高中數(shù)學(xué) 平面向量及其應(yīng)用 專項(xiàng)訓(xùn)練

驗(yàn)收評(píng)價(jià)

平面向量及其應(yīng)用

內(nèi)容概覽

A-?？碱}不丟分

題型一平面向量數(shù)量積運(yùn)算

題型二平面向量線性運(yùn)算

題型三平面向量綜合應(yīng)用

C-挑戰(zhàn)真題爭(zhēng)滿分

A?常考題不丟分、

題型一平面向量數(shù)量積運(yùn)算O

一、單選題

1.(2023?湖南郴州?統(tǒng)考一模)已知向量。,6滿足=2,JLZ?=(-1,1),則向量d在向量〃上的投影

向量為()

A.(2,2)B.(-2,2)C.(1,1)D.(-1,1)

【答案】B

【分析】由已知可求出=4,再利用投影向量的計(jì)算公式，可得答案.

【詳解】由則|6|=0,

(a-b).b=a.b-b=2,則q.b=4，

n.hh

則向量d在向量b上的投影向量為==(-2,2).

\t>\\b\

故選：B

2.(2023?浙江紹興?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知向量￡/滿足忖=3,忖=2,|2。-4=2而，則￡與人的夾角為()

71-2兀-3兀-5兀

A.—B.—C.—D.—

2346

第1頁(yè)共18頁(yè)

【答案】B

【分析】根據(jù)向量的模長(zhǎng)可得〃心=-3,進(jìn)而由夾角公式即可求解.

【詳解】由|2"-母=2?^得疝/一心彳+:，=4x13,

將忖=3,什=2代入可得4x9—4Q.B+22=4X13，

所以COS(d"=a-b-31

所以〃?b=—3

\a\-\b\2^321

由于（a,6）e[0,兀],所以卜,6）=年，

故選：B

3.（2023?四川綿陽(yáng)?綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知向量°,6滿足同=1料=2,a與b的夾角為

120°,則卜一2.等于（）

A.3B.V13C.21D.721

【答案】D

【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義求出a-b，由卜-26卜鼎對(duì)，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.

[詳解]a-b=|a|-|&|cosl20=lx2x]_g]=-1,

|d-2Z?|=不（a—2b）=—4a+4忖=Jl+4+16=\/21.

故選：D.

TT

4.（2023?四JI摩枝花?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在平面四邊形OACB中，OA，OB,OA=3,AOBA=ZACB=§,貝|OC?OA

的最大值為（）

A.6^/3B.9A/3

C.12D.15

【答案】C

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出C的軌跡方程，根據(jù)向量數(shù)量積及C點(diǎn)坐標(biāo)的范圍得最值.

【詳解】如圖，以。為原點(diǎn)，0A,。3分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

第2頁(yè)共18頁(yè)

因?yàn)镺A=3,Z.OBA——,所以O(shè)B=y/3,AB=2^/3,

即5(0,a,A(3,0),設(shè)C(x,y),

7T

由ZACB=；可知，點(diǎn)C(x,y)的軌跡為SBC外接圓的一段劣弧AB，

兇一氈

且.2兀一代一匕即外接圓半徑尺=2,

sin—

32

設(shè)一ABC外接圓的方程為(x-a)2+(y-6)2=4,

a2+^3—bj=4

代入點(diǎn)8(0,6),A(3,0)可得，＜

(3-a)2+Z?2=4

a=2a=l

解得或(舍去),

b=5/3b=0

即點(diǎn)C(元,y)的軌跡方程為(X-2)2+(y-出)2=4，

所以一24尤一242,即0WxW4,

又OCOA=3xV3x4=12,當(dāng)x=4時(shí)，y=石，

此時(shí)點(diǎn)C(4,心)在劣弧上，滿足題意，故OCOA的最大值為12.

