2024屆上海數(shù)學(xué)高三年級(jí)上冊期末綜合測試模擬試題含解析

2024屆上海建平中學(xué)數(shù)學(xué)高三上期末綜合測試模擬試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

(x-1)乃

sin—____-_1<x<3

1.已知函數(shù)/(x)=《2，一一、，若函數(shù)/(X)的極大值點(diǎn)從小到大依次記為4；%?%，并記相應(yīng)的極

2/(x-2),3<x<100

大值為4也，?則￡(4+4)的值為()

/=!

A.25°+2449B.25°+2549C.249+2449D.249+2549

14

2.已知a=(cosa,sina),Z>=(cos(-a),sin(-a)),那么(7./?=()是。=%乃+1(左eZ)的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知集合A={1,3,5},5={1知集},C={2,3,4,5},則(AcB)uC=()

A.{1,2,3,5}B.{1,2,3,4}C.{2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5)

4.已知數(shù)列{q}中，％=1嗎=2,且當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，an+2-an=2t當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，??+2+1=3(??+1).則此數(shù)

列的前20項(xiàng)的和為()

ol1_ool1_oo12_ool2Q

A.￡_Z￡+9OB.^—^+IOOc.^-^-+90D.￡_z￡+ioo

2222

5.如圖，在ABC中，AD1AB,BD=xAB+AC(x,e/?),|AP|=2,且從。.4。=12，則2x+y=()

A

6.我們熟悉的卡通形象“哆啦A夢”的長寬比為夜：1.在東方文化中通常稱這個(gè)比例為“白銀比例”，該比例在設(shè)計(jì)和

建筑領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.已知某電波塔自下而上依次建有第一展望臺(tái)和第二展望臺(tái)，塔頂?shù)剿椎母叨扰c第二展望臺(tái)

到塔底的高度之比，第二展望臺(tái)到塔底的高度與第一展望臺(tái)到塔底的高度之比皆等于“白銀比例”，若兩展望臺(tái)間高度

差為100米，則下列選項(xiàng)中與該塔的實(shí)際高度最接近的是（）

A.400米B.480米

C.520米D.600米

7.費(fèi)馬素?cái)?shù)是法國大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬命名的，形如2"+1（/7￡N）的素?cái)?shù)（如：22"+1=3）為費(fèi)馬索數(shù)，在不超過30的正偶

數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù)，則它能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的概率是（）

2141

A.—B.-C.—D.一

155153

8.一物體作變速直線運(yùn)動(dòng)，其丫-/曲線如圖所示，則該物體在6s間的運(yùn)動(dòng)路程為（）m.

2

y/(m-s-1)

。136〃s

49D.2

T

9.已知復(fù)數(shù)2=@二攀二D（i為虛數(shù)單位），則下列說法正確的是（）

A.z的虛部為4B.復(fù)數(shù)二在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限

C.z的共甄復(fù)數(shù)1=4一2iD.|z|=2V5

10.在三棱錐P—ABC中，ABLBP,AC±PC,ABVAC,PB=PC=2O，點(diǎn)P到底面ABC的距離為2,

則三棱錐ABC外接球的表面積為（）

6兀

A.3萬C.12萬D.24乃

丁

2^+|+2,%<0,

11.已知函數(shù).f（x）=,若關(guān)于x的方程-2如（幻+3。=0有六個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。的

|log2x|,x>0,

取值范圍為（）

C.(3,4)D.(3,4]

12.已知函數(shù)/（x+1）是偶函數(shù)，當(dāng)xe（l,+8）時(shí)，函數(shù)“X）單調(diào)遞減，設(shè)。=/［一；），b=〃3）,c=/（O）,

則a、b、c的大小關(guān)系為()

A.h<a<cB.c<b<dC.b<c<aD.a<b<c

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為.

X

14.已知函數(shù)/，(x)=2學(xué)>'(e)lnx-一，則函數(shù)的極大值為.

e

15.已知圓柱的上、下底面的中心分別為。1,。2,過直線QQ的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則

該圓柱的表面積為.

x-y+l>0

16.實(shí)數(shù)x,滿足約束條件<x+2y—240,則z=x-2y的最大值為.

