2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義直線與圓

解析幾何

rs也網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建

Y構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)形成體系A(chǔ)

§冰iu8遍有?-0]

離心率(~|定義法]、

構(gòu)定美VaJ?.c

的齊次方弗

解析幾何南問H

求力錦.研H牘

每個(gè)字好幾何義

向心率,齊次式

焦點(diǎn)弦,川定義

*心沏近美系記

iinatAMtts

出■何關(guān)

MTJK但幽皇」自線on的

代教兒棚宜

依氏公式一:角形J'-.II-.W\"H

切線力程代切點(diǎn)

「切疑仙叫

1s(線相率要注啟

人初設(shè).小心求

陶得線,右達(dá)科

中點(diǎn)就JH點(diǎn)差

求救長，公式選

第一講直線與圓

rs業(yè)考點(diǎn)聚焦

-＜把1■考點(diǎn)?明確方向*-[1]

高考考點(diǎn)考點(diǎn)解讀

1.求直線的傾斜角、斜率及直線方程

直線的方程

2.根據(jù)兩直線平行或垂直求參數(shù)的值

1.圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用

圓的方程

2.求圓的方程

1.利用位置關(guān)系解決參數(shù)問題

直線與圓的位置關(guān)系

2.利用位置關(guān)系解決軌跡等綜合問題

備考策略

本部分內(nèi)容在備考時(shí)應(yīng)注意以下幾個(gè)方面:

⑴切實(shí)掌握直線的傾斜角、斜率的概念，兩直線平行、垂直的位置關(guān)系.

(2)弄清直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式方程的特點(diǎn)及相關(guān)量的幾何意義.

(3)掌握求圓的方程的方法，并會(huì)判定直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，會(huì)利用位置關(guān)系

解決綜合問題.

預(yù)測2020年命題熱點(diǎn)為：

(1)根據(jù)兩直線的位置關(guān)系求參數(shù)的值.

(2)根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求動(dòng)點(diǎn)的軌跡.

知識11號〈知識整合②

z知識整合之

nishizhenghe廠

1.直線的有關(guān)問題

(1)直線的斜率公式

①已知直線的傾斜角為a(a#90。)，則直線的斜率為氏=tana.

②已知直線過點(diǎn)AQ[,匕)，B(X2,為必刊)，則直線的斜率為大=%三，%乃).

(2)三種距離公式

①兩點(diǎn)間的距離:若?(%],.),B(X2,y2),

則於8=\/(%—々)2+優(yōu)三了.

②點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn)尸(%,%)到直線Ax+fiy+C=0的距離/=弋上?"

③兩平行線的距離：若直線12的方程分別為*Ax+By+C^O,/,：Ax+By+C2

=0,則兩平行線的距離]=寫手^

\IA^+B2

(3)直線與圓相交時(shí)弦長公式

設(shè)圓的半徑為R，圓心到弦的距離為d,則弦長/=2、孱二7.

(4)直線方程的五種形式

①點(diǎn)斜式：丫一丁二依一%).

②斜截式：1V=&+/?.

③兩點(diǎn)式：y=y

④截距式：奔=1SWO,bWO).

⑤一般式：Ax+By+C=O(A,8不同時(shí)為0).

(5)直線的兩種位置關(guān)系

①當(dāng)不重合的兩條直線4和I,的斜率存在時(shí)：

(i)兩直線平行：/]〃4三&.

(ii)兩直線垂直：/J/20K=一1

②當(dāng)兩直線方程分別為/JAlX+Biy+C=O,4：4尤+約丫+弓=。時(shí)：

(i)/]與4平行或重合約一A/i=。.

(叱。04a+8也=0.

2.圓的有關(guān)問題

(1)圓的三種方程

①圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x—a)2+(y—6)2=心

②圓的一般方程：x2+y2+N+Ev+B=0(r)2+E2-4F>0).

③圓的直徑式方程：(x—xj(x—x,)+(v—vj(v—v,)=0.(圓的直徑的兩端點(diǎn)是A(X],yj,

B(X2,y2)).

(2)判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法

①代數(shù)方法(判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況):/>00相交，/<00相離,

/=0臺相切.

