2024年上海市春考高考數(shù)學(xué)試卷答案解析版

2024上海春考數(shù)學(xué)試卷答案解析

一、填空題(本大題共12題,滿分54分,第『6題每題4分，第7-12題每題5

分)

1.10g2%的定義域.

【考點(diǎn)】函數(shù)定義域

【答案】(0,+8)

2.直線x-y+l=。的傾斜角.

【考點(diǎn)】直線的傾斜角

【答案】￡

【解析】k=tana=1

3.已知二=I,則2=

1+1

【考點(diǎn)】夏數(shù)

【答案】—1—i

4.(%—1)6展開(kāi)式中X4的系數(shù)為.

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式展開(kāi)

【答案】15

【解析】x(-1)2=15

5.三角形ABC中，BC=2,4=巴,B=巴,則.

34

【考點(diǎn)】解三角形

【答案】鴦亞

【解析】在三角形中4+B+C=7T,C=||

1

由正弦定理BCAB,解得ZB=若至

sinAsinC

6.已矢口ab=1,4a2+9b2的最小值為

【考點(diǎn)】基本不等式

【答案】12

【解析】由ab=1,4a2+9b2>2-2a-3b=12當(dāng)且僅當(dāng)2a=3b,

即a=',b=曰或a=S,b-—1時(shí)取最小值12.

7.數(shù)列｛%｝,即=n+c,S7<0,c的取值范圍為.

【考點(diǎn)】等差數(shù)列

【答案1(―8,—4)

【解析】由%=九+心知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)歹1KS7=&詈2=弩=7a4V

4

0,a4=+c<0,c<-4.故c的取值范圍為(一-4).

8.三角形三邊長(zhǎng)為5,6,7,則以邊長(zhǎng)為6的兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn),過(guò)另外一個(gè)頂點(diǎn)的雙

曲線的離心率為.

【考點(diǎn)】雙曲線的定義、離心率

【答案】3

【解析】由雙曲線的定義,2c=6,2a=2,e='=3

a

9.已知/(%)=%2,g(%)=｛J，'；0,求9(%)<2-％的％的取值范圍

【考點(diǎn)】分段函數(shù)運(yùn)算

【答案】％e(―8,1]

【解析】根據(jù)題意知9(%)=｛：?3-°

x■x<U

2

所以當(dāng)%>。時(shí),g(%)<2—x=^x2+x—2<0,解得％e[0,1]

同理當(dāng)％<。時(shí),g(x)<2-%=>-%2+%—2<0,解得%E(-8,0)

綜上所述:％C(-血1]

10.已知四棱柱4BCD-4a的劣底面ABCD為平行四邊形，=3,BD=4且

ABl-BC-AD[-DC=5,求異面直線A4]與BD的夾角

【考點(diǎn)】立體幾何線線角

【答案】arccos魯

【解析】AB^AB+AAiAD[=AD+44；

(AB+京)?AD-(AD+視).反=5

=AA1-RD=3x4xcos0

5

=>cose=—

11.正方形草地ZBCD邊長(zhǎng)1.2,E到4昆4。距離為0.2,尸到8。,CD距離為0.4,有個(gè)

3

簡(jiǎn)得y=—x+1

所以圓心為(a，—a+1),半徑為a,且經(jīng)過(guò)E,F點(diǎn)

即(a—0.2)2_|_(—0+1—0.2)2-Q2

化簡(jiǎn)得a?-2a+0.68=0C=27ra?2.73

12.a1—2,a?=4,=8,。彳=16,任居、b],GR,?兩足{a?+a,114iV

；<4}={^+^|1<1<;<4],求有序數(shù)列{瓦，匕2小3小J有____對(duì).

