江蘇省南京市、鹽城市2024屆高三第一次模擬考試數(shù)學試題（含答案解析）

江蘇省南京市、鹽城市2024屆高三第一次模擬考試數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知全集U與集合A,B的關(guān)系如圖，則圖中陰影部分所表示的集合為（）

A.A”B.C.8U”

2.復(fù)數(shù)z滿足（l-i）2z=l+i,（i為虛數(shù)單位），貝"z|=（

3.等比數(shù)列｛《｝的前〃項和為S“，已知邑=%+5%,%=4,則4=（）

A.-B.--C.1D.--

4422

4.德國天文學家約翰尼斯?開普勒根據(jù)丹麥天文學家第谷?布拉赫等人的觀測資料和星表,

通過本人的觀測和分析后，于1618年在《宇宙和諧論》中提出了行星運動第三定律一一

繞以太陽為焦點的橢圓軌道運行的所有行星，其橢圓軌道的長半軸長。與公轉(zhuǎn)周期T有

2Ji2

如下關(guān)系：r=-^=-a2,其中M為太陽質(zhì)量，G為引力常量.已知火星的公轉(zhuǎn)周期

約為水星的8倍，則火星的橢圓軌道的長半軸長約為水星的（）

A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍

5.關(guān)于函數(shù)/（x）=Asin（0X+0）（A>0,a）>0,0<夕苦），有下列四個說法：

①的最大值為3

②的圖像可由y=3sin尤的圖像平移得到

③的圖像上相鄰兩個對稱中心間的距離為

④〃元）的圖像關(guān)于直線x=］對稱

若有且僅有一個說法是錯誤的，則/［方［=（）

A.-迫B.--C.-D.這

2222

6.設(shè)。為坐標原點，圓（無一iy+（y—2）2=4與x軸切于點A,直線尤-6>+2百=0

交圓/于民C兩點，其中B在第二象限，則。()

A.巫B.逕C.—D.-

4422

7.在棱長為2°(。>0)的正方體ABCO-A耳G"中，點M，N分別為棱A3,AG的中

點.已知動點尸在該正方體的表面上，且尸M-PN=O，則點尸的軌跡長度為()

A.12aB.1271aC.24aD.2471a

8.用min{x,y}表示x,y中的最小數(shù).已知函數(shù)"x)=g,則min{〃x),〃x+ln2)}的

最大值為()

A.B.—C.——D.In2

e2e2

二、多選題

9.已知尤,yeR,且12*=3,12>=4，貝！1()

A.>>彳B.x+y>l

C.xy<-D.\/x+yf~y<A/2

10.有”(”eN*,〃210)個編號分別為1,2,3,…，a的盒子，1號盒子中有2個

白球和1個黑球，其余盒子中均有1個白球和1個黑球.現(xiàn)從1號盒子任取一球放入2

號盒子；再從2號盒子任取一球放入3號盒子；…；以此類推，記“從i號盒子取出的球

是白球”為事件A。=1,2,3,…，a),則()

14

A.P(4A)=-B.P(4IA)=-

71

C.P(A+A)=-D.P(AO)=-

11.已知拋物線E：v=4y的焦點為尸，過尸的直線4交E于點A(西,％),B(x2,y2),

￡在8處的切線為/過A作與4平行的直線4,交E于另一點C(W,%)，記4與>軸

的交點為。，貝U()

A.>1%=1B.占+電=3x?

C.AF=DFD.ABC面積的最小值為16

三、填空題

12.\一5]6展開式的常數(shù)項為

試卷第2頁，共4頁

22

13.設(shè)雙曲線C：鼻一與=1(。>0,b>0)的一個焦點為E過歹作一條漸近線的垂線,

ab

垂足為區(qū)若線段Eb的中點在。上，則。的離心率為

已知.11

14.a,77[0,],且sina—sin夕=一/,cosa—cos0=于貝!Jtane+tan尸=

四、解答題

15.在_ABC中，sin(B-A)+V2sinA=sinC.

⑴求B的大小；

IT

(2)延長BC至點M,使得2BC=CM.若NC4M=：,求/5AC的大小.

16.如圖，已知四棱臺ABCD-ABC1A的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，

平面M2。平面ABC。，AA=DQ=JF，點尸是棱。2的中點，點。在棱BC上.

(1)若3Q=3QC,證明：PQ〃平面42月4；

(2)若二面角尸-QD-C的正弦值為％巨，求8。的長.

