2021年高考數學真題試題(天津卷)(-含答案與解析)

2021年高考數學真題試卷(天津卷)

一、選擇題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.(共9題；共45

分)

1.設集合A=[-1,0,1},B={1,3,5},C={0,2,4},貝！I(力nB)UC=()

A.{0}B.{0,1,3,5}C.[0,1,2,4}D.{0,2,3,4}

【答案】C

【考點】并集及其運算，交集及其運算

【解析】【解答】解：由題意得AnB={l},則(AnB)UC={0,1,2,4}

故答案為：C

【分析】根據交集，并集的定義求解即可.

2.已知aeR,貝〃a>6"是"a?>36"的()

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不允分也不必要條件

【答案】A

【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷

【解析】【解答】解：當a>6時，a2>36,所以充分性成立；

當a?>36時，a<-6或a>6,所以必要性不成立，

故"a>6"是％2>36”的充分不必要條件.

故答案為：A

【分析】根據充分必要條件的定義求解即可.

【答案】B

【考點】函數的值域，奇偶函數圖象的對稱性

【解析】【解答】解：/(一久)=搭公=器=/(久)，則函數/(無)=署是偶函數，排除A,C,

當xG(O,l)時，ln|x|<0,x2+2>0,則f(x)<0,排除D.

故答案為：B

【分析】由函數為偶函數可排除AC,再由xG(O,l)時，耳x)<0,排除D,即可得解.

4.從某網格平臺推薦的影視作品中抽取400部，統(tǒng)計其評分分數據，將所得400個評分數據分為8組：

[66,70),[70,74),…,[94,98],并整理得到如下的費率分布直方圖，則評分在區(qū)間[82,86)內的影視作品

A.20B.40C.64D.80

【答案】D

【考點】頻率分布直方圖

【解析】【解答】解：由頻率分布直方圖可知，評分在區(qū)間[82,86)內的影視作品數量是400x0.05x4=80.

故答案為：D

【分析】根據頻率分布直方圖的性質求解即可.

5.設a=log0.3,b=log20.4,c=。.它，則。，,的大小關系為()

22bc

l\.a<b<c8.c<a<bC.b<c<a0.a<c<b

【答案】D

【考點】指數函數的定義、解析式、定義域和值域，對數函數的值域與最值

【解析】【解答】解：：log20.3<log21=0,-*.a<0

Vlogi0.4log20.4=log21>log22=1,b>l

2Z

V0<0.4°3<0.4°=l,A0<c<l

.*.a<c<b

故答案為：D

【分析】根據指數函數和對數函數的性質求出a,c,b的范圍即可求解.

6.兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為軍，兩個圓錐的高之比為1:3,

則這兩個圓錐的體積之和為()

A.37rB.47rC.97rD.127r

【答案】B

【考點】旋轉體(圓柱、圓錐、圓臺)，棱柱、棱錐、棱臺的體積

【解析】【解答】解：如下圖所示，設兩個圓錐的底面圓圓心為點D,

設圓錐AD和圓錐BD的高之比為3:1,即AD=3BD,

設球的半徑為R，則空應=如，解得R=2,

33

所以AB=AD+BD=4BD=4,

所以BD=1,AD=3

VCD1AB,

ZCAD+ZACD=ZBCD+ZACD=90°

；.NCAD=/BCD

又因為/ADO/BDC

所以△ACDs/\CBD

所哨唱

CD=AD-BD^y/3

，這兩個圓錐的體積之和為/口XCD2X(AD+BD)=2"X3X4=4n

故答案為：B

【分析】作出圖形，求得球的半徑，進而求得兩圓錐的高，利用三角形相似計算出圓錐的底面圓半徑,

再結合錐體的體積公式求解即可.

7.若2a==10,則工+/=()

ab

A.-1B.lg7C.1D.log710

【答案】C

【考點】指數式與對數式的互化，換底公式的應用

【解析】【解答】解：由2。=5b=10得a=log210,b=log510,

1111

貝咕1=—=l2+IgS=IglO=1

J+g

'ablog210log510?a

故答案為：C

【分析】根據指數式與對數式的互化，結合換底公式求解即可.