【考點(diǎn)】數(shù)列

【答案】48

【解析】以題易知{四+aj|6,10,12,18,20,24),

滿足{的4-a7-11<i<;<4]={/?!+by11<i<;<4},

不妨設(shè)瓦<b2<b3<由單調(diào)性則必有瓦+匕2=6,瓦+匕3=10,匕2+匕4=

20,b3+b4=24

(1)b2+b3=12,瓦+/=18,解得b=2,b2=4,b3=8,b4=16

(2)b2+b3=18,瓦+=12,解得瓦=-1,b2=7,b3=11,b4=13

所以2種.

綜上共有2#=48對(duì)

二、選擇題(本大題共4題,滿分18分,第13-14題每題4分，第15-16題每題5

分)

13.a,b,ceR,b>c,下列不等式恒成立的是()

k.a+b2>a+c2B.a2+b>a2+cC.ab2>ac2D.a2b>a2c

【考點(diǎn)】不等式的性質(zhì)

4

【答案】B

【解析】對(duì)于4若網(wǎng)V?解析2vc2,選項(xiàng)不成立，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于C、D,若a=0,則選項(xiàng)不成立，故C、D錯(cuò)誤;故答案選B.

14.空間中有兩個(gè)不同的平面a1和兩條不同的直線孫凡則下列說(shuō)法中正確的是

()

A.若a團(tuán)0,7女團(tuán)a,ri團(tuán)0,則m團(tuán)?1B.若a0/?,刀1團(tuán)a,刀1團(tuán)九，則九團(tuán)0

C.若仇〃0,mlfa,n“B，則m〃九D.若仇〃0,m//a,m//n,則n〃0

【考點(diǎn)】立體兒何

【答案】A

【解析】對(duì)于A若1耶,??1團(tuán)a,則m〃/?或mu/?,又九團(tuán)/?,所以m團(tuán)?1,故A正確；

對(duì)于B,若仇耶,??1團(tuán)a,則m〃/?或mu/?,由m甌，貝加與0斜交、垂直、平行均有可

能,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若/a,則m〃/?或mu/?,由九〃/?,則m與九相交、平行、異面均有

可能,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若a〃/?,zn〃a,則??i〃6或znu/?,又m〃%則九〃0或九u/?,故O錯(cuò)誤.故

答案選A.

15.有四種禮盒，前三種里面分別僅裝有中國(guó)結(jié)、記本本、筆袋，第四個(gè)禮盒里面

三種禮品都有，現(xiàn)從中任選一個(gè)盒子,設(shè)事件A：所選盒中有中國(guó)結(jié)，事件B：所

選盒中有記事本，事件C：所選盒中有筆袋，則()

A.事件4與事件B互斥B.事件A與事件B相互獨(dú)立

C.事件4與事件BUC互斥D.事件Z與事件BnC相互獨(dú)立

【考點(diǎn)】事件的關(guān)系

5

【答案】B

【解析】對(duì)于A,事件A和事件B可以同時(shí)發(fā)生，即第四個(gè)禮盒中既有中國(guó)結(jié),又

有記事本,所以A與B互斥，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,PQ4)=±1,P(B1)=-,P(AnB)=-1,符合PQ4nB)=PQ4)?P(B),B正■確；

224

對(duì)于c,事件4與事件BUC可以同時(shí)發(fā)生,所以。錯(cuò)誤；

對(duì)于D,PQ4)=%P(BnC)=:而P(4n(BnC))=(wPQ4)?P(BnC),所以4

與BnC不獨(dú)立,故D錯(cuò)誤。

故答案選3.

16.現(xiàn)定義如下:當(dāng)％e(_n>n+1)時(shí)(九eN),若/(%+1)=f'(%),則稱f(%)為延

展函數(shù).

現(xiàn)有，當(dāng)%e(0,1)時(shí),g(%)=靖與(%)=爐。均為延展函數(shù),則以下結(jié)論(

)

(1)存在y=kx+b(k，beR；k>b0)與y=g(%)有無(wú)窮個(gè)交點(diǎn)

(2)存在y=kx+b(k，b￡R，k，b手0)與丫=(%)有無(wú)窮個(gè)交點(diǎn)

A.(1)(2)都成立B.(1)(2)都不成立C.(1)成立⑵不成立D.(1)

不成立⑵成立.

