2024年安慶市高三模擬考試（二模） 數(shù)學含答案

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2024年安慶市高三模擬考試(二模)

數(shù)學試題

命題：

考試時間120分鐘，滿分150分

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中,

有且只有一項符合題目要求。

1.設(shè)集合力=卜"—歸3),集合8=卜合＞0卜則力AB=

A.(1,2]B.[1,2]C.(-1,1)D.(-1,2)

2.已知復(fù)數(shù)2=彳是Z的共趣復(fù)數(shù)，貝Ijz-，=

B.1C.2D.4

4

3.設(shè)尸是橢圓C：三+匕=1的一個焦點，過橢圓。中心的直線交橢圓于尸，。兩

259

點，則△尸0尸的局長的坡小值為

A12B.14C.16D.18

4.在一次學科核心素養(yǎng)能力測試活動中，隨機抽取了100名同學的成績(評分滿分為

100分),將所有數(shù)據(jù)按[40,50],(50,60],(60,70]

(70,80],(80,90],(90,100]進行分組，整理得

到頻率分布直方圖如圖所示，則估計這次調(diào)查數(shù)據(jù)的

第64百分位數(shù)為

A.80B.78C.76D.74

數(shù)學試題第】頁共6頁

5.設(shè)｛Q.｝是公比不為1的無窮正項等比數(shù)列，則”｛%｝為遞減數(shù)列”是“存在正整數(shù)

%,對任意的正整數(shù)〃>%,都有*VI”的

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

6.已知點尸(bO),C(0,、間，O是坐標原點，點3滿足園=1,則無與麗夾

角最大值為

7.己知函數(shù)，a)=2cos20x+sin2s:-l(。>0)的圖象關(guān)于點色,0對稱，且

(4)

/(x)在0,1上沒有最小值，則g的值為

\3)

8.如圖，在長方體48co-4與￡烏中，AB=2AD=2AAit點E是棱45上任意

一點(端點除外)，則

A.不存在點E,使得EC_LAE

B.空間中與三條直線4A，EC,B4都相交的

直線有且只有1條

C.過點￡與平面和平面D4EC所成角都等第8題圖

于4的直線有且只有1條

8

D.過點E與三條棱AB,AD,4］所在直線所成的角都相等的直線有且只有4條

數(shù)學試題第2頁共6頁

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有

多項符^題目要求。全部選對的得6分，部分癡t的得部分分，有選錯的得。分。

9.已知定義在R上的函數(shù)/(%)，滿足對任意的實數(shù)％，V，均有

/(x+y)=/(%)+/(V)-1，且當％>0時,/(x)<1,則

A-/(0)=1

B./(!)+/(-1)=1

C,函數(shù)f(x)為減函數(shù)

D.函數(shù)夕=/(力的圖象關(guān)于點(0，1)對稱

10.拋物線C：^=2py(p>0)的焦點為尸(。，1)，經(jīng)過點下且傾斜角為a的直

線/與拋物線C交于2，3兩點，分別過點4、點B作拋物線C的切線，兩切線

相交于點E,則

A當|期=16時，a=—

B.△408面積的最大值為2

C.點E在一條定直線上

D.設(shè)直線即傾斜角為耳，門一劃為定值

11.滿足4=2,勺=1,勺+2=?！?1+勺卜GN］的數(shù)列稱為盧卡斯數(shù)列，則

A.存在非零實數(shù)t，使得｛4+i+^n｝(neN*)為等差數(shù)列

B,存在非零實數(shù)X，使得｛4+i+sJ(〃eN')為等比數(shù)列

C.3%%%(八eN，)

2024

D.2cM=。2023-3

數(shù)學試題第3頁共6頁

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.在二項式的展開式中，常數(shù)項為.

