2024年高考數(shù)學：二次函數(shù)中幾何存在性的問題（重點突圍）(教師版)

高考復習材料

專題17二次函數(shù)中幾何存在性的問題

a

.【中考考向?qū)Ш健?/p>

目錄

【直擊中考】...................................................................................1

【考向一二次函數(shù)中構(gòu)成等腰三角形存在性問題】............................................1

【考向二二次函數(shù)中構(gòu)成直角三角形存在性問題】............................................8

【考向三二次函數(shù)中構(gòu)成三角形相似存在性問題】...........................................16

【考向四二次函數(shù)中構(gòu)成矩形存在性問題】.................................................23

【考向五二次函數(shù)中構(gòu)成菱形存在性問題】.................................................33

【考向六二次函數(shù)中構(gòu)成正方形存在性問題】...............................................42

￡學【直擊中考】

【考向一二次函數(shù)中構(gòu)成等腰三角形存在性問題】

例題：（2022秋?青海西寧?九年級?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標系中，已知拋物線x軸交于/（-1,0）,

8（5,0）兩點，與了軸交于點。（0，—3）.

⑴求拋物線的解析式；

⑵求拋物線的對稱軸及頂點坐標

⑶在坐標軸是否存在一點尸.使得VPC8是等腰三角形，若存在，請直接寫出點尸的坐標，若不存在，請說

明理由；

【答案】⑴y3-畀193

⑵直線x=2,（2,一■

⑶（-5,0閾0,取一3）或（0,一取一3）或（扃-5,0）或（取+5,0）或（0,3）或停0）或（0,|）

【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答，即可求解；

（2）把拋物線解析式化為頂點式，即可求解；

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（3）分三種情況：當尸。=5。=取時，當尸B=2C=取時，當PB=PC時，即可求解.

【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為＞=a/+6x+c,

把點/（-1,0）,8（5,0）,。（0,—3）代入得：

.3

a=—

c

ca-b+c=0

12

＜25a+5b+c=0f角軍得：＜b=——,

c=-3;

ic=-3

ai?

???拋物線的解析式為尸］-導-3；

、々力32123/\227

（2）解：^y=~x-x-3=-（x-2）--—,

???拋物線的對稱軸為直線x=2,頂點坐標為（2,-，］；

（3）解：?.?點8（5,0）,C（0,-3）,

OB-5,OC—3,

BC=y/OB2+OC2=V34，

當尸C=8C=取時，

若點P在x軸上，點尸與點3關(guān)于y軸對稱，

???此時點P的坐標為（-5,0）；

若點P在y軸上，OP^PC-OC=y/34-3^OP=PC+OC=y/34+3，

???此時點P的坐標為（0,庖-3）或（0,-取-3）；

當尸8=8C=扃時，

若點P在x軸上，OP=BP-OB=后一5或0/?=2尸+05=扃+5,

???此時點P的坐標為（取-5,0）或（扃+5,0）；

若點尸在y軸上，點P與點8關(guān)于x軸對稱，

此時點尸的坐標為（0,3）；

當尸8=PC時，

若點尸在x軸上，連接CP,如圖，

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設(shè)點尸的坐標為（加,0）,則。尸二加，

PB=PC=5-m,

在RVQF中，OP2+OC2=PC2,

?,.m2+32=（5-m）2,

o

解得：加=］,

此時點尸的坐標為（+0）

若點P在〉軸上，連接8P,如圖，

設(shè)點尸的坐標為（0,〃）,則。尸=〃，

??.PB=PC=3+〃，

在RtZiBO「中，OP2+OB2=PB?,

.-.n2+52=（3+?）2,

o

解得:?=-,

???此時點P的坐標為［o,|J；

綜上所述，（一5,0）或（0,南_3）或（0,一后_3）或嚴_5,0）或嚴+5,0）或（0,3）或［|,0）或（0,|）.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，還涉及了求二次函數(shù)的解析式，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定

理，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵.

【變式訓練】

1.（2023秋?陜西商洛九年級?？计谀┤鐖D，己知拋物線了="2+加+4（。*0）與X軸交于/（一1,0）,

8（2,0）兩點，與了軸交于點C.

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⑴求拋物線的解析式及點C的坐標；

⑵若尸為拋物線上一點，連接8C,是否存在以8C為底的等腰△8CF?若存在，請求出點尸的坐標；若不

存在，請說明理由.