7+2>0

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=-—夙+ainx(a>0,bsR).

⑴設(shè)匕=a+2,若"x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)芭，x2,且后一9|>1，求證：|/'a)-/GQBTlnZ；

(2)設(shè)g(x)=4(x),g(x)在口,團(tuán)不單調(diào)，且2b+^44e恒成立，求。的取值范圍.(e為自然對數(shù)的底數(shù)).

a

18.(12分)如圖，在四棱錐產(chǎn)一A3CD中，底面ABCD為菱形，PA_L底面ABC。，NBA。=60°A3=4.

(D求證：平面PAC；

(2)若直線PC與平面ABC。所成的角為30°,求平面與平面PCD所成銳二面角的余弦值.

19.(12分)已知函數(shù)/(?ugf+mix+lnx.

(1)若函數(shù)f(x)不存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)必的取值范圍；

⑵若函數(shù)y=/(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為項(xiàng)與(玉<赴)，加4-半，求/(%)-/(W)的最小值.

20.(12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)面24B，底面ABCD,，為棱A8的中點(diǎn)，E

為棱/5C上任意一、點(diǎn),且不與。點(diǎn)、C點(diǎn)重合.AB—2,AD—PA—1,PH-V2?

(1)求證：平面APE*_L平面ABCZ)；

(2)是否存在點(diǎn)E使得平面APE與平面PHC所成的角的余弦值為若存在，求出點(diǎn)E的位置；若不存在，請

3

說明理由.

21.(12分)⑴已知數(shù)列｛4｝滿足：4=1,電=力，且%2=。用《1—而必1(之為非零常數(shù)，〃N2,〃eN*),

求數(shù)列(〃22,〃eN*)的前〃項(xiàng)和；

、an-\J

(2)已知數(shù)列也｝滿足：

(i)對任意的nGN*,0<hn<bn+1；

〃=2女+1(&￡N*),

〃媼，(4>0,0>0,%>0),且*

(ii)對任意的〃N2,〃GN,^,=<

+|n=2k

①若〃=1,%=%,求數(shù)列也｝是等比數(shù)列的充要條件.

②求證：數(shù)列4也也也也，九，…，bgbg，…是等比數(shù)列，其中meN*.

22.(10分)已知函數(shù)=——(aNO).

x-ax+1

(i)當(dāng)〃=0時(shí)，試求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0J(0))處的切線；

(2)試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解題分析】

對此分段函數(shù)的第一部分進(jìn)行求導(dǎo)分析可知，當(dāng)x=2時(shí)有極大值/(2)=1,而后一部分是前一部分的定義域的循環(huán),

而值域則是每一次前面兩個(gè)單位長度定義域的值域的2倍，故此得到極大值點(diǎn)見的通項(xiàng)公式為=2〃，且相應(yīng)極大值

〃=2”T,分組求和即得

【題目詳解】

當(dāng)時(shí)，=

顯然當(dāng)x=2時(shí)有，/'(幻=0,

...經(jīng)單調(diào)性分析知

x=2為的第一個(gè)極值點(diǎn)

又,.?3<xV100時(shí)，/U)=2/(x-2)

x=4,x=6,x=8,…，均為其極值點(diǎn)

???函數(shù)不能在端點(diǎn)處取得極值

a”=2〃，1</?<49,neZ

,對應(yīng)極值以=2"Ll<n<49,neZ

...白i)=(2+98)x49+lx(T)=2-2449

(=i21-2

故選：C

【題目點(diǎn)撥】

本題考查基本函數(shù)極值的求解，從函數(shù)表達(dá)式中抽離出相應(yīng)的等差數(shù)列和等比數(shù)列，最后分組求和，要求學(xué)生對數(shù)列

和函數(shù)的熟悉程度高，為中檔題

2、B

【解題分析】

由a”=0,可得cos2a=0,解出即可判斷出結(jié)論.

【題目詳解】

解：因?yàn)閍=(cosa,sina),人=(以光(一。),5由(一。))且“妨=0

cosa?cos(-a)+sina?sin(-a)=cos2a-sin2a=cos2a=0.