【考點(diǎn)】圖像與導(dǎo)數(shù)

【答案】D

【解析】根據(jù)題目所給條件，畫出g(%)與(%)圖像即可，

6

因?yàn)閗w0,所以⑴錯(cuò)；當(dāng)/c=10!時(shí),存在b使得直線y=kx+b可以與(%)在區(qū)

間(9,10)的函數(shù)部分重合，因而有無(wú)窮個(gè)交點(diǎn),所以(2)正確，故選D

三、解答題(本大題共5題，共14+14+14+18+18=78分)

17.已知/(%)=sin(6ox+g)，co>0

(1)設(shè)co=1,求解:y=/(%),%e［OF］的值域；

(2)a>7r(aeR),/(%)的最小正周期為7,若在%e［ma］上恰有3個(gè)零點(diǎn),求a的取

值范圍.

【考點(diǎn)】三角函數(shù)周期與零點(diǎn)

【答案】(l)ye［—;

⑵a嚕,等)

【解析】(1)3==sin(%+因?yàn)椋0出,所以令t=%+C

一71)-47f

.33.

所以y=/⑴在"外上單調(diào)遞增,在4號(hào)］上單調(diào)遞減

所以'max-/Q)=1，ymin=f=因此丫［一爭(zhēng)1

(2)由題知T=§=兀,所以3=2,/(x)=sin(2x+

當(dāng)/(%)—0時(shí)，2%+g=kn,kEZ,即％=一千+4，keZ.

當(dāng)々=3時(shí),％=把>7T,所以2+7<aV2+27,即衛(wèi)4aV因止匕,ae

333236

吁等1

7

18.如圖,24、PB、PC為圓錐三條母線,ZB=ZC.

⑴證明：P4團(tuán)BC；

⑵若圓錐側(cè)面積為遮耳8。為底面直徑,BC=2,

求二面角B-PA-C的大小.

【考點(diǎn)】圓錐體中的線面關(guān)系

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）〃—arccos：

【解析】（1）取BC中點(diǎn)。，連接4。、P0,

因?yàn)閆B=AC,PB=PC,所以4。團(tuán)BC,P。團(tuán)BC,

又因?yàn)镻。u面PA。"u面P40,P。nA。=0,

所以BC團(tuán)面P4。，因?yàn)镻4u面P4。，所以P4團(tuán)BC.

（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系

因?yàn)閳A錐側(cè)面積為g7r,BC為底面直徑,BC=2,

所以底面半徑為1,母線長(zhǎng)為舊,所以P。=y/PA2-AO2=

V2,

則可得P。0,企）,4（0,1>0）,B（l，O0）,C（-L0,0）,

故而=（0，］，-仞，麗=（L0^-42）,PC=（-L0^-V2）,

設(shè)4=Oc）為面P4B的法向量,則但.上=°=

阮?PB=0

■乃旺的°,令%1=V2,則yi=V2,zt=1,所以4=

山-V2zt=0

（筋筋1）.

設(shè)荻=（%2少2立2）為面24。的法向量，

8

則，破.西=00]—V2Z2=0

I五-PC=01一%2—V2Z2=0

1

令%2--V2,則丫2-V2,z2=1,所以拓=（-筋低1）.

n

則cos<n[1,n^>=?上;1li=一字二=一工，

'|n1||n2|AASXVS5

設(shè)二面角B-PA-C為仇所以二面角B-PA-C的大小為7i-arccos!.

19.水果分為一級(jí)果和二級(jí)果,共136箱,其中一級(jí)果102箱,二級(jí)果34箱。

(1)隨機(jī)挑選兩箱水果,求恰好一級(jí)果和二級(jí)果各一箱的概率；

⑵進(jìn)行分層抽樣,共抽8箱水果,求一級(jí)果和二級(jí)果各幾箱；

⑶抽取若干箱水果,其中一級(jí)果共120個(gè),單果質(zhì)量平均數(shù)為303.45克,方差為

603.46;二級(jí)果48個(gè),單果質(zhì)量平均數(shù)為240.41克,方差為648.21;求168個(gè)水

果的方差和平均數(shù),并預(yù)估果園中單果的質(zhì)量.

