廣東省梅州市2024屆高三年級(jí)下冊(cè)總復(fù)習(xí)質(zhì)檢(二模)數(shù)學(xué)試題_第1頁(yè)
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廣東省梅州市2024屆高三下學(xué)期總復(fù)習(xí)質(zhì)檢(二模)數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名:班級(jí):考號(hào):

一、單選題

1.常言道:“不經(jīng)歷風(fēng)雨,怎么見(jiàn)彩虹”.就此話而言,“經(jīng)歷風(fēng)雨”是“見(jiàn)彩虹”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.已知集合A={x|y=ln(x-l)},B={y|y=尤?-4x,xwA},則A°3=()

A.B.[-4,1)

C.(-3,+oo)D.[-4,+oo)

3.三個(gè)函數(shù)/(*)=/+%-3,g(x)=lnx+x—3,〃(x)=e,+x-3的零點(diǎn)分別為a,b,c,則

。力,。之間的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.c<a<b

C.a<c<bD.b<c<a

4.如圖,兩根繩子把物體M吊在水平桿子AB上.已知物體M的重力大小為20牛,且

ZAOM=150°,在下列角度中,當(dāng)角夕取哪個(gè)值時(shí),繩承受的拉力最小.()

5.若把函數(shù)〃x)=sinx+acosx的圖象向左平移g個(gè)單位后得到的是一個(gè)偶函數(shù),貝

()

A.6B.YC.BD.-在

33

6.據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(4,匕),(N,/),,,?>(/,加),求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=L2x+0.4,

且平均數(shù)以=3,現(xiàn)發(fā)現(xiàn)這組樣本數(shù)據(jù)中有兩個(gè)樣本點(diǎn)(1-2,0.5)和(4.8,7.5)誤差較大,去除后,

重新求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=LLx+a,貝1J"=()

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

7.某學(xué)校為參加辯論比賽,選出8名學(xué)生,其中3名男生和5名女生,為了更好備賽和作

進(jìn)一步選拔,現(xiàn)將這8名學(xué)生隨機(jī)地平均分成兩隊(duì)進(jìn)行試賽,那么兩隊(duì)中均有男生的概率是

()

A.-B.-C.-D.-

7777

8.已知點(diǎn)尸為雙曲線C:三-9=1的右焦點(diǎn),點(diǎn)N在x軸上(非雙曲線頂點(diǎn)),若對(duì)于在

3

雙曲線C上(除頂點(diǎn)外)任一點(diǎn)P,NEPN恒是銳角,則點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的取值范圍為()

二、多選題

9.設(shè)4,句是復(fù)數(shù),則下列說(shuō)法正確的是()

A.若z;=0,則4=0B.若z;+z;=0,貝”|=Z2=0

C.1^-i-zJ=I^+i-zJD.若z;=z;,則㈤=區(qū)|

10.已知數(shù)列{《,}的通項(xiàng)公式為?!?3〃,〃eN*,在{q}中依次選取若干項(xiàng)(至少3項(xiàng))氣,

怎2,”,…,氣,,…,使{4“}成為一個(gè)等比數(shù)列,則下列說(shuō)法正確的是()

A.若取用=1,左2=3,貝|J&=9

B.滿足題意的{發(fā)}也必是一個(gè)等比數(shù)列

C.在{%}的前100項(xiàng)中,{”,}的可能項(xiàng)數(shù)最多是6

D.如果把{%}中滿足等比的項(xiàng)一直取下去,{保}總是無(wú)窮數(shù)列

11.如圖,平面ABNAa,|AB|=WW|=2,M為線段48的中點(diǎn),直線與平面a的所

成角大小為30。,點(diǎn)尸為平面。內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),則()

試卷第2頁(yè),共4頁(yè)

N

A.以N為球心,半徑為2的球面在平面a上的截痕長(zhǎng)為2萬(wàn)

B.若P到點(diǎn)M和點(diǎn)N的距離相等,則點(diǎn)尸的軌跡是一條直線

C.若P到直線的距離為1,則的最大值為三

2

D.滿足NMNP=45。的點(diǎn)P的軌跡是橢圓

三、填空題

12.某中學(xué)1500名同學(xué)參加一分鐘跳繩測(cè)試,經(jīng)統(tǒng)計(jì),成績(jī)X近似服從正態(tài)分布N(150,〃),

已知成績(jī)大于170次的有300人,則可估計(jì)該校一分鐘跳繩成績(jī)X在130?150次之間的人

數(shù)約為.