TTTT

la-1k7i±—,解得a=幺乃±^(4eZ).

TT

q山=0是a=br+￡(ZeZ)的必要不充分條件.

4

故選：B.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)求值、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3、D

【解題分析】

根據(jù)集合的基本運(yùn)算即可求解.

【題目詳解】

解:A={1,3,5},5={1,2,3},C={2,3,4,5},

則(Ac8)uC={1,3}u{2,3,4,5}={1,2,3,4,5}

故選：D.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

4、A

【解題分析】

根據(jù)分組求和法，利用等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式求出前20項(xiàng)的奇數(shù)項(xiàng)的和，利用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式求出前20項(xiàng)

的偶數(shù)項(xiàng)的和，進(jìn)而可求解.

【題目詳解】

aa

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，n+2~n=2,

則數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，a?+2+l=3(cz?+l),

則數(shù)列中每個(gè)偶數(shù)項(xiàng)加1是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列.

所以S20=4+%+%++。20=%+03++fl|9+a2+a4++a20

inxa

=10xl+-^-x2+(?,+l)+(a4+l)+(a20+l)-10

3(l-310)3"-3

=100+-i----^-10=-~-+90-

1-32

故選：A

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了數(shù)列分組求和、等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.

5、C

【解題分析】

由題可A￡>-A8=0,ACAO=12,所以將已知式子中的向量用ADA8AC表示，可得到的工，)'關(guān)系，再由6,。,。三

點(diǎn)共線，又得到一個(gè)關(guān)于乂丁的關(guān)系，從而可求得答案

【題目詳解】

由BO=x43+yAC，則

AD=(x+1)AB+yAC,ADAD=AD-[(x+AB+yAC]=(x+1)AD-AB+yADAC,即4=12y,所以y=g,

又8,0,C共線，則x+l+y=l,x=—g,2x+y=—g.

故選：C

【題目點(diǎn)撥】

此題考查的是平面向量基本定理的有關(guān)知識(shí)，結(jié)合圖形尋找各向量間的關(guān)系，屬于中檔題.

6、B

【解題分析】

根據(jù)題意，畫出幾何關(guān)系，結(jié)合各線段比例可先求得第一展望臺(tái)和第二展望臺(tái)的距離，進(jìn)而由比例即可求得該塔的實(shí)

際高度.

【題目詳解】

設(shè)第一展望臺(tái)到塔底的高度為x米，塔的實(shí)際高度為)'米，幾何關(guān)系如下圖所示：

yT00

X

_3100+x

由題意可得-------=72,解得x=100（夜+1,

y

且滿足V2,

x+100

故解得塔高y=(X+100)V2=200(V2+1b480米，即塔高約為480米.

故選：B

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了對中國文化的理解與簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7、B

【解題分析】

基本事件總數(shù)”=15,能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和只有8=3+5,20=3+17,22=5+17,共有3個(gè)，根據(jù)古

典概型求出概率.

【題目詳解】

在不超過30的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù)，基本事件總數(shù)〃=15

能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的只有8=3+5,20=3+17,22=5+17,共有3個(gè)

1

3

一

則它能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的概率是尸=百一5-

本題正確選項(xiàng)：B

【題目點(diǎn)撥】

本題考查概率的求法，考查列舉法解決古典概型問題，是基礎(chǔ)題.

8、C

【解題分析】

I「6

由圖像用分段函數(shù)表示V"),該物體在7S~6s間的運(yùn)動(dòng)路程可用定積分s=J[v?)dr表示，計(jì)算即得解

22

【題目詳解】

由題中圖像可得,

2r,0<r<l

丫⑺=?2,l<z<3

—f+l,3</^6

由變速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式，可得

；；?6

s=jOdf=JZdt+j2dZ+-r+

3

22"

649

H；+24：+=-（m）-

21叫34

149

所以物體在-s~6s間的運(yùn)動(dòng)路程是4m.

24

故選：C

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了定積分的實(shí)際應(yīng)用，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

9,D

【解題分析】

利用i的周期性先將復(fù)數(shù)z化簡為z=-4+2i即可得到答案.