26

17.已知某種機器的電源電壓U(單位：V)服從正態(tài)分布N(220,202).其電壓通常有

3種狀態(tài)：①不超過200V；②在200V~240V之間③超過240V.在上述三種狀態(tài)下，該

機器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率分別為0.15,0.05,0.2.

(1)求該機器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率；

(2)從該機器生產(chǎn)的零件中隨機抽取n(n>2)件,記其中恰有2件不合格品的概率為Pn,

求P”取得最大值時w的值.

附：若取尸(〃一cr<Z<〃+cr)=0.68,尸(〃一2cr<Z<〃+2cr)=0.95.

22

18.已知橢圓C當=1(a>6>0)的右焦點為-1,0),右頂點為A,直線/：x=4與

ab

X軸交于點跖S.\AM\=a\AF\,

⑴求C的方程;

(2*為/上的動點，過3作C的兩條切線，分別交y軸于點P,Q,

①證明：直線BP,BF,8Q的斜率成等差數(shù)列；

②。N經(jīng)過8,P,Q三點，是否存在點8,使得，NPNQ=90。？若存在，求忸河|；若

不存在，請說明理由.

19.已知a>0,函數(shù)〃x)=ovsinx+cosox-1,0<x<：.

⑴若a=2,證明:/(x)>0；

⑵若〃無)>。，求。的取值范圍；

cosw

(3)設(shè)集合P={??I??=Z2^^+1yeN*},對于正整數(shù)m,集合Q?,={x\m<x<2m],

記尸Q,“中元素的個數(shù)為以，求數(shù)列{2}的通項公式.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.A

【分析】

利用韋恩圖表示的集合運算，直接寫出結(jié)果即可.

【詳解】

觀察韋恩圖知，陰影部分在集合A中，不在集合8中，所以所求集合為A*B.

故選：A

2.C

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的運算求出復(fù)數(shù)Z,再求模長即可求解.

【詳解】

1+i1+i(l+i)i1

由已知得:Z(l-i)2-^?--2i2~~2+2lf

所以，⑵+（；）2=今,

故選：c.

3.A

【分析】

把等比數(shù)列口〃｝各項用基本量％和q表示，根據(jù)已知條件列方程即可求解.

【詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q,

由邑=%+5%,得：%+%+。3=。2+5",

即：〃3=4%—,

所以，/=4,

又%=4,所以，=4(/)2=qx4?=4,

所以，

故選：A.

4.B

答案第1頁，共20頁

【分析】

根據(jù)已知的公式，由周期的倍數(shù)關(guān)系求出長半軸長的倍數(shù)關(guān)系即可.

【詳解】

設(shè)火星的公轉(zhuǎn)周期為4,長半軸長為生,火星的公轉(zhuǎn)周期為心，長半軸長為出,

3

曲①

4GM

則，7；=87；,且

2乃3

姆②

4GM

I#：/國=8,

②T2a2

所以，^-=4,即：q=442.

故選：B.

5.D

【分析】

根據(jù)題意，由條件可得②和③相互矛盾，然后分別驗證①②④成立時與①③④成立時的結(jié)論,

即可得到結(jié)果.

【詳解】

說法②可得。=1,說法③可得u=則7=兀=三，則。=2,②和③相互矛盾；

22CD

jrJT

當①②④成立時，由題意A=3,69=1,—+(p=2kn+—,keZ.

因為ee卜切，故％=0,即〃x)=3sinHj,/「卜孚；

27tTT

說法①③④成立時，由題意A=3,(D=2,+(p=2kji+—,keZ,

0=2而-3(0,3，故不合題意.

故選：D.

6.D

【分析】

先根據(jù)圓的弦長公式求出線段BC的長度，再求出直線x-石y+2石=0的傾斜角，即可求

得與BC的的夾角，進而可得出答案.

答案第2頁，共20頁

【詳解】

由題意4(1,0),圓心M(l,2),

M(1,2)到直線x-退y+2月=0距離為，

所以"=2口^=詬,

直線苫-6〉+26=。的斜率為日，則其傾斜角為言,

則0A與BC的的夾角為5，

0

所以。A.BC=|。4忸C|cosOA,BC=1x后x￥=孚.

故選：D.

【分析】根據(jù)條件得到尸點軌跡為以MN為直徑的球，進而得出點尸的軌跡是六個半徑為。

的圓，即可求出結(jié)果.

