2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 導(dǎo)數(shù)（含答案）

2024高考復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)題型分類解析

一.導(dǎo)數(shù)的概念

1.導(dǎo)數(shù)的概念：

函數(shù)y=f(x),假如自變量x在x0處有增量Ac,那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量Ay=f(x0+Ax)-f(x0),

比值電叫做函數(shù)y=f(x)在x°到x0+Ax之間的平均改變率，即竺=。假如當(dāng)Axf0時(shí)，包有

AxAxAx

極限，我們就說函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)X。處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做f(x)在點(diǎn)X。處的導(dǎo)數(shù)，記作，(X。)

或曠I,,,即f(x0)=limAZ=limo

I。Ax->0AxAx->0

由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)X。處的導(dǎo)數(shù)的步驟：

①求函數(shù)的增量Ay=f(x0+Ax)-f(x0);②求平均改變率”二；

Ax

③取極限，得導(dǎo)數(shù)，(x0)=。

例1：若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,。)內(nèi)可導(dǎo)，且Xoc(a,?則lim也上上也匚處的值為()

也一。h

A./'(%)B.2/1(%0)C.-2/1(%0)D.0

例2：若/'(%)=—3,貝Ulim"X。+0一于(x°—3h)=()

小。h

A.—3B.―6C.—9D.—12

2.導(dǎo)數(shù)的意義：①物理意義：瞬時(shí)速率，改變率

②幾何意義：切線斜率k=lim/(%)——=/(%o)

A?-?0人Y〃—AY0

③代數(shù)意義：函數(shù)增減速率

例3：已知函數(shù)y(x)=/'cosx+sinx,則的值為

例4：已知/(%)=%2+3獷(2),貝|]/'(2)=

3.導(dǎo)數(shù)的物理意義：

假如物體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律是S=s(t),那么該物體在時(shí)刻t的瞬間速度v=s'(t)o

假如物體運(yùn)動(dòng)的速度隨時(shí)間的改變的規(guī)律是V=v(t),則該物體在時(shí)刻t的加速度a=v'(t)o

例5：一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為S=l-/+/其中s的單位是米，f的單位是秒，那么物體在3秒末的瞬

時(shí)速度是____________

例6：汽車經(jīng)過啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程s看

作時(shí)間/的函數(shù)，其圖像可能是()

ssss

c

0-------＞t0匕-------------Cr-------------------AtCr----------

A.B.C.D.

二：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

1.基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：

①C'=0;(C為常數(shù))②(x")③(sinx)'=cosx;④(cos%)'=-sin];⑤

@(axy=axIna;⑦；⑧.

例7：下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()

A.B.(log2x)==

X2

C.伊)=3log3eD.(xcosx)=-2xsinx

例8：若%(x)=sinx,力(x)=f0(x),/2(x)=力(x),……，fn+l(x)=fn(%),neN,則/2005(x)=_

真題：

1.已知/(x)=x(x+l)(x+2)(x+3)-(x+2006),貝U/'(。)為

練：已矢%(x)=sinx-cosx,力+G)是的導(dǎo)函數(shù)，艮乳(x)=工(x)，…，

fnM=fn(4nwN*,貝優(yōu)Oi4(x)=------------

2：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

法則1：兩個(gè)函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù),等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差),

即：(M±V)'="±V.

法則2：兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以其次個(gè)函數(shù),加上第一個(gè)

函數(shù)乘以其次個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即：(uv),^uv+uv.

若C為常數(shù),貝！|(CM)'=CM+CM=0+CM=CM.即常數(shù)及函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù)的導(dǎo)

數(shù)：(CM)'=CM.

法則3：兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)及分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)及分子的積，再除以分

母的平方：(vWO)。

3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

形如y=f[°(x)]的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟：

分解一一＞求導(dǎo)一一＞回代。法則：y'|x=丫'夠?u''或者外。(切=/'(〃)*/??

例10：(1)函數(shù)y=V+log2X的導(dǎo)數(shù)是

(2)函數(shù)x'e2x+i的導(dǎo)數(shù)是

例11：y=(1+COS2X)3；(2)

真題：

(2024年天津高考)已知函數(shù)/(x)=(2x+l)靖J'(x)為/(x)的導(dǎo)函數(shù)，則八0)的值為.

