新高考數(shù)學大一輪復習講義之方法技巧專題20玩轉(zhuǎn)外接球、內(nèi)切球、棱切球(原卷版+解析)

專題20玩轉(zhuǎn)外接球、內(nèi)切球、棱切球【考點預測】知識點一：正方體、長方體外接球1．正方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．2．長方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．3．補成長方體（1）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖1所示．（2）若三棱錐的四個面均是直角三角形，則此時可構(gòu)造長方體，如圖2所示．（3）正四面體可以補形為正方體且正方體的棱長，如圖3所示．（4）若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖4所示圖1圖2圖3圖4知識點二：正四面體外接球如圖，設正四面體的的棱長為，將其放入正方體中，則正方體的棱長為，顯然正四面體和正方體有相同的外接球．正方體外接球半徑為，即正四面體外接球半徑為．知識點三：對棱相等的三棱錐外接球四面體中，，，，這種四面體叫做對棱相等四面體，可以通過構(gòu)造長方體來解決這類問題．如圖，設長方體的長、寬、高分別為，則，三式相加可得而顯然四面體和長方體有相同的外接球，設外接球半徑為，則，所以．知識點四：直棱柱外接球如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內(nèi)接于球（同時直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）圖1圖2圖3第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；第三步：勾股定理：，解出知識點五：直棱錐外接球如圖，平面，求外接球半徑．解題步驟：第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑，連接，則必過球心；第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得)，；第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：=1\*GB3①；=2\*GB3②．知識點六：正棱錐與側(cè)棱相等模型1．正棱錐外接球半徑：．2．側(cè)棱相等模型：如圖，的射影是的外心三棱錐的三條側(cè)棱相等三棱錐的底面在圓錐的底上，頂點點也是圓錐的頂點．解題步驟：第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點共線；第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：，解出．知識點七：側(cè)棱為外接球直徑模型方法：找球心，然后作底面的垂線，構(gòu)造直角三角形．知識點八：共斜邊拼接模型如圖，在四面體中，，，此四面體可以看成是由兩個共斜邊的直角三角形拼接而形成的，為公共的斜邊，故以“共斜邊拼接模型”命名之．設點為公共斜邊的中點，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的結(jié)論可知，，即點到，，，四點的距離相等，故點就是四面體外接球的球心，公共的斜邊就是外接球的一條直徑．知識點九：垂面模型如圖1所示為四面體，已知平面平面，其外接球問題的步驟如下：（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．圖1圖2知識點十：最值模型這類問題是綜合性問題，方法較多，常見方法有：導數(shù)法，基本不等式法，觀察法等知識點十一：二面角模型如圖1所示為四面體，已知二面角大小為，其外接球問題的步驟如下：（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．知識點十二：坐標法對于一般多面體的外接球，可以建立空間直角坐標系，設球心坐標為，利用球心到各頂點的距離相等建立方程組，解出球心坐標，從而得到球的半徑長．坐標的引入，使外接球問題的求解從繁瑣的定理推論中解脫出來，轉(zhuǎn)化為向量的計算，大大降低了解題的難度．知識點十三：圓錐圓柱圓臺模型1．球內(nèi)接圓錐如圖，設圓錐的高為，底面圓半徑為，球的半徑為．通常在中，由勾股定理建立方程來計算．如圖，當時，球心在圓錐內(nèi)部；如圖，當時，球心在圓錐外部．和本專題前面的內(nèi)接正四棱錐問題情形相同，圖2和圖3兩種情況建立的方程是一樣的，故無需提前判斷．由圖、圖可知，或，故，所以．2．球內(nèi)接圓柱如圖，圓柱的底面圓半徑為，高為，其外接球的半徑為，三者之間滿足．3．球內(nèi)接圓臺，其中分別為圓臺的上底面、下底面、高．知識點十四：錐體內(nèi)切球方法：等體積法，即知識點十五：棱切球方法：找切點，找球心，構(gòu)造直角三角形【題型歸納目錄】題型一：正方體、長方體模型題型二：正四面體模型題型三：對棱相等模型題型四：直棱柱模型題型五：直棱錐模型題型六：正棱錐與側(cè)棱相等模型題型七：側(cè)棱為外接球直徑模型題型八：共斜邊拼接模型題型九：垂面模型題型十：最值模型題型十一：二面角模型題型十二：坐標法模型題型十三：圓錐圓柱圓臺模型題型十四：錐體內(nèi)切球題型十五：棱切球【典例例題】題型一：正方體、長方體模型例1．（2023·陜西安康·高二期末（理））長方體的長，寬，高分別為3，，1，其頂點都在球O的球面上，則球O的體積為（

）A． B． C． D．例2．（2023·全國·高一階段練習）已知三棱錐中，，底面，，，則該三棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．例3．（2023·北京市第三十五中學高一階段練習）已知正方體外接球的體積是，那么正方體的體對角線等于（

）A． B．4 C． D．．例4．（2023·黑龍江·勃利縣高級中學高一期中）據(jù)《九章算術》記載，“鱉臑”為四個面都是直角三角形的三棱錐．如圖所示，現(xiàn)有一個“鱉臑”，底面，，且，三棱錐外接球表面積為（

）A． B． C． D．例5．（2023·河北·高一期中）《九章算術》中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”．現(xiàn)有一“陽馬”，平面，，的面積為4，則該“陽馬”外接球的表面積的最小值為（

）A． B． C． D．例6．（2023·河南·模擬預測（文））在三棱錐中，已知平面，，且，，，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．題型二：正四面體模型例7．（2023·全國·高三專題練習（理））棱長為a的正方體內(nèi)有一個棱長為x的正四面體，且該正四面體可以在正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則x的最大值為（