故選：C

二、多選題

5.(2023?河北唐山?統(tǒng)考二模)已知向量￡=(cos%cosA),Z?=(sin(z,sin/?),c=(1,1),下列命題成立的是

()

A.若可/萬(wàn)，則a=Q+E(左eZ)

B.若°巧=1，貝!Ja+〃=2^+5(%eZ)

第3頁(yè)共18頁(yè)

C.若(a+〃)_L(〃一b),貝Ia+分=E+￡Z)

D.設(shè)q.c=根，b，c=n，當(dāng)/+?取得最大值時(shí)，a=/?+2防r（左￡Z）

【答案】AD

【分析】若；〃），則cosasin/?-sinacos〃=0,結(jié)合兩角差的正弦公式即可判斷A；若〃力=1，貝I」

cosasino+cos/?sin4=l,再結(jié)合二倍角的正弦公式及正弦函數(shù)的值域即可判斷B；若（a+b），（a-。），則

（〃+4（〃-b）=0,再結(jié)合二倍角的余弦公式即可判斷C；求出八九再結(jié)合兩角差的余弦公式即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,若;〃力，則cosasin/-sinacos尸=0,

即sin（a—分）=。，所以“一夕=也，即。=/+41（kwZ）,故A正確；

對(duì)于B,若〃力=1，貝（］以）525近。+以）5分5111分=1,

即gsin2a+gsin2￡=l,gpsin2a+sin2/3=2,

因?yàn)閟in2a<l,sin2/74l,所以sin2a=sin2尸=1,

■jrjr

所以2a=2匕兀+—,2^=2k27i+5,《，左GZ,

所以2a+24=2左1兀+2左2兀+兀=2E+TT，K，K?eZ,

所以。+4=也十萬(wàn)億￡Z）,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,Q+石二（cosa+sina,cos￡+sin/3^,a-b=（cosa-sina,cosP-sinf3）,

由（Q+Z?）_L（Q-0）,得”=0,

即cos20+cos2/7=0,則cos2a=—cos2#,

貝ij2a=2尸+兀+2kn或2a=兀-2/7+2E,左￡Z,

對(duì)于D,a-c=m=cosa+cosj3,Z?N=〃=sina+sin力，

則m2+H2=cos2a+cos2f3+2cosacosP+sin2a+sin2尸+2sinasinf3

=2+2cos(a-"),

當(dāng)蘇+/取得最大值時(shí)，cos（a-尸）=1,

第4頁(yè)共18頁(yè)

止匕時(shí)々一￡=2祈，所以a=/7+2E(左eZ),故D正確.

故選：AD.

6.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知點(diǎn)A(l,2),3(3,1),C(4,m+l)(meR),則下列說(shuō)法正確的是()

A.|AB|=A/5B,若AB_LBC，則，九=-2

C.若AB〃BC，則加=-gD.若BA，BC的夾角為銳角，則相<2且加

【答案】AC

【分析】根據(jù)向量的模長(zhǎng)，垂直，平行和夾角大小的定義，對(duì)下列各項(xiàng)逐一判斷，即可得到本題答案.

【詳解】因?yàn)?(1,2),3(3,1),C(4,m+l)(meR),

所以AB=(2,-1),

選項(xiàng)A：網(wǎng)=百+㈠?=有,所以A正確；

選項(xiàng)B：因?yàn)锳B_LBC，所以AB-BC=0，所以2-m=0,所以帆=2,所以B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C：因?yàn)锳B〃BC，所以2x〃z=(-l)xl,所以根=-；,所以C正確；

BA.,BC=-2+/it>0

選項(xiàng)D：因?yàn)?4，BC的夾角為銳角，且胡=(-2,1),所以，1m,解得

1-21

m>2,所以D錯(cuò)誤.