②幾何方法(比較圓心到直線的距離與半徑的大小):設(shè)圓心到直線的距離為d,則d<r

<=>相交，d>K=>相離，d=r<=>相切.(主要掌握幾何方法).

(3)兩圓圓心距與兩圓半徑之間的關(guān)系與兩圓的位置關(guān)系

設(shè)圓。1半徑為0,圓J半徑為4

圓心距與兩圓半徑的關(guān)系兩圓的位置關(guān)系

1。1。2HL內(nèi)含

l0l02l=lri—內(nèi)切

lo—qivioqx+q相交

-外切

I。。叫十母外離

y易錯(cuò)警示百?一

7icuojingshi-

1.注意兩平行線距離公式的應(yīng)用條件

應(yīng)用兩平行線間距離公式時(shí)，兩平行線方程中X,y的系數(shù)應(yīng)對應(yīng)相等.

2.忽略直線斜率不存在的情況

在解決有關(guān)直線問題時(shí)要考慮直線斜率是否存在.

3.注意直線方程的限制條件

⑴應(yīng)用點(diǎn)斜式、斜截式方程時(shí)，注意它們不包含垂直于x軸的直線；

(2)應(yīng)用兩點(diǎn)式方程時(shí)，注意它不包含與坐標(biāo)軸垂直的直線；

(3)應(yīng)用截距式方程時(shí)，注意它不包括與坐標(biāo)軸垂直的直線以及過原點(diǎn)的直線;

(4)在處理直線與圓的位置關(guān)系時(shí)要充分利用圓的幾何性質(zhì).

圣真題體驗(yàn)

Y高考真題?把握規(guī)律》

IGAOKAOZXNT1T）VAM■GJ

1.(2018.全國卷III,6)直線x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(%—2)

2+y2=2上，則尸面積的取值范圍是(A)

A.［2,6］B.U,81

C.［正，3如D.12但3㈤

［解析］由A(-2,0),B(0,-2),則三角形ABP的底邊L48=26,圓心(2,0)到直線尤

12+0+21廠

+y+2=0的距離為3=啦=2啦,又因?yàn)榘霃綖閺S=啦，所以點(diǎn)尸到直線x+y+2=

0的距離的最大值為2位+6=36，最小值為26-0=啦,則三角形A8P的面積的最

大值為Sma、=gx26x36=6,最小值為、―我？啦X啦=2,故明8尸面積的取值范圍

為［2,6］.

2.(2018?北京卷，7)在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點(diǎn)

P(cos。，sin。)到直線九一根＞一2=0的距離，當(dāng)仇加變化時(shí)，d的最大值為(C)

A.1B.2

C.3D.4

\cos3-msinO-21

［解析］選C.方法一：由已知d=-----7——

\1+m2

sin（e+夕）-r—\wisin（e+0）1+12-——-1^1+2=3.

\1+m2l41+加

2

當(dāng)且僅當(dāng)-=2,且sin（。+9）=1時(shí)取=

1+m2

此時(shí)m=0,J=lcos6>-21,cos0能取到-1,

所以d的最大值為3.

方法二：由已知及sin2e+cos2g=1,點(diǎn)尸(cos。,sind)在圓九2+丁2=1上.

又直線x-my-2=0過定點(diǎn)(2,0),

當(dāng)d取得最大值時(shí)，即圓了2+丁2=1上的動(dòng)點(diǎn)P到動(dòng)直線x-my-2=0距離最大，

此時(shí)圓x2+y2=1的圓心(0,0)到動(dòng)直線x-my-2=0距離最大，數(shù)形結(jié)合，可知?jiǎng)又本€

為x=2時(shí)，圓心(0,0)到動(dòng)直線x-my-2=0距離最大值為2,

所以圓/+丫2=1上的動(dòng)點(diǎn)尸到動(dòng)直線尤-“zy-2=0的距離最大值為2+1=3,即d的

最大值為3.

3.(2016?全國卷II,4)圓x2+y2—2x—8y+13=0的圓心到直線ax+y—l=0的距離為

1,貝Ua=(A)

43

A.—§B.1］

C.SD.2

［解析］圓工2+,2-2工-8丫+13=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x-1)2+(y-4)2=4,

I。+4-114

故圓心為(1,4),d=,----=1,解得a=-T.