13.已知圓錐的頂點為P,底面圓圓心為〃，底面圖直任四=2.其內(nèi)切球和外接球

的球心重合于一點0,則該圓錐的表面積為_-

14.剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝旌話或配合其他民俗活動的中

國民間藝術(shù).其傳承度續(xù)的視覺形象和造型格式，1ST

豐富的文化歷史信息，表達了廣大民眾的社會認如濾

觀念、實踐經(jīng)驗、生活理想和審美情趣，具有認知、教化、

表意、抒情、娛樂、交往等多重社會價值.現(xiàn)有如圖而澧

222

紙圖案，其花紋中就隱含方程為川+爐=后（。＞0）的第14題圖

曲線。（稱為星形線），則曲線。的內(nèi)切圓將為一；以曲線。上點

（加，n）（mnH0）為切點的直線被坐標軸彼得的線要長等于.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出娉娜,證明過程或演算步驟。

15.(13分)

2sinZBAD

如圖，在平面凸四邊形NBCD中，tan45D+i2n?8=

cosZ.ABD

（1）求乙4DB；

(2)若4D=BD=4,NACB=4DC「虹D.

6

第15題圖

數(shù)學試鹿第4頁共6員

16.(15分)

已知函數(shù)/(x)=21nx-x+巴(zweR).

(1)當加=-3時，求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若不等式/(x)WO對任意的x?l,+oo)恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

17.(15分)

如圖，將邊長為2的菱形力助。沿其對角線8C對折，使得點4、。分別位于邊

長為2的等邊△P5C所在平面的兩側(cè)，且以亞,

PD=^3,設(shè)E是我的中點.

(1)證明：平面P8cd.平面43C；

(2)求平面五陽與平面49c夾角的正弦值.

第17題圖

18.(17分)

樹人高中擬組織學生到某航天基地開展天宮模擬飛行器體驗活動，該項活動對學

生身體體能指標和航天知識素養(yǎng)有明確要求.學校所有3000名學生參加了遴選，遴選

分以下兩個環(huán)節(jié)，當兩個環(huán)節(jié)均測試合格就可以參加體驗活動.

第一環(huán)節(jié)：對學生身體體能指標進行測試，當測試值。212.2時體能指標合格；

第二環(huán)節(jié)：對身體體能指標符合要求的學生進行航天知識素養(yǎng)測試，測試方案為

對A,B兩類試題依次作答，均測試合格才能符合遴選要求.每類試題均在題庫中隨機

產(chǎn)生，有兩次測試機會，在任一類試題測試中，若第一次測試合格，則該類試題測試

合格，不再進行第二次測試；若第一次測試不合格，則進行第二次測試，若第二次測

試合格，則該類試題測試合格，若第二次測試不合格，則該類試題測試不合格，測試

結(jié)束.

經(jīng)過統(tǒng)計，該校學生身體體能指標J服從正態(tài)分布N(9,2.56).

參考數(shù)值：尸仇一tr<X<〃+cr)=0.6827,P^-2a<X<ju+2a)=0.9545,

尸仇一3。<X<H+3b)=0.9973.

數(shù)學試題第5頁共6頁

(1)請估計樹人高中遴選學生符合身體體能指標的人數(shù)(結(jié)果取整數(shù))；

(2)學生小華通過身體體能指標遴選，進入航天知識素養(yǎng)測試，作答A類試題,

每次惻試合格的概率為1；作答B(yǎng)類試題，每次測試合格的概率為1，且每次測試相

34

互獨立，

①在解答A類試題第一次測試合格的條件下，求測試共進行3次的概率.

②若解答A、B兩類試題測試合格的類數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.

19.⑴分)

取整函數(shù)被廣泛應(yīng)用于數(shù)論、函數(shù)繪圖和計算機領(lǐng)域，其定義如下：設(shè)xwR,

不超過x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作函數(shù)y=［%］稱為取整函數(shù).另外

也稱付是x的整數(shù)部分，稱｛x］=x-［x］為x的小數(shù)部分.