故選：AC

7.(2023?廣東廣州?高三廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí))“圓塞定理”是平面幾何中關(guān)于圓的一個(gè)重要定理，它

包含三個(gè)結(jié)論，其中一個(gè)是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等.如圖，

已知圓。的半徑為2,點(diǎn)尸是圓。內(nèi)的定點(diǎn)，且。尸=0,弦AC,BD均過(guò)點(diǎn)P,則下列說(shuō)法正確的是()

A.P&PC為定值

B.O4OC的取值范圍是12,0]

C.當(dāng)AC，3。時(shí)，ABC。為定值

第5頁(yè)共18頁(yè)

D.AC13D時(shí)，,3?忸耳的最大值為12

【答案】ACD

【分析】根據(jù)所給定義可判斷A,利用數(shù)量積的運(yùn)算律和向量的加法運(yùn)算可判斷B,利用數(shù)量積的運(yùn)算律和

所給定義可判斷C,利用基本不等式可判斷D.

【詳解】如圖，設(shè)直線與圓。于E,F.則

PAPC=-\PA\PC\=-\EP\\PF\

=-(|OE|-1PO|)(OE|+1PO|)=|WI2-1OE|2=-2,故A正確.

取AC的中點(diǎn)為M,連接0M,

則OAOC=(OM+MA)-(OM+MC)=OM2-MC

.2.2-2

=OM-(4-OM)=2OM—4，

而0<OAf2v|op2=2,

故。4OC的取值范圍是［T,0］,故B錯(cuò)誤；

當(dāng)AC工3。時(shí)，ABCD=(AP+PB)(CP+PD)=APCP+PBPD

=-\AP\\CP\-\PB\\PD\=-2\EP\\PF\=-4,故C正確.

當(dāng)AC1a)時(shí)，圓。半徑廠=2,取AC中點(diǎn)為8。中點(diǎn)為N,

貝加AC|2|BD|2=4(產(chǎn)->4(/一］。叫)416——!———_L

=4-(8-2)2=144,

最后等號(hào)成立是因?yàn)閨。河F+1ON『=|OP/=2,

不等式等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)IOM『=|ON/=1,故D正確.

故選:ACD.

第6頁(yè)共18頁(yè)

題型二平面向量線性運(yùn)算O

1.（2023上?遼寧?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在ABC中，CM=3MB,AN+CN=Q，貝U（）

1327

A.MN=-AC+-ABB.MN=-AB+-AC

4436

1913

C.MN=-AC——ABD.MN=-AC——AB

6344

【答案】D

【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形并根據(jù)線段比例利用向量的加減法則計(jì)算即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?。f=3M5,AN+CN=0，

所以M是位于3c上的靠近點(diǎn)3的四等分點(diǎn)，N為AC的中點(diǎn)，如下圖所示：

所以腦V=4V-AB-A5-與C=-AC-AB--（AC-AB\=-AC--AB.

22424、,44

故選：D

2.（2023?貴州六盤水?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知O,P,N在一ABC所在平面內(nèi)，滿足|。4卜|。4=|。。|,

PA+PB+PC=0,S.NA-NB=NB-NC=NC-NA,則點(diǎn)O,P,N依次是ABC的（）

A.重心，外心，垂心B.重心，外心，內(nèi)心

C.外心，重心，垂心D.外心，重心，內(nèi)心

【答案】C

【分析】根據(jù)|。4卜|。制=|。。|和外心性質(zhì)可判斷O為&ABC的外心；對(duì)尸A+PB+PC=O變形，結(jié)合向量

線性運(yùn)算可判斷點(diǎn)尸為—ABC中線的交點(diǎn)，即為重心；由NA-NB=NB-NC=NC-NA移項(xiàng),結(jié)合數(shù)量積的

性質(zhì)可判斷點(diǎn)N在丁1BC的高上，即為垂心.

【詳解】因?yàn)閨。4卜|。8卜|。4,所以點(diǎn)O到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以O(shè)為，ABC的外心；

記BC的中點(diǎn)為。，因?yàn)镻A+PB+PC=O，

第7頁(yè)共18頁(yè)

所以PA=-（PB+PC）=-2PD,所以P,A,。三點(diǎn)共線，故點(diǎn)P在中線AO上，

同理，點(diǎn)尸也在一ABC的另外兩條中線上，即點(diǎn)尸為,.ABC中線的交點(diǎn)，即為重心;

如圖，作BE_LAC,因?yàn)镹A-NB=NB-NC，

所以NA.NB-NB-NC=NB{NA-NC）=NB,CA=U,

所以NB_LC4，所以點(diǎn)N在BE上，

同理，點(diǎn)N在.ABC的另外兩條高上，即為高的交點(diǎn)，所以N為，ABC的垂心.