【考點(diǎn)】概率、統(tǒng)計(jì)

【答案】(1)￡；(2)一級(jí)果抽取6箱，二級(jí)果抽取2箱；

45

(3)平均數(shù):285.44,方差:1426.46,預(yù)估平均287.69

【解析】

⑴古典概型:設(shè)4事件為恰好選到一級(jí)果和二級(jí)果各一箱，⑷=盤02?盤4=

3468,

|Q=C/36=9180,PQ4)=*

⑵一級(jí)果箱數(shù):二級(jí)果箱數(shù)=3:1,因此一級(jí)果抽取6箱,二級(jí)果抽取2箱.

(3)設(shè)一級(jí)果平均質(zhì)量為北二級(jí)果質(zhì)量為其總體樣本平均質(zhì)量為玄

平均值：

9

11

X=詆=303.45,y=叁2乃=240.21

IZU4,0

"擊0””)=篝善=28544

方差：

11

2

Sx=行iE?-￡)2=而￡療一⑸2=￡%『=120⑸+(%))

乙U_L乙U

11、

=忘￡(%-步尸=—Sy?-(y)2=>￡%?=48⑸+(y)2)

410410

2

Sz=擊￡(々一Z)=焉/一3)2=擊(￡*+EW)-3)2=1426.46

預(yù)估：平均質(zhì)量=u亞絲=287.69

136

22

20.在平面直角坐標(biāo)系％Oy中，已知點(diǎn)4為橢圓八2+一=1上一點(diǎn)，&、尸2分別為

62

橢圓的左、右焦點(diǎn)。

(1)若點(diǎn)4的橫坐標(biāo)為2,求的長(zhǎng)；

(2)設(shè)r的上、下頂點(diǎn)分別為a、M2,記44F/2的面積為Si，41MlM2的面積為$2,

若SiNS2,求|。4|的取值范圍

(3)若點(diǎn)4在％軸上方,設(shè)直線4F2與廣交于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)K,Ka延長(zhǎng)線與「交于

點(diǎn)C,是否存在％軸上方的點(diǎn)C,使得耳彳+F^B+F^C=2(0+F^B+e

R)成立?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【考點(diǎn)】解析幾何

【答案】⑴"⑵(應(yīng)，嗒］⑶c(—?亨)

【解析】⑴設(shè)4(2，y),因?yàn)辄c(diǎn)4為橢圓八三+q=1上一點(diǎn),則與+《=1,得

6Z6Z

22

V=-o

/3

10

又Fi（—2,0）,所以|4川=J（2—（―2））2+（y—0）2二手

（2）設(shè)4（%，y）,%yW0,則S[=211yl=2\y\,S2=^\M1M2\\x\=V2|x|

2

因?yàn)镾i>S2,即21yl>V2|%|,即2y2>x,

又9+?=L所以2y2>6-3y2,得：<y2<2

所以|。4|=yjx2+y2=7（6-3y2）+y2=J6-2y2,所以|。4|的范圍是

(3)設(shè)2(打,%),%>0,B(x2,y2),由圖像對(duì)稱性,得4、C

關(guān)于y軸對(duì)稱,所以C(—又&(—2,0),F2(2,0),所以

FM=（%I+2，%）,03=（%2+2少2），&。=

（一%1+2，％）,

所以+F]B+F1c=（不+6少2+2%）;