【詳解】因為尸ATPM=0，故尸點軌跡為以MN為直徑的球，

如圖，易知MN中點即為正方體中心0,球心在每個面上的射影為面的中心,

設(shè)。在底面ABCD上的射影為。1,又正方體的棱長為2。，所以MN=2拒a，

易知。。=4,0xM=a,又動點尸在正方體的表面上運動,

所以點尸的軌跡是六個半徑為。的圓，軌跡長度為6x27w=127ra,

8.C

答案第3頁，共20頁

【分析】

利用導數(shù)研究〃x)=己的單調(diào)性，作出其圖象，根據(jù)圖象平移作出y=/(x+ln2)的圖象,

數(shù)形結(jié)合即可得到答案.

【詳解】???/(尤)=工，??./0)=?

ee

根據(jù)導數(shù)易知“X)在(-8,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減；

由題意令/(x)=/(x+ln2),即5=當當，解得x=ln2；

作出圖象：

貝(力,/(尤+ln2)｝的最大值為兩函數(shù)圖象交點處函數(shù)值，為殍.

故選：C.

9.ACD

【分析】

用對數(shù)表示無，y,利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、對數(shù)的計算、基本不等式等即可逐項計算得到答

案.

【詳解】

r

,/12=3，=log123,同理y=log]24,

：y=logi2龍在x>0時遞增，故y>無，故A正確；

x+j=log1212=1,B

?：x>0,y>0,：.xy<^±y^=；,當且僅當x=y時等號成立，而x<y,故孫<；,

；.c正確；

：.(G+6)=x+y+2^/^=l+2“^<2,即G+6〈也,「?D正確.

故選：ACD.

10.BC

答案第4頁，共20頁

【分析】

根據(jù)題意，由概率的公式即可判斷AC,由條件概率的公式即可判斷B,由尸(4)與尸(4T)

的關(guān)系，即可得到尸+從而判斷D

【詳解】

對A,P(AA)=f7xj?=14)所以A錯誤；

、22115/、尸(A4)4

對B,故尸(AIA)=W=E，所以B正確；

2547

對c,p(A+A)=尸(4)+尸(4)一尸(44)=,=所以c正確；

對D,由題意：P(4)=|P(4,-1)+1[I-JP(A-1)].所以=

D3乙。L乙_

「⑷=|，m)-|=|44'所以0⑷一UCCP

所以*4)=：[+：]，

則尸(4。)=][1+[[,所以D錯誤.

故選：BC.

11.ACD

【分析】

A選項，求出焦點坐標與準線方程，設(shè)直線《的方程為、=丘+1,聯(lián)立拋物線方程，得到兩

根之積，從而求出=1;B選項，求導，得到切線方程，聯(lián)立拋物線方程,得到％+退=2々；

C選項，求出0(0,%+2),|。同=乂+1,結(jié)合焦半徑公式求出|/S|=%+1,C正確；D選

項，作出輔助線，結(jié)合B選項，得到SABC=2SA8M，表達出So.,利用基本不等式求出

最小值，從而得到MC面積最小值.

【詳解】

A選項，由題意得“0,1),準線方程為＞=-1,

直線4的斜率存在，故設(shè)直線4的方程為了=丘+1,

聯(lián)立/=4，，得尤2_必-4=0,西龍2=-4,故％%=后=1，A正確；

答案第5頁，共20頁

B選項，直線4的斜率為:無2,故直線4的方程為丁-丁廣/仃-占），

即、=募了+%+2,聯(lián)立x?=4y,得x?-2A2X-2（X+2）=0,故石+七=2%2，

所以B錯誤；

c選項，由直線4的方程y-y=李（工一%），令x=o得y=5（-占）+%，

又尤i%=-4,所以＞=%+2,

故。（0,乂+2）,故Q同=%+1,

又由焦半徑公式得|/S|=%+1,所以C正確;

D選項，不妨設(shè)百＜々，過B向4作垂線交4于〃，

根據(jù)B選項知，xt+x3=2x2,

故SABC=2sABM,

根據(jù)直線k的方程y-％尤-網(wǎng)），

22

當％=%2時，y=，（元2-%）+%=木+乂y\+2，

（X2、

故"尤2,寸+%+2,

故忸M=；?+%+2—%=或+且一名

-244

當且僅當西二一,即石=2時，等號成立,

再

答案第6頁，共20頁

故ABC的面積最小值為16,D正確.

