山西省呂梁市2023-2024學年高二上學期期末數(shù)學試題（含答案解析）

呂梁市2023-2024學年高二第一學期期末調(diào)研測試數(shù)學試題（本試題滿分150分，考試時間120分鐘.答案一律寫在答題卡上）注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，認其核對條形碼上的姓名、準考證號，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上.2.答題時使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3.請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.4.保持卡面清潔，不折疊，不破損.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知圓，則圓心和半徑分別為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】將圓的一般方程化為標準方程，由此確定圓心坐標及半徑.【詳解】圓的方程可化為.所以圓心的坐標為，半徑為，故選：B.2.雙曲線，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，即可求解.【詳解】由雙曲線，可得，又由雙曲線的焦點在軸上，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：C.3.已知正項等比數(shù)列滿足，則（）A.62 B.30或10 C.62或 D.30【答案】A【解析】【分析】運用等比數(shù)列通項公式基本量的計算，先求出首項和公比，然后再運用等比數(shù)列前項和公式求出前項和.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為該正項等比數(shù)列滿足，所以，解得，故.故選：A.4.若函數(shù)在處有極小值，則（）A. B. C.或 D.【答案】A【解析】【分析】求得，由，求得或，分別求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)極值點的定義，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，因為函數(shù)在處取得極小值，可得，解得或，當時，令，解得或；令，解得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以在處有極大值，不符合題意，舍去；當時，令，可得或；令，可得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以在處有極小值，符合題意，綜上可得，.故選：A.5.函數(shù)的零點個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】求導可得函數(shù)的單調(diào)性，進而結(jié)合零點存在性定理即可求.【詳解】，令，則，令，解得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當時取最小值，又，，所以=0在上各有一解，所以有兩個零點，故選：B.6.如圖，正三棱柱的各棱長相等，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.0【答案】D【解析】【分析】取中點，證得平面，得到，再證得，從而證得平面，得到，即可求解.【詳解】取中點，因為，可得，又因為平面，且平面，所以，因為，且平面，所以平面，又因為平面，所以，在正方形中，分別為的中點，設(shè)可得，可得，所以，所以，即，因為且平面，所以平面，又因為平面，所以，所以異面直線與所成的角為.故選：D.7.某工廠去年12月試產(chǎn)1060個高新電子產(chǎn)品，產(chǎn)品合格率為.從今年1月份開始，工廠在接下來的兩年中將生產(chǎn)這款產(chǎn)品.1月按去年12月的產(chǎn)量和產(chǎn)品合格率生產(chǎn)，以后每月的產(chǎn)量都在前一個月的基礎(chǔ)上提高，產(chǎn)品合格率比前一個月增加，則今年4月份的不合格產(chǎn)品的數(shù)量是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由條件依次求出月的產(chǎn)量和合格率，由此可求4月份的不合格產(chǎn)品的數(shù)量.【詳解】由題知：1月份的產(chǎn)量為個，合格率是，那么，2月份的產(chǎn)量為，合格率為，3月份的產(chǎn)量為，合格率為，則4月份的產(chǎn)量為，合格率為，則4月份的不合格數(shù)量是，故選：B.8.若，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，，利用導數(shù)求函數(shù)最小值，得到和，令即可比較大小.【詳解】令，則，當時，，所以，所以在上單調(diào)遞增；當時，，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以當時，，所以，即，所以，所以，令，則，當時，，所以在上單調(diào)遞增；當時，，所以在上單調(diào)遞減；所以，當時，，所以，即，所以，所以，所以.