\Ja2+1

故選A.

4.(2018?天津卷，12)在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(diǎn)(0,0),(1,1),(2,0)的圓的方程為

x2+y2—2x=O

［解析］設(shè)圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+尸=0，又因?yàn)閳A經(jīng)過三點(diǎn)(0,0)(1,1)(2,0),

所以

F=0,

<1+1+D+E+F=0,解得。=-2,E=0,b=0,

^22+02+2￡>+0￡+F=0,

所以圓的方程為x2+y2-2x=0.

5.(2018?全國卷I,15)直線y=x+l與圓/+y2+2y-3=0交于A,B兩點(diǎn)，則lABl=

20.

［解析］由x2+"+2y-3=0,得圓心為(0,-1),半徑為2,

所以圓心到直線的距離”=左=應(yīng)

所以A8=2*2一詆2=272.

6.(2016?全國卷I,15)設(shè)直線y=x+2a與圓C：靖+下一2毆一2=0相交于A,2兩點(diǎn),

若1X8=2/，則圓C的面積為生

［解析］由圓C:x2+y2-2ay-2=0可得-。)2=謂+2,所以圓心C(0,a),由題

\-a+2a\

意可知業(yè)+2-3,解得6/2=2,所以圓C的面積為兀(々2+2)=471.

7.(2017?天津卷，12)設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線為/.已知點(diǎn)C在/上，以C為

圓心的圓與y軸的正半軸相切于點(diǎn)A.若/胡C=120。，則圓的方程為(無+1)2+。-S)2=

1.

［解析］由y2=?可得點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，準(zhǔn)線I的方程為尤=-1.

由圓心C在/上，且圓C與y軸正半軸相切(如圖)，可得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為

-1,圓的半徑為1,/C4O=90。.又因?yàn)?E4C=120。，所以/。4尸=30。，

所以1。41=4所以點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為由.所以圓的方程為Q+1)2+(j-6)2

=1.

舟熱點(diǎn)突破

Y經(jīng)典例題?提升能力A

|命題方向1直線方程與位置關(guān)系|

■例1⑴已知直線*(A-3)x+(4—4)y+l=0與直線/2：2(k-3)x-2y+3=0

平行，則左的值是(C)

A.1或3B.1或5

C.3或5D.1或2

［解析］當(dāng)k=4時(shí)，直線乙的斜率不存在，直線的斜率存在，所以兩直線不平行；

3.k

當(dāng)片4時(shí)，兩直線平行的一個(gè)必要條件是一=k-3，解得左=3或笈=5；但必須滿足

4-k

」1一老永3截距不等)才是充要條件，經(jīng)檢驗(yàn)知滿足這個(gè)條件.

k-42

⑵在△ABC中，41,1),8(加,迎)(1＜加＜4),以4,2),則當(dāng)448(7的面積最大時(shí),旭=(B)

A.|

RB,24

11

-

c-

2D.4

［解析］由兩點(diǎn)間距離公式可得14cl=屈，

直線AC的方程為x-3y+2=0,

\m-3yJm+21

所以點(diǎn)8到直線AC的距離d=J；。

從而AABC的面積S=^\AC\d=|lm-3詬+21

又1<m<4,所以,所以當(dāng)加=,,即機(jī)=1時(shí)，S取得最大值.

『規(guī)律總結(jié)』

1.要注意幾種直線方程的局限性，點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式要求直線不能與x軸垂直，

而截距式方程不能表示過原點(diǎn)的直線，也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線.

2.求解與兩條直線平行或垂直有關(guān)的問題時(shí)，主要是利用兩條直線平行或垂直的充要

條件，即“斜率相等”或“互為負(fù)倒數(shù)”.若出現(xiàn)斜率不存在的情況，可考慮用數(shù)形結(jié)合的

方法去研究.