3

(1)直接寫出［hrn］和的值;

⑵設(shè)a,beN，,證明：a-b—+b>—?,且并求在b

b

的倍數(shù)中不大于a的正整數(shù)的個數(shù);

⑶對于任意一個大于1的整數(shù)a,“能唯一寫為a=p?xp/x…xp；J其

中R為質(zhì)數(shù)，4.為正整數(shù)，且對任意的都有Pi<Pj，i，JG｛1,2,3,…，左｝,

稱該式為a的標準分解式，例如100的標準分解式為100=22x5?.證明：在〃!的標

準分解式中，質(zhì)因數(shù)Pi(P/W%neN*)的指數(shù)

2024年安慶二模數(shù)學參考答案

一、選擇題

1.A

【解析】A=[T，2],B=(-OO,-1)U(L+OO),4nB=0,2],故選A.

2.B

【解析】因為z=-3i—=上回，所以』=土遮，得公=1,故選B.

y/3-i22

3.C

【解析】設(shè)尸是橢圓的另一個焦點，根據(jù)題意和橢圓的對稱性可知，

\PF\=\QF'\,所以△PFQ的周長「刊+|Q刊+|PQ|=|QP|+\QF\+|PG|=10+\PQ\

三10+6=16,當且僅當直線PQ與y軸重合時等號成立，故選C.

4.B

【解析】因為前3組數(shù)據(jù)的頻率之和為0.05+0.15+0.2=0.4,前4組數(shù)據(jù)的

頻率之和為0.05+0.15+0.2+0.3=0.7,則64%分位數(shù)在(70,80]內(nèi)，設(shè)64%分位

數(shù)為x,則0.4+(x-70)x0.030=0.64,解得x=78,所以64%分位數(shù)為78,故選

B.

5.C

,A

【解析】已知%>0,q>0,且紜1,an=axq'.

若｛凡｝為遞減數(shù)列，由指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)可知，0<q<l,隨著“趨向無窮大，

%趨向于0,所以一定存在正整數(shù)相，當">加時，an<l.

若存在正整數(shù)加，當〃>用時，為<1恒成立，假使q〉l,由指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，

則當〃趨向無窮大，明趨向于無窮大，不符合要求.只有當0<4<1滿足條件，止匕時

｛%｝為遞減數(shù)列，所以是充要條件，故選C.

6.A

【解析】因為C(0,6),且卜4=1,所以點8在以點C為圓心，1為半徑

的圓上.

如圖，過點尸作圓C的切線，設(shè)在第二象限的切點為8,連接BC,則

BCLBP.連接CP,在RtZ\CBP中，|BC|=1,

|PC|=^12+(A/3)2=2,所以，

NCPB」.又易知/。尸0=殳，所以

63

第6題解答圖

ZBPO=ZCPO-ZCPB=

366

因為兀—二=包，所以而與麗夾角最大值為包，故選A.

666

7.B

【解析】由jf(x)=cos25+sin2公r=V5sin[2s+：),因為/(X)的圖象關(guān)

于點［匕。］對稱，所以2。＞＜女+'=攵兀，a)=2k--,ke.Z.

(4J442

又/(x)在(0曰上沒有最小值，2s+等+1所以

2。兀兀37r-15i?3if卜

-------1——,coW—,故co=_,故選B.

34282

8.D

【解析】對于A,若EC，D［E,則EC1平面D.ED,

故在矩形至CD中取邊的中點E,因為

AB=2AD,易證得ECLDE，所以故A錯

誤；

對于B,在4A上任取點6,過片，耳，8作正方

體的截面《用3P,其中［P〃與3,PBCEC=M.