故選：C

3.（2023?陜西西安?西安市大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知A,B是圓M:（x-2）2+y2=i上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),

|48|=四,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，貝1」|。4+。8|的取值范圍是（）

A.[2-0,4+衣B.[3-A/2,4+A/2]

C.[4-也4+偽D.[2-A/2,2+V2]

【答案】C

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，即可求解AB的中點(diǎn)N的軌跡方程，根據(jù)向量的運(yùn)算可得

\OA+OB\=2\ON\,再結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，即可求解.

【詳解】2）2+[=1,...圓加的圓心坐標(biāo)腸（2,Q）,半徑R=I,

設(shè)圓心到直線/的距離為d,

由圓的弦長(zhǎng)公式，可得|AB|=2F^，即2匹廬=血，解得d=*,

設(shè)A3的中點(diǎn)為N,|MN|=」Z,

2

???點(diǎn)N的軌跡表示以河（2,0）為圓心，以正為半徑的圓，

2

N的軌跡方程為（尤-2）2+/=；,

第8頁(yè)共18頁(yè)

因?yàn)閨04+081=120N|=21ON|,

又\OM\=2,:.\oM\-^-<\pN\<\OM\+^-,

^2-^-<\pN\<2+^-,

即|。4+。引的取值范圍為[4-V2,4+V2].

4.(2023?廣西?統(tǒng)考一模)如圖，在△ABC中，M為線段8C的中點(diǎn)，G為線段AM上一點(diǎn)且AG=2GAf，

過(guò)點(diǎn)G的直線分別交直線48、AC于P、Q兩點(diǎn)，AB=xAP(x>0),AC=yAQ(y>0),貝。+乙的最小

值為()

43

【答案】B

【分析】由AM=gA8+[AC可得AG="P+pQ,根據(jù)三點(diǎn)共線向量性質(zhì)可得g+]=l,再結(jié)合均值

不等式即可求出結(jié)果.

【詳解】由于M為線段3c的中點(diǎn)，則=+

22

3

又AG=2GM，所以AM=5AG,XAB=xAP(x>0),AC=yAQ(y>0)

所以|AG=3AP+^AQ,貝!]AG=《AP+gAQ

因?yàn)镚,P,Q三點(diǎn)共線，則：+1=l,化得x+(y+l)=4

第9頁(yè)共18頁(yè)

,11

由丁k

當(dāng)且僅當(dāng)黃rW時(shí),即x=2,y=l時(shí),等號(hào)成立,?。的最小值為1

故選：B

題型三平面向量綜合問(wèn)題

一、單選題

1.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在qABC中，。是AB邊上的點(diǎn)，滿足AD=2DB,E在線段CD上（不含

端點(diǎn)），且AE=xAB+yAC（x,ywR）,則辭2的最小值為（）

A.3+2夜B.4+26C.8+4>/3D.8

【答案】B

【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算推導(dǎo)出:x+y=l,將代數(shù)式j(luò)x+y與史巨相乘，展開(kāi)后利用基本不等

22xy

式可求得衛(wèi)生的最小值.

