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文檔簡介
廣東省梅州市2024屆高三下學(xué)期總復(fù)習(xí)質(zhì)檢(二模)數(shù)學(xué)試題
學(xué)校:姓名:班級:考號:
一、單選題
1.常言道:“不經(jīng)歷風(fēng)雨,怎么見彩虹”.就此話而言,“經(jīng)歷風(fēng)雨”是“見彩虹”的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
2.已知集合A={x|y=ln(x-l)},B={y|y=尤?-4x,xwA},則A°3=()
A.B.[-4,1)
C.(-3,+oo)D.[-4,+oo)
3.三個函數(shù)/(*)=/+%-3,g(x)=lnx+x—3,〃(x)=e,+x-3的零點(diǎn)分別為a,b,c,則
。力,。之間的大小關(guān)系為()
A.a<b<cB.c<a<b
C.a<c<bD.b<c<a
4.如圖,兩根繩子把物體M吊在水平桿子AB上.已知物體M的重力大小為20牛,且
ZAOM=150°,在下列角度中,當(dāng)角夕取哪個值時,繩承受的拉力最小.()
5.若把函數(shù)〃x)=sinx+acosx的圖象向左平移g個單位后得到的是一個偶函數(shù),貝
()
A.6B.YC.BD.-在
33
6.據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(4,匕),(N,/),,,?>(/,加),求得經(jīng)驗回歸方程為y=L2x+0.4,
且平均數(shù)以=3,現(xiàn)發(fā)現(xiàn)這組樣本數(shù)據(jù)中有兩個樣本點(diǎn)(1-2,0.5)和(4.8,7.5)誤差較大,去除后,
重新求得的經(jīng)驗回歸方程為y=LLx+a,貝1J"=()
A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8
7.某學(xué)校為參加辯論比賽,選出8名學(xué)生,其中3名男生和5名女生,為了更好備賽和作
進(jìn)一步選拔,現(xiàn)將這8名學(xué)生隨機(jī)地平均分成兩隊進(jìn)行試賽,那么兩隊中均有男生的概率是
()
A.-B.-C.-D.-
7777
8.已知點(diǎn)尸為雙曲線C:三-9=1的右焦點(diǎn),點(diǎn)N在x軸上(非雙曲線頂點(diǎn)),若對于在
3
雙曲線C上(除頂點(diǎn)外)任一點(diǎn)P,NEPN恒是銳角,則點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的取值范圍為()
二、多選題
9.設(shè)4,句是復(fù)數(shù),則下列說法正確的是()
A.若z;=0,則4=0B.若z;+z;=0,貝”|=Z2=0
C.1^-i-zJ=I^+i-zJD.若z;=z;,則㈤=區(qū)|
10.已知數(shù)列{《,}的通項公式為。“=3〃,〃eN*,在{q}中依次選取若干項(至少3項)氣,
怎2,”,…,氣,,…,使{4“}成為一個等比數(shù)列,則下列說法正確的是()
A.若取用=1,左2=3,貝|J&=9
B.滿足題意的{發(fā)}也必是一個等比數(shù)列
C.在{%}的前100項中,{”,}的可能項數(shù)最多是6
D.如果把{%}中滿足等比的項一直取下去,{保}總是無窮數(shù)列
11.如圖,平面ABNAa,|AB|=WW|=2,M為線段48的中點(diǎn),直線與平面a的所
成角大小為30。,點(diǎn)尸為平面。內(nèi)的動點(diǎn),則()
試卷第2頁,共4頁
N
A.以N為球心,半徑為2的球面在平面a上的截痕長為2萬
B.若P到點(diǎn)M和點(diǎn)N的距離相等,則點(diǎn)尸的軌跡是一條直線
C.若P到直線的距離為1,則的最大值為三
2
D.滿足NMNP=45。的點(diǎn)P的軌跡是橢圓
三、填空題
12.某中學(xué)1500名同學(xué)參加一分鐘跳繩測試,經(jīng)統(tǒng)計,成績X近似服從正態(tài)分布N(150,〃),
已知成績大于170次的有300人,則可估計該校一分鐘跳繩成績X在130?150次之間的人
數(shù)約為.