13.已知數(shù)列{%}的通項(xiàng)公式%=(-1)"苧(〃eN*),則立處=勺為…%的最小值為_(kāi)__

2左=1

14.在平面直角坐標(biāo)系宜刀中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),定義「(占%)、。(%,為)兩點(diǎn)之間的“直角

距離”為d(p,2)=k-⑥l+M-yzl.已知兩定點(diǎn)A(T。),3(1,0),則滿足

d(M,A)+d(M,B)=4的點(diǎn)M的軌跡所圍成的圖形面積為.

四、解答題

15.已知橢圓C:.+'=1(&>3>0)的離心率為且經(jīng)過(guò)點(diǎn)

⑴求橢圓C的方程:

⑵求橢圓c上的點(diǎn)到直線/:y=2尤的距離的最大值.

16.在ABC中,角A,B,。所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,y/3acosB-bsinA=,c=2,

⑴求A的大小:

(2)點(diǎn)D在BC上,

(I)當(dāng)且AD=1時(shí),求AC的長(zhǎng);

(II)當(dāng)BD=2DC,且AD=1時(shí),求MC的面積5加一

17.如圖,在四棱錐P-ABC。中,平面上位>,平面A3CD,底面ABC。為直角梯形,上4£(

為等邊三角形,AD//BC,ADJ.AB,AD=AB=2BC=2.

AB

⑴求證:ADA.PC;

(2)點(diǎn)N在棱尸C上運(yùn)動(dòng),求△ADN面積的最小值;

⑶點(diǎn)/為PB的中點(diǎn),在棱PC上找一點(diǎn)Q,使得AM〃平面求黑的值.

18.已知函數(shù)/(彳)=孑,g(x)=x2+1,/z(x)=asinx+l(a>0).

⑴證明:當(dāng)w?0,+oo)時(shí),/(x)>g(x);

⑵討論函數(shù)尸(X)=y(x)-/z(x)在(0,兀)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

19.已知{%}是由正整數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列,該數(shù)列前"項(xiàng)的最大值記為加“,即

M,=max{%,%,…,%};前〃項(xiàng)的最小值記為加“,即肛,=min{%,%,令P”=M"一叫

(九=1,2,3,…),并將數(shù)列{p“}稱為{%}的“生成數(shù)列”.

⑴若見(jiàn)=3",求其生成數(shù)列{口,}的前〃項(xiàng)和;

(2)設(shè)數(shù)列3}的“生成數(shù)列”為{&},求證:P,,=%;

(3)若{4}是等差數(shù)列,證明:存在正整數(shù)既,當(dāng)時(shí),a”,an+l,an+2,…是等差數(shù)列.

試卷第4頁(yè),共4頁(yè)

參考答案:

1.B

【分析】根據(jù)必要不充分條件的定義求解

【詳解】由題意,經(jīng)歷風(fēng)雨不一定會(huì)見(jiàn)彩虹,但見(jiàn)彩虹一定是經(jīng)歷風(fēng)雨,

所以“經(jīng)歷風(fēng)雨”是“見(jiàn)彩虹”的必要不充分條件.

故選:B.

2.D

【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合A,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出集合8,最后根據(jù)并集

的定義計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)锳={x|y=ln(x-l)}={尤|x>l},

二次函數(shù)y=x2-4x=(x-2)2-4W,當(dāng)且僅當(dāng)尤=2時(shí)取等號(hào),

所以3={y|y=爐-4蒼天6A}={y|y2-4},

所以=

故選:D

3.B

【分析】根據(jù)題意,將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo),畫(huà)出函數(shù)的圖象,根據(jù)圖

象即可得到。,"c的大小關(guān)系.