孫

【詳解】因?yàn)?。是邊上的點(diǎn)，滿足AD=2D5,則AT>=2D5，

2

所以，CD=A?！狝C=]A5—AC,

2

因?yàn)镋在線段8上（不含端點(diǎn)），則存在實(shí)數(shù)2?0,1）,使得CK=XC￡>=dABTAC,

27

所以，AE=AC+CE=AC+-AAB-AAC=-AAB+（1-A）AC,

'2c

?,、.x——X3

又因?yàn)锳E=xAB+yAC（x,yeR）,且A5、AC不共線，貝”3,故矛+丫=1,

因?yàn)閯tx=y=l-2e（0,l）,

所以￡±ai=2+_L=；（3x+2y）w8+2.色也、

8+—+

xyxy2y

=4+2指,

第10頁(yè)共18頁(yè)

甚=*x>0,y>0)

當(dāng)且僅當(dāng)>“時(shí)，即當(dāng)一時(shí)，等號(hào)成立，

m+>=1k—

故的最小值為4+20.

移

故選：B.

7T

2.(2023?重慶?統(tǒng)考三模)已知a/均為單位向量，且?jiàn)A角為若向量c滿足(c-2a)?(c-8)=0,則|c|的

最大值為()

A7+百口幣-也「原+用NA/7+V3

2222

【答案】D

【分析】將向量。力"的起點(diǎn)平移到原點(diǎn)。，設(shè)向量2a,b，C的終點(diǎn)分別為AH,將(c-2a)-(c-b)=0

化為ACL8C，得點(diǎn)C在以A3為直徑的圓上，利用圓的知識(shí)可求出結(jié)果.

的起點(diǎn)平移到原點(diǎn)。，設(shè)向量2“，b，C的終點(diǎn)分別為A民C

則e-2a=OC-QA=AC，c-b=OC-OB=BC，

由(c-2a>(c-份=0得AC-3C=0，得AC_LBC，

則點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上，

因?yàn)閍,b均為單位向量，且?jiàn)A角為不妨設(shè)a=(L0),%=(；,1),

則A(2,0),B(g,與,所以以A3為直徑的圓的圓心Mgq),半徑為:46—，

又IMO[=點(diǎn)所以|c|=|OC|=*+?，

即ici的最大值為近+G.

2

-1

故選：D

第11頁(yè)共18頁(yè)

3.（2023?安徽阜陽(yáng)?安徽省臨泉第一中學(xué)校考三模）在Rt^ABC中，|AC|=|BC|=4,。是以8C為直徑的圓

上一點(diǎn)，則+的最大值為（）

A.12B.8A/2C.5A/6D.6小

【答案】A

【分析】畫(huà)出圖分析，將+的最大值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A到圓。上一點(diǎn)距離的最大值求解即可.

【詳解】如圖：

A

D

取BC,中點(diǎn)E,G,可知,8+碼=2|罔，且8GLEG,

取BE的中點(diǎn)。，則G為圓O上一點(diǎn)，所以,可最大值為,4+1=6,

故,8+44的最大值為12.

故選：A.

C?挑戰(zhàn)真題爭(zhēng)滿分、

一、單選題

1.（2023?全國(guó)乙卷）正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2,E是的中點(diǎn)，則（）

A.75B.3C.2A/5D.5

【答案】B

（、ULIULILIU

【分析】方法一：以｛AB,A。｝為基底向量表示EC,ED，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；方法二：建系,

第12頁(yè)共18頁(yè)

利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；方法三：利用余弦定理求cos/DEC,進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的定義運(yùn)算求解.

、lUimiluumiuunuum

【詳解】方法一：以｛(A民為基底向量，可知M=|A4=2,A3.AO=0,

uunuuruuniuunuumuunuruumiuunuum

貝lj￡C=E5+5C=—A3+AD,E0=E4+AD=——AB+AD,

22

uunuun門UUDWSL\(\uunuumAiuimuum

所以ECED='AB+AO?[-]AB+AO=-2+AD2=—1+4=3；

方法二：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

則E(l,0),C(2,2),D(0,2),可得EC=(1,2),ED=(-1,2),

ULIUUUU

所以ECm=-l+4=3;

方法三：由題意可得：ED=EC=5CD=2,

DF2+CF2-DC25+5—4_3

在ACDE中，由余弦定理可得cos/DEC=-5

2DE-Czs2x^/5x^/55

UUEunn|Uun||Uim|3

故選：B.