跟蹤訓(xùn)練,

"enzongxunlian-

1.已知點(diǎn)尸(3,2)是點(diǎn)。(1,4)關(guān)于直線/對稱，則直線/的方程為(A)

A.x~y+1=0B.x~y=0

C.x+y+l=0D.x+y=0

［解析］由題意知直線/與直線PQ垂直，所以尤=-；=--^-=1.又直線/經(jīng)過尸。

1%4-2

1-3

的中點(diǎn)(2,3),所以直線/的方程為y-3=x-2,即x-y+l=0.

2.過直線(：x—2y+3=0與直線/,：2x+3y—8=0的交點(diǎn)，且到點(diǎn)尸(0,4)距離為2的

直線方程為y=2或4x—3y+2=0.

x-2y+3=0,x—1,

［解析］由j得<

2x+3y-8=01y=2.

.4與交點(diǎn)為(1,2),直線X=1顯然不適合.

設(shè)所求直線為y-2=Mx-1),即依-y+2-k=0,

:P(0,4)到直線距離為2,

I-2-用

：2--1

yjl+k^

4

:.k=0或左=g.

..直線方程為y=2或4x-3y+2=0.

|命題方向2圓的方程|

例2(2017?全國卷III,20)已知拋物線C：￥=2尤，過點(diǎn)(2,0)的直線/交C于A,

B兩點(diǎn),圓M是以線段為直徑的圓.

⑴證明：坐標(biāo)原點(diǎn)。在圓M上；

⑵設(shè)圓”過點(diǎn)P(4,-2),求直線/與圓M的方程.

［解析］⑴證明：設(shè)A(X］,%),B(X2,y^),l\x=my+2,

x-my+2,

由］可得產(chǎn)-2my-4=0,

3=2x

則V2=-4.

又％=5，％=孽，故*=4.

因此。4的斜率與。8的斜率之積為

所以O(shè)A1.OB,故坐標(biāo)原點(diǎn)。在圓M上.

⑵由⑴可得兀+%=2祖,

2

%+m+y2)+4=2m+4,

故圓心M的坐標(biāo)為(加+2,m),

圓M的半徑廠=yj(m2+2)2+m2.

由于圓M過點(diǎn)P(4,-2),因此AP5P=0,

故(無］一4)(無2-4)+3］+2)。2+2)=0,

即X］G-4(z+x2)+匕為+2Gl+y2)+20=0.

由⑴可知匕為=-4，尤14=4,

所以2m2-m-1=0,解得機(jī)=1或m

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，直線/的方程為無-y-2=0,圓心M的坐標(biāo)為(3,1),圓加的半徑為

圓M的方程為(x-3)2+。-1)2=10.

191

當(dāng)機(jī)二-5時(shí),直線I的方程為2x+y-4=0,圓心M的坐標(biāo)為q,-5),圓M的半徑

為年，

圓M的方程為(X-1)2+(y+.=

『規(guī)律總結(jié)』

求圓的方程有兩類方法：(1)幾何法，通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)

系，進(jìn)而求得圓的半徑和圓心，得出圓的方程；(2)代數(shù)法，求圓的方程必須具備三個(gè)獨(dú)立

條件，利用“待定系數(shù)法”求出圓心和半徑.

跟蹤訓(xùn)練

°enzongxunlian''

1.過圓壯+死=4外一點(diǎn)尸(4,2)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B,則的外接

圓的方程是(D)

A.(x—4)2+(y—2)2=1B.x2+(y—2)2=4

C.(x+2)2+(y+1)2=5D.(x-2)2+(y-1)2=5

［解析］:PA±OA,PB1.OB，，以O(shè)P為直徑的圓過A、B兩點(diǎn)，故MBP的外接圓就是

以。尸為直徑的圓，從而圓心為(2,1),半徑廠=小,圓的方程為(無-2)2+(y-1)2=5.

2.與直線%—y—4=0和圓％2+y2+2x—2y=0都相切的半徑最小的圓的方程是(A)

A.(%—1)2+。+1)2=2B.(%一I)2+G+I)2=4

C.a+l)2+&+l)2=2D.(x+l)2+(y+l)2=4

［分析］與已知直線和圓都相切的圓的圓心到已知圓的圓心和直線距離之差為已知圓

的半徑，當(dāng)所求圓的圓心與已知圓的圓心連線與直線垂直時(shí)，所求圓的半徑最小.