【題目詳解】

4i+24i+24i+2

因?yàn)閕?=—1，廣=1，j5=i，所以i的周期為4,故z=K^=—y-=—=-4+2i,

11—1

故Z的虛部為2,A錯(cuò)誤；Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(-4,2),在第二象限，B錯(cuò)誤；Z的共

物復(fù)數(shù)為』=T_2i，C錯(cuò)誤；［z|=g)2+22=2石,D正確.

故選：D.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，涉及到復(fù)數(shù)的虛部、共挽復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的模等知識(shí)，是一道基礎(chǔ)題.

10、C

【解題分析】

首先根據(jù)垂直關(guān)系可確定OP=04=08=0。，由此可知。為三棱錐外接球的球心，在中，可以算出AP的

一個(gè)表達(dá)式，在AOAG中，可以計(jì)算出A0的一個(gè)表達(dá)式，根據(jù)長度關(guān)系可構(gòu)造等式求得半徑，進(jìn)而求出球的表面積.

【題目詳解】

取AP中點(diǎn)。，由可知：OP=OA=OB=OC,

O為三棱錐P-ABC外接球球心，

過尸作平面ABC,交平面ABC于“，連接AH交BC于G,連接。G,HB,HC,

PB=PC,=..AB=4C,..G為8C的中點(diǎn)

由球的性質(zhì)可知：。6，平面43。，；.。3%￥/,且OG=2PH=1.

2

設(shè)A6=x,

QPB=2V2?：.AO=^PA=^\lx2+S,

1B

AG=-BC=-x>.,在AOAG中，AG2+OG2=OA2，

22

即與X+1=(處2+8),解得：x=2,

???三棱錐產(chǎn)一ABC外接球的表面積為S=4萬店=12萬.

故選：C.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查三棱錐外接球的表面積的求解問題，求解幾何體外接球相關(guān)問題的關(guān)鍵是能夠利用球的性質(zhì)確定外接球球心

的位置.

11、B

【解題分析】

令f(x)=r,則產(chǎn)—2s+3a=0,由圖象分析可知/一2袱+3。=0在(2,4］上有兩個(gè)不同的根，再利用一元二次方程

根的分布即可解決.

【題目詳解】

令.f(x)=r,則/一2〃+3a=0,如圖

y

y=，與y=/（x）頂多只有3個(gè)不同交點(diǎn)，要使關(guān)于X的方程［/（X）］2-2的（?+3。=0有

六個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則/—2G+3a=0有兩個(gè)不同的根4,?2e（2,4］,

設(shè)g⑺=產(chǎn)-2at+3a由根的分布可知，

A=4o2—12a>0

ae（2,4）53c16

《，解得3<aW—?

g⑵>05

,g（4）N0

故選：B.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查復(fù)合方程根的個(gè)數(shù)問題，涉及到一元二次方程根的分布，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸和數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中

檔題.

12、A

【解題分析】

根據(jù)/（%+1）圖象關(guān)于軸對稱可知/（X）關(guān)于X=1對稱，從而得到了（X）在（—8,1）上單調(diào)遞增且/⑶=/（-1）;

再根據(jù)自變量的大小關(guān)系得到函數(shù)值的大小關(guān)系.

【題目詳解】

Q/（x+l）為偶函數(shù).??/（X+1）圖象關(guān)于），軸對稱

.?./（》）圖象關(guān)于％=1對稱

xe（l,+8）時(shí)，“X）單調(diào)遞減.”€（-8,1）時(shí)，/（X）單調(diào)遞增

又/⑶=/（T）且T<—；<。即。

本題正確選項(xiàng)：A

【題目點(diǎn)撥】

本題考查利用函數(shù)奇偶性、對稱性和單調(diào)性比較函數(shù)值的大小關(guān)系問題，關(guān)鍵是能夠通過奇偶性和對稱性得到函數(shù)的

單調(diào)性，通過自變量的大小關(guān)系求得結(jié)果.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、8+-

3

【解題分析】

根據(jù)三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓錐的組合體，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)求出它的體積.