【答案】⑴y=-2/+2x+4；C(0,4)

3+廂27

存在，點下的坐標為

(2)-8-l

【分析】(1)將點/(TO),2(2,0)代入解析式，待定系數(shù)法求解析式，進而令x=0,得出點C的坐標;

(2)若存在以8C為底的等腰△BC尸，則C歹=2尸，點尸在/C的垂直平分線上，如圖，設(shè)BC的垂直平

分線交丁軸于點N,交BC于點、M,連接BN,勾股定理得出ON,即可得出點N的坐標，進而根據(jù)中點坐

標公式得出點M的坐標，待定系數(shù)法求解析式求得直線血W的解析式，聯(lián)立組成方程組即可求解.

【詳解】(1)解：???已知拋物線+加+4(。*0)與x軸交于/(-1,0),8(2,0)兩點,

Ja-b+4=0

[4a+2b+4=0

a=-2

解得:

b=2

2

???拋物線角星析式為：y=-2x+2x+4f

令x=0,解得：y=4,

(2)存在，

；/(T,0),8(2,0),C(0,4),

.-.OA=1,OB=2,AB=3,OC=4,

若存在以BC為底的等腰△BCF,則C尸=8尸，點尸在/C的垂直平分線上,

如圖，設(shè)3。的垂直平分線交y軸于點N,交8C于點〃，連接8N,

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PliJBN=CN,設(shè)ON=〃，貝！J8N=CN=4-〃，

在RtVNOB中，ON2+OB2=BN2,

.-.n2+22=(4-,

解得：，喝3，

.??點N的坐標為［。，|

???M為的中點,

設(shè)直線MN得到的解析式為y=h+b,

k+b=2

b二

2

k=-

2

解得：

b=)

2

13

??.直線MN的解析式為y=-x+-,

13

y=-x+—

聯(lián)立22

y——2工2+2x+4

3+7893-789

X1二—--,

解得：O

27+789'27-V89

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，等腰三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)與拋物線交點問題，掌握以上知

識是解題的關(guān)鍵.

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2.（2022秋?廣西南寧?九年級校考階段練習）已知拋物線y=af+6x+3經(jīng)過力（-1,0）,8（3,0）兩點，直線/

是拋物線的對稱軸.

⑴求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

⑵設(shè)點尸是直線/上的一個動點，當△尸/C的周長最小時，求點尸的坐標以及這個最小周長；

⑶在直線/上是否存在點使AM4c為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若

不存在，請說明理由.

【答案】⑴y=-x2+2x+3

⑵點尸坐標為（1,2）；AP/C的周長最小值為而+3行

⑶存在符合條件的〃點，且坐標為（1，后），（1，-痛），。，1）,（1，0）.

【分析】⑴把4（-1,。）、3（3,0）代入拋物線解析式,即可求解;

（2）連結(jié)交/于P,根據(jù)拋物線的對稱性可得尸2=P3,從而得到尸C+P/=PC+P3=8C,此時△P/C

的周長最小，再求出直線2C解析式，即可求解;

（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分三種情況討論，即可求解.

【詳解】（1）解：把/（-1,0）、8（3,0）代入拋物線解析式得:

①一

19a+63+H3=30=0解得:a-1

b=2

???拋物線解析式為歹=一一+2%+3.

（2）解：當x=0時，＞=3,

??.C（0,3）,

連結(jié)8C交/于尸，如圖,

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???點A與點3關(guān)于直線/對稱，

：.PA=PB,

：.PC+PA=PC+PB=BC,

此時APAC的周長最小，

設(shè)直線解析式為了=履+4，

把3（3,0）,C（0,3）代入得:

pk+bt=0

I4=3

k=-1

解得:

bl=3'

直線8C解析式為y=-x+3.

把x=l代入得：夕=-1+3=2,

則P坐標為（1,2）.

8（3,0）,C（0,3）,

.-.OA=1,OC=3,OB=3,

■AC^y/OA2+OC2=瓜BC=slOB2+OC2=3五，

貝！]△尸/C的周長最小值=AC+BC=410+3y[2.

（3）解：存在，理由如下：

設(shè)M（l，m）,

已知C（0,3）,

貝！J=〃/+4,AC2=10,MC2=（3-m）2+12=m2-6m+10,

①若M4=MC,則M42="C2,

即m2+4=m2—6m+10,

解得，m=l.

②若M4=/C,則M42=/C2,

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得，加2+4=10,

解得，m=±y/6-

?^MC=AC,則g=AC2,

得，m2-6m+10=10-

解得，ml=0,m2=6,

當"=6時，M,A,C三點共線，構(gòu)不成三角形，不合題意，舍去.

綜上可知，存在符合條件的"點，坐標為(L-V6),(1,1),(1,0).

【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及了拋物線的性質(zhì)及解析式的確定、等腰三角形的判定等知識,

在判定等腰三角形時，一定要根據(jù)不同的腰和底分類進行討論，以免漏解.

