2024年江蘇省無錫市九年級中考第一次適應(yīng)性練習(xí)數(shù)學(xué)模擬試卷含詳解

省錫中實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期

初三第一次適應(yīng)性練習(xí)數(shù)學(xué)試卷2024年3月

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

正確的，請用2B鉛筆把答題卡上相應(yīng)的選項(xiàng)標(biāo)號涂黑.）

_5

1.2的倒數(shù)是（）

5522

A.一B.-(z.一D.—

2255

3

2.田奴》“?日義星X叩耿但7巳國心\)

x+2

AX>2B.x>-2(3.尤w―2D.x<—2

3.下列運(yùn)算正確的是（）

222。)23

A.(tz—Z?)=a—bB.(2.(―3=9/D.a+a=a

4.若x=l是關(guān)于x方程3x+a=4的解，則。的值為（）

A.7B.1C.-1D.-7

5.某城市3月份某星期7天的最低氣溫如下（單位：。C）：16,20,18,16,18,18,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)分

別是（）

A.16,16B.16,20C.18,20D.18,18

6.數(shù)學(xué)世界奇妙無窮，其中曲線是微分幾何的研究對象之一，下列數(shù)學(xué)曲線是中心對稱圖形的是（）

7.如圖，將AABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的度數(shù)，得到AADE.若點(diǎn)。在線段的延長線上，若/5=35°則

旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為（）

A.100°B.110°C.145°D.55°

8.下列命題中，是真命題的有（)

①對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；②對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形;

③矩形的對角線互相垂直且平分；④菱形的對角線平分一組對角.

A.①③B.①④C.②③D.②④

9.如圖，矩形。鉆C的頂點(diǎn)C在雙曲線y=&（左#0）上，與y軸交于點(diǎn)，且=AO與x軸負(fù)半軸

X

的夾角的正切值為連接。8,SOBD=5,貝I]上的值為（

C.16D.18

10.如圖，一ABC是邊長為6等邊三角形，點(diǎn)E在AC上且AE=4,點(diǎn)。是直線上一動(dòng)點(diǎn)，將線段ED繞

點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段所，連接OR,AF,下列結(jié)論:

①止的最小值為幾；②AF的最小值是2+石

③當(dāng)CD=2時(shí)，DE〃AB；④當(dāng)DE/AB時(shí)，DE=2.

其中正確的有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答

題卡相應(yīng)的位置上）

11.分解因式m2一9的結(jié)果是

12.馬拉松長跑是國際上非常普及長跑比賽項(xiàng)目，全程距離約42200米，將數(shù)字42200用科學(xué)記數(shù)法表示為

13.已知方程式―5%+2=0的兩個(gè)解分別為玉、巧，則西+々的值為

14.已知圓錐的底面半徑為1cm,母線長為3cm,則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是.

15.請寫出一個(gè)函數(shù)表達(dá)式，使其圖象經(jīng)過點(diǎn)。，0),并經(jīng)過第三象限：

16.“圓材埋壁”是我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之,

深一寸，鋸長一尺，問徑如何？”.問題翻譯為：如圖，現(xiàn)有圓形木材埋在墻壁里，不知木材大小，將它鋸下來測

得深度CD為1寸，鋸長A5為10寸，則圓材的半徑為寸.

2—2℃—7a+l2m為常數(shù)，且。小于0)的圖象在x軸上方，則。的取值范圍為

18.如圖，直線/與半徑為2的。相切于點(diǎn)A,P是)0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，過點(diǎn)尸作垂足

為B,連接PA設(shè)PA=x，PB=y,貝U(x—2y)的最大值是.

三、解答題(本大題共10小題，共96分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證

明過程或演算步驟)

19.計(jì)算：

(1)后—(—2)2+|—3|

(2)(%—1)"+(x+1)(%+2).

。I[1

20.(1)解方程：——二——+1；

x+3%+3

2x-2<x,

(2)解不等式組：“

3(%+1)>6.

21.如圖，在四邊形A5CD中，?B90?,AC平分ZZMB，DE1AC,垂足為E,SLAE=AB.

D

B

(1)求證：^ADE^ACB；

(2)若NZMC=40。，求/DC4的度數(shù).

22.2024年3月24日無錫市迎來一場激動(dòng)人心的體育盛會(huì)--2024無錫馬拉松.當(dāng)日，來自全國各地的參賽選手

齊聚無錫太湖湖畔，通過參加比賽感受秀美無錫的自然風(fēng)光、人文風(fēng)情和城市魅力，彰顯挑戰(zhàn)自我、超越極限、永

不放棄的體育精神?比賽設(shè)置“全程馬拉松”、“半程馬拉松”以及“歡樂跑”三種不同項(xiàng)目.甲、乙兩人分別各

參加了其中一個(gè)項(xiàng)目.

(1)甲恰好參加的是“半程馬拉松”的概率是；

(2)請用畫樹狀圖或列表法求解“甲、乙兩人分別參加兩種不同項(xiàng)目”的概率.