【題目詳解】

根據(jù)三視圖知，該幾何體是三棱柱與半圓錐的組合體，如圖所示：

結(jié)合圖中數(shù)據(jù)，計(jì)算它的體積為丫=』*2乂2*4+,*,乃*12*2=8+三.

2323

TT

故答案為：8+

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了根據(jù)三視圖求簡單組合體的體積應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

14、21n2

【解題分析】

對函數(shù)求導(dǎo)，通過賦值，求得/'(e),再對函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行分析，求得極大值.

【題目詳解】

故/'(上皿」

xeee

解得/'(e)=Lf(x)=2Inx--,f\x)=---

eexe

令/'(x)=O,解得x=2e

函數(shù)在(O,2e)單調(diào)遞增，在(2e,+x>)單調(diào)遞減，

故/(x)的極大值為〃曲)=2Mle-2=2。2

故答案為：21n2.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查函數(shù)極值的求解，難點(diǎn)是要通過賦值，求出未知量/'(e).

15、124

【解題分析】

設(shè)圓柱的軸截面的邊長為X,可求得x=2近，代入圓柱的表面積公式，即得解

【題目詳解】

設(shè)圓柱的軸截面的邊長為x,

則由f=8,得尤=2正，

S圓柱表=2s底+S廁=2x乃x(0)2+2%x0x272=12%.

故答案為：12萬

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了圓柱的軸截面和表面積，考查了學(xué)生空間想象，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.

16、10

【解題分析】

畫出可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)截距可求.

【題目詳解】

解：作出可行域如下：

V

解得B(6,-)2

z=x-2y的最大值為10

故答案為：10

【題目點(diǎn)撥】

考查可行域的畫法及目標(biāo)函數(shù)最大值的求法，基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

e1-J/-8ee2+J1-8e

17、（1）證明見解析；（2）

4，4

【解題分析】

2

（1）先求出了'（X）,又由后一口＞1可判斷出/（幻在上單調(diào)遞減，故|/（王）一aln1—l,令

f=|＞2,記〃⑺=尸—-利用導(dǎo)數(shù)求出〃⑺的最小值即可；

（2）由g（x）在［l,e］上不單調(diào)轉(zhuǎn)化為g'（x）=O在（l,e）上有解，可得2。=%土包吧土區(qū),令

X

F（x）=3x+生汕工+L分類討論求*x）的最大值，再求解網(wǎng)力2＜46即可.

XCI

【題目詳解】

（1）已知〃=。+2（。＞0）,f（x）=x2一。x+alnx,

f'（x）=2x-b+-=（1）（2."）,

XX

由/"（X）=O可得玉=1，X2=y?

又由后一引＞1，知］〉2

..?/（x）在1,|上單調(diào)遞減,

令t=；>2,記〃(f)=/-2/ln/—l,則〃'(t)=2t—21nr—2

〃〃?)=2—/=>0"(f)在(2,+oo)上單調(diào)遞增；

.?.〃(/)〉〃'(2)=2(1—In2)>0,.?/⑺在(2,+oo)上單調(diào)遞增；

⑵=3-41n2>0,

??.|/a)-/5)|>3-41112

(2)^(x)=x3-bx2+ax\nx,/.=3x2-2hx+a\nx+a,

g(x)在［l,e］上不單調(diào)，

g'(x)在(l,e)上有正有負(fù)，g'(x)=o在(l,e)上有解,

八，3x2+a\nx+a

：.2b=------------------尤e(l,e),

x

2b+L〈4e恒成立,

a

記尸(x)=3x+"-+工

xa

、n八/“、_lnxl_21nx

TSG(X)—T—9?.G(x)—f

xx

.?.6(無)在。,〃)上單調(diào)增，在(〃,e)上單調(diào)減.