13.已知數(shù)列{%}的通項公式%=(-1)"苧(〃eN*),則立處=勺為…%的最小值為___
2左=1
14.在平面直角坐標(biāo)系宜刀中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),定義「(占%)、。(%,為)兩點(diǎn)之間的“直角
距離”為d(p,2)=k-⑥l+M-yzl.已知兩定點(diǎn)A(T。),3(1,0),則滿足
d(M,A)+d(M,B)=4的點(diǎn)M的軌跡所圍成的圖形面積為.
四、解答題
15.已知橢圓C:.+'=1(&>3>0)的離心率為且經(jīng)過點(diǎn)
⑴求橢圓C的方程:
⑵求橢圓c上的點(diǎn)到直線/:y=2尤的距離的最大值.
16.在ABC中,角A,B,。所對應(yīng)的邊分別為a,b,c,y/3acosB-bsinA=,c=2,
⑴求A的大?。?/p>
(2)點(diǎn)D在BC上,
(I)當(dāng)且AD=1時,求AC的長;
(II)當(dāng)BD=2DC,且AD=1時,求MC的面積5加一
17.如圖,在四棱錐P-ABC。中,平面上位>,平面A3CD,底面ABC。為直角梯形,上4£(
為等邊三角形,AD//BC,ADJ.AB,AD=AB=2BC=2.
AB
⑴求證:ADA.PC;
(2)點(diǎn)N在棱尸C上運(yùn)動,求△ADN面積的最小值;
⑶點(diǎn)/為PB的中點(diǎn),在棱PC上找一點(diǎn)Q,使得AM〃平面求黑的值.
18.已知函數(shù)/(彳)=孑,g(x)=x2+1,/z(x)=asinx+l(a>0).
⑴證明:當(dāng)w?0,+oo)時,/(x)>g(x);
⑵討論函數(shù)尸(X)=y(x)-/z(x)在(0,兀)上的零點(diǎn)個數(shù).
19.已知{%}是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列,該數(shù)列前"項的最大值記為加“,即
M,=max{%,%,…,%};前〃項的最小值記為加“,即肛,=min{%,%,令P”=M"一叫
(九=1,2,3,…),并將數(shù)列{p“}稱為{%}的“生成數(shù)列”.
⑴若見=3",求其生成數(shù)列{口,}的前〃項和;
(2)設(shè)數(shù)列3}的“生成數(shù)列”為{&},求證:P,,=%;
(3)若{4}是等差數(shù)列,證明:存在正整數(shù)既,當(dāng)時,a”,an+l,an+2,…是等差數(shù)列.
試卷第4頁,共4頁
參考答案:
1.B
【分析】根據(jù)必要不充分條件的定義求解
【詳解】由題意,經(jīng)歷風(fēng)雨不一定會見彩虹,但見彩虹一定是經(jīng)歷風(fēng)雨,
所以“經(jīng)歷風(fēng)雨”是“見彩虹”的必要不充分條件.
故選:B.
2.D
【分析】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合A,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出集合8,最后根據(jù)并集
的定義計算即可.
【詳解】因為A={x|y=ln(x-l)}={尤|x>l},
二次函數(shù)y=x2-4x=(x-2)2-4W,當(dāng)且僅當(dāng)尤=2時取等號,
所以3={y|y=爐-4蒼天6A}={y|y2-4},
所以=
故選:D
3.B
【分析】根據(jù)題意,將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo),畫出函數(shù)的圖象,根據(jù)圖
象即可得到。,"c的大小關(guān)系.
【詳解】函數(shù)/(x)=/+x-3,g(x)=lnx+x-3,%(x)=e、'+x-3的零點(diǎn),
即函數(shù)y=x3,y=e,,y=lnx,y=3-x的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo),
在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出>=6)丁=11?,'=3-工的圖象,
b'x
由圖象可知,c<a<b.
故選:B.
4.C
答案第1頁,共15頁
【分析】由題意作出圖形,在△ON。中利用正弦定理列式,得到|00|的表達(dá)式,結(jié)合正弦
函數(shù)的性質(zhì)算出IOQ|的最小值.
【詳解】作出示意圖,設(shè)與物體M平衡的力對應(yīng)的向量為ON,則|CW|=20,
N
以O(shè)N為對角線作平行四邊形OPNQ,則ON=OP+OQ,|OQ|是繩03承受的拉力大小,
由ZAOM=150°,得ZAQV=30°,所以NON。=ZAON=30。,
△ON。中,由正弦定理得—獷高梟20OQ
sin(18O0-6>)-sin30°J
20sin30°10
可得|OQ|=OQ=
sin(180°-6>)sin。
結(jié)合0°<e<180°,可知當(dāng)6=90。時,|OQ|達(dá)到最小值10.