故選：ACD

【點睛】方法點睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：

(1)幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決;

(2)代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標函數(shù),

再求這個函數(shù)的最值或范圍.

12.15

【分析】

利用二項式的展開式通項公式求解.

【詳解】展開式的通項公式為九廣晨聲上,己］=(-及圖產(chǎn)33

令6—3左=0,解得k=2,

所以常數(shù)項為7=或=15,

故答案為：15.

13.0

【分析】

由直線EF與漸近線方程聯(lián)立求出E的坐標，代入雙曲線標準方程即可求出離心率.

【詳解】

b

y=—x,,

aATJaab

直線EF與漸近線方程聯(lián)立得角牟得與=——‘y=——，

o/\E

y=-…)’cc

a1+C1ah']

/中點"的坐標為

、2c，9)

又M點在雙曲線上，代入其標準方程，得(。2+/)_￡=1,

442c24c2一

化簡得c?=2a2,?9?e2=29e=A/2?

故答案為：V2.

14.52

33

【分析】

答案第7頁，共20頁

TT

變形后得到sin。+cosa=sin/?+cos6,利用輔助角公式得到a+/3=-,得到

13

sma-cosa=--,兩邊平方后得到sinacosa=言,利用同角三角函數(shù)關(guān)系求出

28

c18

tana+tanp=-------------=—.

sinacosa3

【詳解】

由題可知sina—sin/7=-coscr+cos/7,所以sina+cosa=sin/?+cos/?,

71

所以四sina+a

71

因為所以a+ee

-r-fcLLt、I兀c71>?C71

又a手B,所以［+：+￡+：=兀，故a+/7=u，

442

所以sini-sin尸=sina—cosa-,

13

兩邊平方后得sin2a—2sinacosa+cos2a=—,故sinacosa=—,

48

八1sinacosa18

tana+tanp=tana--------=---------1--------=--------------=—.

tanacosasinasinacosa3

故答案為："I

71

15.(1*="

TT57r

⑵或3.

1212

【分析】（1）由sinC=sin（A+B）,代入已知等式中，利用兩角和與差的正弦公式化簡得

cosB=,可得8的大?。?/p>

2

（2）設(shè)3C=x,ZBAC=（9,在，ABC和△ACM中，由正弦定理表示邊角關(guān)系，化簡求NB4C

的大小.

【詳解】（1）在ABC中，A+B+C^TT,所以sinC=sin（A+B）.

因為sin（B-A）+夜sinA=sinC,所以sin（B-A）+夜sinA=sin（A+3）,

即sinBcosA—cosBsinA+^sinA=sinBcosA+cosBsinA

化簡得0sinA=2cosBsinA.

因為Aw（0,n:）,所以sinA^O,cosB=與.

答案第8頁，共20頁

TT

因為°C'所以”"

jr

ZAMC=一一e.

2

xAC

BCAC

在-ABC中，由正弦定理得，即sin0sin-?-

sinABACsin3

2x

CMAC

在△ACM中，由正弦定理得，即sin71

sinZCAMsinM

4

也

①4■②，得一--=co譽,即2sindcosd=』，所以sin26*=工.

2sin6(<222

~T

因為Oe，,當，2片0,茅，所以2。=?或告，故夕*或浮

V47k27661212

法2：設(shè)8C=x,則CM=2x,BM=3x.

jrAMCM

因為“期二72,所以-s△.’^―=—

所以AA/2=5M.CM=6%2,AM=?,

BMAM___—___=瓜x

在中，由正弦定理得./===「，即sinNE4M一④，

sin/BAMsinB

2

化簡得sinNBAM=g

2

因為所以NBAM=］或g,ZBAC=ZBAM-^f

故/BACq或泮

16.(1)證明見解析；

(2)1.

【分析】

答案第9頁，共20頁

(1)取AA的中點M,先證明四邊形BMP。是平行四邊形得到線線平行，再由線面平行性

質(zhì)定理可得；

(2)法一：應(yīng)用面面垂直性質(zhì)定理得到線面垂直，建立空間直角坐標系，再利用共線條件

設(shè)CQ=XCB(0<^<1),利用向量加減法幾何意義表示所需向量的坐標，再由法向量方法

表示面面角，建立方程求解可得；法二：同法一建立空間直角坐標系后，直接設(shè)點。坐標

2(4,?,0)(-1<?<3),進而表示所需向量坐標求解兩平面的法向量及夾角，建立方程求解人

法三：一作二證三求，設(shè)=利用面面垂直性質(zhì)定理，作輔助線作角，先證

明所作角即為二面角的平面角，再利用已知條件解三角形建立方程求解可得.