23.垃圾的分類處理與回收利用，可以減少污染，節(jié)省資源.無錫市環(huán)保部門抽樣調(diào)查了某居民小區(qū)一段時(shí)間內(nèi)生

活垃圾的分類情況，將獲得的數(shù)據(jù)整理繪制成如圖兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.(注：A為廚余垃圾，8為可回收垃圾,

C為其它垃圾，￡＞為有害垃圾)

各類垃圾數(shù)量條形統(tǒng)計(jì)圖各類垃圾數(shù)量扇形統(tǒng)計(jì)圖

ABCD垃圾類別

根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，解答下列問題：

(1)本次調(diào)查的樣本容量是;

(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

(3)假設(shè)該小區(qū)每月產(chǎn)生的生活垃圾為100噸，且全部分類處理，請估計(jì)每月產(chǎn)生的有害垃圾有多少噸?

24.如圖1,在中，ZC=90°,且邊上有一點(diǎn)D

AA

（圖1）（圖2）

(1)請?jiān)趫D1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖(不寫作法，保留作圖痕跡)：

①作/C的角平分線CE,交邊AB點(diǎn)E；

②作RdDEF,其中ZDEF=90°,點(diǎn)尸在AC邊上；

(2)在(1)的條件下，若BC=3,AC=6,點(diǎn)。在邊上運(yùn)動(dòng)，則面積的最小值為

25.如圖，AD是。的直徑，A3為1。的弦，OP1.AD,OP與A5的延長線交于點(diǎn)P.點(diǎn)。在O尸上，且

BC=PC.

(1)求證：直線是：。的切線；

(2)若Q4=6,AB=4,求5F的長.

26.陽春三月，又到了一年最美櫻花季，童頭渚某商家借機(jī)推出新款櫻花雪糕，其中雪糕每支成本5元.該商家每

支雪糕定價(jià)40元，平均每天可售出600支，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商家決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措

施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每支雪糕降價(jià)1元，商場平均每天可多售出30支.求：

(1)若商家平均每天要盈利22500元，每支雪糕應(yīng)降價(jià)多少元？

(2)每支雪糕降價(jià)多少元時(shí)，商家平均每天盈利最多？

27.如圖，已知矩形43。的邊/3=4,AD=8,點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，線段AP的垂直平分線交矩形A3CD

的邊于點(diǎn)V、N,其中點(diǎn)/在邊或BC上，點(diǎn)N在邊或D4上.

(1)如圖2,當(dāng)3P=2時(shí)，求40長度;

(2)當(dāng)dAMN是等腰三角形時(shí)，求6P能取到的值或取值范圍；

(3)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸由點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。的過程中，求點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)路程長為多少？

28.如圖1,拋物線丁=必+法+。經(jīng)過4(0,3),8(4,3)兩點(diǎn)，作5C垂直x軸于點(diǎn)C.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)。是拋物線上一點(diǎn)，滿足NBOC=NOBD,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且在第四象限內(nèi).已知直線Q4，與x軸分別交于E、尸兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),

,是否為定值？若是,請求出該定值；若不是，請說明理由.

OECF

省錫中實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期

初三第一次適應(yīng)性練習(xí)數(shù)學(xué)試卷2024年3月

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

正確的，請用2B鉛筆把答題卡上相應(yīng)的選項(xiàng)標(biāo)號涂黑.）

_5

1.2的倒數(shù)是（）

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義，可得答案.

52

【詳解】-一的倒數(shù)是-一.

25

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了倒數(shù).掌握倒數(shù)的定義，明確分子分母交換位置是求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)是解題的關(guān)鍵.

3

2.函數(shù)y=----中自變量x的取值范圍是（）

x+2

A.x>2B.x>—2C.x—2D.尤<—2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)分式有意義分母不為。直接求解即可得到答案；

【詳解】解：由題意可得，

x+2w0,

解得：x—2,

故選C；

【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)自變量x的取值范圍，涉及分式時(shí)要使分式有意義，保證分母不為0.

3.下列運(yùn)算正確的是（）

A.（a-好=a?_及B.a9a3—a3C.（—3。）=9a6D,a2+a3—a5

【答案】C

【解析】

【分析】利用完全平方公式、同底數(shù)幕的除法、積的乘方、塞的乘方等運(yùn)算法則逐一進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：A、（a—b）2=/一本選項(xiàng)不符合題意；

B、/+〃=。9.3=。6彳。3,本選項(xiàng)不符合題意；

C、（-3tz3）2=（-3）2xa3x2=9a6,本選項(xiàng)符合題意；

D、a~+a3a5＞本選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式、同底數(shù)募的除法、積的乘方、越的乘方等運(yùn)算法則，熟練掌握這些運(yùn)算法則

是解答本題的關(guān)鍵.

4.若x=l是關(guān)于龍的方程3x+a=4的解，則a的值為（）

A.7B.1C.-1D.-7

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查一元一次方程的解的定義，把％=1代入方程3x+a=4,求解即可.熟練掌握方程的解是使等

式成立的未知數(shù)的值，是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：把x=l代入方程3%+。=4得：

3+a=4,

解得：a—1.