［解析］

如圖當(dāng)兩圓圓心的連線與已知直線垂直時(shí)，所求圓的半徑最小，易知所求圓C的圓心

在直線y=-x上，故設(shè)其坐標(biāo)為C(cc)，又圓A的方程為(無+1)2+。-1)2=2M(-1,1),

1-1-1-41「

則點(diǎn)A到直線x-y-4=0的距離d-g=3版

設(shè)圓C的半徑為r,則2r=3\[2-\j2=2\[2,

LL12c-41L

.7二也.即點(diǎn)C(c,-c)到直線x-y-4=0的距離等于啦.故有一后一二也，.二。二3或c

=1.

結(jié)合圖形知當(dāng)c=3時(shí)，圓C在直線x-y-4=0下方，不合題意，故所求圓的方程為(x

-1)2+(y+1)2=2.

|命題方向3直線(圓)與圓的位置關(guān)系|

■例3(1)已知過點(diǎn)A(0,l)且斜率為左的直線/與圓C：(x—2)2+。一3)2=1交于

M,N兩點(diǎn)，若IMM=2,,則直線I的方程為y=2x+l或v=&+l.

*3+11\2k-21

［解析］⑴直線/的方程為〉=入+1,圓心C(2,3)到直線/的距離4=—I——=/

7k2+1楸2+1

由R2=d2+&MNI)2

(202)21解得人=2或3,

得1=-------+s

N+15

所求直線I的方程為y=2x+l或y=&+l.

(2)(2018?惠州一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,3),直線/：y=2x-4,設(shè)圓C的

半徑為1,圓心在/上.

①若圓心C也在直線y=x—1上，過點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程.

②若圓C上存在點(diǎn)M,使IM4Q2IMOI,求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.

［解析］①因?yàn)閳A心在直線I：y=2x-4上，也在直線y=x-1上，所以解方程組

y—2x-4,

,得圓心C(3,2),又因?yàn)閳A的半徑為1,所以圓的方程為：

J=1,

(x-3)2+(j-2)2=1,又因?yàn)辄c(diǎn)4(0,3),顯然過點(diǎn)A,圓C的切線的斜率存在，設(shè)所求

13人-2+313

的切線方程為：y=kx+3，即丘-y+3=0，所以y----------=1，解上式得次=0或2,

7k2+12，

___3

所以所求切線方程為：＞=3或丫=-產(chǎn)+3,即y-3=0或3x+4y-12=0.

②因?yàn)閳AC的圓心在直線/：y=2x-4上，所以，設(shè)圓心C為(a,2a-4),又因?yàn)閳AC

的半徑為1,則圓C的方程為：(彳-.)2+。-2a+4)2=1,

設(shè),y),又因?yàn)镮MAI=2\MO\,則有-3)2=2也+淤,整理得：壯+°+1)2

=4,設(shè)為圓O,

所以點(diǎn)M既在圓C上,又在圓。上，即圓C與圓。有交點(diǎn)，

所以2-iw1a2+(2a-4+1)2W2+1,解得OWaW?

『規(guī)律總結(jié)』

1.直線(圓)與圓位置關(guān)系問題的求解思路

(1)研究直線與圓的位置關(guān)系主要通過圓心到直線的距離和半徑的比較實(shí)現(xiàn)，兩個(gè)圓的

位置關(guān)系的判斷依據(jù)是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較.

(2)利用位置關(guān)系求過圓外一定點(diǎn)的切線方程的基本思路；

首先將直線方程設(shè)為點(diǎn)斜式，然后利用圓心到直線的距離等于半徑求斜率，最后若求得

的斜率只有一個(gè)，則存在一條過切點(diǎn)與x軸垂直的切線.

2.弦長的求解方法

(1)根據(jù)半徑，弦心距，弦長構(gòu)成的直角三角形，構(gòu)成三者間的關(guān)系R2=R+?其中I

為弦長，r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離).

(2)根據(jù)公式：-可求解(其中/為弦長，與，％為直線與圓相交所得交點(diǎn)的

橫坐標(biāo)，上為直線的斜率).

(3)求出交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式求解.