綜上所述,當(dāng)角。=90。時,繩承受的拉力最小.
故選:C
5.C
【分析】根據(jù)函數(shù)平移可得平移后的解析式g(x)=sin(x+攵+acos(x+》根據(jù)g(-x)=g(元),
即可由和差角公式化簡求解.
【詳解】把函數(shù)/(尤)=sinx+ocosx的圖象向左平移g個單位后得到g(x)=sin(x+;)+acos(x+g),
g(-x)=g(無),
兀兀兀兀
貝Usin(-x+—)+?cos(-x+—)=sin(x+—)+?cos(x+—),
BPcosx--sinx+a(—cosx——-sinx)=—sinxd——-cosx+a(—cosx-sinx),
22222222
即(且3sinx=d-走〃)sinx,該方程對任意xeR恒成立,
2222
則且解得q=走.
22223
故選:C.
答案第2頁,共15頁
6.C
【分析】根據(jù)原來的經(jīng)驗回歸方程求出廠,經(jīng)計算可知去除兩個樣本點(diǎn)后,樣本點(diǎn)的中心仍
為(3,4),代入重新求得的經(jīng)驗回歸方程/=Llx+a,即可求出。的值.
【詳解】因為原來的經(jīng)驗回歸方程為V=L2x+0.4,且平均數(shù)元=3,
所以歹=12x3+0.4=4,
因為去除的兩個樣本點(diǎn)(120.5)和(4.8,7.5),并且氣經(jīng)=3,竺產(chǎn)=4,
所以去除兩個樣本點(diǎn)后,樣本點(diǎn)的中心仍為(3,4),
代入重新求得的經(jīng)驗回歸方程9=L1X+。,可得4=l.lx3+a,
解得a=0.7.
故選:C.
7.D
【分析】根據(jù)題意,由組合數(shù)公式計算出從8人中選出4人的情況,進(jìn)而分兩種情況討論:
選出的4人中2男2女,1男3女,再結(jié)合古典概型可解.
【詳解】根據(jù)題意,從8人中選出4人,有C;=70種選法,
分2種情況討論:
①選出的4人中有2名男生和2名女生,有C1C;=30種選法,
②選出的4人中有1名男生和3名女生,有C;.C;=30種選法,
則兩隊中均有男生的概率尸=黑號.
故選:D.
8.C
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算,把ZRPN恒是銳角轉(zhuǎn)化為尸尸.RV>0可得
4v2
——(%o+2)x+(2x0—1)>0恒成立,即可根據(jù)判別式求解.
【詳解】由題意可得°歷=2,所以尸(2,0),
設(shè)Na。,。),P(x,y),
貝?。軵F=(2-x,-y),PN=(x0-x,-y),
由/FPN恒是銳角,得PF-PN=(2-x)(x0-x)+/>o,
答案第3頁,共15頁
又-^一丁2=1,...丁=—1,
3。
,不等式可化為:(2-x)(Xo-x)+—1>0,
4Y2
整理得:——(%+2)x+(2x0—1)>0,
只需A=(%+2產(chǎn)一日(2%—1)<0,
14
解得2<%〈了.
故選:C.
9.ACD
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模長的運(yùn)算性質(zhì)即可求解ACD,舉反例即可判斷B.
【詳解】對于A,z;=0,則|z;|=H『=O,解得|z"=0,即z=0,故A正確;
對于B,4=i,Z2=1,滿足Z;+Z;=0,但Z]WZ2,故B錯誤;
對于C,[4-iZ]|=|Z](l-i)|=|l-i||Zj|=72|Zj|,
|4+i-馬|=|4(1+i)]=|4||1+ib夜囪],故C正確;
對于D,z;=z;,貝力z;|=|z;I,即|才=%/,§PIZ1|=|z21,故D正確.
故選:ACD.
10.AB
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)判斷A、B、D,利用反例說明C.
