2024屆吉林省吉林市第一中學(xué)高三一模數(shù)學(xué)試題

2024年（21級）吉林一中適應(yīng)性訓(xùn)練（一）數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，若中有2個元素，則a的取值范圍是A．[2，4）B．[1，2）C．[2，4]D．[1，2]2．已知向量，，則“”是“”的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．統(tǒng)計(jì)學(xué)中通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量X只取中的值，簡稱為原則．假設(shè)某廠有一條包裝食鹽的生產(chǎn)線，正常情況下食鹽質(zhì)量服從正態(tài)分布N（500，）（單位：g），某天生產(chǎn)線上的質(zhì)檢員隨機(jī)抽取了一包食鹽，稱得其質(zhì)量小于，他立即判斷生產(chǎn)線出現(xiàn)了異常，要求停產(chǎn)檢修．由此可以得到的最大值為A．2B．4C．6D．84．投擲6次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，5，6，x，則這6個點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為4的概率為A．B．C．D．5．甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行演講比賽，決出第1名到第5名的名次．已知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相鄰，則5人的名次排列可能有（）種不同的情況．A．18B．24C．36D．486．已知圓O：，過點(diǎn)A（2，0）的直線l與圓O交于B，C兩點(diǎn)，且，則A．2B．C．D．7．已知雙曲線C：（，）的左焦點(diǎn)為F，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)，且點(diǎn)M在第一象限，滿足．若點(diǎn)P在雙曲線C上，且，則雙曲線C的離心率為A．B．C．D．8．設(shè)函數(shù)，則，，的大小關(guān)系是A．B．C．D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．已知方程的兩個復(fù)數(shù)根分別為，，則A．B．C．D．10．已知m、n是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，則下列說法正確的是A．若，，則m與n相交或異面B．若，，，則C．若，，則D．若、、，則m與n平行或相交或異面11．若，且，則A．B．C．D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若，則________．13．已知函數(shù)（）圖象的一個對稱中心為（，0），且在（0，）上單調(diào)遞增，則的最小值為________．14．已知拋物線E：的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為C，過點(diǎn)C的直線l與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)（A點(diǎn)位于B點(diǎn)右方）．若BF為的角平分線，則________；直線l的斜率為________．（第一空2分，第二空3分）四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。（13分）15．如圖，圓柱內(nèi)有一個直三棱柱，三棱柱的底面三角形內(nèi)接于圓柱底面，已知圓柱的軸截面是邊長為6的正方形，，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動．（1）證明：；（2）當(dāng)時，求BC與平面所成角的正弦值．16．（本小題滿分15分）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足．（1）求角A的大小；（2）若為銳角三角形且，求面積的取值范圍．17．（15分）某興趣小組調(diào)查并統(tǒng)計(jì)了某班級學(xué)生期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績和建立個性化錯題本的情況，用來研究這兩者是否有關(guān)．若從該班級中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，設(shè)“抽取的學(xué)生期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績不及格”，“抽取的學(xué)生建立了個性化錯題本”，且，，．（1）求和．（2）若該班級共有36名學(xué)生，請完成列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析學(xué)生期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績與建立個性化錯題本是否有關(guān)．個性化錯題本期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績合計(jì)及格不及格建立未建立合計(jì)（3）為進(jìn)一步驗(yàn)證（2）中的判斷，該興趣小組準(zhǔn)備在其他班級中抽取一個容量為的樣本（假設(shè)根據(jù)新樣本數(shù)據(jù)建立的列聯(lián)表中，所有的數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為（2）中列聯(lián)表中數(shù)據(jù)的倍，且新列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)都為整數(shù)）．