跟蹤訓(xùn)練：：

Znzongxunlian、

1.在平面直角坐標(biāo)系中，A,8分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以A8為直徑的圓C與

直線2x+y-4=0相切，則圓C面積的最小值為(A)

43

A.j兀B.-7i

C.(6—2小)兀D.］

［解析］由題意易知AB為直徑的圓C過原點(diǎn)。，圓心C為AB的中點(diǎn)，p

設(shè)。為切點(diǎn)，要使圓C的面積最小，只需圓的半徑最短，也只需OC+C。

最小，其最小值為OE(過原點(diǎn)0作直線2x+y-4=0的垂線，垂足為E)的

長度.由點(diǎn)到直線的距離公式得?！?3.，圓C面積的最小值為

故選A.

2.已知在圓/+#一4x+2y=0內(nèi)，過點(diǎn)E(l,0)的最長弦和最短弦分別是AC和BD,

則四邊形A8C。的面積為(D)

A.3小B.65

C.4vBD.25/15

［解析］將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(X-2)2+。+1)2=5，圓心坐標(biāo)為

F(2,-1),半徑廠=小，如圖，顯然過點(diǎn)E的最長弦為過點(diǎn)E的直徑，

即14cl=2小,而過點(diǎn)E的最短弦為垂直于EF的弦，1EF1=

>J(2-1)2+(-1-0)2=啦,\BD\=2、］r2-lEFR=2s,四邊形腦切=

IACI-IBDI=2Vi5.

故選D.

3.已知m=(2cosa,2sina),篦=(3cos63sinQ),若m與〃的夾角為60。，則直線xcosa

—ysina+/=0與圓(x—cos笈p+u+sin夕)2=/的位置關(guān)系是(D)

A.相交B.相交且過圓心

C.相切D.相禺

［解析］由向量的夾角公式得cos〈m，〃〉=|^||^|=cosacos^+sinotsin^=cos(a-=,

Icos夕ocsa+sin^sinot+^1

I6

圓心（cos夕,-sin0到直線的距離d==1>2，

~\Jcos2a+sin2a

??.直線與圓相離.

Dil?化■■_____________

A組

1.若直線4：x+ay+6=0與4：(。-2)x+3y+2〃=0平行，則4與4間的距離為(B)

A.72B.學(xué)

C.小D.&乎

［解析］由/也知3=a(a-2)且2aW6(a-2),

2a2*18,求得a=-1,

2

:x-j+6=0,l2：x-y+^=0,兩條平行直線4與/，間的距離為

16-7l2巧

d=/=曰故選B.

qi2+(-1平

2.（文）直線x+y+啦=0截圓婷+尸=4所得劣弧所對圓心角為（D）

7CK

A.6B.3

2兀571

C.TD.~6

［解析］弦心距d=零=1,半徑r=2,

兀

.?.劣弧所對的圓心角為2學(xué)

（理）Oq：（X—l）2+y2=4與。。2：（x+l）2+（y—3）2=9相交弦所在直線為I,貝h被。。

尤2+y2=4截得弦長為（D）

A.V13B.4

4^39D?喈

J13

［解析］由?！昱c。C,的方程相減得/:2x-3y+2=0.

圓心。（0,0）到/的距離d=2f,QO的半徑R=2,

二截得弦長為2巾2-出=2\"-R=罐9

3.已知圓C：/+?一3)2=4,過4-1,0)的直線/與圓C相交于尸，。兩點(diǎn).若IPQ

=2\［3,則直線/的方程為(B)

A.工=-1或4%+3/一4=0

B.1=-1或4%一3丁+4=0

C.x=l或4%—3丁+4=0

D.%=1或4x+3廠4=0

［解析］當(dāng)直線/與X軸垂直時(shí)，易知X=-1符合題意；當(dāng)直線/與X軸不垂直時(shí)，設(shè)

I-左+31

直線/的方程為y=k(x+l),由1尸01=2小,則圓心〉到直線/的距離4=］——=1,解得

、/依+1

k=l,此時(shí)直線/的方程為y=/x+l),故所求直線/的方程為工=-1或4x-3y+4=0.

