2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第2章直線和圓的方程2.4.2圓的一般方程課件新人教A版選擇性必修第一冊

第二章2.4.2圓的一般方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解圓的一般方程及其特點.(數(shù)學(xué)抽象)2.掌握圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的互化.(數(shù)學(xué)運算)3.會求圓的一般方程以及與圓有關(guān)的簡單的軌跡方程問題.(邏輯推理)基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點1

圓的一般方程二元二次方程要想表示圓,需x2和y2的系數(shù)相同且不為0,沒有xy這樣的二次項

當(dāng)D2+E2-4F>0時,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以

為圓心,

為半徑的圓,這個方程叫做圓的一般方程.名師點睛1.當(dāng)D2+E2-4F=0時,方程表示一個點

;當(dāng)D2+E2-4F<0時,方程不表示任何圖形.2.幾個常見圓的一般方程:(1)過原點的圓的方程:x2+y2+Dx+Ey=0(D,E不全為0);(2)圓心在y軸上的圓的方程:x2+y2+Ey+F=0(E2-4F>0);(3)圓心在x軸上的圓的方程:x2+y2+Dx+F=0(D2-4F>0);(4)圓心在x軸上且過原點的圓的方程:x2+y2+Dx=0(D≠0);(5)圓心在y軸上且過原點的圓的方程:x2+y2+Ey=0(E≠0).微思考1.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓需要滿足哪些條件?

2.任何一個二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0所代表的圖形是否都是圓?提示

(1)A=C,且均不為0;(2)B=0;(3)D2+E2-4AF>0.知識點2

由圓的一般方程判斷點與圓的位置關(guān)系微思考“根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷點與圓的位置關(guān)系”與“根據(jù)圓的一般方程判斷點與圓的位置關(guān)系”有什么區(qū)別?提示

根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷點與圓的位置關(guān)系有兩種方法,幾何上是把圓心到點的距離與半徑相比較,代數(shù)上是把點的坐標(biāo)代入圓的方程來看不等式的方向.根據(jù)圓的一般方程判斷點與圓的位置關(guān)系一般從代數(shù)上來分析.知識點3

與圓有關(guān)的軌跡問題點M的坐標(biāo)(x,y)滿足的關(guān)系式稱為點M的軌跡方程.求符合某種條件的動點M的軌跡方程,實質(zhì)上就是利用題設(shè)中的幾何條件,通過“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量x,y之間的方程.微思考軌跡和軌跡方程有什么區(qū)別?提示

軌跡是指點在運動變化中形成的圖形,一般情況下要先求出軌跡方程,再說出表示的幾何圖形,比如直線、圓等.軌跡方程是點的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式.重難探究·能力素養(yǎng)速提升問題1從方程的代數(shù)角度來看圓的一般方程,該方程有何特征?探究點一圓的一般方程初步理解問題2通過什么方法可以把圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程?【例1】

若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圓,求:(1)實數(shù)m的取值范圍;(2)圓心坐標(biāo)和半徑.規(guī)律方法

形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判定其是否表示圓時可有如下兩種方法:(1)由圓的一般方程的定義,若D2+E2-4F>0成立,則表示圓,否則不表示圓.(2)將方程配方后,根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征求解.應(yīng)用這兩種方法時,要注意所給方程是不是x2+y2+Dx+Ey+F=0這種形式;若不是,則要化為這種形式再求解.探究點二求圓的一般方程問題3圓的一般方程更好地體現(xiàn)了其代數(shù)特征,從量的角度來思考,本質(zhì)是解決含有幾個量的方程?【例2】

已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1).(1)求△ABC的外接圓的一般方程;(2)若點P(a,2)在△ABC的外接圓上,求a的值.解

(1)設(shè)△ABC外接圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,即△ABC的外接圓的方程為x2+y2-8x-2y+12=0.(2)由(1)知,△ABC的外接圓的方程為x2+y2-8x-2y+12=0,∵點P(a,2)在△ABC的外接圓上,∴a2+22-8a-2×2+12=0,即a2-8a+12=0,解得a=2或6.規(guī)律方法

應(yīng)用待定系數(shù)法求圓的方程時的注意點(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心坐標(biāo)、半徑列方程,一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,再用待定系數(shù)法求出a,b,r.(2)如果已知條件與圓心和半徑都無直接關(guān)系,一般采用圓的一般方程,再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D,E,F.探究點三求動點的軌跡方程問題4如何求一個動點的軌跡方程?其基本思路是什么?具體用什么方法落實?【例3】

已知等腰三角形的頂點是A(4,2),底邊一個端點是B(3,5),求另一個端點C的軌跡方程,并說明它的軌跡是什么圖形.思路分析設(shè)出點C的坐標(biāo),根據(jù)|AB|=|AC|列出方程并化簡.解

設(shè)另一端點C的坐標(biāo)為(x,y).依題意,得|AC|=|AB|.由兩點間距離公式,得整理,得(x-4)2+(y-2)2=10.這是以點A(4,2)為圓心,以

為半徑的圓,如圖所示.又因為A,B,C為三角形的三個頂點,所以A,B,C三點不共線,即點B,C不能重合,且點B,C不能為一直徑的兩端點,故端點C的軌跡方程是(x-4)2+(y-2)2=10(除去(3,5)和(5,-1)兩點),即另一個端點C的軌跡是以A(4,2)為圓心,為半徑的圓,但除去(3,5)和(5,-1)兩點.規(guī)律方法

求動點的軌跡方程的常用方法

本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)圓的一般方程;(2)求動點的軌跡方程.2.方法歸納:待定系數(shù)法、幾何法、定義法、代入法.3.常見誤區(qū):忽視圓的一般方程表示圓的條件.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)1231.(例1對點題)若方程x2+y2-x+y+m=0表示圓,則實數(shù)m的取值范圍是(

)A解析

因為x2+y2-x+y+m=0表示圓,則1+1-4m>0,所以m<.1232.(例2對點題)圓心在直線y=x上,且過點A(-1,1),B(3,-1)的