故選：B.

5.某城市3月份某星期7天的最低氣溫如下（單位：。C）：16,20,18,16,18,18,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)分

別是（）

A.16,16B.16,20C.18,20D.18,18

【答案】D

【解析】

【分析】眾數(shù)為數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)；中位數(shù)：將數(shù)據(jù)按大小順序（從小到大或從大到小）排列，若有奇數(shù)

個(gè)數(shù)據(jù)，位于最中間的數(shù)，若有偶數(shù)個(gè)數(shù)，則是位于最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù).

【詳解】解：把這些數(shù)從小到大排列為：16,16,18,18,18,20,

則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是J~2=18；

2

：18出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，

這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是18；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查眾數(shù)、中位數(shù)的計(jì)算，將數(shù)據(jù)按大小順序排列是計(jì)算中位數(shù)的關(guān)鍵.

6.數(shù)學(xué)世界奇妙無窮，其中曲線是微分幾何的研究對象之一，下列數(shù)學(xué)曲線是中心對稱圖形的是（）

A.B.

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念判斷.把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，

那么這個(gè)圖形就叫做中心對稱圖形.

【詳解】解：選項(xiàng)A、B、D都不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后與原來的圖形重合，所以不是

中心對稱圖形，選項(xiàng)C能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖

形，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是中心對稱圖形的概念.中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合.

7.如圖，將AABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的度數(shù)，得到AADE.若點(diǎn)。在線段的延長線上，若/5=35°則

旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為（）

A.100°B.110°C.145°D.55°

【答案】B

【解析】

【分析】先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知

ZB=ZADB=35°,

^BAD=1800-ZB-ZADB^\10°,

故旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為110。，

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出NZ=/ADfi=35°.

8.下列命題中，是真命題的有（）

①對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；②對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形;

③矩形的對角線互相垂直且平分；④菱形的對角線平分一組對角.

A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】B

【解析】

【分析】此題主要考查了平行四邊形、正方形的判定，矩形、菱形的性質(zhì).

根據(jù)平行四邊形、正方形的判定和矩形、菱形的性質(zhì)逐一進(jìn)行判斷，可得答案.

【詳解】解：①對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故①是真命題；

②對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，故②是假命題；

③矩形的對角線相等且平分，故③是假命題；

④菱形的對角線平分一組對角，故④是真命題；

故選：B.

k

9.如圖，矩形。鉆C的頂點(diǎn)。在雙曲線y=—（左H0）上，8c與y軸交于點(diǎn)D且CE>=25￡>.AO與x軸負(fù)半軸

x

的夾角的正切值為連接SOBD=5,則左的值為（）

A12B.15C.16D.18

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角函數(shù)，反比例函數(shù)上的幾何意義等知識(shí)的綜合運(yùn)用.過點(diǎn)。作CELx軸于

點(diǎn)、E,由題意可知N1=N2=N3,由CD=23D,“9=5可知”諛=匕，設(shè)BD=a,則C￡）=2a,,利用三

角函數(shù)求得OD=2右a，利用4°BC=15,求得。的值，在中利用三角函數(shù)求得?！旰虲E的長，從而求得

點(diǎn)。的坐標(biāo)，即可求得左的值.

【詳解】解：過點(diǎn)C作尤軸于點(diǎn)E，

四邊形A5C0是矩形，

.\ZAOC=ZBCO=90°,

:.Z1+ZCOE=90°,

；CE_Lx軸，

.*.Z2+ZCOE=90°,。石〃y軸,

.\Z1=Z2=Z3,

CD=2BD，SAOBD=5，

…S^OBC~3SbOBD=15，

設(shè)BD-a,則CD-2a，

tanZ「1=—1,

2

/.tanZ2=tanZ3=—,

2

,CD

,,=一,

CO2

CO=4-a,

OD=^（2tz）2+（4a）2=245a，

S^OBC=—x4（2x3（7=15,

OC=2M，

小1

tanZ2=—,

2

.OEJ

,?=t

CE2

OE=272，

:.CE=4V2，

C（2&4吟,

.?"=20x4忘=16，

故選：C.

10.如圖，ABC是邊長為6的等邊三角形，點(diǎn)E在AC上且AE=4，點(diǎn)。是直線上一動(dòng)點(diǎn)，將線段繞

點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段ER,連接Ob,AF,下列結(jié)論：

①。斤的最小值為"；②AF的最小值是2+石；

③當(dāng)CD=2時(shí)，DE〃AB；④當(dāng)DE/AB時(shí)，DE=2.

其中正確的有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】B

【解析】

【分析】①由垂線段最短可知田，6c時(shí)，OE最小，最小，②尋找到點(diǎn)F在固定直線上運(yùn)動(dòng)即可判斷;

③點(diǎn)D可以在8。延長線上，0E不平行A5；④先證明1cCDE是等邊三角形，進(jìn)而確定結(jié)果.