同理可+取+F^C=（x2-6>y2+2yt）

因?yàn)橥?+F\B+F\C=2（0+&+豆）（2eR）,所以瓦彳+庭+

宿/可+可+跖

（劣2+6）（沙2+2防）=（電一6）（1/2+2yl）

所以+2%=0,或獴二？；_°6（無(wú)解）

22

設(shè)直線NF2:%=my+2,與橢圓廠:土+匕=1聯(lián)立得，（m?+3）y2+4my—2=0

62

dy/2=—2比=品西愿

則J,4m倚徵-g，倚月-丁，

（先+了2=—%=-/

由%1=my^+2,得%1=￡所以C（一

11

21.記M(a)={tIt=/(%)—f(a>x>a},L(a)={t\t=/(%)—f(a),x<a}

(1)若/(%)=x2+1,求M(l)和L(l);

(2)若/(%)=%3-3x2,求證:對(duì)于任意aeR,都有M(a)c[-4,+00),且存在a,

使得—4eM(a).

⑶已知定義在R上/(%)有最小值,求證〃/(%)是偶函數(shù)〃的充要條件是“對(duì)于任意

正實(shí)數(shù)c,均有M(—c)=L(c)”.

【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)

【答案】見(jiàn)解析

【解析】(1)由題意得：

M(l)={tIt=%2+1—2*%>1]=[0^+8)；￡(1)=

2

(tIt=x+l—2<x<1]=[—1，+0°);

⑵證明:由題意知M(a)=[t\t=x3—3/—a3+3a2>x>a],

記g(%)=x3—3x2—a3+3a2,有g(shù)'(%)=3%2—6%=0=%=。或2

X(一0°f0)0(0,2)2(2,+8)

9(%)正0負(fù)0正

g(%)7極大值、極小值7

現(xiàn)對(duì)a分類討論：

32

(1)當(dāng)a22,有t=/一3/-a+3a,x>a為嚴(yán)格增函數(shù)，因?yàn)間(a)=0,

所以此時(shí)M(a)=[0,+8)c[—4，+R)符合條件；

(2)當(dāng)0<a<2時(shí),t=/—3/—+3a2,%>a先增后減，白而n=g(2)=

—+3a之一4

12

32

因?yàn)橐?3a2=Q2(3-a)>0(a=。取等號(hào))，所以"i譏=g(2)=-a+3a-

4>一4,

則此時(shí)M(Q)—[—Q3+3a2-&+8)c[—41+8)也符合條件；

(3)當(dāng)Q<0時(shí)"=%3一3%2—Q3+3a2%>a,在go)嚴(yán)格增,在。2]嚴(yán)格減,在

[2>+8)嚴(yán)格增,tmin=min{g(a)，g(2)}=min{0^-a3+3a2-4},

因?yàn)?a)=-a3+3a2—4,當(dāng)a<。時(shí)，(a)=-3a2+6a>0,貝()(a)>

(0)=-4

則此時(shí)M(a)=\tmin>+°°)c[一4，+8)成立；

綜上可知,對(duì)于任意aeR,都有M(a)c[-4,+^=>],且存在a=0,使得-4G

M(a).

⑶證明：

⑴必要性:若/(%)為偶函數(shù)，

則M(—c)={t\t=/(%)-/(-c)?x>-c],L(c)=[t\t=/(%)-/(c>x<c]

當(dāng)%>-c,t=/(%)-/(-c)=/(-%)-/(c),因?yàn)橐唬?lt;c故M(—c)=L(c);

(2)充分性：若對(duì)于任意正實(shí)數(shù)c,均有M(-c)=￡(c),

其中M(-c)={t\t=/(x)->-c},L(c)={tIt=/(%)-f(c>%<c]

因?yàn)?(%)有最小值，不妨設(shè)/(a)=fmin=犯

由于c任意，令c>|a|則a￡[-c'c]:.M(-c)最小元素為/(a)-/(-c)=m-

/(-c).

L(c)中最小元素為m-/(c)

又M(-c)=L(c)=>/(c)=/(-c)對(duì)任意c>|a成立二f(a)=/(-a)=m

若a=0,則/(c)=/(一c)對(duì)任意c>0成立O/(%)是偶函數(shù)

13

若aH0此后取cE(—|ap|a|