4.過三點(diǎn)A(l,3),2(4,2),C(l,—7)的圓交y軸于M,N兩點(diǎn)，則也加=(C)

A.2aB.8

C.4\(16D.10

3-212+7

［解析］由已知得%=不=$%=匚7=3,所以%Ar-1■所以,

即AA8C為直角三角形，其外接圓圓心為(1,-2),半徑為5,所以外接圓方程為Q-1)2+。

+2)2=25,令x=0,得y=+2\［6-2,所以IMNI=4乖,故選C.

5.直線/與圓x2+y2+2x—4y+a=0(a<3)相交于A、B兩點(diǎn)，若弦A8的中點(diǎn)為(一2,3),

則直線/的方程為(A)

A.x—y+5=0B.x+y—1=0

C.龍-y—5=0D.x+y—3=0

［解析］設(shè)圓龍2+0+2%-4》+。=03<3)的圓心為(7,弦42的中點(diǎn)為1)易知C(-1,2),

又D(-2,3),

3-2

故直線CD的斜率k=---------=-1,

CD-2-(-1)

則由CD1.1知直線/的斜率k=-甘-=1

IkCD

故直線I的方程為y-3=%+2,即x-y+5=0.

6.一條光線從點(diǎn)(一2,—3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓0+3)2+。一2)2=1相切，則反射

光線所在直線的斜率為(D)

5332

A.一1或一§B.一］或一］

5.44—3

C.-4或一gD.一§或一［

［解析］由光的反射原理知，反射光線的反向延長線必過點(diǎn)(2,-3),設(shè)反射光線所在

直線的斜率為k,則其直線方程為y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.二光線與圓(x+3)2+

I-3左-2-2左-313

。-2)2=1相切，.二-----,-------------=1,解得k=-a4或左二-工.故選D.

"+1

7.若直線3x—4y+5=0與圓x2+y2=r2(4o)相交于A,B兩點(diǎn)，且NAOB=120。(。為

坐標(biāo)原點(diǎn))，則r=2.

［解析］直線3x-4y+5=0與圓％2+,2=*&>0)交于人，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且n

AOB=120°,則圓心(0,0)到直線3x-4y+5=0的距離為gr,即/5:二jr,/.r=2.

32+42

v2

8.一個(gè)圓經(jīng)過橢圓a十?=1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方

lo4

程為(二號土^.

［解析］設(shè)圓心為(〃,0),則圓的方程為(x-a)2+y2=r2,依題意得，〃2+22=，(4?*,

解得4=|,心與，所以圓的方程為Q-|)2+y2=?

9.已知定點(diǎn)M(0,2),N(—2,0),直線/：打一y—2左+2=0伏為常數(shù)).

⑴若點(diǎn)M,N到直線/的距離相等，求實(shí)數(shù)人的值；

⑵對于/上任意一點(diǎn)P,恒為銳角，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

［解析］(1)：?點(diǎn)M,N到直線I的距離相等，

或/過的中點(diǎn).

???M(0,2),N(-2,0),

二直線的斜率1)

MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為C(-1,1).

又.■直線I:kx-y-2k+2=0過定點(diǎn)0(2,2),

.?.當(dāng)/||MN時(shí)，k=[=l；

當(dāng)1過MN的中點(diǎn)時(shí)，k=%=/

綜上可知，k的值為1或去

(2),.對于/上任意一點(diǎn)尸，/W/W恒為銳角，

與以MN為直徑的圓相離，即圓心到直線/的距離大于半徑，

\-k-l-2k+2\廠1

:.d=--------1=------?J2,解得k<-,或k>\.

7k2+1

10.已知點(diǎn)P(0,5)及圓C：承+尸+以一12y+24=0.

(1)若直線/過點(diǎn)P且被圓C截得的線段為45，求/的方程；

(2)求過P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.

［解析］(1)如圖所示，L4BI=4小,將圓C方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為''

(x+2)2+(y-6)2=16,,IS/，

所以圓C的圓心坐標(biāo)為(-2,6),半徑廠=4,設(shè)。是線段的

中點(diǎn),貝ljCD1AB,2..」.一

opX

所以L4DI=2小,L4CI=4.

C點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,6).

在RtMCD中，可得ICDI=2.

若直線/的斜率存在，設(shè)為左，則直線/的方程為y-5=fcc,即fcc-y+5=0.