【詳解】解：：ABC是邊長為6的等邊三角形，點(diǎn)E在AC上且AE=4,

CE=4.

?/ZDEF=90°，DE=FE,

???DF=垃DE,

:田J_5C時(shí)，OE最小，Ob最小，

當(dāng)團(tuán)J_6C時(shí)，

：,ABC是等邊三角形，

/.ZACB=6Q0,

AZCED=30%CD=-CE=\

2

DE=7CE2-CD2=73，

???DF=氏DE=V6；故①正確；

作七5c于M,作NELEM,且使石N=EM,作NGLBC于G,連接Nb,

/.ZEMG=ZMGN=ZMEN=90°,

四邊形石MGV是矩形，

...矩形EMGN是正方形，

:,ZDEF=90。,

：.ZDEM=ZNEF,

DE=EF,

.DEM，F(xiàn)EN(SAS),

/.ZENF=ZEMD^90°,

點(diǎn)尸在NG上，

作AFUNG,

???AF最小值是AF',

延長ME交AF'于H,

,/ZAF'G=ZDGN=ZEMG=90°,

；?四邊形M/F'G是矩形，

???HF'=MG=EM=5

AH=yAE=2,

：?AF'=2+5故②正確；

當(dāng)CD=2時(shí)，D可以在BC的延長線上，故③不正確；

當(dāng)D石〃時(shí)，ACDE=ZABC=6Q°,

VZACB=6Q°,

CDE是等邊三角形，

ACD=CE=2,故④正確；

綜上，正確的有①②④，共3個(gè)，

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，正方形的判定等知識(shí)，

解題的關(guān)鍵是找出點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)軌跡.

二、填空題(本大題共8小題，每小題3分，共24分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答

題卡相應(yīng)的位置上)

11.分解因式.2—9的結(jié)果是.

【答案】(〃7+3)(777-3)

【解析】

【分析】本題考查用公式法分解因式.直接用平方差公式分解即可.

【詳解】解：m2-9=m2-32=(m+3)(m-3),

故答案為：(m+3)(m-3).

12.馬拉松長跑是國際上非常普及的長跑比賽項(xiàng)目，全程距離約42200米，將數(shù)字42200用科學(xué)記數(shù)法表示為

【答案】4.22xlO4

【解析】

【分析】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式，其中14時(shí)＜10,九為整數(shù)；

確定九的值時(shí)，要看把原數(shù)變成。時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，九的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對值

210時(shí)，”是正整數(shù)，當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時(shí)，九是負(fù)整數(shù).

【詳解】解：將數(shù)字42200用科學(xué)記數(shù)法表示為4.22x104,

故答案為：4.22xlO4.

13.已知方程5%+2=0的兩個(gè)解分別為占、巧，則占+工2的值為.

【答案】5

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；

b

根據(jù)一元二次方程依2+法+C=0的兩根之和等于--列式計(jì)算即可.

a

【詳解】解：???方程爐一5%+2=0的兩個(gè)解分別為均、4，

，%+々=5,

故答案為：5.

14.已知圓錐的底面半徑為1cm,母線長為3cm,則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是.

【答案】3Kcm2

【解析】

【分析】由已知可求得圓錐的底面圓的周長，且圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，則根據(jù)公式：S二」x扇形弧長x扇形

2

半徑，即可求出圓錐的側(cè)面積.

【詳解】解：由題意知，圓錐側(cè)面展開圖的弧長即圓錐底面的周長為：2X7TX1=2忒cm)；圓錐側(cè)面展開圖的半徑即

為母線長為3cm,

S=^-X2TTX3=37r(cm?)

故答案為：371cm2.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐展開圖，圓錐側(cè)面積的計(jì)算，掌握扇形弧長與扇形半徑乘積的一半的面積公式是解題關(guān)

鍵.

15請寫出一個(gè)函數(shù)表達(dá)式，使其圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,0),并經(jīng)過第三象限：.

【答案】y=xT(答案不唯一)

【解析】

【分析】本題考查的是函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特殊是解題的關(guān)鍵.

設(shè)它是一次函數(shù)，設(shè)表達(dá)式為丫=履+6,把(1,0)代入，解得b=—k,再根據(jù)圖象經(jīng)過第三象限，則左>0,即可

求解.

【詳解】解：如果是一次函數(shù)，設(shè)表達(dá)式為>=履+方，

把(1,0)代入,則1+6=0,

b=-k,

y=kx—k,

又：圖象經(jīng)過第三象限，

...左>0,

；.k取正數(shù)即可，如左=1,貝=

故答案為：丫=尤-1(答案不唯一).

16.“圓材埋壁”是我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，

深一寸，鋸長一尺，問徑如何？”.問題翻譯為：如圖，現(xiàn)有圓形木材埋在墻壁里，不知木材大小，將它鋸下來測

得深度CD為1寸，鋸長A5為10寸，則圓材的半徑為寸.