【詳解】函數(shù)/(x)=/+x-3,g(x)=lnx+x-3,%(x)=e、'+x-3的零點(diǎn),

即函數(shù)y=x3,y=e,,y=lnx,y=3-x的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo),

在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出>=6)丁=11?,'=3-工的圖象,

b'x

由圖象可知,c<a<b.

故選:B.

4.C

答案第1頁(yè),共15頁(yè)

【分析】由題意作出圖形,在△ON。中利用正弦定理列式,得到|00|的表達(dá)式,結(jié)合正弦

函數(shù)的性質(zhì)算出IOQ|的最小值.

【詳解】作出示意圖,設(shè)與物體M平衡的力對(duì)應(yīng)的向量為ON,則|CW|=20,

N

以O(shè)N為對(duì)角線作平行四邊形OPNQ,則ON=OP+OQ,|OQ|是繩03承受的拉力大小,

由ZAOM=150°,得ZAQV=30°,所以NON。=ZAON=30。,

△ON。中,由正弦定理得—獷高梟20OQ

sin(18O0-6>)-sin30°J

20sin30°10

可得|OQ|=OQ=

sin(180°-6>)sin。

結(jié)合0°<e<180°,可知當(dāng)6=90。時(shí),|OQ|達(dá)到最小值10.

綜上所述,當(dāng)角。=90。時(shí),繩承受的拉力最小.

故選:C

5.C

【分析】根據(jù)函數(shù)平移可得平移后的解析式g(x)=sin(x+攵+acos(x+》根據(jù)g(-x)=g(元),

即可由和差角公式化簡(jiǎn)求解.

【詳解】把函數(shù)/(尤)=sinx+ocosx的圖象向左平移g個(gè)單位后得到g(x)=sin(x+;)+acos(x+g),

g(-x)=g(無(wú)),

兀兀兀兀

貝Usin(-x+—)+?cos(-x+—)=sin(x+—)+?cos(x+—),

BPcosx--sinx+a(—cosx——-sinx)=—sinxd——-cosx+a(—cosx-sinx),

22222222

即(且3sinx=d-走〃)sinx,該方程對(duì)任意xeR恒成立,

2222

則且解得q=走.

22223

故選:C.

答案第2頁(yè),共15頁(yè)

6.C

【分析】根據(jù)原來(lái)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程求出廠,經(jīng)計(jì)算可知去除兩個(gè)樣本點(diǎn)后,樣本點(diǎn)的中心仍

為(3,4),代入重新求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程/=Llx+a,即可求出。的值.

【詳解】因?yàn)樵瓉?lái)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為V=L2x+0.4,且平均數(shù)元=3,

所以歹=12x3+0.4=4,

因?yàn)槿コ膬蓚€(gè)樣本點(diǎn)(120.5)和(4.8,7.5),并且氣經(jīng)=3,竺產(chǎn)=4,

所以去除兩個(gè)樣本點(diǎn)后,樣本點(diǎn)的中心仍為(3,4),

代入重新求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程9=L1X+。,可得4=l.lx3+a,

解得a=0.7.

故選:C.

7.D

【分析】根據(jù)題意,由組合數(shù)公式計(jì)算出從8人中選出4人的情況,進(jìn)而分兩種情況討論:

選出的4人中2男2女,1男3女,再結(jié)合古典概型可解.

【詳解】根據(jù)題意,從8人中選出4人,有C;=70種選法,

分2種情況討論:

①選出的4人中有2名男生和2名女生,有C1C;=30種選法,

②選出的4人中有1名男生和3名女生,有C;.C;=30種選法,

則兩隊(duì)中均有男生的概率尸=黑號(hào).

故選:D.

8.C

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算,把ZRPN恒是銳角轉(zhuǎn)化為尸尸.RV>0可得

4v2

——(%o+2)x+(2x0—1)>0恒成立,即可根據(jù)判別式求解.