【詳解】(1)證明：取的中點/，連接MP,MB.

在四棱臺ABC。一4月￡2中，四邊形AADR是梯形，A"=2,AD=4,

又點M，P分別是棱4A,0。的中點，所以且MP

在正方形ABC。中，BC//AD,BC=4,又BQ=3QC,所以80=3.

從而上0〃3。且=所以四邊形BMPQ是平行四邊形，所以尸。〃MB.

又因為MBu平面ABBH，尸QO平面A84A，所以尸Q〃平面A8男人；

(2)在平面明。口中，作AO_LA。于。.

因為平面A4t平面A3CD,平面A41Aoe平面ABCD=AD,A.01AD,4Ou平面

A4101f),

所以A。，平面A3CD.

在正方形ABC。中，過。作A3的平行線交BC于點N,則ONLOD.

以\ON,OD,OA^為正交基底，建立空間直角坐標系。-七z.

答案第10頁，共20頁

因為四邊形A41Ao是等腰梯形，AR=2,AD=4,所以A0=l,又AA=RD=,所

以40=4.

易得3（4,T,。），D（0,3,0）,C（4,3,0）,R（0,2,4）,P^0,|,2^,所以DC=（4,0,0）,

CP=1°L，。=（。，_4,0）.

法1：設(shè)。。=彳。3=（0,-440）（04；141）,所以。Q=OC+CQ=（4,—440）.

f1

設(shè)平面POQ的法向量為〃7=（x,y,z）,由｛，得｛2，,取根=（4幾4,1）,

[m-DO=0[4X-42J=0

另取平面DCQ的一個法向量為〃=（0,0,1）.

設(shè)二面角P-QD-C的平面角為仇由題意得|cosM=Jl-sin*=W.

又.小加力提;而於？所以mTTe，

33

解得2=±=（舍負），因止匕CQ==x4=3,伙2=1.

44

所以當二面角尸-紗-。的正弦值為士叵時，8。的長為1.

法2：設(shè)。（4/0）（-1W）,所以。。=（4」一3,0）.

C（1

/、m?DP=0—y+2z=0/、

設(shè)平面PDQ的法向量為m=（x,y,z）,由｛，得｛2，取〃?=（37,4,1）,

m，DQ=0（4,x+a-3）j=0

另取平面DCQ的一個法向量為w=（0,0,1）.

設(shè)二面角P-QD-C的平面角為仇由題意得|cosO|=J1-sin?缶=$.

|m-n|i]1

又|cos0\=|cosm,n|=’所以而不行

H,同43-戶17V26,

答案第11頁，共20頁

解得t=0或6（舍），因此8。=1.

所以當二面角尸-QD-C的正弦值為阻時，BQ的長為1.

法3：在平面AADA中，作垂足為

因為平面AADD1，平面ABCD,平面平面ABCD=AD,PHLAD,PHu平面

\ADDX,

所以尸HJ_平面ABC。，又DQu平面ABCD,所以PH，92.

在平面ABC。中，作HGLDQ,垂足為G,連接尸G.

因為耽_LOQ,HG±DQ,PHHG=H,PH,"Gu平面尸”G,

所以O(shè)Q,平面尸"G,又PGu平面PHG,所以。QLPG.

因為HGLDQ,PGLDQ,所以/PGH是二面角P-QD-A的平面角.

在四棱臺ABCD-AAG。中，四邊形是梯形，

A“=2,AD=4,AA=RD=屈，點尸是棱。2的中點，

所以PH=2，DH=—.

2

222

設(shè)3Q=x（OWxW4）,則CQ=4—x,DQ=^4+（4-x）=7x-8x+32,

111/，2

在△QHD中，—X—X4=—XJX2-8X+32XHG,從而HG「.

222VX2-8X+32

因為二面角尸-QD-C的平面角與二面角P-QD-A的平面角互補，

且二面角P-QD-C的正弦值為色^,所以sinNPG8=￡至，從而tan/PGH=5.

2626

所以在Rt^PHG中，黑=1爐-8尤+32=5,解得x=l或x=7（舍）.