2

在平面《43P中，與g8不平行，故=N.因為6是在上任

取的點，故這樣的直線4N有無數(shù)條.故B錯誤；

對于C,易求得二面角AE-。的平面角為/D]AD=：,在銳二面角

A-AE-。中過點A作ZDjAD的平分線，顯然滿足與平面D.AE和平面DAEC都

成]；在平面QAE和平面DAEC所成鈍二面角中，過點A作與平面QAE和平面

D4EC都成巴的直線有2條；現(xiàn)過點E分別作這3條直線的平行線可作3條，即

8

過點E與平面和平面ZMEC所成角都等于N的直線有且只有3條.故C錯

誤；

對于D,第一類：通過點A位于三條棱之間的直線中有一條與AB,AD,A41

所成的角都相等；第二類：在圖形外部與每條棱的反向延長線和另2條棱夾角相

等的直線有3條，合計4條.現(xiàn)過點E分別作這4條直線的平行線，這樣的平行線

共有4條，D正確，故選D.

二、多項選擇題

9.ACD

【解析】解析：令x=y=O,可得，/(0)=1,A項正確；

令x=i,丁=_1,可得，/(o)=y(i)+y(-i)-i=b所以/(i)+/(—i)=2,B

項錯誤；

令%>12，則/而玉_%2>0，/(玉—尤2)<1，則

/(%1)-/=-x2)-l<0,/(七)</(々)，所以函數(shù)/(￡)為減函數(shù)，C項

正確；

令y=r，/(0)=/(%)+/(-%)-1=1,/(x)+/(-x)=2,則函數(shù)關(guān)于

點(0,1)對稱，D項正確.

10.CD

【解析】易知拋物線。的方程為必=分，直線/的方程為丁=木2111+1,將

3

y二%tan。+1代入=4y,整理得f-4%tana-4=。.

設(shè)則%+%2=4tano,xrx2=-4.

所以|AB|=J(l+tan?a)[(2+/)?-例/]=J(l+tan?[16tan?卜+16]

=4(l+tan2c),

由|AB|=16,得tan2q=3,所以tana=±6，所以a=工或a=」，所以A

1133

不正確.

因為SAAOB=SMOF+S^BOF=?\OF\|^2-1=11^2-^11=^l+t^a>2,當且

僅當a=0時，△A03的面積有最小值2,故B不正確.

因為切線AE的方程為y=1x1(x-x1)+y1,切線BE的方程為

y=^x2(x-x2)+y2,聯(lián)立可得點E的坐標為(2tana,-1),故點E在一條定直線

y=-1上，所以C正確.

當時&=0。時，顯然,=90。，|a—"=90。；當時(z/0。時，因為

tanp=------—=------,所以tan(ztan/7=-1,這說明直線EF與直線/互相

2tana—0tana

垂直，所以|a-"=90。，所以D正確.

11.BCD.

【解析】若A成立，由已知有%=3，%=4，%=7，由

2(473+勿2)=。2+'。1+。4+'。3，解得f=§，得到｛。0+1+%“｝的刖4項依次為m,

1S25

,不可能構(gòu)成等差數(shù)列，故A錯誤.

33

s_t—]

對B,設(shè)a,+2+/a,+]=s(a,+i+%),則a.=(s+血〃，故(，，有

-"MSt=1

非零實數(shù)解，且。2+5。。，故B正確.

4

c,a,+4+a=(4+3+4+2)+(a,+2-1)=34+2

對n。,+,故C正確.

2024

，，+1

對D，(一1)"'an+2=-(-1)an+1+(-1)"an,即￡(一1)4=—(一1)皿。23+(一D4

i=3

2024

=&2023-2,故l)tZ,=。2023—3，故D正確.

(=1

三、填空題

12.210

f[\io

【解析】二項式4+3的展開式中，通項公式為

OWrWlO,當廠=6時，常數(shù)項C^=210.

13.37r

【解析】過圓錐的軸PM作截面，顯然其截面為等腰

△PAB,球心。在軸PM上，點。是內(nèi)切球的球心，故

OM=ON,點。是外接球的球心，故OP=OB,所以APAB

是等邊三角形.因為AB=2,所以半徑M3=1,母線PB=2,

求得圓錐的表面積為線37r.