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.設(shè)拋物線的焦點為，準線為，點是拋物線上不同的兩點，且，則（）A. B.以線段為直徑的圓必與準線相切C.線段的長為定值 D.線段的中點到軸的距離為定值【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)題意，求得拋物線及焦點，結(jié)合拋物線的幾何性質(zhì)，逐項判定，即可求解.，【詳解】對于A中，由拋物線的準線為，可得，解得，所以拋物線的焦點為且，所以A正確；對于B中，如圖，當線段過焦點時，過作，取的中點作，可得，此時以線段為直徑的圓與準線相切，因為直線不一定過拋物線的焦點，則不一定成立，故B錯誤.對于C中，設(shè)，由拋物線得的定義得，所以，當直線過原點時，設(shè)，則，此時，可得，當直線為時，可得，不妨設(shè)，可得，所以的長不是定值，所以C錯誤；對于D中，由，則線段的中點到軸的距離為，所以D正確.故選：AD.10.已知等差數(shù)列的首項，公差，在中每相鄰兩項之間都插入3個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列是數(shù)列的前項和.以下說法正確的是（）A. B.是數(shù)列的第8項C.當時，最大 D.是公差為的等差數(shù)列【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合題意，得到，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)的求和公式，逐項判定，即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的首項，公差，可得，對于A中，根據(jù)題意，可得，所以公差為，所以數(shù)列的通項公式為，所以A錯誤；對于B中，由，令，解得，所以B正確；對于C中，令，解得，所以或時，取得最大值，所以C正確；對于D中，由，可得，所以是公差為，所以D錯誤.故選：BC.11.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A.單調(diào)遞減區(qū)間是B.在點處的切線方程是C.若方程只有一個解，則D.設(shè)，若對，使得成立，則【答案】BD【解析】【分析】對函數(shù)求導，分析其單調(diào)性得到其圖象，可判斷ABC，對應選項D，設(shè)函數(shù)的值域為，的值域為G，由求解判斷.【詳解】函數(shù)，，，令，得或；令，得；可得函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，其大致圖象如圖：對于，由上述分析可得A錯誤；，由，，得，所以切線為，故B正確；對于C，由方程只有一解，由圖象可知，或，故C錯誤；對于D，設(shè)函數(shù)的值域為，函數(shù)的值域為，對于，，，對于，，，若，，使得成立，則，故D正確，故選：BD.12.已知正方體的棱長為是空間中的一動點，下列結(jié)論正確的是（）A.若分別為的中點，則平面B.平面平面C.若，則最小值為D.若，則平面截正方體所得截面面積的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】由線面垂直，面面平行判斷AB,由平面展開求最值判斷C,由截面變化求最值判斷D.【詳解】對于A，若分別為的中點，則，又，則，又由正方體性質(zhì)易知:平面平面故，又平面，故平面，又平面，則，同理可得平面又平面，則，又平面，故平面，若平面，則，而相交，故與平面不垂直，故A不正確；對于B，在正方體中，易知，故為平行四邊形，則又平面，平面，故平面，同理可得平面，又平面，故平面平面成立.故B正確；對于C，正方體的棱長為2，是空間中的一動點，在上取點，使得，在上取點，使得，如圖，由，得，即，故是線段上一點．將平面沿展開至與平面共面，易知，則，平面圖中，當，O，三點共線時，取得最小值，故C正確；對于D，由，可知是線段上一點．連接并與交于點．當與重合時，平面與平面重合，截面為正方形，面積為4．當在線段（不含點上時，平面截正方體所得截面為三角形，且易知當從D運動到時，三角形面積逐漸增大，當與重合時截面為，由三角形三邊長均為，故此時截面面積為．當在線段（不含點，上時，延長并與交于點，作并與交于點，由選項B易知,且，易知,則截面為等腰梯形，設(shè)，則，．梯形的高，故梯形面積為．設(shè)，設(shè)，恒成立，則在單調(diào)遞減，故，則當與重合時，截面為矩形，面積為．綜上可知，平面截正方體所得截面積的最大值為，故D正確；故選：BCD.【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題考查線面垂直及面面平行證明，截面問題，解決D選項的關(guān)鍵是利用動態(tài)變化討論O的變化情況.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若直線與直線平行，則______.【答案】##【解析】【分析】由直線平行的充要條件即可求解.【詳解】由與平行，則，所以.故答案為：.14.已知數(shù)列的前項和為，若，則______.【答案】【解析】【分析】由的關(guān)系對分類討論即可求解.