【詳解】由題意可得°歷=2,所以尸(2,0),

設(shè)Na。,。),P(x,y),

貝?。軵F=(2-x,-y),PN=(x0-x,-y),

由/FPN恒是銳角,得PF-PN=(2-x)(x0-x)+/>o,

答案第3頁(yè),共15頁(yè)

又-^一丁2=1,...丁=—1,

3。

,不等式可化為:(2-x)(Xo-x)+—1>0,

4Y2

整理得:——(%+2)x+(2x0—1)>0,

只需A=(%+2產(chǎn)一日(2%—1)<0,

14

解得2<%〈了.

故選:C.

9.ACD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解ACD,舉反例即可判斷B.

【詳解】對(duì)于A,z;=0,則|z;|=H『=O,解得|z"=0,即z=0,故A正確;

對(duì)于B,4=i,Z2=1,滿足Z;+Z;=0,但Z]WZ2,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,[4-iZ]|=|Z](l-i)|=|l-i||Zj|=72|Zj|,

|4+i-馬|=|4(1+i)]=|4||1+ib夜囪],故C正確;

對(duì)于D,z;=z;,貝力z;|=|z;I,即|才=%/,§PIZ1|=|z21,故D正確.

故選:ACD.

10.AB

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)判斷A、B、D,利用反例說(shuō)明C.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列{%}的通項(xiàng)公式為外,=3w,

對(duì)于A,取尤=1,&=3,則%=。1=3,%=%=9,

由于{%}為等比數(shù)列,則%=27,則有弘3=27,即&=9,故A正確;

對(duì)于B,數(shù)列{%}的通項(xiàng)公式為%=3",則%=3%,

答案第4頁(yè),共15頁(yè)

若{”}為等比數(shù)列,即陽(yáng),3月,3k3,…,3k“,…是等比數(shù)列,

則a,k2,k?,是等比數(shù)列,

故滿足題意的{片}也必是一個(gè)等比數(shù)列,故B正確;

對(duì)于C,在{。0}的前100項(xiàng)中,可以取勺=1,k1=2,匕=4,&=8,勺=16,%=32,勺=64,

可以使{”,}成為一個(gè)等比數(shù)列,此時(shí){保}為7項(xiàng),故C錯(cuò)誤;

Q1

對(duì)于D,取左1=4,左2=6,則%=12,〃七=18,則〃3=27,%=萬(wàn),

Q1

4,=]不是數(shù)列{%}的項(xiàng),

所以把{4}中滿足等比的項(xiàng)一直取下去,{火J不總是無(wú)窮數(shù)列,故D錯(cuò)誤.

故選:AB.

11.BC

【分析】根據(jù)點(diǎn)N到平面a的距離d=|MMsin3。=1,結(jié)合球的截面性質(zhì)可得截面圓的半徑,

即可求解A,建立空間直角坐標(biāo)系,利用點(diǎn)點(diǎn)建立公式,化簡(jiǎn)可判斷B,根據(jù)點(diǎn)到直線的距

2

離公式,可得尸的軌跡是平面a內(nèi)的橢圓尤2+匕=1上一點(diǎn),即可根據(jù)橢圓的性質(zhì)求解C,

4

根據(jù)向量的夾角公式即可化簡(jiǎn)求解P的軌跡為(>-2@工2_1且>〈述,即可求解D.

423

【詳解】對(duì)于A,由于MN與平面a的所成角大小為30。,所以點(diǎn)N到平面a的距離

d=|M/V|sin30=1,

故半徑為R=2的球面在平面a上截面圓的半徑為r=4代—d。=石,故截痕長(zhǎng)為2〃=2后,

A錯(cuò)誤,

對(duì)于B,由于平面ABNAa,所以以A8為y,在平面a內(nèi)過(guò)M作%,A3,平面ABN內(nèi)作

z±AB,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則M(0,0,0),2(0,1,0),A(0,-1,0),N(0,石,1),