【解析】

【分析】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用以及勾股定理，熟練掌握垂徑定理及勾股定理是解題的關(guān)鍵.

設(shè)圓材的圓心為。，延長CD,交.。于點(diǎn)E,連接。4,由題意知CE過點(diǎn)。，且0。，人8,4￡>=5￡>=5,

設(shè)圓形木材半徑為r,可知0￡>="-1)寸，0A=r寸，根據(jù)。42=。。2+4)2列方程求解可得.

【詳解】解：設(shè)圓材的圓心為。，延長CD,交C。于點(diǎn)E，連接。4,

如圖所示：由題意知：CE過點(diǎn)。，且OC_LAB,

則AD=3D,A3=5,

2

設(shè)圓形木材半徑為「寸，

則0￡>=(r-l)寸，。4=廠寸，

,/0A2=OD2+AD2,

：.r2=(r-l)2+52,

解得：r=13,

。的半徑為13寸，

故答案為：13.

17.當(dāng)-3<x<2時(shí)，函數(shù)丁=?%2-2御一7。+12(°為常數(shù)，且。小于0)的圖象在x軸上方，則。的取值范圍為

3

【答案］——<“<0

2

【解析】

【分析】本題考查二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠求出-2時(shí)y的最小值.先求出二次函數(shù)圖

象的對稱軸，再先求出y的最小值，令最小值大于0即可求解.

【詳解】解：二次函數(shù)丁=奴2一2奴—7。+12的圖象的對稱軸為：%=-(-2。)=i.

2a

：a<0,

拋物線開口向下，

又.-3<x<2,|1-(-3)|>|2-1|,

，x=-3時(shí)，y取最小值，最小值為：y—a-(-3)2-2a-(-3)-7^+12=8^+12,

圖象在1軸上方，

?e-8(2+12>0,

3

解得a>—，

2

3八

???一一<Q<0;

2

3

故答案為：—<a<0.

2

18.如圖，直線/與半徑為2的。相切于點(diǎn)A尸是一〉。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，過點(diǎn)尸作垂足

為B,連接？A.設(shè)？A=x,PB=yf則(x—2y)的最大值是.

【答案】I

【解析】

【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，二次函數(shù)的最值問題，直徑所對的圓周角是直

角，連接AO并延長，交(。于C,連接PC,由切線的性質(zhì)得到NQ4B=90°,進(jìn)而證明NK4c=N3上4,

再由AC是。的直徑，得到NAPC=NPB4=90°,即可證明△”。口△加得到/,則

4

1,1

x—2y=+-,據(jù)此利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：如圖所示，連接A0并延長，交于C,連接PC,

..?直線/與半徑為2的。相切于點(diǎn)A,

ZOAB=9Q°,

PB±l,

：.ZABP=90°,

：.ZCAP+NBAP=90°=NBAP+NBPA,

ZPAC=ZBPA,

：AC是C0的直徑，

：.ZAPC=ZPBA=90°,

：./\APC^/\PBA,

發(fā)=如，即"日

BPPAy%

12

y--x

4

_1o1/4\21

x-2y—x—x——(x-1)H—,

22V72

2

...當(dāng)x=l時(shí)，x—2y有最大值

故答案為：；

三、解答題(本大題共10小題，共96分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證

明過程或演算步驟)

19.計(jì)算:

(1)后-(-2)2+|-3|

(2)(x—1)"+(x+1)(%+2).

【答案】⑴4⑵2/+X+3

【解析】

【分析】此題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算和整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則和乘法公式是解題的關(guān)鍵.

(1)計(jì)算算術(shù)平方根、乘方和絕對值后，再進(jìn)行加減法即可;

(2)利用完全平方公式和多項(xiàng)式乘法展開后，進(jìn)行加法運(yùn)算即可.

【小問1詳解】

后-(-2)2+|-3|

=5-4+3

=4

【小問2詳解】

(X-1)2+(X+1)(X+2)

—爐—2x+1+/+2x+x+2

=2Y+%+3

。?11

20.（1）解方程：——=——+1；

x+3x+3

2%-2<%,

（2）解不等式組：“八、表

3（x+l）>6.

【答案】（1）%=3；（2）l<x<2

【解析】

【分析】（1）先去分母，再移項(xiàng)合并同類項(xiàng)，解出尤的值，再對所求的根進(jìn)行檢驗(yàn)即可;

（2）分別解每一個(gè)不等式，再求不等式組的解集即可.

2x+l1

【詳解】解：（1）+1

x+3x+3

方程兩邊同時(shí)乘以（x+3）,

得，2%+1=1+X+3,

解得，x=3,

檢驗(yàn)：當(dāng)工=3時(shí)，x+3w0,

**?X=3是原方程的解；

2x-2<%①

⑵]3（x+l）26②，

解不等式①，得x<2,

解不等式②，得

/.原不等式組的解集是1<%<2.

【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，解一元一次不等式組，熟練掌握解分式方程的方法，解一元一次不等式組的方法是

解題的關(guān)鍵.