三：利用已知條件求原函數(shù)解析式中的參數(shù)

例12：己知多項(xiàng)式函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù)//(%)=3/—4x,且/(1)=4,則/(x)=.

例13：已知函數(shù)/OOud+ad+Ox+c,它的圖象過點(diǎn)A(0,—l),且在x=l處的切線方程為

2x+y-l=0,貝ij/(%)=.

四：切線相關(guān)問題

1.已知曲線上的點(diǎn)求切線方程

例14：曲線y=f—2x+4在點(diǎn)(1,3)處的切線的傾斜角為()

A.30°B.45°C.60°D.120°

例15：設(shè)函數(shù)f(x)=ox+—-一(a,bGZ),曲線y=/(x)在點(diǎn)(2,7(2))處的切線方程為y=3.

x+b

(1)求/(X)的解析式

(2)證明：曲線y=/(x)上任一點(diǎn)的切線及直線x=l和直線y=x所圍三角形的面積為定值，并求出此

定值.

例：對(duì)正整藪，設(shè)曲物=爐(1-x施x=2處的切線與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則

數(shù)歹“懸卜勺前〃項(xiàng)和為工=-

2.已知曲線外的點(diǎn)求切線方程

例16：已知曲線>=—,則過點(diǎn)P(l,-3),且及曲線相切的直線方程為.

例17：求過點(diǎn)(-1,-2)且及曲線y=2x-/相切的直線方程.

3.已知切線方程的斜率或傾斜角求切線方程

例18：曲線/(x)=x3+x-2在00處的切線平行于直線y=4x-1,則p()點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(1,0)B.(2,8)C.(1,0)和(—1,—4)D.(2,8)和(—1,-4)

例19：若曲線>=/的一條切線/及直線尤+4y—8=0垂直，則/的方程為()

A.4-X—y—3—0B.x+4y—5—0C.4-x—y+3-0D.x+4y+3=0

真題：

1.(2024年全國III卷高考)已知為偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=e*—X,則曲線y=/(x)

在點(diǎn)(1,2)處的切線方程式.

2.(2024天津文)已知aeR,設(shè)函數(shù)f(x)="-ln尤的圖象在點(diǎn)(1,/■⑴)處的切線為/,則/在y軸上

的截距為L

3.(2024新課標(biāo)I文數(shù))曲線在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為.

4.【2024年北京卷第20題】已知函數(shù)/(x)=e*cosx-x.

(I)求曲線？=/(%)在點(diǎn)(0J(。))處的切線方程;

(II)求函數(shù)/(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.

五：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

1.無參數(shù)的函數(shù)求單調(diào)性問題

例20：證明：函數(shù)在區(qū)間(0,2)上是單調(diào)遞增函數(shù).

例21：確定函數(shù)/(x)=2d—6犬+7的單調(diào)區(qū)間.

真題：

1.(2024山東理)若函數(shù)e?(x)(e=2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在的定義域上單調(diào)遞增,

則稱函數(shù)具有M性質(zhì).下列函數(shù)中全部具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號(hào)為.①=2T

②/(x)=3r③/(x)=d?/(X)=X2+2

2.(2024天津理)已知奇函數(shù)/(%)在R上是增函數(shù)，8(幻=41(*).若。=8(-10825.1),b=g(20,8),

c=g(3),則a,A,c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

3.(2024新課標(biāo)I文數(shù))已知函數(shù)/(x)=lnx+ln(2—x),則()

Ay=/(x)在(0,2)單調(diào)遞增5y=/(x)在(0,2)單調(diào)遞減

Cy=/(x)的圖像關(guān)于直線1=1對(duì)稱Dy=/(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱

2.含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性

例22：已知函數(shù)/(x)=gx3+g(l—a)x2—ax,求函數(shù)7(%)的單調(diào)區(qū)間。

例23：已知函數(shù)/(x)=lnx—奴2+(2—a)x,探討f(x)的單調(diào)性.

例25：【2024高考廣東，理19】設(shè)。＞1,函數(shù)/(x)=(1+-a.