【考向二二次函數(shù)中構(gòu)成直角三角形存在性問題】

例題：(2022秋,陜西渭南?九年級統(tǒng)考期末)如圖，拋物線y=x2+6x+c與x軸交于8(3,0)兩點,

與了軸交于點C.

⑴求該拋物線的解析式；

⑵在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使得以尸、8、C為頂點的三角形為直角三角形，若存在，請求出

點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴12—

(2)存在,坐標為(1,2)或(1,-4)或1,

【分析】(1)把H8兩點坐標代入拋物線的解析式，構(gòu)建方程組求出6,c的值即可;

(2)分三種情形：3是直角頂點，C是直角頂點，尸是直角頂點，分別求解即可.

【詳解】(1)???拋物線y=x2+6x+c與x軸交于5(3,0)兩點,

1-6+c=0,b=-2,

9+"+…「解得

c=-3,

???拋物線的解析式為產(chǎn)--2x-3.

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(2)1.,y=x2-2x-3=(x-1)~-4,

?,?拋物線的對稱軸為直線x=l,頂點坐標為。，-4).

如圖，連接8c.

?1?5（3,0）,C（0,-3）

OB=OC=3,NOBC=NOCB=45。,

.?.當N68C=90。時，APXBO=APXBC-AOBC=45°,可得4（1,2）.

當N￡C8=90。時，同理可得￡（l，-4）.

當/APC=90°時，設(shè)點尸的坐標為（1，m）,

則尸C?=1+（加+3）2,PB2=m2+4,8c2=18.

■■PC2+PB2=BC2,

1+（加+3）2+〃，+4=18,

解得嚕言便

/

???點尸的坐標為1，或1>

綜上可得點P的坐標為(1，2)或(1,-4)或卜,一［67］或11,-3；17］.

【點睛】考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是掌握

待定系數(shù)法，學會用分類討論的思想思考問題.

【變式訓練】

1.(2023秋?山東棗莊?九年級統(tǒng)考期末)如圖，拋物線y=/+6x+c與x軸相交于，，8兩點，與y軸相交

于點C,對稱軸為直線x=2,頂點為。，點3的坐標為(3,0).

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（1）求出點/點、點。的坐標及拋物線的解析式；

（2）P是拋物線對稱軸上一動點，是否存在點P,使△尸/C是以NC為斜邊的直角三角形？若存在，請求出點

P的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴￡＞（2,-1）,y=^-4x+3；

（2）存在,尸點坐標為（2,2）或（2,1）.

【分析】（1）根據(jù)對稱軸為直線x=2,點3的坐標為（3,0）,得到關(guān)于6,c的方程組，解方程組，即可得

到拋物線的解析式，令y=。，得到X?-4x+3=0,解方程即可得到點力的坐標，把拋物線的解析式化為頂

點式，即可得到點。的坐標；

（2）先求出點c的坐標，再求出/。=而，設(shè)/c的中點為￡,則設(shè)P（2，。，利用直角三角形

斜邊上的中線等于斜邊的一半得到方程，解方程即可得到答案.

【詳解】（1）解：???對稱軸為直線x=2,點8的坐標為（3,0）.

9+36+c=0

???J=X2-4X+3,

令歹=0,――4、+3=0,

Xi—3,X2=1,

???/(1,0),

是拋物線的頂點，y=x2—4x+3=(x—2)—1,

.??。(2,-1),

(2)存在，理由如下：

當％=0時，y=x2-4x+3=3,

???C(0,3),

OC=3,

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?”(1,0),

OC=1,

■■■AC=^IOA2+OC2=Vio，

設(shè)/c的中點為E,則設(shè)尸(2,/),

???△尸/C是以4C為斜邊的直角三角形，

.-.PE=-AC,

；.P（2,2）或尸（2,1）,

???使△尸/C是以ZC為斜邊的直角三角形時，P點坐標為（2,2）或（2,1）.

【點睛】此題考查了二次函數(shù)與幾何綜合題，用到了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、拋物線與坐標軸的交點、

拋物線的頂點、直角三角形的性質(zhì)等知識，讀懂題意，準確計算是解題的關(guān)鍵.

2.（2023秋?山西陽泉?九年級統(tǒng)考期末）如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線了="2+瓜+。（。20）的

頂點坐標為C（3,6）,并與y軸交于點8（0,3）,點A是對稱軸與x軸的交點，直線48與拋物線的另一個交點

為D.

（1）求拋物線的解析式；

⑵連接BC、CD,判斷△BCD是什么特殊三角形，并說明理由；

⑶在坐標軸上是否存在一點P,使△8。尸為以80為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫出點尸坐標；若

不存在，說明理由.

