:x2_6x+y2—6y+16=0交于兩點，M|(M|=|AB|,則左=

)

1「

A.lB.2C.-D.72

2

8.已知函數/(x)=sin(ox+0)(o>O),若任意0eR,/(x)在上有零點，則。的取值范圍為

()

A.(0,+oo)B.(l,+e)C.(2,+oo)D.(3,+S)

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

22

9.已知雙曲線C：j—2r=1(。〉0力〉0)的左、右焦點分別為耳，心為坐標原點，直線y=b與雙曲線C

ab

的漸近線交于點A8(A在第二象限，B在第一象限)，下列結論正確的是()

\.BFXLBF,

B.BF2//AO

C.若的面積為2,則雙曲線C的焦距的最小值為4

D.若OA5的面積為2,則雙曲線C的焦距的最小值為8

10.如圖，三角形數陣由一個等差數列2,5,8,11,14,一排列而成，按照此規(guī)律，下列結論正確的是()

2

58

11!417

20232629

A.數陣中前7行所有數的和為1190

B.數陣中第8行從左至右的第4個數是101

C.數陣中第10行的第1個數是137

D.數陣中第10行從左至右的第4個數是146

lL已知定義在R上的函數/(x)滿足/(磯/(x)-/(x-y)]=/3),當xe(—8,0)D(0,+8),時，

/(x)w0.下列結論正確的是()

A?佃三l

C"(x)是奇函數D.〃x)在R上單調遞增

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知拋物線C：V=2內(°〉0)的焦點為尸，點在拋物線。上，且忸同=3,則夕=

13.甲、乙兩位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計贏2局者勝，分出勝負即停止比賽.已知甲每局贏的

3

概率為不，每局比賽的結果相互獨立.本次比賽到第3局才分出勝負的概率為,本次比賽甲獲勝的

概率為.

14.如圖，將正四棱柱ABC。-44GA斜立在平面a上，頂點G在平面1內，人如，平面

a,A4=2A3=6.點p在平面。內，且Pg=.若將該正四棱柱繞AC1旋轉，尸。的最大值為

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)

已知正項等比數列｛4｝滿足%+。2=6,。1%

(1)求｛4｝的通項公式；

(2)記｛4｝的前〃項中最大值為最小值為，%(規(guī)定：”1=嗎=q)，令b,,=\",求數列

也｝的前幾項和S”.

16.(15分)

將3個數字1,2,3隨機填入如下99個空格中，每個空格中最多填一個數字，且填入的3個數字從左到右依

次變大.

第1個空格第2個空格第3個空格第99個空格

(1)求數字2填在第2個空格中的概率;

(2)記數字2填在第尤個空格中的概率為P(x),求P(x)的最大值.

17.(15分)

如圖，在四棱錐尸―ABCD中，四邊形ABCD是菱形，PALAC,BDLPC,PA=AB.

(1)證明：平面ABCD

(2)若PC=4PE,/ABC=60，求二面角A—5D—石的余弦值.

18.(17分)

221

已知橢圓C的方程為工+與=1(?！?〉0),右焦點為歹(1,0),且離心率為一

ab2

(1)求橢圓。的方程；

(2)過點廠的直線/與橢圓C交于兩點，證明，圓+/=生恒與以弦A3為直徑的圓相切.

I4；716

19.(17分)

已知函數/(%)=yj2x-a.

（1）若曲線y=/（x）在點（a,/（a））處的切線過點（4,2）,求。的值;

（2）若/（x）,,ae"T恒成立，求a的取值范圍.

1.B=（-oo,0）u（2,+8）,74cB={-1}.

2.D（3+2i）（2-2i）=6-6i+4i-4i2=10-2i.

3.C令2*=3，可得x=log23,則〃3）=log23.