8.已知雙曲線捺-r=l(a>0乃>0)的右焦點與拋物線/=2px(p>0)的焦點重合，拋物線的準線交

雙曲線于4,B兩點，交雙曲錢的漸近線于C、。兩點，若|CD|=a|48|.則雙曲線的離心率為()

A.V2B.V3C.2D.3

【答案】A

【考點】拋物線的簡單性質，雙曲線的簡單性質

【解析】【解答】解：設雙曲線《—9=l(a>0,b>0)與拋物線y2=2px(p>0)的公共焦點為(c,0),

則拋物線y2=2px(p>0)的準線為x=-c

將X=-C代入捺—,=1,得《―r=1,解得y=壬9,所以MB|=?,

又因為雙曲線的漸近線為y=H梟，所以|m=手，

所以如=空空，貝隈=&b

aa

所以次=c2—b2=^C2

所以雙曲線的離心率為e=-=V2

a

故答案為：A

【分析】根據雙曲線與拋物線的幾何性質，結合離心率的定義求解即可.

2m

9.設aER,函數f(x)={2：：(空、1匚無10,若f(x)在區(qū)間(0,+刃)內恰有6個專

-2(a+l)x++5,x>a7

點，則a的取值范圍是()

人(2幣乂|爭B.0,2)U(|,為

C.(2,J]U[^,3)D.62)“斗,3).

【答案】A

【考點】函數零點的判定定理

【解析】【解答】解：：x2-2(a+l)x+a2+5=0最多有2個根，

cos(2nx-2na)=0至少有4個根，

由27Tx-2?ra=9+k口，k6Z>W-x=1+^+a,keZ

由0V—I---Q得一2a——

24F<U2kV——2

⑴當x<a時，當—52a-2V—4時，f(x)有4個零點，即：VaV?；

244

當—64—2a—:V—5時，f(x)有5個零點，即gVa<斗;

Z44

當—7<—2a-<-6時，f(x)有6個零點，即￥Va<芋；

244

(2)當x>a時，f(x)=x2-2(a+l)x+a2+5

△=4(a+l)2-4(a2+5)=8(a-2)

當a<2時,A<0,f(x)無零點;

當a=2時,A=O,f(x)有1個零點；

當a>2時，令f(a)=a2-2(a+l)a+a2+5=-2a+520,貝I]2<a<■!,此時f(x)有2個零點;

所以若a>￡時，f(x)有1個零點;

綜上，要是f(x)在[0,+8)上有6個零點，則應滿足

911

-7<,a</-夕11//13、

44-4<a<4———<a<——

或?或44

2<a<|,a=2或a>"Ia<2，

則a的取值范圍是(2,?]U信力

424

【分析】由x2-2(a+l)x+a2+5=O最多有2個根，可得cos(2n:x-2n;a)=0至少有4個根，再結合分類討論思想,

根據x<a與x>a分類討論兩個函數零點個數情況，再綜合考慮求解即可.

二、填空題，本大題共6小題，每小題5分，共30分，試題中包含兩個空的，答對1個的

給3分，全部答對的給5分.(共6題；共30分)

1?！故翘摂祮挝?，復數器=

【答案】4-i

【考點】復數代數形式的混合運算

【解析】【解答】解：由題意得2+要i=屋(2+我i)(一2-i)；)=空5==4一i

故答案為：4-i

【分析】根據復數的運算法則求解即可.

11.在(2爐+：)6的展開式中，久6的系數是

【答案】160

【考點】二項式定理，二項式定理的應用

6

【解析】【解答】解：(2久3+I)的展開式的通項公式是Tr+1=禺(2爐)6-1]=26-r.Cr.x18-4r

令18-4r=6,得r=3

所以%6的系數是23熊=160

【分析】根據二項式的展開式通項公式求解即可.

12.若斜率為舊的直線與y軸交于點A,與圓x2+(y-I)2=1相切于點B,則\AB\=.

【答案】V3

【考點】直線的斜截式方程，點到直線的距離公式，直線與圓的位置關系

【解析】【解答】解：設直線AB的方程為y=+6,則點A(O,b)

:直線AB與圓久2+(y一1)2=1相切

??.掾=1,解得b=-1或b=3

所以|AC|=2

又：|BC|=1

^\AB\=y/\AC\2-\BC\2=V3

故答案為：V3

【分析】根據直線的斜截式方程，結合直線與圓的位置關系以及點到直線的距離公式求解即可.

13.若a>0">0,則g+b的最小值為.

【答案】2V2

【考點】基本不等式，基本不等式在最值問題中的應用

［解析］［解答］解：Va>0,b>0

?.,"*+b22『l+b="b22E^=2a

當且僅當5=*且：=b，即a=6=a時等號成立

所以，+苴+b的最小值是2魚.

【分析】利用基本不等式求解即可.