【答案】⑴y=-#+2x+3

⑵△BCD是直角三角形，理由見解析

（3）存在，點尸的坐標為（15,0）,（-3,0）或（0,-15）

【分析】（1）由題意可設(shè)拋物線頂點式為y=a（x-3『+6,然后將點2（0,3）代入求解即可；

（2）先求出直線月3的解析式，然后聯(lián)立直線的解析式和拋物線的解析式得出點。的坐標，最后利用

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勾股定理證明即可；

(3)分兩種情況討論：①當點尸在x軸上時，②當點尸在了軸上時，根據(jù)勾股定理進行求解即可.

【詳解】(1)???拋物線的頂點坐標為C(3,6),

???可設(shè)拋物線頂點式為y="x-3y+6,

將點8(0,3)代入頂點式得3=a(O-3)2+6,

解得°=,

二夕=

3

(2)△8。是直角三角形，理由如下:

???直線過點8(0,3),

.??設(shè)直線AB的解析式為y=kx+3,

???點A是對稱軸與x軸的交點,

???/（3,0）,

把點/(3,0)代入》=履+3,并解得上=-1,

???直線AB的解析式為y=-X+3,

y=—x+3

再=0X2=9

聯(lián)立12?！?，并解得

y=——x+2x+3/=3.%=-6

3

.-.SC2=（3-0）2+（6-3）2=18,5D2=（9-0）2+（-6-3）2=162,

CD2=（9-3）2+（-6-6）2=180,

???CD2=BC2+BD2,

.?.△2CD是直角三角形;

(3)存在，點尸的坐標為(15,0),(-3,0)或(0,-15).

①當點P在x軸上時，設(shè)尸(x,0),

■-BD2=162,BP2=X2+32,DP2=（X-9）2+62,

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若8尸為斜邊，則有/+32=@一9『+62+162,

解得x=15,

???々（15,0）,

若DP為斜邊，則有（x-9）?+62=*+32+162,

解得了=-3,

.-?^（-3,0）；

②當點P在丁軸上時，設(shè)尸（。,切，

-.BD2=162,8P2=（/-3『，Z）P2=92+（y+6）2,

若AP為斜邊，則有一3）2=9?+壯+6）2+162,

解得了=-15,

.??月（0,-15）,

若。尸為斜邊，則有92+壯+6）2=（＞一3）2+162,

解得＞=3（與8點重合舍去），

綜上所述，點尸的坐標為（15,0）,（-3,0）或（0,-15）.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，能夠利用勾股定理證明直角三

角形是解題的關(guān)鍵.

3.（2023秋?廣東廣州?九年級統(tǒng)考期末）拋物線＞=如2+加-4（°工0）與工軸交于點/（-2,0）和3（4,0）,與

V軸交于點C,連接3c.點P是線段2C下方拋物線上的一個動點（不與點3,C重合），過點尸作了軸的

平行線交3c于交x軸于N.

信用圖）

（1）求該拋物線的解析式；

⑵過點C作。/，PN于點H,BN=3cH,

①求點P的坐標；

②連接CP,在y軸上是否存在點0,使得VCP0為直角三角形？若存在，求出點。的坐標；若不存在，請

說明理由.

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【答案】(l)y=|x2-x-4

【分析】(1)用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式即可；

(2)①由題可得。CHN為矩形，根據(jù)8N=3C”,可得點尸的橫坐標，代入解析式即可求出坐標；②分

NCPQ=90°和ZCQP=900兩種情況解題即可.

【詳解】(1)解：把點(-2,0)和(4,0)代入了="2+云-4得:

J4"26-4=0

[16。+46-4=0'

-1

d——

解得：＜2,

b=-\

12

:.y=—x-x-4A

2

(2)①解：?.?C//_LPN,PN_Lx軸，ZCOB=90°

???四邊形OC/W為矩形，

：,ON=HC

???BN=3CH

：.ON=1

119

當x=l時)=5乂12_1_4=_5

②由題可知，顯然一尸。。不能為90。

如圖，當/C尸。=90。時，

9

在RtVOW中，CH=1,PH=—4—i

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■■CP=^CH2+PH1=

，:PNPy軸，

:.NPCQ=NCPH

???cosZPCQ=cosNCPH,

即：i=-

V5CQ

2

解得：C0=|,

如圖，當-C0尸=90。時,

顯然，OQPN為矩形,

9

...OQ=NP=~,

.??點Q的坐標為

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綜上所述：點。的坐標為或

【點睛】本題考查二次函數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)，勾股定理和三角函數(shù)，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

【考向三二次函數(shù)中構(gòu)成三角形相似存在性問題】

例題：(2022秋?廣西百色?九年級統(tǒng)考期中)如圖，拋物線經(jīng)過點/(-2,0),8(-3,3)和坐標原點。，頂點為

C.