14.-CL,CI第13題解答圖

2

【解析】曲線C有x軸，y軸，y=x,y=-x四條對稱軸，由曲線的對稱

性，內(nèi)切圓心為坐標原點，只需考察第一象限內(nèi)，曲線上的點到原點距離的最小

值即為內(nèi)切圓半徑，第一象限內(nèi)曲線上的點為P（x,y）,則|尸。|=療17,令

始=oncost/,=a3sina,?e0,—,則1Poi=Ja?卜os'a+sin6a)

=N-*2a,故當a=時，即內(nèi)切圓半徑為%

由曲線的對稱性，只需考察第一象限內(nèi)的點（加，〃）（機>0,〃>0）為切點的直

5

3

/22、22/22、2

線，考查函數(shù)丁=-x^,則切線方程為y=-/(x-m)+n,設(shè)切

77

222

線與入軸，)軸交點為A,B,由于加+后=〃"令y=0,得A點坐標

f12(21、

3333

mn+m,0,令x=0,得B點坐標mn+n,0，故

\77

、22

/J.22J_丫2，22A2，22丫

網(wǎng)m3n3+m+m3n3+〃而n3+m3m3+〃3=a.

7777

四、解答題

15.【解析】

sinZABDsinZADB2sinZBAD

(1)由已知得:---------------1---------------

cosZABDcosZADBcosZABD

,,sin/ABDcosZADB+cos/ABDsinZADB2sin/BAD

故--------------:---------------------=-------——

cos/ABDcosNADBcosZABD

sin(NABD+NADB)_2sinNBAD

所以

cosZABDcosZADBcos/ABD

3分

因為sin(ZABD+ZADB)=sin(兀一ZBAD)=sinZBAD豐0,

1jr

故cos/ADB=—,所以NAD3=—.

23

6分

(2)解法一：由已知，△A3。為邊長為4的等邊三角形,

7TBCAB

在△人⑶。中，ZACB--,由正弦定理得

6sinABACsinZACB

MABsin/BAC.

故3。=-----------=8osinABAC.

sinZACB

jr

由于ABAC+ZBCA+/ABD+ZCBD=兀,所以NBAC+NCE”一，

2

故BC=8cosNC8。.

.........................9分

在△BCD中，由余弦定理得CZ)2=5。2+502—250x5。Xcos/CB。,

6

即CZ>2=4?+3c2—8x3CxcosNC應(yīng)>=16,得CD=4.

......................13分

解法二：設(shè)NACD=a,因為NADC=90。，所以AD=ACxsina,即

4

AC=——①.

sine

......................8分

~/r*A\，＞"ACABr-r；151AC4pin

在△ABC中，---------=---------,所以一；-----=—=8,即

sinZABCsinZACBsin(兀一a)工

2

AC=8sina②.

......................10分

由①②得，sin?=——，所以tz=45。，

2

......................12分

所以CD=4.

......................13分

解法三：以。為圓心，D4為半徑作圓。.

若點。在圓。內(nèi)，如圖，連接AC并延長交圓。于C,連

17T

貝UZACB=ZAC'B+ZCBC>ZAC'B=-ZADB=-,

26

與NAC3=2矛盾；

6

...........9分

若點C在圓。外，同理可得NAC3〈/，

6

與=?矛盾.

6

...........12分

故點C在圓。上，所以。C=D4=4.

..........13分

16.【解析】

3

(1)當機=一3時，y(x)=21nx-x——,其定義域為(0,+℃),

7

求導(dǎo)，得小)/_]+±二±2￡±3二區(qū)3)(廿1).

XXXX

............3分

令r(x)=0,得x=3(x=-l舍去),

............4分

當0<x<3時，f'(x)>0,函數(shù)/(X)單調(diào)遞增；

............5分

當x〉3時，f'(x)<0,函數(shù)/(X)單調(diào)遞減.

............6分

所以函數(shù)〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,3),單調(diào)遞減區(qū)間為(3,+oo).