設(shè)P(x,y,0),貝1]|尸根=儼'|=/+;/=/+卜-6)2+1,

2

化簡(jiǎn)得y=用,故P到點(diǎn)〃和點(diǎn)N的距離相等,則點(diǎn)尸的軌跡是一條直線,B正確,

MN=(0,區(qū)MP=(x,y,0),所以尸到直線的距離為

答案第5頁(yè),共15頁(yè)

JMP2-=(x2+y2_1孚]=1,化簡(jiǎn)可得x2+q=l,

2

所以點(diǎn)尸的軌跡是平面a內(nèi)的橢圓/+乙=1上一點(diǎn),如圖,

4

當(dāng)尸在短軸的端點(diǎn)時(shí),此時(shí)/APB最大,由于忸M=WH=1,故4尸M=:,因此

1T

NAPB=2NBPM=萬(wàn),C正確,

對(duì)于D,NM=(0,-V3,-1),AT5=(x,y-^3,-1),MP=(x,y,0),

NM-NP—y/3y+4A/2

cos/MNP=cosNM,NP=

若NMNP=45°,貝!||畫(huà)J網(wǎng)2』2+卜_司+12

化簡(jiǎn)得卜-2?_《=]且y<Rl,故滿足/MNP=45。的點(diǎn)尸的軌跡是雙曲線的一部分,

423

D錯(cuò)誤,

故選:BC

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:立體幾何中與動(dòng)點(diǎn)軌跡有關(guān)的題目歸根到底還是對(duì)點(diǎn)線面關(guān)系的認(rèn)知,

其中更多涉及了平行和垂直的一些證明方法,在此類問(wèn)題中要么很容易的看出動(dòng)點(diǎn)符合什么

樣的軌跡(定義),要么通過(guò)計(jì)算(建系)求出具體的軌跡表達(dá)式,和解析幾何中的軌跡問(wèn)題并

沒(méi)有太大區(qū)別,所求的軌跡一般有四種,即線段型,平面型,二次曲線型,球型.

12.450

【分析】先求出尸(X>170)=慈=0.2,再利用正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性求解

1JvXj

P(130<X<150)=0.3,即可求解人數(shù).

【詳解】由題意可知,P(X>170)=哉=0.2,

又因?yàn)閄~N(150Q2),

所以尸(1304XK150)=P(150<X<170)=0.5-P(X>170)=0.5-0.2=0.3

答案第6頁(yè),共15頁(yè)

所以跳繩成績(jī)X在130?150次之間的人數(shù)約為1500x0.3=450.

故答案為:450.

7

13.—/—3.5

2

【分析】根據(jù)〃的奇偶性可得fl%:。/%…%的最小值,只需要考慮〃為偶數(shù)時(shí)即可,根

k=\

據(jù)作商法得|?!啊?lt;聞|,結(jié)合。4=與把<1可得“24時(shí),即可判斷〃=2時(shí)取

最小值.

【詳解】由于當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí),為=-3當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),?!?鋁,

要求立以=q…凡的最小值,只需要考慮出現(xiàn)奇數(shù)個(gè)奇數(shù)項(xiàng)時(shí)即可,

3(?+1)+1

3〃+4

又出L2同<1=|a?+J<|fl?|

3〃+12(3?+1)

X

且當(dāng)”=4時(shí),%="『I<1,因此“24時(shí),

7

故答案為:

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:在處理涉及(-1)"的數(shù)列問(wèn)題,一般要考慮分量為奇數(shù)和偶數(shù)來(lái)分類討

論,含參的恒成立,先分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為求式子的最大值或最小值問(wèn)題來(lái)處理.

14.6

【分析】利用已知條件,求解軌跡方程,然后畫(huà)出圖形即可求解面積.

【詳解】設(shè)M(x,V),由題意+8)=4,

可知|尤+1|+|尤一l|+2|y|=4,

故當(dāng)x>l,y>0時(shí),x+y=2,

當(dāng)尤21,y<0時(shí),x—y=2,

當(dāng)-"E,|y|=l,

當(dāng)%v-Ly>0時(shí),y-x=2f

答案第7頁(yè),共15頁(yè)

當(dāng)無(wú)時(shí),x+y=-2,

軌跡方程的圖形如圖,

故答案為:6.