4.D2019年的居民消費水平比2020年的居民消費水平高，A錯誤.2019年的城鎮(zhèn)居民消費水平比2020年的

城鎮(zhèn)居民消費水平高，B錯誤.2018年至2022年我國居民消費水平數據從小到大排序為

25245,27439,27504,31013,31718,5x60%=3,2018年至2022年我國居民消費水平數據的60%分位數為

27504+31013

=29258.5元，C錯誤.設我國農村人口數為了,城鎮(zhèn)人口數為》，則

2

19530X+38289yy121883

31718=---------------------化簡得)=---------->-,所以2022年我國城鎮(zhèn)人口數比農村人口數的1.5倍

x+yx65712

還要多，。正確.

5.C因為sin[a-1+cosa--=V2sin(z,所以0sina=sina，則sine=0,即。=防1,左￡2,

I4

所以tan((X——1=tan(kit——1=-1.

6.B延長交于點。，設圓臺上、下個底面的閃心分別為。2，01?連接?！鉯，

所以A器，

設03=X,OTB=r,OxC=R.因為,OOXC,

271r7i

則x=20cm.設所求圓心角為貝!1%。=2兀/，所以。=---.

%2

7.A圓M:x2_6x+V—6y+16=0,即圓M:（x—3y+（y—3下=2,圓心"（3,3）到直線/的距離為

的中點為C.因為|Q4|=|AB|,所以|OC|=3|AC|.因為|0叫=J32+32=3拒,所以

|OC|=Y|OM|2=Jig",又因為"|=，2-屋,所以加_屋=3,2々2,解得d=0,所以

直線/經過圓心4（3,3）,所以左=0=1.

.（兀G、

8.C令t=cox+cp,由題意可得sin%=0在［尹,-+。J上有解.

因為sin/=0在句內有解的最短區(qū)間長度為萬一。=兀.所以號+夕—夕＞兀，解得2.

9.AC|。口=0=|。制=|。6|,點8在以0為圓心，|。耳|為半徑的圓上，所以3月，5月，A正確.直線

bbbb

8工的斜率為------，直線AO的斜率為-一,------與-一不一定相等，所以直線5居與直線AO不一定

c-aac-aa

平行，8錯誤.「（MB的面積為g-2a-b=ab=2,雙曲線C的焦距為2c=2doi+/..2j2aZ?=2a=4，

當且僅當a=b=0時，等號成立，所以雙曲線C的焦距的最小值為4,C正確，D錯誤.

10.ACD設等差數列2,5,8,11,14,的通項公式為〃=3〃—1.數陣中前7行共1+2+3++7=28個數，

28x27x3

數陣中前7行所有數的和為2x28+-------------=1190,A正確.

2

令優(yōu)=3〃-1=101,解得〃=34,前7行共28個數，第8行有8個數，所以101是數陣中第8行從左至右

的第6個數，8錯誤.記每一行的第1個數組成數列{4},則

q=2,%—q=3,%一出=6=3義2,%一%=9=3x3,,an—an_x=3x,累加得

3〃(〃一11+4

=3X(1+2+3++?-1)=—-所以4=￡_2——嗎0=137,C正確.數陣中第10行

從左至右的第4個數是137+(4—1)x3=146,。正確.

11.ACD令x=y=0,可得/(0)=0.

令x=y=l，可得"(1)]2=/■⑴.因為當x>0時，/(x)wo,所以〃1)=1.

令X=y,可得"(%)『=/(尤2)..o.

因為一..0,所以當x..O時，/(x)..0.

又因為當x>0時，/(%)w0,所以當x>0時，/(%)>0.

令y=l,可得/(x)[/(x)—/(x—l)]=/(x),①

所以/(x)_/(xT)=L/(x+l)_/(x)=l,兩式相加可得〃x+l)_/(xT)=2.

令y=-1,可得―=.②

①-②可得/(x)"(x+l)—/(x—l)]=/(x)—/(f),化簡可得/("=—/(—力，所以“X)是奇函

數，C正確.

由/(x)—/(xT)=l,可得

/(2)=/(1)+1=2,/(3)=/(2)+1=3,/(4)=/(3)+1=4,.,/(10)=10.B錯誤.

』=L]

由匕不小，L可得工]解得咱卜打正確.