【詳解】因為數(shù)列{%}的通項公式為外,=3w,
對于A,取尤=1,&=3,則%=。1=3,%=%=9,
由于{%}為等比數(shù)列,則%=27,則有弘3=27,即&=9,故A正確;
對于B,數(shù)列{%}的通項公式為%=3",則%=3%,
答案第4頁,共15頁
若{”}為等比數(shù)列,即陽,3月,3k3,…,3k“,…是等比數(shù)列,
則a,k2,k?,是等比數(shù)列,
故滿足題意的{片}也必是一個等比數(shù)列,故B正確;
對于C,在{。0}的前100項中,可以取勺=1,k1=2,匕=4,&=8,勺=16,%=32,勺=64,
可以使{”,}成為一個等比數(shù)列,此時{保}為7項,故C錯誤;
Q1
對于D,取左1=4,左2=6,則%=12,〃七=18,則〃3=27,%=萬,
Q1
4,=]不是數(shù)列{%}的項,
所以把{4}中滿足等比的項一直取下去,{火J不總是無窮數(shù)列,故D錯誤.
故選:AB.
11.BC
【分析】根據(jù)點(diǎn)N到平面a的距離d=|MMsin3。=1,結(jié)合球的截面性質(zhì)可得截面圓的半徑,
即可求解A,建立空間直角坐標(biāo)系,利用點(diǎn)點(diǎn)建立公式,化簡可判斷B,根據(jù)點(diǎn)到直線的距
2
離公式,可得尸的軌跡是平面a內(nèi)的橢圓尤2+匕=1上一點(diǎn),即可根據(jù)橢圓的性質(zhì)求解C,
4
根據(jù)向量的夾角公式即可化簡求解P的軌跡為(>-2@工2_1且>〈述,即可求解D.
423
【詳解】對于A,由于MN與平面a的所成角大小為30。,所以點(diǎn)N到平面a的距離
d=|M/V|sin30=1,
故半徑為R=2的球面在平面a上截面圓的半徑為r=4代—d。=石,故截痕長為2〃=2后,
A錯誤,
對于B,由于平面ABNAa,所以以A8為y,在平面a內(nèi)過M作%,A3,平面ABN內(nèi)作
z±AB,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則M(0,0,0),2(0,1,0),A(0,-1,0),N(0,石,1),
設(shè)P(x,y,0),貝1]|尸根=儼'|=/+;/=/+卜-6)2+1,
2
化簡得y=用,故P到點(diǎn)〃和點(diǎn)N的距離相等,則點(diǎn)尸的軌跡是一條直線,B正確,
MN=(0,區(qū)MP=(x,y,0),所以尸到直線的距離為
答案第5頁,共15頁
JMP2-=(x2+y2_1孚]=1,化簡可得x2+q=l,
2
所以點(diǎn)尸的軌跡是平面a內(nèi)的橢圓/+乙=1上一點(diǎn),如圖,
4
當(dāng)尸在短軸的端點(diǎn)時,此時/APB最大,由于忸M=WH=1,故4尸M=:,因此
1T
NAPB=2NBPM=萬,C正確,
對于D,NM=(0,-V3,-1),AT5=(x,y-^3,-1),MP=(x,y,0),
NM-NP—y/3y+4A/2
cos/MNP=cosNM,NP=
若NMNP=45°,貝!||畫J網(wǎng)2』2+卜_司+12
化簡得卜-2?_《=]且y<Rl,故滿足/MNP=45。的點(diǎn)尸的軌跡是雙曲線的一部分,
423
D錯誤,
故選:BC
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:立體幾何中與動點(diǎn)軌跡有關(guān)的題目歸根到底還是對點(diǎn)線面關(guān)系的認(rèn)知,
其中更多涉及了平行和垂直的一些證明方法,在此類問題中要么很容易的看出動點(diǎn)符合什么
樣的軌跡(定義),要么通過計算(建系)求出具體的軌跡表達(dá)式,和解析幾何中的軌跡問題并
沒有太大區(qū)別,所求的軌跡一般有四種,即線段型,平面型,二次曲線型,球型.
12.450
【分析】先求出尸(X>170)=慈=0.2,再利用正態(tài)分布曲線的對稱性求解
1JvXj
P(130<X<150)=0.3,即可求解人數(shù).
【詳解】由題意可知,P(X>170)=哉=0.2,
又因為X~N(150Q2),
所以尸(1304XK150)=P(150<X<170)=0.5-P(X>170)=0.5-0.2=0.3
答案第6頁,共15頁
所以跳繩成績X在130?150次之間的人數(shù)約為1500x0.3=450.
故答案為:450.
7
13.—/—3.5
2
【分析】根據(jù)〃的奇偶性可得fl%:。/%…%的最小值,只需要考慮〃為偶數(shù)時即可,根
k=\
據(jù)作商法得|?!啊?lt;聞|,結(jié)合。4=與把<1可得“24時,即可判斷〃=2時取
最小值.