15.⑴蘭+匚1

43

⑵手

【分析】(1)由橢圓的離心率的中,可得。,6的關(guān)系,設(shè)橢圓的方程,將點(diǎn)T的坐標(biāo)代入

橢圓的方程,可得參數(shù)的值,即可得“,》的值,求出橢圓的方程;

(2)設(shè)與y=2x平行的直線的方程,與橢圓的方程聯(lián)立,由判別式為0,可得參數(shù)的值,

進(jìn)而求出兩條直線的距離,即求出橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離.

【詳解】⑴由橢圓的離心率為可得e=£=Jl上」

2a\a22

22

可得3/=4人設(shè)橢圓的方程為:^+2_=1,?>0,

又因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)7(131),所以21+力3=1,

解得〃=1,

22

所以橢圓的方程為:—+-=1;

43

(2)設(shè)與直線y=2x平行的直線的方程為y=2x+m,

y=2x+m

聯(lián)立<爐y2,整理可得:19尤2+16/nx+4加之—12=0,

——+—=1

[43

222

A=16WJ-4xl9x(4m-12)=0,可得加2=19,貝>〃=土屈,

V19_V95

所以直線y=2X+加至I]直線y=2x的距離d=

答案第8頁(yè),共15頁(yè)

所以橢圓C上的點(diǎn)到直線l:y=2x的距離的最大值為叵.

5

(2)4C=8f;4;S迎二典爐■

【分析】(1)利用正弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)已知等式可得tanA的值,結(jié)合

Ae(O,;r)即可求解A的值;

(2)(I)根據(jù)銳角三角函數(shù)和差角公式可得

cosNABC=^=2,sinZABC=4^=J,sinC=-W+羋正弦定理即可求解.

BD《5BD《5105

(II)采用面積分割的方法以及正弦定理即可解決.

【詳解】(1)因?yàn)镴§〃cos3-bsinA=,

所以由正弦定理可得石sinAcosB-sinBsinA=6sinC,

又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsin5,

所以-sinBsinA=A/5COSAsinB,

因?yàn)?為三角形內(nèi)角,sinB>0,

所以一sinA=gcosA,可得tanA=-A/3,

因?yàn)锳e(0,兀),所以A=?;

(2)(I)此時(shí)筋=2=2AD,ADJ.AB,

所以如=yjAB2+AD2=指,所以

Z,D?AB2.AD1...,1327t)1,1)26后岳

BD75BD75I3J石I2)62105

在ABC中,由正弦定理可得

答案第9頁(yè),共15頁(yè)

AC_AB-A_ABsin/ABC_?乂忑_84+4

sinZABCsinCsinC^5y/1511

----------1---------

105

(II)設(shè)Z.CAD=a,由SMC=SBAD+SCAD,

,TT,TT

可得百8=2sin(~y—a)+Z?sina,化簡(jiǎn)可得j3Z?—Z?sina=2sin(三一a)

b_CD2_BD

WsinZADCsina'sinZADB°?/2兀,

sm(--a)

bsinasinZADB1

由于3£>=2OC,所以sin/ADC”,.&2,

zsin^——oc)

所以b_s詛與屜-bsina百b#,

u---------------——x----------------=?smcc-,2

sina2sina3一

則SABC=^csinA=3五:舊.

17.(1)證明見(jiàn)解析

⑵組

7

⑶4

【分析】(1)取AO的中點(diǎn)H,連接PH,CH,依題意可得四邊形ABCH為矩形,即可證

明C〃J_AD,再由尸H_LA£),即可證明AZ)_L平面尸HC,從而得證;

(2)連接AC交BO于點(diǎn)G,連接MC交B。于點(diǎn)/,連接AG,即可得到罷再根據(jù)

AG2

CF1MK

線面平行的性質(zhì)得到。=彳,在」PBC中,過(guò)點(diǎn)/作MK〃尸C,即可得到==2,最后

FM2CQ

由PQ=2"K即可得解.