14.甲、乙兩人在每次猜謎活動中各猜一個謎語，若一方猜對且另一方猜錯，則猜對的一方獲勝，否則本次

平局，已知每次活動中，甲、乙猜對的概率分別為:和《，且每次活動中甲、乙猜對與否互不影響，各

次活動也互不影響，則一次活動中，甲獲勝的概率為,3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為

【考點】相互獨立事件的概率乘法公式，n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率

【解析】【解答】解：由題意知在一次活動中，甲獲勝的概率為=；,

653

則在3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為禺乂但丫乂工+(43=空

3\3/3\3727

故答案為：P4

【分析】根據甲猜對乙沒猜對可求出一次活動中，甲獲勝的概率，再根據n次獨立重復試驗的概率求法求

解即可.

15.在邊長為1的等邊三角形ABC中，。為線段BC上的動點，DELAB且交AB于點E.且

交AC于點F,則\2BE+DF\的值為;(DE+DF)-DA的最小值為.

【答案】1;弓

【考點】二次函數在閉區(qū)間上的最值，向量的模，平面向量數量積的運算

【解析】【解答】解：設BE=x,%G(0,1)

?/△ABC為邊長為1的等邊三角形，DE±AB

.?.ZBDE=30°,BD=2x,DE=V3x，DC=l-2x

DF//AB

.?.△DFC為邊長為l-2x的等邊三角形，DE±DF

/—,\2,f

I2BE+DF\=4BE2+ABE?DF+DF2=4x2+4x(1-2x)?cosO°+(1-2x)2=1

???2BE+DF=1

^DE+DF)?DA=(DE+Df)?(oE+￡71)=DE2+DF?EA

—+(1—2x)X(1—x)=5%2—3%+1=5(%—卷)+

則當x=總時，(DE+DF)取得最小值為外

故答案為：1,

【分析】根據向量的數量積及向量的求模公式，再結合二次函數的最值問題求解即可.

三、解答題，本大題共5小題，共75分，解答應寫出文字說明，證明過程成演算步驟.(共

5題；共75分)

16.在AABC,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知sinAsinbsinC=2:1:近，b=

(1)求a的值；

(2)求cosC的值；

(3)求sin(2C.)的值.

【答案】(1)因為sinAsinbsinC=2:1:a,由正弦定理可得a:6:c=2:1:位,

b—V2,a—2Vxe=2;

8+2—43

(2)由余弦定理可得cosC=

2X2V2XV24

3________________Fj

⑶???cosC=「；.sinC="—cos2c=7，

sin2C=2sinCcosC=2X—X-=，cos2c=2cos?C-1=2X——1=-，

448168

所以sin(2C--)=sin2Ccos--cos2Csin-=x---X-=.

666828216

【考點】兩角和與差的正弦公式，二倍角的正弦公式，同角三角函數基本關系的運用，正弦定理，余弦定

理

【解析】【分析】(1)根據正弦定理直接求解即可；

(2)根據余弦定理直接求解即可；

(3)根據同角三角函數的基本關系，二倍角公式以及兩角差的正弦公式求解即可.

17.如圖，在棱長為2的正方體ABC?！?，E為棱BC的中點，F為棱C。的中點.

(1)求證：DrF//平面A1EC1；

(2)求直線4Ci與平面A1ECi所成角的正正弦值.

(3)求二面角4一&Ci—E的正弦值.

【答案】(1)以4為原點，AB,AD,AAX分別為x,y,z軸，建立如圖空間直角坐標系,

則力(0,0,0),4(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),0(020),的(2,2,2),%(0,2,2),

因為E為棱BC的中點，F為棱CD的中點，所以E(2,l,0),F(l,2,0),

所以D^F=(1,0,-2),41以=(2,2,0),A^E=(2,1,-2),

設平面&ECi的一個法向量為m=(x1,y1,z1),

則j記麗=2/+2%=0,令/=2,則記=(2,-2,1)，

m?A±E=2/+yi—2zi=0

因為印?布=2—2=0，所以D^Flm，

因為%FC平面A1EC1,所以D\F〃平面力出的；

(2)由(1)得，宿=(2,2,2),

設直線4Q與平面力亞的所成角為3,

2_V3

則sin”|cos(或匝=13X2V3-9；

(3)由正方體的特征可得，平面AA1C1的一個法向量為DB=(2,-2,0),

則DBjn)==誓，

cos<\黑DB二\-\?m\=3X2V23

2

所以二面角A—A1C1—E的正弦值為-cos^DB^rn)=g-

【考點】直線與平面平行的判定，用空間向量求直線與平面的夾角，二面角的平面角及求法

【解析】【分析】(1)根據向量垂直的充要條件求得平面&EM的一個法向量藍，再利用向量法直

接求證即可；

(2)先求出“，再由sin。=cos<犯4c1>求解即可；

/1C1

fncM?DB

(3)先求出平面A&C1的一個法向量，再由C0S<m>DB>=H一=結合同角三角函數的平方

m-\DB\

關系求解即可.