【詳解】由于當(dāng)〃為奇數(shù)時,為=-3當(dāng)〃為偶數(shù)時,?!?鋁,
要求立以=q…凡的最小值,只需要考慮出現(xiàn)奇數(shù)個奇數(shù)項時即可,
3(?+1)+1
3〃+4
又出L2同<1=|a?+J<|fl?|
3〃+12(3?+1)
X
且當(dāng)”=4時,%="『I<1,因此“24時,
7
故答案為:
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:在處理涉及(-1)"的數(shù)列問題,一般要考慮分量為奇數(shù)和偶數(shù)來分類討
論,含參的恒成立,先分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為求式子的最大值或最小值問題來處理.
14.6
【分析】利用已知條件,求解軌跡方程,然后畫出圖形即可求解面積.
【詳解】設(shè)M(x,V),由題意+8)=4,
可知|尤+1|+|尤一l|+2|y|=4,
故當(dāng)x>l,y>0時,x+y=2,
當(dāng)尤21,y<0時,x—y=2,
當(dāng)-"E,|y|=l,
當(dāng)%v-Ly>0時,y-x=2f
答案第7頁,共15頁
當(dāng)無時,x+y=-2,
軌跡方程的圖形如圖,
故答案為:6.
15.⑴蘭+匚1
43
⑵手
【分析】(1)由橢圓的離心率的中,可得。,6的關(guān)系,設(shè)橢圓的方程,將點(diǎn)T的坐標(biāo)代入
橢圓的方程,可得參數(shù)的值,即可得“,》的值,求出橢圓的方程;
(2)設(shè)與y=2x平行的直線的方程,與橢圓的方程聯(lián)立,由判別式為0,可得參數(shù)的值,
進(jìn)而求出兩條直線的距離,即求出橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離.
【詳解】⑴由橢圓的離心率為可得e=£=Jl上」
2a\a22
22
可得3/=4人設(shè)橢圓的方程為:^+2_=1,?>0,
又因為橢圓經(jīng)過點(diǎn)7(131),所以21+力3=1,
解得〃=1,
22
所以橢圓的方程為:—+-=1;
43
(2)設(shè)與直線y=2x平行的直線的方程為y=2x+m,
y=2x+m
聯(lián)立<爐y2,整理可得:19尤2+16/nx+4加之—12=0,
——+—=1
[43
222
A=16WJ-4xl9x(4m-12)=0,可得加2=19,貝>〃=土屈,
V19_V95
所以直線y=2X+加至I]直線y=2x的距離d=
答案第8頁,共15頁
所以橢圓C上的點(diǎn)到直線l:y=2x的距離的最大值為叵.
5
(2)4C=8f;4;S迎二典爐■
【分析】(1)利用正弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得tanA的值,結(jié)合
Ae(O,;r)即可求解A的值;
(2)(I)根據(jù)銳角三角函數(shù)和差角公式可得
cosNABC=^=2,sinZABC=4^=J,sinC=-W+羋正弦定理即可求解.
BD《5BD《5105
(II)采用面積分割的方法以及正弦定理即可解決.
【詳解】(1)因為J§〃cos3-bsinA=,
所以由正弦定理可得石sinAcosB-sinBsinA=6sinC,
又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsin5,
所以-sinBsinA=A/5COSAsinB,
因為5為三角形內(nèi)角,sinB>0,
所以一sinA=gcosA,可得tanA=-A/3,
因為Ae(0,兀),所以A=?;
(2)(I)此時筋=2=2AD,ADJ.AB,
所以如=yjAB2+AD2=指,所以
Z,D?AB2.AD1...,1327t)1,1)26后岳
BD75BD75I3J石I2)62105
在ABC中,由正弦定理可得
答案第9頁,共15頁
AC_AB-A_ABsin/ABC_?乂忑_84+4
sinZABCsinCsinC^5y/1511
----------1---------
105
(II)設(shè)Z.CAD=a,由SMC=SBAD+SCAD,
,TT,TT
可得百8=2sin(~y—a)+Z?sina,化簡可得j3Z?—Z?sina=2sin(三一a)
b_CD2_BD
WsinZADCsina'sinZADB°?/2兀,
sm(--a)
bsinasinZADB1
由于3£>=2OC,所以sin/ADC”,.&2,
zsin^——oc)
所以b_s詛與屜-bsina百b#,
u---------------——x----------------=?smcc-,2
sina2sina3一
則SABC=^csinA=3五:舊.