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：/(x)在(~oo,+oo)上僅有一個(gè)零點(diǎn)；

例26：【2024高考江蘇，19]已知函數(shù)/(x)=d+。%2+伏。,。￡氏).試探討了(%)的單調(diào)性;

例27：已知/(x)=lnx—ax,探討y=/(x)的單調(diào)性

真題:

(2024年全國I卷高考)若函數(shù)/(x)=x-gsin2x+asinx在(fo,+8)單調(diào)遞增，則a的取值范圍

是

(A)[-1,1](B)(C)(D)

六：結(jié)合單調(diào)性和極值求參數(shù)的取值范圍

例28：已知函數(shù)/(乃=3^+2f-1在區(qū)間(私0)上是減函數(shù)，則機(jī)的取值范圍是.

例29：已知函數(shù)/(工)=/三+/—x(機(jī)eR),函數(shù)在區(qū)間(2,內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則加

的取值范圍.

例30：已知函數(shù)/■(￡)=無3+必2+%+].€國，若函數(shù)〃尤)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則a的取值范

圍.

例31：已知函數(shù)/'(x)=§x3+萬(2一公尤2+Q—a)x(aNO).若/(X)在［o,口上單調(diào)遞增，則a的取

值范圍.

例32：已知函數(shù)/(x)=d+ax在R上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是.

例33：已知函數(shù)/(x)=x2+ainx,若在1+?)上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍

例34：假如函數(shù)/(x)=；(加一2)f+(〃-8)x+l(zn?0,0)在區(qū)間單調(diào)遞減，則mn的最大值

為()

Q1

(A)16(B)18(C)25(D)—

2

真題：

4丫2-I-Z7V

【2024高考重慶】設(shè)函數(shù)/(x)=［

⑴若在尤=0處取得極值，確定a的值，并求此時(shí)曲線y=/(x)在點(diǎn)處的切線方程;

⑵若在［3,長。)上為減函數(shù)，求a的取值范圍。

七：恒成立問題及存在性成立問題

1.轉(zhuǎn)化為分別參數(shù)問題求最值問題

例35：已知函數(shù)/田=五"-lnx,(a>°),⑴若求函數(shù)/⑴的單調(diào)區(qū)間和極值⑵當(dāng)

xe［l,2］時(shí)，不等式/(x)〉2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

例36：已知函數(shù)/(%)=%3+2/+%.(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若Vxe(0,”),

恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

例37：已知函數(shù)f(x)=x3+ax-+6x+c在剛好x=1都取得極值，⑴求。力的值及函數(shù)/(%)的單調(diào)

區(qū)間⑵若對(duì)xe［-1,2］,不等式恒成立，求。的取值范圍。

例38：己知函數(shù)/(x)=d圖象上一點(diǎn)P(l,勿處的切線斜率為-3,

彳一6

g(x)=%3+〒％2_?+1垃+3?>0)當(dāng)工€工4］時(shí)，不等式/(x)Vg(x)恒成立，求實(shí)數(shù)t的

取值范圍。

例39：已知/(x)=d+9。，，當(dāng)。>0時(shí)，若對(duì)Vxe［0,3］有/(x)K4恒成立，求實(shí)數(shù)a的

取值范圍.

例40：已知函數(shù)/(%)=以3+-2_3x(。/eR),在點(diǎn)(1,7?⑴)處的切線方程為y+2=0.若對(duì)于區(qū)

間［—2,2］上隨意兩個(gè)自變量的值看,％2,都有|/(七)—/(々)區(qū)。，求實(shí)數(shù)c的最小值

例41：設(shè)函數(shù)〃x)=J^sin管.若存在"％)的極值點(diǎn)/滿意/2+"(%)了〈機(jī)2,則m的取值范

圍是()

A.6)D(6,OO)B.(-oo,T)u(4,oo)C.(-co,—2)D(2,oo)D.(-oo,—l)u(4,oo)

【2024高考新課標(biāo)2,理21](本題滿分12分)

設(shè)函數(shù)/(x)=emx+x2-mx.

(I)證明：/(x)在(-8,0)單調(diào)遞減，在(0,+00)單調(diào)遞增；

(II)若對(duì)于隨意為9儀―U"都有|/(石)一/(%)歸6-1，求加的取值范圍.

2.分別不開的轉(zhuǎn)化為根的分布問題

例42：已知％=1是函數(shù)"/-3(加+1)%2++1的一個(gè)極值點(diǎn)，其中根,〃￡氏加〈0,當(dāng)

工￡［-1,1］時(shí)，函數(shù)y=/(x)的圖象上隨意一點(diǎn)的切線斜率恒大于3m,求m的取值范圍.