【詳解】(1)取AD的中點(diǎn)H,連接PH,CH,則A//〃3c且A//=BC,又AD_LAB,

所以四邊形ABC”為矩形,

所以CHLAD,又”上4£>為等邊三角形,

所以P",AD,PHCH=H,尸8,。/(=平面尸/(,

所以AD_L平面P/fC,

又PCu平面P//C,

所以ADLPC.

答案第10頁(yè),共15頁(yè)

(2)連接HN,由平面PHC,

又HNu平面PHC,

所以ADLHN,所以S融8=:4£>?9=訓(xùn),

要使△AZJN的面積最小,即要使HN最小,

當(dāng)且僅當(dāng)HN_LPC時(shí)HN取最小值,

因?yàn)槠矫鍼A£>_L平面ABCD,平面尸ADc平面ABCD=AT),尸"u平面上4£),

所以尸HJ_平面ABCD,

又“Cu平面ABCD,所以尸H_LHC,

在Rt"PC中,CH=2,PH=B所以pc=dcH2+Pff2=#j,

PHCH2A/32A/21

當(dāng)印VJ_PC時(shí)4v=

PC一行一7

所以△小面積的最小值為半.

(3)連接AC交于點(diǎn)G,連接MC交8。于點(diǎn)尸,連接尸G,

因?yàn)?c且AT>=23C=2,所以CGBsAGD,

所以生=空」

AGAD2

因?yàn)锳M7/平面BDQ,又AMu平面ACM,

平面BDQ平面ACM=GF,

所以G77/4W,

答案第11頁(yè),共15頁(yè)

所以式=空」,

FMAG2

在.PBC中,過(guò)點(diǎn)”作砂〃尸C,

則有M不K方M=左F=2,所以PQ=2MK,所以PQ=2MK=4CQ,即PO/=4

CQCFQC

18.(1)證明見(jiàn)解析

⑵當(dāng)〃<1時(shí),尸(%)在(。,兀)上沒(méi)有零點(diǎn):當(dāng)時(shí),尸(無(wú))在(。,兀)上有且僅有1個(gè)零點(diǎn).

【分析】(1)結(jié)合已知不等式構(gòu)造函數(shù)GCx)=/(%)-g(x)二^一/一1,對(duì)其求導(dǎo),結(jié)合導(dǎo)數(shù)與

單調(diào)性關(guān)系即可證明;

(2)對(duì)尸(九)求導(dǎo),結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系及函數(shù)零點(diǎn)存在定理對(duì)〃的范圍進(jìn)行分類討論即

可求解.

【詳解】(1)證明,G(x)=/(x)-g(x)=ex-x2-1,

x

貝ljG'(x)=e-2xf

記p(x)=ex-2x,則p'(x)=ex-2,

當(dāng)xe(0,ln2)時(shí),p\x)<0,當(dāng)%e(ln2,+oo)時(shí),pr(x)>0,

所以P(x)在xe(0,ln2)上單調(diào)遞減:在%£(ln2,4w)上單調(diào)遞增,

答案第12頁(yè),共15頁(yè)

從而在(。,+8)上,G'(X)=p(x)>p(ln2)=2-21n2>0,

所以G(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增,

因此在(。,+功上,G(x)>G(0)=0,BPf(x)>g(x);

(2)F(x)=f(x)-h(x)=ex-sinx-1,Fr(x)=ex-tzcosx,

0<?<l,在(°,兀)上,F(xiàn)"(x)=ex-acosx>l-a>0,

所以,網(wǎng)%)在(0,兀)上遞增,F(xiàn)(x)>F(0)=0,即函數(shù)月(%)在(0,兀)上無(wú)零點(diǎn);

a>\,記q(x)=Fr(x)=ex-acosx,

貝ljq\x)=e%+tzsinx>0,q(x)在(0,兀)上遞增,

而虱0)=1-/<0

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