GCOmax=G(8)=；

2e

于是知

(i)當(dāng)^2*即時(shí)，F(xiàn)(x)N)恒成立，尸(x)在(1,。上單調(diào)增,

/.F(e)=3e+—+—<4e?,

ea

小

2〃一/a+e<o,“47^/+47^

44

(ii)當(dāng)a>6e時(shí),

F(&)=3&+2GT—>3Ve+I-=12Ve>4e,故不滿足題意.

e1-yJeA-8ee2+Je4-8e

綜上所述，

，4

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了分類討論，轉(zhuǎn)化與化歸的思想，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

18、(1)證明見解析(2)空

7

【解題分析】

(1)由底面ABC。為菱形，得3O_LAC,再由底面A5CD,可得24，加，結(jié)合線面垂直的判定可得30,

平面PAC；

(2)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以ARAP所在直線及過點(diǎn)A且垂直于平面RS的直線分別為x,z,＞軸建立空間直角坐標(biāo)

系A(chǔ)-A＞，Z,分別求出平面QA6與平面PC。的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得平面Q46與平面PCD所

成銳二面角的余弦值.

【題目詳解】

(1)證明：底面ABCO為菱形，二臺(tái)。，?!。，

Q4_L底面ABCD,3￡>匚平面旗8,..44_1_8。

又ACcPA=A,AC,PAu平面PAC,

平面PAC；

(2)解：AB^AD,N8AO=60°，為等邊三角形，

A

AC=AD-sin600-2=4x—X2=4N/3.

2

Q4_L底面ABCD,：.ZPCA是直線PC與平面ABC。所成的角為30°，

PADA

在RtZXPAC中，由tanNPC4=——=—==—,解得E4=4.

AC4G3

如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AD,AP所在直線及過點(diǎn)A且垂直于平面PAO的直線分別為x，z,y軸

建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.

則P(0,0,4),A(0,0,0),3(2,2百,0),￡>(4,0,0),C(6,273,0).

.-.PA=(0,0,-4),PB=(2,2G,—4),P￡>=(4,0,-4),PC=(6,26,—4).

設(shè)平面Q48與平面PCD的一個(gè)法向量分別為機(jī)=(x,y,z),"=(X],y,zJ.

m-PA=-4z=0「

由｛f-,取丁=-1,得加=(g,-i,o)；

m-PB-2x+2>/3y-4z=0

.n-PC=6x,+2y/3y,-4z.=0f..

由ncJ，'，取X=T,得〃=(6r,-1,6r).

nPD=4x1-4zj=0

m-n2y/l

cos<m,n>=-：----—=------,

|m|-|n|7

平面Q43與平面PCD所成銳二面角的余弦值為空.

7

【題目點(diǎn)撥】

本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解空間角，屬于中檔題.

3

19、(1)[―2,+oo)(2)——In2

【解題分析】

分析：⑴先求導(dǎo)，再令/'(x)“在(0,欣)上恒成立，得到X+’N-m在(0,+。)上恒成立，利用基本不等式得到

X

m的取值范圍.⑵先由廣(力=》+』+/〃=正匹*=0得到

XX

再求得/(3)—/(/"In五—；

%+/=-m,xx=1,---,再構(gòu)造函數(shù)

t2百)

令五(0<t<1),再利用導(dǎo)數(shù)求其最小值.

詳解：(1)由函數(shù)=+肛+111r有意義，貝">0,即定義域?yàn)?0,+8)

由/'(x)=x+m+J,且/(x)不存在單調(diào)遞減區(qū)間，貝!J/'(X)?0在(0,長。)上恒成立,

/.x+—>-m在(0,+巧上恒成立

X

x>0,x+->2Vi=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取到最小值2

X

，-mW2恒成立，解得mN-2

m的取值范圍為［-2,+oo)

(2)由(1)知f(x)定義域?yàn)?O,+8),f'(x)=x+1+m,

X

令X="+如+1=0,即〃優(yōu)+1=0

XX

由/(X)有兩個(gè)極值點(diǎn)玉,入2(°<不<X2)