21.如圖，在四邊形A3CD中，?B90?,AC平分/ZMB，DE1AC,垂足為E,且AE=AB.

（1）求證：_ADE0二ACB；

(2)若NZMC=40。，求/DC4的度數(shù).

【答案】(1)見解析(2)70°

【解析】

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判

定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì).

(1)根據(jù)ASA證明/△血)即可；

(2)根據(jù)A4BC/△AED可得AC=4),根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可解決問題.

【小問1詳解】

證明：?：DEIAC,/5=90°,

ZB=ZAED=90°,

?：AC平分立DIB,

/HAC=/EAD,

在，ABC和zXA石。中，

ZBAC=ZEAD

<AB=AE,

ZB=ZAED

；?ABCaAEZXASA),

【小問2詳解】

解：*/AABC&AAED,

AC=AD,

:.ZACD=ZADC,

ADAC=40°,

：.ZACD=ZADC=7Q°.

22.2024年3月24日無錫市迎來一場激動(dòng)人心的體育盛會(huì)--2024無錫馬拉松.當(dāng)日，來自全國各地的參賽選手

齊聚無錫太湖湖畔，通過參加比賽感受秀美無錫的自然風(fēng)光、人文風(fēng)情和城市魅力，彰顯挑戰(zhàn)自我、超越極限、永

不放棄的體育精神?比賽設(shè)置“全程馬拉松”、“半程馬拉松”以及“歡樂跑”三種不同項(xiàng)目.甲、乙兩人分別各

參加了其中一個(gè)項(xiàng)目.

(1)甲恰好參加的是“半程馬拉松”的概率是；

(2)請用畫樹狀圖或列表法求解“甲、乙兩人分別參加兩種不同項(xiàng)目”的概率.

【答案】(1)”

3

【解析】

【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵.

(1)直接利用概率公式可得答案.

(2)畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及“甲、乙兩人分別參加兩種不同項(xiàng)目”的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得

出答案.

【小問1詳解】

解：由題意得，甲恰好參加的是“半程馬拉松”的概率是g.

故答案為：—.

3

小問2詳解】

將''全程馬拉松"''半程馬拉松”“歡樂跑”三種項(xiàng)目分別記為A,B,C,

畫樹狀圖如下：

開始

共有9種等可能的結(jié)果，其中“甲、乙兩人分別參加兩種不同項(xiàng)目”的結(jié)果有：AB,AC,BA,BC,CA,

CB,共6種，

62

“甲、乙兩人分別參加兩種不同項(xiàng)目”的概率為一=—.

93

23.垃圾的分類處理與回收利用，可以減少污染，節(jié)省資源.無錫市環(huán)保部門抽樣調(diào)查了某居民小區(qū)一段時(shí)間內(nèi)生

活垃圾的分類情況，將獲得的數(shù)據(jù)整理繪制成如圖兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.(注：A為廚余垃圾，B為可回收垃圾,

C為其它垃圾，￡＞為有害垃圾)

各類垃圾數(shù)量條形統(tǒng)計(jì)圖各類垃圾數(shù)量扇形統(tǒng)計(jì)圖

ABCD垃圾類別

根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，解答下列問題：

(1)本次調(diào)查的樣本容量是;

(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

(3)假設(shè)該小區(qū)每月產(chǎn)生的生活垃圾為100噸，且全部分類處理，請估計(jì)每月產(chǎn)生的有害垃圾有多少噸?

【答案】(1)50(2)見解析

(3)12

【解析】

【分析】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、用樣本估計(jì)總體，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想

解答.

(1)由廚余垃圾噸數(shù)及其所占百分比可得抽樣總數(shù)，即樣本容量;

(2)用減法求出可回收垃圾的數(shù)量，即可補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;

(3)用總數(shù)量乘以樣本中有害垃圾數(shù)量所占比例即可.

【小問1詳解】

解：在這次抽樣調(diào)查中，生活垃圾一共有24+48%=50(噸),

故答案為：50；

【小問2詳解】

回收垃圾有：50-(24+8+6)=12(噸),

補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下:

各類垃圾數(shù)量條形統(tǒng)計(jì)圖

【小問3詳解】

答：估計(jì)每月產(chǎn)生的有害垃圾大約有12噸.

24.如圖1,在Rt4ABC中，ZC=90°,且邊上有一點(diǎn)D

(圖1)(圖2)

(1)請?jiān)趫D1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖(不寫作法，保留作圖痕跡)：

①作/C的角平分線CE,交邊AB點(diǎn)E；

②作RtADEF,其中ZDEF=90°,點(diǎn)尸在AC邊上；

(2)在(1)的條件下，若BC=3,AC=6,點(diǎn)。在邊上運(yùn)動(dòng)，則RtADEF面積的最小值為

【答案】（1）見解析（2）2

【解析】

【分析】本題考查尺規(guī)基本作圖，角平分線的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，三角形的面積.利用面積法求解是解題的

關(guān)鍵.