若要使得依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)可以肯定（2）中的判斷，試確定的最小值．參考公式及數(shù)據(jù)：，．α0.010.0050.0016.6357.87910.82818．（17分）已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)、焦點(diǎn)，在y軸上，點(diǎn)P（，1）在E上，長軸長與短軸長之比為．（1）求橢圓E的方程．（2）設(shè)A為E的下頂點(diǎn)、過點(diǎn)B（0，4）且斜率為k的直線與E相交于C、D兩點(diǎn)，且點(diǎn)C在線段BD上．若點(diǎn)M在線段CD上，，證明：．19．（17分）點(diǎn)列，就是將點(diǎn)的坐標(biāo)按照一定關(guān)系進(jìn)行排列．過曲線C：上的點(diǎn)作曲線C的切線與曲線C交于，過點(diǎn)作曲線C的切線與曲線C交于點(diǎn)，依此類推，可得到點(diǎn)列：，，，…，，…，已知．（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）記點(diǎn)到直線（即直線）的距離為，求證：；2024年（21級）吉林一中適應(yīng)性訓(xùn)練數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：1．B因?yàn)橹兄挥?個元素，則，所以．2．A因?yàn)椤?，所以，解得，所以“”是“”的充分不必要條件，故選A．3．B按照原則可知：，解得，所以的最大值為4，故選B4．C將6個數(shù)由小到大排列，中位數(shù)是第3個數(shù)和第4個數(shù)的平均數(shù)．因?yàn)?，且中位?shù)為4，所以第3個數(shù)和第4個數(shù)只能是3，5，x中的較小的兩個數(shù)，而，故，即x只能取5和6，故所求概率為，故選C5．B第一種情況：當(dāng)丙為第一名時，有種；第二種情況：當(dāng)丁為第一名時，有種；第三種情況：當(dāng)戊為第一名時，有種，所以共有：種，故選B．6．D如圖，在中，，，，，，所以．7．B如圖1，設(shè)雙曲線C的右焦點(diǎn)為，連接，，，∵，∴，∴．又O為MN的中點(diǎn)，∴四邊形為矩形、設(shè)，則，，∴，．∵，∴，解得：．又，∴，即，所以雙曲線C的離心率，故選B．8．D【解析】，易知是偶函數(shù)．當(dāng)時，，當(dāng)時，顯然；當(dāng)時，，，所以，所以在（0，）上單調(diào)遞增．設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，）上單調(diào)遞減．故，則，所以，即，故，故．故D二、選擇題：9．ACD選項(xiàng)A：因?yàn)楹突楣曹棌?fù)數(shù)，所以，故A正確；選項(xiàng)B：由韋達(dá)定理得：，故B錯誤；選項(xiàng)C：因?yàn)楹突楣曹棌?fù)數(shù)，所以，故C正確；選項(xiàng)D：由韋達(dá)定理得：，，則，所以，故D正確，故選ACD．10．ABD【解析】選項(xiàng)A：若，，則m與n相交或異面，A正確．選項(xiàng)B：若，，則，又，α，β是兩個不同的平面，所以，B正確．選項(xiàng)C：若，，則或，故C錯誤．選項(xiàng)D：若，，，則m與n平行或相交或異面，故D正確．故選ABD．11．ABD因?yàn)槠矫嫫矫鍮CFE，平面平面，，所以平面，所以，A正確．因?yàn)椋?，，，所以平面平面，B正確．因?yàn)椋远嗝骟w不是三棱臺，C錯誤．延長，EF相交于點(diǎn)G（圖略），為直線與平面BCFE所成的角．因?yàn)?，所以，解得，，，則，D三、填空題12．165【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式展開式的通項(xiàng)為（且），又，所以13．因?yàn)榈囊粋€對稱中心為（，0），所以有，，即，①．又因?yàn)樵冢?，）上單增，所以有，，即得到，②．又因?yàn)?，所以結(jié)合①②知：最小值為．14．4；延長AF交拋物線E于點(diǎn)D，連接CD，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)H，由拋物線的性質(zhì)結(jié)論可知：直線CA與CD關(guān)于x軸對稱．又因?yàn)锽F為的角平分線，所以，所以，由焦半徑公式得：；則，．又因?yàn)镕（l，0），所以A（3，）或A（3，）．又因?yàn)镃（，0），所以直線l的斜率或，所以直線l的斜率為，四、解答題：15．（13分）【詳解】（1）連接AO并延長，交BC于M，交圓柱側(cè)面于N，∵，為圓柱的高，∴、、兩兩垂直，以為原點(diǎn)，過點(diǎn)做平行線為x軸，以為y軸，以為z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，在中，由射影定理得，，從而，∴（0，，0），B（，2，6），C（，2，6），∴，設(shè)P（0，0，），∴，∴，∴．（2）由（1）可得，，∴，∴，得，即點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)，∴，．設(shè)平面的一個法向量為，則，取，得，設(shè)BC的一個方向向量為，于是得：設(shè)BC與平面所成角為，則，所以BC與平面所成角的正弦值為．16．（15分）解：（1）由正弦定理得：，所以，所以，化簡得：，所以．又因?yàn)?，所以．?）由正弦定理得：，所以，，所以．又因?yàn)闉殇J角三角形，所以所以所以，所以，所以，所以．【另注】第（2）問也可以用幾何意義說明：由于且，所以點(diǎn)A的軌跡為外接圓O的一部分，即弦BC所對的優(yōu)?。?dāng)時，此時的面積最大為；當(dāng)或時，此時的面積最小為；由于為銳角三角形，所以取不到最小值；因此．也可根據(jù)實(shí)際情況酌情給分．17