/(石(七一々))

令工=%，,=王_々，可得/

〃不)■

令0<》2<占，則石一X2>°，%(七一馬)>0

因為當x>0時，/(%)>0,所以/(%)>C),/(%(%-%))>0，

所以7?(石)―/02)=；X2))>0,

即/(%)>/(%2),

所以/(x)在(0,+“)上單調遞增.

因為/（X）為奇函數，所以/（九）在R上單調遞增，。正確.

12.4|PF|=^+^=3,解得夕=4.

1142

12Q1

13.—；—（本題第一空2分，第二空3分）到第3局才分出勝負，則前兩局甲、乙各贏一局，其概率

25125

3212

為C；X—X—

5525

若甲獲勝，分2種情況：

339

①甲連贏2局，其概率為一x—二—,

5525

32336

②前兩局甲、乙各贏一局，第三局甲贏，其概率為C；x三x1x1二在白

JJJ-L乙J

故甲獲勝的概率為9二+衛(wèi)3681

25125125

14.751過點C作CELAG，垂足為E，連接AC.易得CE〃平面&,

所以點C到平面戊的距離為GE.AC=3j5,A￡=

7AC2+CQ2=3瓜CE==2?C[E=

AC1

[cc；—"2=2屈.過點C作CC'平面。,垂足為C（圖略）.當C',c，p三點共線，且

時，取得最大值,最大值為22后.

C'P=c'c+c7PCy/c.E+（CC1+C1P）=QCE+（CE+GP）2=

（、cii+chici—6,

15廨：⑴設｛%｝的公比為心則「23

必qq=c^q,

解得4=9=2或4=一3（舍去）.

所以｛4｝的通項公式為%=2".

(2)因為｛4｝是遞增數列，所以此=2",？=2,

1-7"

S=----n=2n+n-l.

n"1-2

C11

16.解：(1)數字2填在第2個空格中的概率為詈=

J1617

(2)由題意可得2麴k98,且xeN+.

*兀)=:("])(券一力

C99C99

49249

當x=50時，P(x)取得最大值，最大值為不7='而.

^99D工

17.(1)證明：記

因為四邊形ABCD是菱形，所以AC.

因為PCu平面PAC,ACu平面PAC.且ACcPC=C,

所以平面PAC.

因為Q4u平面PAC，所以

因為巳4,4。,47(=平面，48。。,或><=平面48。，且

ACr>BD=O,所以R4J_平面ABCD.

(2)解：以。為坐標原點，分別以0C,。。的方向為x,y軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.

設A5=4，則網0,—2萬0),D(0,2后0).E(―1,0,3),BE=(-1,2^,3),50=(0,473,0).

設平面BDE的法向量為m=(x,y,z),

m-BD-46y=0.

則<令尤=3,得加=(3,。,1).

m,BE——x+26丁+32=0,

平面ABD的一個法向量為n=(0,0,1).

Tio

卜。S("用=記=蘇

lo-

V10

易得二面角A—血一石為銳角，故二面角A—8D—石的余弦值為

To-

cI

18.(1)解：由題意得橢圓。的半焦距。=1,且￡=一二一，所以々=2.

a2

22

又因為。2="—02=3,所以橢圓c的方程為土+2L==i.

43

(2)證明：當直線/的斜率為。時，直線/的方程為x=0

此時A3為橢圓C的長軸，以弦AB為直徑的圓的方程為x2+y2=4,該圓的半徑為2.

2os553

+>2=￡的半徑為一，兩圓的圓心距為2——=-.

H16444

滿足圓(x—土)+V=II恒與以弦A5為直徑的圓相切.

當直線/的斜率不為。時，設直線/的方程為x="+1,,%),5(%,%)，的中點為"(%，%)?

x=ty+l,

聯立（好y2_得（3/+4）y2+6?_9=0,

—+——1,

6/9

所以X+%=-E，x%=――，

y+y23t.4

°23/+4°°3產+4

________________12（/2+1]

\AB\=4T+e4乂%=3>+4

記圓（x—力+）/=得的圓心為

2

1....6仔+i)%2+45(3?+4)5

1111

23/+44”+4)