18.已知橢圓捺+/=1(a〉6>0)的右焦點為F,上頂點為B,離心率為等，且出可=4.

(1)求橢圓的方程；

(2)直線/與橢圓有唯一的公共點M,與y軸的正半軸交于點N,過N與BF垂直的直線交x軸于

點P.若MP//BF,求直線/的方程.

【答案】(1)易知點F(G0)、B(0,b),故\BF\=Vc2+h2=a=V5,

因為橢圓的禺心率為e=￡=^^，故c=2，b=Va2—c2=1，

a5

因此，橢圓的方程為-+y2=l；

5J

(2)9+y2=

設點M(%o，yo)為橢圓1上一點,

先證明直線MN的方程為管+y0y=1,

當+y°y=i

聯(lián)立｛12消去y并整理得/-2久°久+說=0△=4Xg—4%=0,

w+y2=]

因此，橢圓=+y2=1在點M（x0,y0）處的切線方程為誓+y0y=1.

53

11

在直線MN的方程中，令x=0,可得y=，由題意可知y0>0,即點N（0*）,

直線BF的斜率為kBF1，所以，直線PN的方程為y=2x+^,

在直線PN的方程中，令y=0,可得x=一十1,即點P（一1白,0）,

zyozyo

yn2y2i

因為MP//BF，則kMP=kBF,即￡巨=藐總=—5，整理可得（x0+5yo）2=O，

2yo

所以，%o=—5yo，因為系+%=6羽=1，?，?%>。，故y（）=彳，%o=-乎，

所以，直線I的方程為—如％+更y=l,即x-y+V6=0.

66

【考點】橢圓的標準方程，直線與圓錐曲線的關系，直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】（1）先求出a值，結合a,b,c的關系求得b,從而求得橢圓的方程；

（2）設M（xo,y。），可得直線I的方程爭+%'=1,求出點P的坐標，再根據MP〃BF得KMP=KBF,求

得x0,y0的值，即可得出直線I的方程

19.已知｛冊｝是公差為2的等差數列，其前8項和為64.｛%｝是公比大于0的等比數列，瓦=4乃3-無=

48.

（1）求｛an｝和也｝的通項公式；

1

（2）記c=Z?2n+—GAf*.

n%

（i）證明｛*—C2n｝是等比數列；

【答案】（1）因為｛期｝是公差為2的等差數列，其前8項和為64.

所以的+4+，+。8=8%H---X2=64，所以=1，

所以即=%+2（九一1）=2幾一l,n6N*；

設等比數列｛%｝的公比為q,(q>0)，

22

所以b3-b2=bTq-bxq=4(q-q)=48,解得q=4(負值舍去)，

所以bn=bqT=4,716N*；

(2)(i)由題意，Cn=b2n+F=42n+?,

bn4

224

所以cl-c2n=(4"+^)-(4"+^)=2.4",

所以Cn-c2n*0，且，堂_；"2=去-=4，

Gic2n

所以數列｛*-C2J是等比數列;

。施+1__(2九一1)(2九+1)4n2-14n2

(ii)由題意知,2-22n42.22n

Cn-C2n2-4n

建+i/4n2_2n_J_.n

所以2nn71

Jcl-c2n\2-2-V2-2-V2?2T

設7n=2仁1尹=區(qū)+耳+齊+?+馬，

則箱=*+,+卷+.+F，

兩式相減得箱=1+|+^+'+a-年=1：；")一￡=2一崇，

2

所以Tn=4—需',

【考點】等差數列的通項公式，等差數列的前n項和，等比數列的通項公式，等比數列的前n項和，數列

的求和

【解析】【分析】(1)根據等差數列、等比數列的通項公式及前n項和公式求解即可；

(2)(i)運算可得鬣一C2n=2?平，結合等比數列的定義即可得證；

(ii)利用放縮法得卷黑<羔，進而可得21花〈專2L霜，結合錯位相減法

即可得證.

20.已知a>0,函數/'(%)=ax—久.

(1)求曲線y=/(%)在點(0/(0))處的切線方程：

(2)證明"%)存在唯一的極值點

(3)若存在a,使得/(x)Wa+6對任意xeR成立，求實數b的取值范圍.

【答案】(1)/(%)=a-(x+l)ex,貝1J/'(0)=a-l,

又/(0)=0，則切線