2.（2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考甲卷）已知向量。=（3,1）力=（2,2）,貝l|cos（a+反”6）=（

A-17B.叵Vz.-------D.—

1755

【答案】B

【分析】利用平面向量模與數(shù)量積的坐標(biāo)表示分別求得卜+4,-6睜+6＞（"6）,從而利用平面向量余弦

的運(yùn)算公式即可得解.

【詳解】因?yàn)椤?(3,1),。=(2,2),所以a+b=(5,3),a—b=(l,—1),

則,+0=/2+3?=\/§4,—6|=Vl+1=V2,+=5xl+3x(—l)=2,

第13頁(yè)共18頁(yè)

2V17

所以cos(Q+Z?,a-b)=

用文母—17.

故選：B.

3.(2023?全國(guó)?統(tǒng)考甲卷)已知向量。也c滿足同=忖=1,同=啦，且0+〃+。=,貝峰05〈。一。4一?！?()

42「2n4

A.—B.—C.-D.一

5555

【答案】D

【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.

【詳解】因?yàn)閐+/?+c=0,所以三+/;>=-5,

即“2+。2+2“/=。2,即i+i+25.匕=2,所以=0.

如圖，設(shè)OA=a,OB=6,OC=c,

C

由題知,OA=OB=1,OC=670AB是等腰直角三角形，

AB邊上的高。。二立?,AZ)=正，

22

所以。。=。。+0。=亞+巫=逑，

22

tanZ.ACD-,cosZACD=-

CD3

cos〈a-c.b-c)=cosZACB=cos2/ACD=2cos2ZACD-1

=2X］；|JT］.故選0

4.(2022?全國(guó)?統(tǒng)考乙卷)已知向量。=(2』),匕=(-2,4),貝1］卜-4()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

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【分析】先求得“-萬(wàn)，然后求得I”斗

【詳解】因?yàn)椤?6=（2,1）-（一2,4）=（4,—3）,所以,斗亞石7=5.

故選：D

5.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考乙卷）已知向量滿足|a|=l,|b|=VI|a-2切=3,則［2=（）

A.-2B.-IC.1D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)給定模長(zhǎng)，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可.

【詳解】解：-：\a-2b|2=|a|2-4a-b+4\b^,

y,，：\a\=l,\b\=y/3,\a-2b|=3,

.\9=l-4。力+4x3=13-4e6，

??a'b=\

故選：C.

6.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考H卷）已知向量。=（3,4）,辦二（1,0）,c=〃+仍，若<a,c>=<b,c>,則/=（）

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】C

【分析】利用向量的運(yùn)算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡(jiǎn)即可求得

【詳解】解：c=（3+f,4）,cos〈&?=cos（6,。,即一—解得t=5.

故選：C

二、填空題

7.（2023.全國(guó)?統(tǒng)考高考II卷）已知向量a,6滿足卜一6卜退，,+石卜忸-司,則忖=.

【答案】V3

【分析】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；法二：換元令二=5-1，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律

運(yùn)算求解.

【詳解】法一：因?yàn)椴?可="-可，即,+耳=（24-耳，

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則J+加力+7=4〃2一4。2+7，整理得/一2〃包二0，

又因?yàn)?即=3,

則；一2荽+1=九3,所以1=技

1Tirrrrrrrr

法二：設(shè)cx=}-o，則H=J3,a+b=c+2b,2a—b=2c+b,

由題意可得：（c+26）=儂+6）,貝廣2+4；5+41=4；2+413+32,

整理得：吃』2,即利=忖=6.

故答案為：5

8.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考甲卷）己知向量。=（九3）,6=（1,m+1）.若則比=.

3

【答案】-/-0.75

4

【分析】直接由向量垂直的坐標(biāo)表示求解即可.

3

【詳解】由題意知：a-b=m+3（m+l）=0,解得用=--.

4

3

故答案為：-了.

4

9.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考甲卷）設(shè)向量.