例43：己知函數(shù)y(x)=gx3+x2+mx2—機(jī)2工在［_1,“上為減函數(shù)，則m的取值范圍為.

八：函數(shù)的極值最值問題

1.不含參數(shù)的極值最值問題

例44：下列函數(shù)的極值：

(1)y=x2-7x+6；(2)y-x2Inx.

45：函數(shù)f(xAxS+ax^+bx+c,曲線y=f(x)在點(diǎn)x=l處的切線為l:3x-y+l=0,若x=|■時(shí)，y=f(x)有極

值.(1)求a,b,c的值；(2)求y=f(x)在［-3,1］上的最大值和最小值.

2.含有參數(shù)的最值問題

例47：己知函數(shù)f(x)=x2e-"*(a>0),求函數(shù)在［1,2］上的最大值.

例48：已知/(%)=tax-ax,求函數(shù)在［1,2］上的最大值.

例49：設(shè)a〉0,且awl,函數(shù)/(x)=gx?—(a+l)x+alnx.求/(x)的極值點(diǎn)

設(shè)函數(shù)f(x)=-x(x-a)“xGR),其中aGR.(1)當(dāng)a=l時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方

程；(2)當(dāng)aHO時(shí)，求函數(shù)f(x)的極大值和微小值.

例50：已知f(x)=xlnx,.

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)y=g(x)在［0,3］上的值域；

(2)求函數(shù)/(無)在山+2］(/>0)上的最小值；

真題：

(2024新課標(biāo)H理)若x=-2是函數(shù)/。)=(必+奴-l)e'T的極值點(diǎn)，則/(x)的微小值為

()A.-1B.-2e-3C.5e-3DA

3.導(dǎo)函數(shù)的圖像及函數(shù)極值的關(guān)系

例52：f(x)的導(dǎo)函數(shù)//(*)的圖象如右圖所示，則f(x)的圖象只可能是()

y=/(x)的圖象大致是()

例56：已知函數(shù)y

=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y

=f'(x)的圖象

如右，則()

A.函數(shù)f(x)

有1個(gè)極大值點(diǎn)，1個(gè)微小值點(diǎn)

B.函數(shù)f(x)有2個(gè)極大值點(diǎn)，2個(gè)微小值點(diǎn)

C.函數(shù)f(x)有3個(gè)極大值點(diǎn)，1個(gè)微小值點(diǎn)

D.函數(shù)/'(x)有1個(gè)極大值點(diǎn),3個(gè)微小值點(diǎn)

例57：函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是()

A.0<八2)<T(3)<f⑶-f⑵B.0</'(3)<f(3)-f(2)</⑵

C.0<f(3)<f'(2)<f(3)-f(2)D.0<f(3)-f⑵〈廣⑵Vf'(3)

真題：

1.(2024浙江)函數(shù)y=/(無)的導(dǎo)函數(shù)"((無)的圖象如圖所示,

則函數(shù)y=/(無)的圖象可能是(

2.【2024年新課標(biāo)HI卷第7題】函數(shù)產(chǎn)l+x+學(xué)的部分圖像大致為

x

九：零點(diǎn)問題(轉(zhuǎn)化為最值問題)

例58：已知函數(shù)/(x)=x3-3?x2+36x的圖象及直線12x+y—1=0相切于點(diǎn)(1,—11).

(1)求a1的值；

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)+c有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求c的取值范圍.

例:59：已知函數(shù)/(x)=ad+6/+5,在％=±1處取得極值，且在x=0處切線斜率為-3.

⑴求函數(shù)/(x)的解析式.

(2)若過點(diǎn)A(2,m)可作曲線y=/(x)的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

3

例61：已知函數(shù)/(無)=ax'-5(〃+2)%2+6%一3,曲線y=/(尤)及x有3個(gè)交點(diǎn)，求a的范圍。

例62：已知函數(shù)/(x)=；Y—%px2,,且/(x)在區(qū)間(2,+oo)上為增函。(1)求實(shí)數(shù)左的取值

范圍。(2)若函數(shù)/(x)及g(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

真題：

1.(2024新課標(biāo)HI文數(shù))已知函數(shù)/(x)=12—2x+a(ei+erM)有唯一零點(diǎn)，貝！|a=

()B.—C.—D.1

32

2.（2024年北京高考）設(shè)函數(shù)〃力=兀3+/+國+c.