（1）①利用尺規(guī)基本作圖-作已知角的平分線，作出圖形即可；

②利用尺規(guī)基本作圖-經(jīng)過直線上一點(diǎn)作已知直線的垂線，用出圖形即可.

（2）根據(jù)5及0EF=!。足石/，當(dāng)。時(shí)，￡>￡值最小，此時(shí)，ER值也最小，所以此時(shí)Rt/XDEF面積

的最小，利用解平分線性質(zhì)得出￡5=￡）石，設(shè)EF=DE=h,根據(jù)S-ABC=SACE+S.BCE，即

6x3=6h+3h,求解得力值，再代入S及=!。石.石尸即可求解.

【小問1詳解】

解：①如圖所示，CE就是所求；

②如圖所示，Rt^DEF就是所求.

A

【小問2詳解】

SRtDEF=^DEEF

...當(dāng)DELBC時(shí)，OE值最小，止匕時(shí)，ZACB=ZCDE=ZDEF=90°

四邊形為矩形，

NEFC=90。,

：.EF1AC,

E/值最小，

此時(shí)，RtZXDEF面積，如圖,

???EF=DE,

設(shè)EF=DE=h,

??v=V+V

?^RtABC-uACE丁0BCE

：.-ACBC=-ACEF+-BCDE

222

即6x3=6/z+3/z

解得：h=2,

/.EF=DE=2

，RtADEF面積的最小值為：=-x2x2=2.

2

25.如圖，A￡＞是。的直徑，A3為。。的弦，OP±AD,OP與A3的延長線交于點(diǎn)P.點(diǎn)。在0尸上，且

BC=PC.

(1)求證：直線5c是、。的切線；

(2)若Q4=6,AB=4,求6?長.

【答案】(1)見解析(2)14

【解析】

【分析】(1)由題意連接08.由等腰三角形的性質(zhì)得到NA=NOB4,ZP=ZCBP,由于得到

NA+NP=90°,于是得到NO8A+NCBP=90°,求得NOfiC=90°結(jié)論可得；

(2)根據(jù)題意連接03.由A。是D。的直徑，得至iJ/4BD=90°,推出Rt_A3￡>sRt.AOP,得到比例式

Ar\

—=——，進(jìn)而計(jì)算即可得到答案.

AOAP

【小問1詳解】

解：證明：連接08.

?/OA=OB,

：.ZA=ZOBA,

又：BC=PC,

：.ZP=ZCBP,

?/OP±AD,

，NA+N尸=90°,

ZOBA+ZCBP=90°,

：.ZOBC=180°-(NOB4+ZCBP)=90°,

:點(diǎn)3在：。上，

直線5C是O。的切線；

【小問2詳解】

解：如圖，連接。3.

：4)是0。的直徑，0A=6,

：.ZABD=90°,AD=2OA=12,

Rt?AOP,

ABAD412

?.---=----,即an一=----,

/.AP=18,

：.BP=AP-BA=18-4=14.

【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定和相似三角形的判定和性質(zhì)以及直徑所對的圓周角是直角，熟練掌握相關(guān)定理并正

確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

26.陽春三月，又到了一年最美櫻花季，童頭渚某商家借機(jī)推出新款櫻花雪糕，其中雪糕每支成本5元.該商家每

支雪糕定價(jià)40元，平均每天可售出600支，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商家決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措

施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每支雪糕降價(jià)1元，商場平均每天可多售出30支.求：

(1)若商家平均每天要盈利22500元，每支雪糕應(yīng)降價(jià)多少元？

(2)每支雪糕降價(jià)多少元時(shí)，商家平均每天盈利最多？

【答案】(1)10元(2)當(dāng)尤=7.5時(shí)，售出所獲利潤最大，最大利潤為22687.5元

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出關(guān)于x的一元二次方程(二次函

數(shù)關(guān)系式)是解題的關(guān)鍵.

(1)設(shè)每支雪糕應(yīng)降價(jià)X元，根據(jù)“商家盈利=單支盈利X銷售數(shù)量”，即可列出關(guān)于X的一元二次方程，解方

程即可得出X的值，再結(jié)合減少庫存即可確定X的值；

(2)設(shè)每支雪糕降價(jià)x元時(shí)，商家所獲得的利潤為y元，根據(jù)“商場盈利=單件盈利x銷售數(shù)量”，即可找出x關(guān)

于y的二次函數(shù)關(guān)系式，配方后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出每支雪糕降價(jià)多少元時(shí)盈利最大.

【小問1詳解】

解：設(shè)每支雪糕應(yīng)降價(jià)無元，得：

(35-x)(600+30%)=22500,

解得：百=5(舍)，x2=10

:為了盡快減少庫存，

...每支雪糕應(yīng)降價(jià)10元；

【小問2詳解】

解：設(shè)每支雪糕降價(jià)x元時(shí)，商家所獲得的利潤為>元，根據(jù)題意，得

y=(35—x)(600+30%)=-30(%-7.5)2+22687.5,

a=—30<0,

二尤=7.5元時(shí),利潤最大為：22687.5元;

答：當(dāng)x=7.5時(shí)，售出所獲利潤最大，最大利潤為22687.5元.