⑴求拋物線的表達式；

⑵求證：V8OC是直角三角形；

(3)若點尸是拋物線上第一象限內(nèi)的一個動點，過點尸作尸MJLx軸，垂足為是否存在點P,使得以產(chǎn),

M,4為頂點的三角形與V50C相似？若存在，求出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴N=/+2x

(2)見解析

⑶存在，點P坐標為或(3,15)

【分析】(D設(shè)拋物線的解析式為y="2+6x+c(aw0),把點/(-2,0),5(-3,3),0(0,0),代入求出

b,c的值即可；

(2)先求出點C坐標，然后根據(jù)4B、C的坐標，分別求出Be?、OB。、OC2,利用勾股定理逆定理判

定即可；

(3)分VPK4SVCO8和VPH4SV8OC表示出PM和,從而表示出點尸的坐標，代入求得的拋物線的

解析式即可求得/的值，從而確定點尸的坐標.

【詳解】(1)解：設(shè)拋物線的解析式為了=〃尤2+云+。(。/0),

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將點4(—2,0),8(—3,3),0(0,0),代入可得:

4。一2b+c=0

<9。一3b+。=3,

c=0

Q=1

解得：6=2,

c=0

所以函數(shù)解析式為：y=f+2x；

(2)證明：vj；=x2+2x=(x+1)2-1,

拋物線的頂點C的坐標為(-1,-1),

?-?0(0,0),5(-3,3),

:.OB2=(-3-0)2+(3-0)=18,OC2=(-1-0)2+(-1-0)=2,

BC2=[-3-(-1)]2+[3-(-1)]=20,

■-OB2+OC2=BC2,

??.VBOC是直角三角形；

(3)解：假設(shè)存在點P,使以尸，M,A為頂點的三角形與V8OC相似，如圖,

設(shè)尸(x,y),由題意知x>0,>>0,且y=/+2x,

由(2)知，V8OC為宜角三角形，ZCO5=90°,H.OC:OB=1:3,

①若VPMAsVCOB,則鬻=能，

D(JCC7

即x+2=3，+2x),得

西=；,%2=-2(舍去)，當x=g時，y=^,即也，1);

AMPM

②若YPMASXJBOC,

~OC~~BO

即：x2+2x=3(x+2),

得：玉=3,X2=-2(舍去)當x=3時，J=15,即P(3,15).

???存在，當點尸坐標為或(3/5),使得以尸，M,/為頂點的三角形與V20C相似.

高考復習材料

【點睛】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、兩點間距離、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)

等知識點，綜合性強，同時也考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法.

【變式訓練】

1.(2023秋?湖南株洲?九年級統(tǒng)考期末)如圖，以。為頂點的拋物線了=-3/+云+。交x軸于/、B兩點,

交y軸于點C,直線8C的表達式為＞=-x+6.

⑴求拋物線的表達式；

⑵在直線2C上存在一點P,使PO+"的值最小，求此最小值；

⑶在x軸上是否存在一點。，使得以/、C、。為頂點的三角形與△5CD相似？若存在，請求出點。的坐

標；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴了=-9+2》+6

(2)10

⑶當0的坐標為(0,0)或(18,0)時，以/、C、0為頂點的三角形與△BCD相似

【分析】(1)先根據(jù)一次函數(shù)解析式求出8、C的坐標，再利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；

(2)由正方形的性質(zhì)和判定求出點。關(guān)于直線BC的對稱點就是。'(6,6),進一步推出PO+P/有最小值且

等于的長度，求出點/的坐標，利用勾股定理求出N。'的長即可得到答案.

(3)先求出點。的坐標，進而利用勾股定理和勾股定理的逆定理證明△BCD是直角三角形，再證明

MAOC^MDCB,得到=則分當時，當時，兩種情況利用

相似三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)解：把x=0代入＞=-x+6,得：y=6,

.-.C(0,6),

把y=o代入y=-x+6得：x=6,

0),

—x6~+6b+c=0

由點8、C在拋物線上可得：2

c-6

高考復習材料

=2

=6

二拋物線的解析式為了=_(/+2》+6；

(2)解：由(1)所得8(6。)，C(0,6)可知以線段08、0c為鄰邊的四邊形為正方形，其第四個頂點的

坐標為(6,6),記為0(6,6).

由正方形的性質(zhì)可知點。關(guān)于直線3c的對稱點就是。'.

與。關(guān)于2C對稱，

:.P0=P0',

：.PO+PA=PO'+AP>AO',

.?.當4尸、。在一條直線上時，尸。+P/有最小值且等于/O'的長度.