17.(1)證明見解析
⑵組
7
⑶4
【分析】(1)取AO的中點(diǎn)H,連接PH,CH,依題意可得四邊形ABCH為矩形,即可證
明C〃J_AD,再由尸H_LA£),即可證明AZ)_L平面尸HC,從而得證;
(2)連接AC交BO于點(diǎn)G,連接MC交B。于點(diǎn)/,連接AG,即可得到罷再根據(jù)
AG2
CF1MK
線面平行的性質(zhì)得到。=彳,在」PBC中,過點(diǎn)/作MK〃尸C,即可得到==2,最后
FM2CQ
由PQ=2"K即可得解.
【詳解】(1)取AD的中點(diǎn)H,連接PH,CH,則A//〃3c且A//=BC,又AD_LAB,
所以四邊形ABC”為矩形,
所以CHLAD,又”上4£>為等邊三角形,
所以P",AD,PHCH=H,尸8,。/(=平面尸/(,
所以AD_L平面P/fC,
又PCu平面P//C,
所以ADLPC.
答案第10頁,共15頁
(2)連接HN,由平面PHC,
又HNu平面PHC,
所以ADLHN,所以S融8=:4£>?9=訓(xùn),
要使△AZJN的面積最小,即要使HN最小,
當(dāng)且僅當(dāng)HN_LPC時HN取最小值,
因為平面PA£>_L平面ABCD,平面尸ADc平面ABCD=AT),尸"u平面上4£),
所以尸HJ_平面ABCD,
又“Cu平面ABCD,所以尸H_LHC,
在Rt"PC中,CH=2,PH=B所以pc=dcH2+Pff2=#j,
PHCH2A/32A/21
當(dāng)印VJ_PC時4v=
PC一行一7
所以△小面積的最小值為半.
(3)連接AC交于點(diǎn)G,連接MC交8。于點(diǎn)尸,連接尸G,
因為3c且AT>=23C=2,所以CGBsAGD,
所以生=空」
AGAD2
因為AM7/平面BDQ,又AMu平面ACM,
平面BDQ平面ACM=GF,
所以G77/4W,
答案第11頁,共15頁
所以式=空」,
FMAG2
在.PBC中,過點(diǎn)”作砂〃尸C,
則有M不K方M=左F=2,所以PQ=2MK,所以PQ=2MK=4CQ,即PO/=4
CQCFQC
18.(1)證明見解析
⑵當(dāng)〃<1時,尸(%)在(。,兀)上沒有零點(diǎn):當(dāng)時,尸(無)在(。,兀)上有且僅有1個零點(diǎn).
【分析】(1)結(jié)合已知不等式構(gòu)造函數(shù)GCx)=/(%)-g(x)二^一/一1,對其求導(dǎo),結(jié)合導(dǎo)數(shù)與
單調(diào)性關(guān)系即可證明;
(2)對尸(九)求導(dǎo),結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系及函數(shù)零點(diǎn)存在定理對〃的范圍進(jìn)行分類討論即
可求解.
【詳解】(1)證明,G(x)=/(x)-g(x)=ex-x2-1,
x
貝ljG'(x)=e-2xf
記p(x)=ex-2x,則p'(x)=ex-2,
當(dāng)xe(0,ln2)時,p\x)<0,當(dāng)%e(ln2,+oo)時,pr(x)>0,
所以P(x)在xe(0,ln2)上單調(diào)遞減:在%£(ln2,4w)上單調(diào)遞增,
答案第12頁,共15頁
從而在(。,+8)上,G'(X)=p(x)>p(ln2)=2-21n2>0,
所以G(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增,
因此在(。,+功上,G(x)>G(0)=0,BPf(x)>g(x);
(2)F(x)=f(x)-h(x)=ex-sinx-1,Fr(x)=ex-tzcosx,
0<?<l,在(°,兀)上,F(xiàn)"(x)=ex-acosx>l-a>0,
所以,網(wǎng)%)在(0,兀)上遞增,F(xiàn)(x)>F(0)=0,即函數(shù)月(%)在(0,兀)上無零點(diǎn);
a>\,記q(x)=Fr(x)=ex-acosx,
貝ljq\x)=e%+tzsinx>0,q(x)在(0,兀)上遞增,
而虱0)=1-/<0
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