27.如圖，已知矩形43。的邊/加=4,AO=8,點(diǎn)P是邊8C上的動(dòng)點(diǎn)，線段總的垂直平分線交矩形A3CD

的邊于點(diǎn)V、N,其中點(diǎn)加在邊42或BC上，點(diǎn)N在邊或D4上.

(1)如圖2,當(dāng)5P=2時(shí)，求40的長度；

(2)當(dāng)&AAW是等腰三角形時(shí)，求5F能取到的值或取值范圍；

(3)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸由點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。的過程中，求點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)路程長為多少？

【答案】(1)2.5(2)6?能取到的值為16—4或取值范圍為4W5PW8

(3)7

【分析】（1）設(shè)AP與MN相交于0,先由勾股定理求得A尸二2遙，則AO=」AP=行，再證明，AO暇s.4??,

2

得條工即可求解?

（2）分兩情況：①當(dāng)成＜4時(shí)，有MN=AN,②當(dāng)4WBPW8時(shí)，有40=AN,分別求解即可;

（3）當(dāng)5P44時(shí)，點(diǎn)尸從點(diǎn)2到邊的中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)N在從CD的中點(diǎn)到AD的中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，求得運(yùn)動(dòng)距離

為6；當(dāng)4＜3048時(shí)，點(diǎn)P從5C中點(diǎn)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)〃從點(diǎn)8沿方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從A。中點(diǎn)向點(diǎn)。方向

運(yùn)動(dòng)，求得運(yùn)動(dòng)距離為1,求出兩距離之和即可得出答案.

【小問1詳解】

解：如圖，設(shè)AP與相交于。，

【小問2詳解】

解：當(dāng)?shù)模?時(shí)，點(diǎn)P從點(diǎn)8到邊的中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（不包括中點(diǎn)），則點(diǎn)M在AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在從CZ）的中點(diǎn)

到AD的中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（不包括AD的中點(diǎn)），

當(dāng)=時(shí)，連接聞尸，過點(diǎn)N作NQLAM于。，如圖,

BP

?：MN=AN,NQ±AM,

/.AQ=^AM,

?.?四邊形A3CD為矩形，

...四邊形ADW為矩形，

/.DN=AQ=、AM,

垂直平分AP,

：.AM=MP，ZAOM=90°

ZMAO+ZAMO^90°

,:MN=AN

：.ZNAM=ANMA

'：ZNAD+ZNAM=ZBAD=90°,

ZMAO=ZNAD,即ZBAP=ZNAD

??ZABP=ZADN=90°

：.ABPs_ADN

.BP_AB_4_1

'*A?-AD-8-2

BP=-ND=-x-AM=-AM

2224

設(shè)BP=x,貝i|AM=MP=4x,MB=4—4x,

...在RtAMBP中，由勾股定理，得

%2+（4-4x）2=（4x）2

解得：玉二16-x2=16+4^^15（不合題意，舍去）,

???當(dāng)成=16-46時(shí)，是等腰三角形；

②當(dāng)4<5尸<8時(shí)，點(diǎn)尸從5C中點(diǎn)向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M從點(diǎn)5向點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從AD中點(diǎn)向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，連接

AM,如圖，

:矩形ABCD，

BC//AD

：.ZOAN=ZOPM,ZONA=ZOMP,

MN垂直平分AP,

AOA=OP,AM=PM,

AON^POM(AAS)

：.AN=PM

：.AN=PM

即.AAW是等腰三角形，

.?.當(dāng)4W6PW8時(shí)，是等腰三角形,

綜上，當(dāng)一AAW是等腰三角形時(shí)，6P能取到的值為16-4折?或取值范圍為4WBPW8.

【小問3詳解】

解：當(dāng)5P<4時(shí)，點(diǎn)P從點(diǎn)8到5c邊的中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)N在從CD的中點(diǎn)到AD的中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，

運(yùn)動(dòng)距離為工CD+—AD=—x4+—x8=2+4=6

2222

當(dāng)4<80〈8時(shí)，點(diǎn)P從BC中點(diǎn)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M從點(diǎn)B向點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從A。中點(diǎn)向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng),

當(dāng)BP=8時(shí)，即點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合，取AD中點(diǎn)E,連接0E，如圖，

由勾股定理，得AC=VAB2+BC2=V42+82=4A/5，

：.OA=-AC=245

2

:點(diǎn)E是AD,

AE=—AB=4,

2

垂直平分AP,

工。是AC,點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合，

是八位)。的中位線，

/.OE//BC,

：.ZAEO=90°,

ZAEO=ZAON=90°,

?：ZEAO=ZOAN,

：.AOESMNO,

.AE_AO

"AO~AN'

.4=2勺

,?2A/5—AN'

/.AN=5,

：.EN=AN-AE=1,

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P由點(diǎn)8