當y=0,即一!/+2；￡+6=0時，

2

解得x=-2或x=6,

.??，(-2,0),

???A0'=^(-2-6)2+(O-6)2=10，

二尸0+P4的最小值為10；

119

(3)解：???拋物線解析式為/=-,/+2尤+6=-,(x-2)-+8,

點。的坐標為(2,8),

又?.?C(O,6)、8(6,0),

??-5C=V62+62=6A/2>C￡>=舟+(8-6)2=2后，BD=^(2-6)2+82=475>

???(6亞丫+(2后丫=go=(4對，

■-BC2+CD2=BD2,

/./BCD=90°,

AC=@+62=2V10，

OA21CD2V2

ZAOC=ZDCB=90°,

OC-6-3-SC6?2

MAOC^MDCB,

：,/CAO=/BDC,

當△40—則條器，即舞,

高考復習材料

AQ=2Q,

???0(18,0)；

當時，則生=四，即冬%=斗，

"BDCD4^/52V2

.-.AQ=2,

2(0,0)

綜上所述，當。的坐標為(0,0)或(18,0)時，以/、C、。為頂點的三角形與△BCD相似.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，軸對稱最短路

徑問題，勾股定理和勾股定理的逆定理，正方形的性質(zhì)與判定等等，靈活運用所學知識是解題的關(guān)鍵.

2.(2023秋?湖南邵陽?九年級統(tǒng)考期末)如圖，拋物線了=江+法+。("0)與》軸交于點/(-1,0)、2兩點,

頂點。(L4),過點/的直線與拋物線相交于點C,與拋物線對稱軸。尸交于點E,ZCAB=45°.

⑴求該拋物線解析式；

⑵在對稱軸。尸上是否存在一點使以點/、E、M為頂點的三角形與VCDE相似，若存在，求出點M的

坐標；若不存在，請說明理由.

⑶點P是線段NC上一動點，過點尸作直線尸。，x軸交拋物線于點。，當線段尸。的長度最大時，求尸點

坐標與尸。的最大值.

【答案】⑴y=-(x-l『+4或＞=-犬+2工+3

⑵存在，M(1,-2)或(1,0)

高考復習材料

【分析】（1）根據(jù)拋物線的頂點為。（1,4）可設(shè)了=a（x-l『+4,再把/的坐標代入計算即可；

（2）如圖，y=-（x-iy+4的對稱軸為直線x=l,先求解直線NC：y=x+l；C（2,3）;由C（2,3）,

。（1,4）,E（l,2）結(jié)合勾股定理可得，Z>￡=4-2=2.CE=^/（2-1）2+（3-2）2=V2,AE=^22+22=272-

再分兩種情況討論：當時，則D巖E=C與E，當A時A，則DE=CE,從而

MEAEAEMXE

可得答案；

（3）設(shè)點尸（加,加+1）,則點。（a,-/+2加+3）,可得

尸0=（-加2+2機+3）-（加+1）=-加2+加+2=-1加-g]+；,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題即可.

【詳解】（1）解：由題意可設(shè)>=〃（無-仔+4,將，（TO）代人解析式中得，

a=—\,

2

-'?y=-(x-1)+4或^=-%2+2x+3.

(2)如圖，y=—(x—17+4的對稱軸為直線x=l,

???方(1,0),而

???AF=2,

-ZCAB=45°,

；.EF=AF=2,

..?￡（1,2）,設(shè)4C為〉=機工+幾,

—m+n=0m=l

.，解得:

m+n=2n=1

???直線=%+l；

高考復習材料

令x+l=-x?+2x+3,解得X]=-l,%=2,所以C(2,3)；

由C(2,3),n(l,4),￡0,2)結(jié)合勾股定理可得，

￡>￡=4-2=2.CE=^(2-1)2+(3-2)2=41-AE=^+i1=272>

當時，則D一E二一CE,

MEAE

2V2

"ME2V2)

??.EM=4,貝U"F=2,

當時，則D石E=瓦CE下，

2_V2

"2V2MXE'

■.EM,=2,此時尸重合，

???存在點”(1,-2)或(1,0)；

(3)如圖，

高考復習材料

2+2/M+3)

2

PQ=^-m+2加+3)—(加+1)=—加2+m+2=-m--

19

...當加=5時，尸。最大，最大值為尸。

此時P

【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，勾股定理的應用，相似三角形的判定與性質(zhì),

二次函數(shù)的性質(zhì)，清晰的分類討論與數(shù)形結(jié)合的方法都是解本題的關(guān)鍵.