故％,工2為方程f+/nx+l=0的兩根,

/.%+%=-m,XjX2=1,

〃?=-&+&），

12

則/&）_/（/）=gx：+/叫+1陰-（^-x2^-mjc2+\nx2

2

-々2）+加（％-/）+In

=3（玉2—92）_（玉2_/2）+山￡

22

=ln--^（X,-X2）

v7

x22

1nxl1（%無2]

x

i2、X[x,j

由0<再<工2,令五=八8（。=1皿一（,一；）則0<.<1,

由g'（x）=；_g+5=_（”.<（）,則g⑺在（0,1）上單調(diào)遞減

又?.?加4一半，即一（玉+々）《一半

、3四

■■Xi+x2>~Y-

：.（玉+々）=XJ+X>~+2%|%2~H——+2=fd1-22—

x2x（t2

1、5

t2

/./>2或r<-

2

由0<f<1知0<rw,

2

.??g（x）2gR]=lnJ—；（：—2]=；—ln2

V4J乙乙\乙J

3

綜上所述，/（石）一/（X2）的最小值為a-ln2.

點(diǎn)睛：(1)本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)

的掌握水平和分析推理能力.(2)本題的難點(diǎn)有兩個(gè)，其一是求出/(xj-/(x2)=ln'$立-上，其二是構(gòu)造函數(shù)

Xfy/、X-y入],

令:=t,g(t)=Int-m(0<t<1),再利用導(dǎo)數(shù)求其最小值.

20、(1)證明見解析(2)存在，E為DC中點(diǎn)

【解題分析】

(1)證明即證明平面APE_L平面ABCO；(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AO為1軸正方向，A8為)'軸

_八|町同11+221V61

正方向，A尸為z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.利用向量方法得cosd=島='/「==,解得2=：,

帆卜同V3-V4/l2+l32

所以E為。C中點(diǎn).

【題目詳解】

(1)由于，為4?中點(diǎn)，

2

又PH=后，故=Ap2+A/72,

所以jPAH為直角三角形且ZPAH=90°,

即Q4_LAB.

又因?yàn)镻4u面Q48,面Q43面ABCD=A8,面243_]_面48。。，

故APJ_面ABCO,

又24u面QAE，所以面PAE,面A8CO.

(2)由(1)知面43c0,又四邊形ABC。為矩形，則AP,AD,AB兩兩垂直.

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AO為x軸正方向，AB為)'軸正方向，AP為二軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.

則A(0,0,0),P(0,0,l),”(0,l,0),C(l,2,0),設(shè)￡。,2九0),Ae(O.l),

則AP=(O,O,l),A￡=(l,22,0),PH=(0,1,-1),HC=(1,1,0),

設(shè)平面APE的法向量為/"=(x,y>z),

,AP=01z=0,

則有<=>〈c,z令x=-2/l,貝!ly=l,

m-AE=0[x+2Ay=Q

則平面APE的一個(gè)法向量為4=(-22,1,0),

同理可得平面PHC的一個(gè)法向量為勺=(-1,1,1),

設(shè)平面APE與平面PHC所成角為e,

八同.4||1+2川V6I

則由題意可得cose=T|」丹_=：,解得2=

2

1ml,可V3.V4/l+l32

所以點(diǎn)E為。C中點(diǎn).

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查空間幾何位置關(guān)系的證明，考查空間二面角的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平.

21、（1）及羅4；（2）①々=1=%=〃=1；②證明見解析.

【解題分析】

（1）由條件可得竽-9=2,結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式、求和公式，即可得到所求；

anan-\

（2）①若〃=1,可令［=%=4，運(yùn)用已知條件和等比數(shù)列的性質(zhì)，即可得到所求充要條件；

②當(dāng)k=2m,瓦“I也皿=",，處-電吁3=〃4產(chǎn)2,由等比數(shù)列的定義和不等式的性質(zhì)，化簡變形，即可得到所求

結(jié)論.

【題目詳解】

解：（1）q=l,4=4,且。；=?！?|。,1-/14/“_1（/1為非零常數(shù)，幾-2，〃€%*）,

可得--------=幾，

可得數(shù)列｛f」｝的首項(xiàng)為/I,公差為2的等差數(shù)列，

an-l

可得出前八項(xiàng)和為生里幾：

a,i2

（2）①若〃=1,可令1=%=g,b,7.b“+］=q",

且，==q,即％=,4=+，2=:=2，bs=b、q°,

對任意的〃EN*,Ov篇,““可得0<乙效歸&聚歸與，

可得