HG

所以當二面角尸-3-C的正弦值為%巨時，8。的長為1.

17.(1)0.09；

答案第12頁，共20頁

(2)n=22.

【分析】

（1）根據(jù)題意，由正態(tài)分布的概率公式代入計算，再由全概率公式，即可得到結(jié)果；

（2）根據(jù)題意，由二項分布的概率公式代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】（1）記電壓“不超過200V”、“在200V-240V之間”、“超過240V”分別為事件A,B,

C,“該機器生產(chǎn)的零件為不合格品”為事件D

2

因為U~N（220,20）,所以P（A）=P（U<200）==匕詈=0.i6,

P（B）=P（200<t7<240）=P（//-o-<Z<//+cr）=0.68,

/、/、1一尸（〃一b<Z<〃+1-0.68,

P（C）=P（U>240）=——------------L=—=0.16.

所以尸（。）=尸（A）尸（D|A）+尸（5）尸（。|5）+尸（C）尸（D|C）

=0.16x0.15+0.68x0.05+0.16x0.2=0.09,

所以該機器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率為0.09.

（2）從該機器生產(chǎn)的零件中隨機抽取w件，設(shè)不合格品件數(shù)為X,則乂~8（〃,0.09）,

所以P=尸（X=2）=C：?0.91"-2■0.092.

由片“罟皓謂解得2。<爭

所以當時，p?<pn+1；

當“222時，pn>p?+l；所以P22最大.

因此當”=22時，P“最大.

/V2

18.⑴

43

⑵①證明見解析；②存在，怛叫=近

【分析】

（1）先求出右頂點。和M的坐標，利用題中條件列等式，分類討論計算得出橢圓的方程;

（2）設(shè)直線的方程為=4）,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得出韋達定理，由題意，

答案第13頁，共20頁

將韋達定理代入可出答案.

【詳解】（1）由右焦點為歹（1,0）,得c=l,

因為|4W|=a|AF|,所以|4一"=a（a—1）,

若a",則。得。2一2。+4=0,無解，

22

若。＜4,則4一。=。（。一1）,得4=4,所以從=3,因此C的方程?+（=：!.

（2）設(shè)8（4,。，易知過B且與C相切的直線斜率存在，

設(shè)為『=他一4）,

y—t=k^x-^）

聯(lián)立,2>2,消去y得（3+4左2卜2+8左?-4左）x+4（f-4左）2—12=0,

----1-----=1

143

由△=64左2”4W-4（3+4用[4。一44-12]=0,得12/一8波+產(chǎn)一3=0,

Of產(chǎn)—q

設(shè)兩條切線BP,BQ的斜率分別為K，k2,貝"匕+自==%他==

12312

①設(shè)BF的斜率為&,則%=7、=：，

4—13

2t

因為勺+&=]=2%，所以8尸，BF,8。的斜率成等差數(shù)列,

②法1：在yT=勺（%—4）中，令x=0,得力=/-4k],所以尸（0j_4/）,

同理，得。（0J-4&）,所以PQ的中垂線為＞=-2（勺+&），

易得8P中點為（2,。-2匕），所以BP的中垂線為丫=-/（》-2）+/-2勺,

y=t-2（k]+k2）

聯(lián)立__lr”，解得N（2左隹+2"-2（左+&）），

y一（%一十I—乙K、

答案第14頁，共20頁

所以NP=42k1kl-2,2七一2匕），NQ=（—2匕七一2,2%—2g）,

要使NP?NQ=Q,即4（猴2+1）2—4（/—左a）?=0，整理得上左2+1|=|勺一勾,

而歸一&I=J（勺+&＞一4桃2=/mJ-4,彳

所以；^+1=業(yè)了，解得尸=7，t=±5,因此怛叫=近,

故存在符合題意的點2,使得NPNQ=O,止匕時忸M=

法2：在y—/=匕（x—4）中，令x=0,得力=/—4勺,因此尸（0,r—4匕）,

同理可得。（0J-必2）,所以PQ的中垂線為y=-2（匕+3，

因為取中點為（21-2匕），所以BP的中垂線為、=-/（尤-2）+”2%

y=t—2（k［+&）

聯(lián)立?511°、」“，解得％=2桃z+2,

y=一?。ㄓ萠2）+:-2/

〔&

要使NPNQ=O,貝|NPAQ='所以％|=幽，即|2秘2+2|=2］勺—勾,

22

而歸］一勺|=J（勺+&J-3右=-4,廠）="19，

所以‘丁+1='/，解得尸=7，仁±百，因此怛叫=夜，

故存在符合題意的點3,使得NPNQ=O,此時忸河|=后.