【詳解】當時，，當時，不滿足上式，所以.故答案為：.15.已知函數(shù)，若成立，則的最小值為______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)并利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值即得.【詳解】函數(shù)，由，得，則，令，求導得，當時，，當時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以的最小值為.故答案為：16.已知是橢圓的左、右焦點，直線與橢圓相交于兩點，的平分線交于點，且，則橢圓的離心率為______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)橢圓的對稱性，角平分線性質(zhì)可得，結(jié)合橢圓定義可求，利用余弦定理列出關(guān)于的方程，由此可求離心率.【詳解】連接、，根據(jù)橢圓的對稱性可知四邊形為平行四邊形，所以，根據(jù)角平分線定理得：，所以，又，又，又在中，由余弦定理得：，所以故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.如圖所示，平行六面體中，，.（1）用向量表示向量，并求；（2）求.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量的線性運算，得到，結(jié)合向量的數(shù)量積的運算法則，即可求解；（2）由空間向量的運算法則，得到，結(jié)合向量的數(shù)量積的運算公式，即可求解.【小問1詳解】解：根據(jù)空間向量的線性運算，可得，可得，所以.【小問2詳解】解：由空間向量的運算法則，可得，因為且，所以.18.已知圓.（1）求的取值范圍；（2）當取最小正整數(shù)時，若點為直線上的動點，過作圓的一條切線，切點為，求線段的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合方程表示圓的條件，列出方程，即可求解；（2）由（1）得到圓心，半徑為，得到，結(jié)合圓心到直線的距離，即可求解.【小問1詳解】由方程表示圓，則滿足，即，解得或，所以的取值范圍是.【小問2詳解】由（1），因為取最小正整數(shù)，所以，所以圓，可得圓心，半徑為，又因為，所以取最小值時取最小值，而取最小值，即為圓心到直線的距離，可得，所以.19.已知數(shù)列的首項，且滿足.（1）求證：是等比數(shù)列，并求出的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）由遞推關(guān)系把拆到等號兩邊，變成后推出即可；（2）求出數(shù)列的通項，再用錯位相減法求出即可.【小問1詳解】證明：所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列.所以，所以.【小問2詳解】因為，所有，，，作差可得，所以.20.已知橢圓的左右頂點分別為，長軸長為，點在橢圓上（不與重合），且，左右焦點分別為.（1）求的標準方程；（2）設(shè)過右焦點的直線與橢圓交于兩點，當?shù)拿娣e最大時，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由橢圓的性質(zhì)得到，設(shè)點，表示出，再代入橢圓方程，求出，得到橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程：，直曲聯(lián)立，韋達定理表示出，再用其表示出三角形面積，最后結(jié)合基本不等式求出結(jié)果.【小問1詳解】依題意可得，，所以.設(shè)，則，又因為所以，所以，所以的標準方程為.【小問2詳解】因為在直線上，設(shè)直線的方程：，聯(lián)立，整理得，，由題可知∶當且僅當，即時，面積最大為，此時直線的方程是∶.21.如圖，多面體由正四面體和正四面體組合而成，棱長為.（1）證明：；（2）求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點，證得，利用線面垂直的判定定理，證得平面，進而證得；（2）取的中心為坐標原點，建立空間直角坐標系，再取的中心為，求得，得到向量和平面的一個法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】取的中點，連接，在正四面體和正四面體中，可得和均為等邊三角形，所以，因為且平面，所以平面，又因為平面，所以.【小問2詳解】取的中心為坐標原點，過作的平行線為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標系，如圖所示，因為正四面體的棱長是，可得，則,所以，則，再取的中心為，因為，設(shè)，可得，解得，即，所以，，可得，則又由平面的一個法向量，設(shè)直線與平面所成的角為，可得，所以直線與平面所成角的正弦值是.22.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導，分別討論和兩種情況，即可求出結(jié)果；（2）先分離參數(shù)，將原式化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷的單