【考向四二次函數(shù)中構(gòu)成矩形存在性問題】

例題：(2023秋?貴州遵義?九年級統(tǒng)考期末)己知拋物線與x軸交于點，(-1,0)、8(3,0),與丁軸交于點

C(0,3).

⑴求拋物線解析式；

⑵如圖①，若點尸是第一象限內(nèi)拋物線上一動點，過點尸作尸于點。，求線段加長的最大值

⑶如圖②，若點N是拋物線上另一動點，點〃■是平面內(nèi)一點，是否存在以點8、C、M、N為頂點，且

以2C為邊的矩形，若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由

【答案】⑴拋物線解析式為y=*+2x+3

高考復習材料

⑵。P的長的最大值為逑

8

⑶存在，點”的坐標為(4,1)或(-5,-2)

【分析】(1)根據(jù)題意，設(shè)拋物線解析式為V="x+l)(x-3),再把C(0,3)代入，計算即可得出答案；

(2)過點尸作尸軸交于點E,交8C于點尸，根據(jù)題意，得出O3=OC=3,進而得出NO8C=45。,

再根據(jù)直角三角形兩銳角互余，得出Z8FE=45。，再根據(jù)對頂角相等，得出/DFP=NBFE=45。,進而得

出△￡)￡?是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，得出DF=DP上PF,再根據(jù)待定系數(shù)法

2

求出直線3c的解析式，然后設(shè)點尸"，-r+2/+3),貝+再根據(jù)兩點之間的距離公式，得出

2

PF=-t+3t,DF=DP=—PF,得出DP=-也+—,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得

2212J8

出答案；

(3)根據(jù)題意，設(shè)N("L"2+2〃+3),然后分兩種情況：當"、N在直線8c的上方時和當M、N在直

線BC的下方時，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，即可得出點M的

坐標.

【詳解】(1)解：???拋物線與x軸交于點/(-1,0)、8(3,0),

???設(shè)拋物線解析式為蚱”x+l)(x-3),

又???拋物線與了軸交于點C(。,3),

.?.把C(0,3)代入昨a(x+l)(x-3),

可得：一30=3,

解得：a=-\,

???拋物線解析式為廣-(x+l)(x-3)—+2x+3；

(2)解：過點P作PELx軸交于點E,交8C于點尸，

?.?8(3,0),C(0,3),

OB=OC=3,

ZOBC=45°,

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???_Lx軸，

/.ZBEF=90°,

ZBFE=90°-ZEBF=90°-ZOBC=90°-45°=45°,

；,/DFP=/BFE=45。,

?:PDIBC,

???/PDF=90°,

:.2FP是等腰直角三角形，

V2

：.DF=DP=JpF,

2

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,

???5(3,0),C(0,3),

b=3

???可得:

3k+b=0

解得:

???直線3C的解析式為V=-％+3,

設(shè)點網(wǎng)。一產(chǎn)+2f+3),貝I］尸(3T+3),

???PF=—t+2%+3+%—3=—%+3%,

972

H-------

??.當仁1時，。尸的長的最大值為處；

28

(3)解:存在以點3、C、M、N為頂點，且以2c為邊的矩形，理由如下：

設(shè)N(n,-ri?+2〃+3),

如圖1,當M、N在直線5C的上方時，過點N作軸交于點G,過點"作必/Lx軸交于點〃,

???ZNCB=90°,

：.ZGCN+ZOCB=90°,

高考復習材料

???ZOCB+ZOBC=90°,

：2GCN=40BC,

??,YGCNSYOBC,

CG-GN,即〃=-〃之+2〃+3-3,

解得：〃=1,

.?.N（1,4）,

：?CN=五，

???BM二日

vZHBM=90°-ZOBC=45°,

??.BH=HM=1,

/.Af（4,l）;

如圖2,當M、N在直線5c的下方時，過點8作0軸，過點。作”，尸。交于點尸，過點N作

N。，尸。交于。點，過點”作腦?，尸。交于點及，

同理可得：MBCPsVNBQ,

:.NQ=BQ,即3—〃2〃—3,

解得：K=3（舍去）或〃=-2,

???N（-2,-5）,

:.BN=5近，

：?CM=5近,

?；/RCM=45°,

；.CR=RM=5,

：.M（-5,-2）,

高考復習材料

綜上所述：點〃的坐標為（4,1）或（-5,-2）.

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、直角三角形兩銳角互余、等

腰直角三角形的性質(zhì)、求一次函數(shù)解析式、兩點之間的距離公式、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì),

解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理，并正確作出輔助線.

【變式訓練】

1.（2022秋?湖北黃岡?九年級統(tǒng)考期末）如圖，拋物線＞=-—+2》+3與x軸交于/、8兩點（點/在點8的

左邊），與丁軸交于點C,點。和點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱.