答案第15頁，共20頁

法3：要使/PNQ=90。，即ZP8Q=45?；?35。,

從而卜m/P叫|=1,又tanNP3Q=的所以k、—k~2

=1,

1+k水2

因為區(qū)一&|=/((+&)—的或=JL=39,

所以耳9=1+會，解得『=7，仁±療，所以忸凹=9,

故存在符合題意的點3,使得NPNQ=O,此時怛M|=S.

法4：要使ZPNQ=90°,即ZP8Q=45°或135°,

BPBQ_應(yīng)

從而|cos/PBQ|=

=

BP\\BQ7T'

在yT=尢(x—4)中，令1=0,得力=/_4左］,故尸(。/―秋),

同理可得。(。/一的),

因此=(-4,—4匕)，=(-4,-4左2),

BPBQ_16+16%#2—垃

所以網(wǎng).回「4聲正^后有一2

故\/2(1+kxk2)=J1+k；k；+k；+抬,即2+2k;k：+4%自=1++k1+k；,

整理得k^kl+6k&+1=(匕+&丫,

答案第16頁，共20頁

所以+6,1F+I=（f]'整理得，+2戶一63=0,解得"=7或_9（舍去）,

因此.=±^/yf|BAZ|=y/i,

在y_/=匕（x—4）中，令x=0,得力=-4左i，故P（0/_4kJ,

同理可得。（0/-%）,

由等面積法得#0卜耳|=5詠=；忸葉忸

即；曲一4副4=；.4叱+々.盯1+抬整理得（勺+&）2=好片+6匕&+1,

所以=[1?1+6,^T+1,整理得，+2，-63=0,解得/=7或一9（舍去），

因1H"=±J7,\BM\=yfi,

故存在符合題意的點8,使得NP-NQ=0,止匕時怛M|=S.

【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：

（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為（4%）,（無2,%）；

（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或＞）的一元二次方程，注意A的判斷;

（3）列出韋達定理；

（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為國+尤2、%%（或%+為、％丫2）的形式；

（5）代入韋達定理求解.

19.（1）證明見解析;

⑵（。，2]；

答案第17頁，共20頁

(3)b,“=m.

【分析】

(1)通過構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求最小值即可證明；

(2)對。的值分類討論，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求最小值，判斷能否滿足/(彳)>0；

(3)利用(1)中結(jié)論，cos西屋可>1-王屋⑴，通過放縮并用裂項相消法求

白兀41971/7

6〉COS2——M7-k-+-i)7,有〃一1<￡〉COS2——M;左--+-D-<A7，,可"得可Z7加=m.

【詳解】(1)因為〃=2,所以〃x)=2xsinx+cos2%-l=2(x-sinx)sinx,

7C.

0<x<—,2sinx>0.

4

設(shè)g(x)=x-sinx,0<%<：,

則g'(x)=l-COSX>0,所以g(x)在H上單調(diào)遞增，

所以g(x)>g(o)=。,

因此/(x)>。.

(2)B^/(^)=<xrsinx+cosov-l,0<%<；,

方法一：

/'(%)=〃(sinx+xcosx-sinor),

當0VQ<2時，

、兀

注意到0<oxW2%<一,故sin訴<sin2x，

2

因止匕/'(%)之a(chǎn)(sinx+xcosx-sin2x)=a[sinx(1-CO&Y)+(X-sinx)cosx],

由(1)得x—sinx>0,因止匕/,%)>。，

所以“X)在(0，T上單調(diào)遞增，從而小)>〃0)=0,滿足題意；

當a>2時，令h^x)-yr(x)=a(sinx+xcosx-sinar),

=a(2cos%-xsinx-〃cosax)<a(2-acosa%)=a21--cosax|,

答案第18頁，共20頁

因為o<2<i,所以存在4.of],使得cos〃=2,

a\2)a

則當xe(0,6)時，axe(O,a0),〃(x)<a?=o,所以尸(x)在(O,d)上單調(diào)遞減，

從而尸(x)〈/(0)=0,所以/(力在(0,。)上單調(diào)遞減,因