2024-2025學年新教材高中數(shù)學第3章圓錐曲線的方程本章總結(jié)提升課件新人教A版選擇性必修第一冊

第三章本章總結(jié)提升知識網(wǎng)絡(luò)·整合構(gòu)建專題突破·素養(yǎng)提升專題一圓錐曲線的定義及標準方程1.求圓錐曲線方程的常用方法:(1)直接法:動點滿足的幾何條件本身就是幾何量的等量關(guān)系,只需把這種關(guān)系“翻譯”成含x,y的等式就得到曲線的軌跡方程.(2)定義法:動點滿足已知曲線的定義,可先設(shè)定方程,再確定其中的基本量.(3)代入法:動點滿足的條件不便用等式列出,但動點是隨著另一動點(稱之為相關(guān)點)而運動的.如果相關(guān)點所滿足的條件是明顯的,或是可分析的,這時我們可以用動點坐標表示相關(guān)點坐標,根據(jù)相關(guān)點所滿足的方程即可求得動點的軌跡方程.(4)待定系數(shù)法:根據(jù)條件能確定曲線的類型,可設(shè)出方程形式,再根據(jù)條件確定待定的系數(shù).2.求圓錐曲線方程體現(xiàn)了邏輯推理和數(shù)學運算、直觀想象的數(shù)學素養(yǎng).【例1】

已知拋物線y2=8x的準線過雙曲線(a>0,b>0)的一個焦點,且雙曲線的離心率為2,則該雙曲線的方程為

.

規(guī)律方法

1.應(yīng)用定義解題時注意圓錐曲線定義中的限制條件.2.涉及橢圓、雙曲線上的點與兩個定點構(gòu)成的三角形問題時,常用定義結(jié)合解三角形的知識來解決.3.在求有關(guān)拋物線的最值問題時,常利用定義把到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離,結(jié)合幾何圖形,利用幾何意義去解決.變式訓練1P是拋物線y2=8x上的任意一點,F是拋物線的焦點,點M的坐標是(2,3),求|PM|+|PF|的最小值,并求出此時點P的坐標.解

拋物線y2=8x的準線方程是x=-2,那么點P到焦點F的距離等于它到準線x=-2的距離,過點P作PD垂直于準線x=-2,垂足為D,那么|PM|+|PF|=|PM|+|PD|.如圖所示,根據(jù)平面幾何知識,當M,P,D三點共線時,|PM|+|PF|的值最小,且最小值為|MD|=2-(-2)=4,所以|PM|+|PF|的最小值是4.專題二圓錐曲線的幾何性質(zhì)1.本類問題主要有兩種考查類型:(1)已知圓錐曲線的方程研究其幾何性質(zhì),其中以求橢圓、雙曲線的離心率為考查重點.(2)已知圓錐曲線的性質(zhì)求其方程,基本方法是待定系數(shù)法,其步驟可以概括為“先定位、后定量”.2.圓錐曲線的性質(zhì)的討論和應(yīng)用充分體現(xiàn)了直觀想象和邏輯推理的數(shù)學素養(yǎng).規(guī)律方法

求解離心率的三種方法(1)定義法:由橢圓(雙曲線)的標準方程可知,不論橢圓(雙曲線)的焦點在x軸上還是y軸上都有關(guān)系式a2-b2=c2(a2+b2=c2)以及e=,已知其中的任意兩個參數(shù),可以求其他參數(shù),這是基本且常用的方法.(2)方程法:建立參數(shù)a與c之間的齊次關(guān)系式,從而求出其離心率,這是求離心率的十分重要的思路及方法.(3)幾何法:求與過焦點的三角形有關(guān)的離心率問題,根據(jù)平面幾何性質(zhì)以及橢圓(雙曲線)的定義、幾何性質(zhì),建立參數(shù)之間的關(guān)系,通過畫出圖形,觀察線段之間的關(guān)系,使問題更形象、直觀.變式訓練2已知橢圓(a>b>0)的半焦距是c,A,B分別是長軸、短軸的一個端點,O為原點,若△ABO的面積是

c2,則此橢圓的離心率是(

)A專題三直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,可以通過討論直線方程與曲線方程組成的方程組的實數(shù)解的個數(shù)來確定,通常消去方程組中變量y(或x)得到關(guān)于變量x(或y)的一元二次方程,考慮該一元二次方程的判別式.2.通過解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題培養(yǎng)數(shù)學運算的核心素養(yǎng).規(guī)律方法

1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可以通過代數(shù)法判斷.2.一元二次方程的判別式、弦長公式是代數(shù)法解決問題的常用工具.變式訓練3已知橢圓E:=1(a>b>0),其焦點為F1,F2,離心率為,直線l:x+2y-2=0與x軸、y軸分別交于點A,B.(1)若A是橢圓E的一個頂點,求橢圓的方程;(2)若線段AB上存在點P滿足|PF1|+|PF2|=2a,求a的取值范圍.

專題四圓錐曲線的綜合問題1.圓錐曲線的綜合問題包括位置關(guān)系證明及定點、定值、最值、探索性問題,解決的基本思路是利用代數(shù)法,通過直線與圓錐曲線的方程求解.2.圓錐曲線的綜合問題的解決培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).(1)求橢圓E的方程;(2)P為橢圓E上一個動點,求△PAB面積的最大值.故可設(shè)橢圓E的方程為x2+4y2=4b2,①由題意可得圓心M(-2,1)是線段AB的中點,易知AB與x軸不垂直,記其方程為y=k(x+2)+1,代入①可得(1+4k2)x2+8k(1+2k)x+4(1+2k)2-4b2=0,規(guī)律方法

1.最值問題常見的題型,可用建立目標函數(shù)的方法求解.2.圓錐曲線的綜合問題可以從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手,利用直線系或曲線系方程或函數(shù)方程思想,通過聯(lián)想與類比,使問題獲解.變式訓練4已知動圓P與圓O1:x2-x+y2=0內(nèi)切,且與直線x=-1相切,設(shè)動圓圓心P的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程.(2)過曲線C上一點M(2,y0)(y0>0)作兩條直線l1,l2與曲線C分別交于不同的兩點A,B,若直線l1,l2的斜率分別為k1,k2,且k1k2=1.證明:直線AB過定點.即y1y2-2(y1+y2)=x1x2-2(x1+x2),所以b2-2b-4m2+4m=0,所以(b-1)2=(2m-1)2,所以b=2m