\-2k-6+5\

由點(diǎn)C到直線AB的距離公式：,=2,

y依+(-1)2

得％=

故直線/的方程為3x-4y+20=0.

直線/的斜率不存在時(shí)，也滿足題意，此時(shí)方程為x=0.

所以所求直線I的方程為x=0或3x-4y+20=0.

B組

1.(2018?南寧一模)直線y=fcc+3被圓(無一2)2+。-3)2=4截得的弦長為2小，則直線

的傾斜角為(A)

人71.571

A.不或不B?一蝸

兀

c?-朧D-6

［解析］圓a?2)2+3.3)2-4的圓心為(2,3),半徑r=2,圓心(2,3)到直線y二區(qū)+3的

距離d=￥=，因?yàn)橹本€y=fct+3被圓(無-2)2+。-3)2=4截得的弦長為2小，所以由勾

\llfi+1

股定理得—2n,即4=^+3,解得k望，故直線的傾斜角城喏

2.設(shè)直線x—y—a=0與圓尤2+y=4相交于A,8兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△AOB為

等邊三角形，則實(shí)數(shù)a的值為(B)

A.±\/3B.±\/6

C.±3D.±9

［解析］由題意知：圓心坐標(biāo)為(0,0),半徑為2,則MOB的邊長為2,所以M08的高

LLI-alL-

為小,即圓心到直線x-y-a=0的距離為小,所以I==小，解得a=力.

6+(一1)2

3.已知點(diǎn)A(—2,0),8(0,2),若點(diǎn)C是圓x2—2ax+y2+q2—1=0上的動(dòng)點(diǎn)，△ABC面

積的最小值為3—6，則a的值為(C)

A.1B.-5

C.1或一5D.5

［解析］解法一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為a-°)2+丫2=1,圓心M(a,0)到直線:x-y+2=0

la+21

的距離為d=@

1〃+211

可知圓上的點(diǎn)到直線AB的最短距離為八1=不-1,(S—)min=EX2.

\a+2\-\[2「

X-^—=3一夜,

解得a=1或-5.

解法二：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(X-a)2+y2=1,

設(shè)。的坐標(biāo)為(a+cos。,sin。),C點(diǎn)到直線AB：x-y+2=0的距離為d=

\a+cos。-sin。+21

I啦sin（9-力+〃+21

=忑-

Ssin（8-^）+a+21

MBC的面積為S.ABC=5X2啦X----------忑----

=啦sin（6-：）+a+21,

當(dāng)a20時(shí)，a+2-e=3-低，解得0=1；

當(dāng)-2Wa<0時(shí)，la+2-啦I=3-/,無解；

當(dāng)a<-2時(shí)，la+2+也1=3-啦，解得a=-5.

解法三：設(shè)與平行且與圓相切的直線/'的方程為x-y+機(jī)=0（機(jī)W2）,圓心M（a,0）

\a+ml_

到直線I'的距離d=1,即一^一=1,解得加=土正-a,

兩平行線/,/'之間的距離就是圓上的點(diǎn)到直線AB的最短距離，

\m-21I土也-0-21

即FF=6,

]l1±"^2-a-21「

（%BC）mi『5X26*―下一=\^-a-2\.

當(dāng)a^O時(shí)，-a-21=3-A/2,解得a=1.

當(dāng)a<0時(shí),1+72-a-21=3-啦，解得a=-5.

故a=1或-5.

4.已知直線x+y—k=0（fc>0）與圓龍2+y2=4交于不同的兩點(diǎn)A,B,。是原點(diǎn)，且有

+0BI^L4BI,則上的取值范圍是（C）

A.（小，+8）B.樞+8）

C.[>J2,2逝）D.[6,2啦]

[解析]本題考查直線與圓的位置關(guān)系、平面向量的運(yùn)算.設(shè)A8的中點(diǎn)為D,則?！辏ㄉ?/p>

AB，因?yàn)?溫+而1291油1,所以12歷12^1^I,|Q忘2小I歷I,又因?yàn)?而|2+；|油|2=4,

所以.因?yàn)橹本€x+y-k=O（QO）與圓X2