（I）求曲線y=/（x）.在點(diǎn)（0,/（0））處的切線方程；

（II）設(shè)。=匕=4,若函數(shù)/（九）有三個(gè)不同零點(diǎn)，求c的取值范圍；

（III）求證：a?-3Z?>0是/（九）.有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件.

九:優(yōu)化問題：

1.設(shè)計(jì)產(chǎn)品規(guī)格問題

例63：如圖在二次函數(shù)/（x）=4x-x2的圖像及x軸所圍成的圖形中有一個(gè)內(nèi)接矩形/及力,求這個(gè)內(nèi)

接矩形的最大面積.

例64：圓柱形金屬飲料罐的容積肯定時(shí)，它的高及底及半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用的材料最省？

2.利潤最大問題

例66：某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a元（3Wa

W5）的管理費(fèi)，預(yù)料當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元（9WxWll）時(shí)，一年的銷售量為（12-x）2萬件.

（1）求分公司一年的利潤L（萬元）及每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，分公司一年的利潤L最大，并求出L的最大值Q（a）.

例67：某商品每件成本9元，售價(jià)為30元，每星期賣出432件，假如降低價(jià)格，銷售量可以增加，且

每星期多賣出商品件數(shù)及商品單價(jià)的降低值x(單位：元，0〈尤<21)的平方成正比，已知商品單價(jià)

降低2元時(shí)，一星期多賣出24件.

(1)將一星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)

(2)如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷售利潤最大

十一：構(gòu)造計(jì)算類題型：

例68：對(duì)于R上可導(dǎo)的隨意函數(shù)/(x),若滿意(x-l)/(x)?O,則必有()

A/(0)+/(2)<2/(1)B/(0)+/(2)<2/(1)

C/(0)+/(2)>2/(1)D/(0)+/(2)>2/(1)

例69：函數(shù)/'(x)在定義域R內(nèi)可導(dǎo)，若/(x)=/(2—x),且當(dāng)oo,l)時(shí)，(x—l)?/'(x)<0,

設(shè)。=f(0\b=fQJc=f(3),的。/,c的大小關(guān)系為.

例70：設(shè)f(x)、g(x)分別是定義在R(XH0)上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)x<0時(shí)，/'(x)g(x)+/(x)g'(x)

>0.且g(3)=0.則不等式/(x)g(x)<0的解集是

例71：函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,/(—1)=2,對(duì)隨意xeR,/'(x)>2,則/(x)>2x+4的解集

為.

例72：/(x)是定義在(0,+8)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù),且滿意葉⑴+f(x)<0,對(duì)隨意正數(shù)a、b,若a<〃，

則必有()

A.af(b)<bf(a)B.bf(a)<af(b)C.af(a)<bf(b)D,bf(b)<af(a)

例73：已知/(x)-/'(x)>0對(duì)VxwH恒成立，則下列式子肯定正確的是()

A./(2014)>/(0)e2014,/(-2014)e2014</(0)

B./(2014)</(0)e2014,/(-2014)e2014>/(0)

C./(2014)=/(0)e2014,/(-2014)e2014=/(O)

D.不確定

【2024高考新課標(biāo)2,理12]設(shè)函數(shù)/''(X)是奇函數(shù)/(x)(xeR)的導(dǎo)函數(shù)，/(—1)=0,當(dāng)x>0時(shí),

獷'(X)-/(x)<0，則使得/(x)〉0成立的工的取值范圍是()

A.L(0,1)B.(-l,0)J(l,+?>)C.(-a),-l)|J(-1,O)D.(0,l)U(l,+?))

【2024高考新課標(biāo)1,理12]設(shè)函數(shù)/(x)=eY2x-1)-ax+a,其中若存在唯一的整數(shù)%,使

得了(/)<0,則。的取值范圍是()

333333

(A),1)(B),-)(C)[—,-)(D)[—,1)

2e2e42e42e

[2024高考福建，理10】若定義在R上的函數(shù)滿意/⑼=-1,其導(dǎo)函數(shù)尸(x)滿意

f'(x)>k>l,則下列結(jié)論中肯定錯(cuò)誤的是()

A.B.C.D.

例：設(shè)函圾(x)在