............7分

(2)方法1：由條件可知于是〃z-1W0,

解得rnW1.

............8分

當加W1時，f(x)=21nx-x+—^21nx-x+—,

xx

............9分

構(gòu)造函數(shù)g(x)=21nx-x+L

x

對其求導(dǎo)，得/⑴二―1一與=__tzp_wo,

XX%

............10分

所以函數(shù)g(x)在[1,+8)上單調(diào)遞減，于是g(x)Wg⑴=0,

............14分

因此實數(shù)m的取值范圍是(-8,1].

............15分

方法2:由條件可知機W/-2xlnx對任意的xe[l,+co)恒成立，

............8分

8

令/z(x)=%2—2%lnx,1三1,只需冽W［從理而即可.

............10分

對函數(shù)/z(x)求導(dǎo)，得W(x)=2x-2(lnx+l)=2(x-lnx-l),

")=21-絲二D^O,所以函數(shù)〃(x)在［1,+oo)上單調(diào)遞增,

X

12分

于是h'(x)三〃⑴=0,所以函數(shù)h(x)在［1,+oo)上單調(diào)遞增,

所以=硝)=1，于是加W1,

14分

因此實數(shù)m的取值范圍是(-00,1］.

15分

17.【解析】

(1)證明：取的中點。，連接。4、0P,如圖所示.

因為四邊形ABDC是邊長為2的菱形，APBC是邊長為2的等邊三角形,

所以AABC也是邊長為2的等邊三角形.

在等邊AP8C中，。是的中點，故0PL8C；且

0A=0P=也,

又PA=46,故0PLQ4；又。4C3。=。,故

OP±平面ABC；

第17題解答圖1

又OPu平面PBC,故平面0，平面ABC

.............6分

(2)由(1)知，0P1BC,0P10A.

又。是等邊A鉆C的邊中點，故。1LBC.

所以，以。為原點，分別以。4、OB、0P所在直線為x、y、z軸，建立如圖示

空間直角坐標系.

9

則A(V3,0,0),3(0,1,0),C(0,-l,0),P(0,0，V3),故,

............8分

因為AD5C是邊長為2的等邊三角形，故OD=OPf=PD,所以

ZPOD-60，且。。_L5C,

又。P_L,ODPIOP=。，故3C_L平面。OP,則

O在平面xOz內(nèi).故求得D(-1,0,y-),所以

/百1/3百、

第17題解答圖2

設(shè)平面ABC的法向量為蔡=(〃，b,c),顯然可令

m=(0,0,1);

f__?736

n-BE=——x—y+—z=0

22

設(shè)平面￡8□的法向量為3=(%,?z),則

——?3V3c，

n-BD=

、22

令z=2,則%=0,y=8,即3=(0,省,2).

............11分

匚口、［m?n225/7

/TTCOSVm^n>=r,~r=--j==-------，

|m||n|A/77

設(shè)平面EBD與平面ABC的夾角為。，則sin8=Jl-cos?<mn>-,

故平面EBD與平面ABC的夾角的正弦值為.

7

............15分

18?【解析】

(1)P住212.2)=P(J2〃+2a)=——1—=0.02275.

10

所以符合該項指標的學生人數(shù)為：3000x0.02275=68.25土68人.

.........................4分

（2）①記4表示解答A類試題第一次測試合格，B,,B2分別表示解答B(yǎng)類試

題第一次和第二次測試合格，測試共進行3次記為事件M,則尸=

__1Q11331

P（AM）=P（AB1B2）+P（AB1B2）=-X-X-+-X-X-=-.

.........................7分

___1

O_尸（A瓦生）+尸（4瓦瓦）_3

W|A)=

尸(A)P（A）14

3

.........................10分

②設(shè)X的取值為0,1,2,

.........................11分

224

尸(冗=0)=一義一=一，

339

?八13321335

P(X=l)——X—X—+—X—X—X—=——

344334416

35

p(x=2)=l-P(x=0)-P(x=l)=—