⑴求直線4D的解析式；

⑵如圖，直線4D上方的拋物線上有一點R過點尸作FGLAD于點G,求線段FG的最大值；

⑶點M是拋物線的頂點，點P是y軸上一點，點0是坐標平面內(nèi)一點，以N,M,P,。為頂點的四邊形

是以為邊的矩形，求點。的坐標.

【答案】⑴直線的解析式為V=x+1;

⑵尸G的最大值為：馴1；

8

⑶?？诨颉?

【分析】（1）先求解/，B,C的坐標，再求解。的坐標，再利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式即可；

（2）記/。于》軸的交點為E,證明△CME為等腰直角三角形，過尸作FN〃夕軸交2。于N,X/FGN為

等腰直角三角形，則FG=1FN,設(shè)尸（x,-x?+2x+3）,則N（x,x+1）,再建立二次函數(shù)，利用二次函

數(shù)的性質(zhì)解題即可；

（3）如圖，當尸在W的右邊,記直線交y軸于R,y=-x2+2x+3=-（x-l）2+4,則M（l,4）,求解

直線的解析式為＞=2x+2,可得尺（0,2）,設(shè)尸（0,y）,而四邊形/尸0M為矩形，可得/冗4尸=90。,

再利用勾股定理建立方程求解尸結(jié)合平移的性質(zhì)可得：如圖，當尸在的左邊，同理

可得：尸［o，j］，結(jié)合平移的性質(zhì)可得：

【詳解】（1）解：當x=0時，y=-x2+2x+3=3,則C（0,3）,

高考復習材料

當y=0時，一/+2工+3=0,

解得占=一1,X2=3,則/(TO),5(3,0),

,?*y=—x~+2x+3=—(x—1)+4,

???拋物線對稱軸為直線x=1,而點。和點C關(guān)于直線x=1對稱,

???0(2,3),

設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b,

/\/\[―左+6=0

把N(-1,O),0(2,3)分別代入得

，用+0=3

??.直線/。的解析式為＞=x+l；

（2）記4D于y軸的交點為E,

當x=0時，y=x+\=\,則￡（0,1）,

OA=OE,

??.△CUE為等腰直角三角形，

.?./EAO=/AEO=45。,

過尸作FN〃天軸交4。于N,

??.ZFNG=45°,

設(shè)尸卜，一%?+2x+3）,則N（x,x+1）,

J=—+2x+3—x—1=--+X+2=-1X|H—,

12；4

1—9

當時’網(wǎng)有最大值“

高考復習材料

血的最大值為：》率理

（3）如圖，當尸在NM的右邊,

記直線交y軸于尺，y=-x2+2x+3=-（x-iy+4,則M（l,4）,

設(shè)直線AM的解析式為y=mx+n,

—m+〃=0

把N（-1,O）、抑（1,4）分別代入得

m+n=4

m=2

解得

n=2

二直線AM的解析式為V=2x+2,

當x=0時，y=2x+2=2,則7?（0,2）,

設(shè)尸（0,力，而四邊形N尸刎為矩形,

ZRAP=90°,

.-.（2-y）2=l2+/+l2+22,

解得：y=~,即尸

由平移的性質(zhì)可得：。,彳）

如圖，當P在的左邊，

同理可得：（y-2）2=（1-0）2+（4-2）2+（0-1）2+（y-4）2,

高考復習材料

解得：了=|,即40,9

由平移的性質(zhì)可得：°（一2,￡|；

綜上”］臼或4-2,"

【點睛】本題考查的是二次函數(shù)與坐標軸的交點，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理的應用，等腰直角三角形的

判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，平移的性質(zhì)，熟練的建立二次函數(shù)模型再利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題

是解本題的關(guān)鍵.

2.（2023秋?廣東江門?九年級?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標系中，已知拋物線＞="2+加-2（。力0）交

x軸于4（-1,0）、2兩點，交y軸于點C,其對稱軸為x=1.5,

⑴求該拋物線的函數(shù)解析式；

（2）P為第四象限內(nèi)拋物線上一點，連接P8,過點C作C0〃8P交x軸于點0,連接P。，求VP50面積的

最大值及此時點P的坐標.

⑶在（2）的條件下，將拋物線了="2+樂-2,/0）向右平移經(jīng)過點0,得到新拋物線，點￡在新拋物線

的對稱軸上，是否在平面內(nèi)存在一點凡使得以/、P、E、尸為頂點的四邊形是矩形？若存在，直接寫出點

下的坐標；若不存在，請說明理由.

1Q

［^1（l）y=