）A． B． C． D．例8．（2023·河南·西平縣高級中學模擬預測（理））一個正四面體的棱長為2，則這個正四面體的外接球的體積為（

）A． B． C． D．例9．（2023·貴州師大附中高二開學考試（理））已知正四面體的棱長為2，則其外接球的表面積為（

）A． B． C． D．例10．（2023·河北·石家莊二中一模（理））如圖所示，正四面體中，是棱的中點，是棱上一動點，的最小值為，則該正四面體的外接球表面積是（

）A． B． C． D．例11．（2023·貴州·凱里一中高二期末（理））我們將四個面均為正三角形的四面體稱為“正四面體”，在正四面體中，分別為棱的中點，當時，四面體的外接球的表面積為A． B． C． D．例12．（2023·全國·高三專題練習）金剛石是碳原子的一種結(jié)構(gòu)晶體，屬于面心立方晶胞（晶胞是構(gòu)成晶體的最基本的幾何單元），即碳原子處在立方體的個頂點，個面的中心，此外在立方體的對角線的處也有個碳原子，如圖所示（綠色球），碳原子都以共價鍵結(jié)合，原子排列的基本規(guī)律是每一個碳原子的周圍都有個按照正四面體分布的碳原子．設金剛石晶胞的棱長為，則正四面體的棱長為__________；正四面體的外接球的體積是__________．題型三：對棱相等模型例13．（2023?讓胡路區(qū)校級模擬）在四面體中，若，，，則四面體的外接球的表面積為A． B． C． D．例14．已知四面體中，，，，若該四面體的各個頂點都在同一球面上，則此球的表面積為A． B． C． D．例15．如圖，在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的體積為A． B． C． D．例16．（2023?永安市校級期中）在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為A． B． C． D．例17．（2023?羅湖區(qū)月考）已知在四面體中，，則四面體的外接球表面積為．例18．（2023?三模擬）在四面體中，，，，則其外接球的表面積為．題型四：直棱柱模型例19．（2023·山西·太原五中高一階段練習）在直三棱柱中，若，則該直三棱柱外接球的表面積為（

）A． B． C． D．例20．（2023·安徽·合肥市第六中學高一期中）設直三棱柱的所有頂點都在一個球面上，，，且底面的面積為，則此直三棱柱外接球的表面積是（

）A． B． C． D．例21．（2023·河南·高三階段練習（文））已知正六棱柱的每個頂點都在球O的球面上，且，，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．例22．（2023·全國·高二課時練習）表面積為81π的球，其內(nèi)接正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的高是7，則這個正四棱柱的底面邊長為______．例23．（2023·河南·高三階段練習（理））已知正三棱柱的外接球表面積為，則正三棱柱的所有棱長之和的最大值為______．例24．（2023·浙江·高二期中）在直三棱柱中，且，已知該三棱柱的體積為2，則此三棱柱外接球表面積的最小值為______．題型五：直棱錐模型例25．（2023·青海·海東市第一中學模擬預測（理））已知四棱錐P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，，若四棱錐P-ABCD外接球的表面積為，則四棱錐P-ABCD的體積為（

）A．3 B．2 C． D．1例26．（2023·全國·高三專題練習）《九章算術》中將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．若三棱錐為鱉臑，平面，，，，三棱錐的四個頂點都在球的球面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．例27．（2023·廣西·賓陽中學高一階段練習）已知三棱錐中，平面，，三棱錐外接球的表面積為，則球的體積為_______，異面直線，所成角的余弦值為________．例28．（2023·河南·新鄉(xiāng)市第一中學高一期末）已知三棱錐中，平面，，，，則三棱錐外接球的表面積為______．例29．（2023·青?！ず|市第一中學模擬預測（文））已知在三棱錐中，，，，平面，則三棱錐的外接球的表面積是（

）A． B． C． D．例30．（2023·全國·高一階段練習）已知三棱錐中，，底面，，，則該三棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．例31．（2023·河北滄州·高一期末）已知在三棱錐中，平面，，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．題型六：正棱錐與側(cè)棱相等模型例32．（2023·江西·高三階段練習（文））在正三棱錐中，，P到平面ABC的距離為2，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．例33．（2023·江蘇·高一課時練習）如圖在正三棱錐中，分別是棱的中點，為棱上的一點，且，，若，則此正三棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．例34．（2023·重慶市實驗中學高一階段練習）三棱錐體積為，且，則三棱錐外接球的表面積為____________．例35．（2023·重慶·高二期末）如圖，在三棱錐中，，二面角的余弦值為，若三棱錐的體積為，則三棱錐外接球的表面積為______．例36．（2023·全國·高一期末）在正三棱錐中，，正三棱錐的體積是，則正三棱錐外接球的表面積是（

）A． B． C． D．例37．（2023·天津市咸水沽第一中學模擬預測）已知正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長為1，則此三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．例38．（2023·河南安陽·高二階段練習（理））如圖，在三棱錐中，，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．例39．（2023·江蘇南通·高三期末）已知正四棱錐的底面邊長為，側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角為45°，頂點P，A，B，C，D在球O的球面上，則球O的體積是（

）A．16π B． C．8π D．例40．（2023·全國·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上．若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型七：側(cè)棱為外接球直徑模型例41．（2023?五華區(qū)校級期末）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，，，，為球的直徑，，則這個三棱錐的體積為A． B． C． D．例42．（2023?紅花崗區(qū)校級月考）已知三棱錐的所有頂點都在同一個球面上，是邊長為2的正三角形，為球的直徑，若該三棱錐的體積為，則該球的表面積A． B． C． D．例43．（2023?撫順校級月考）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，為球的直徑，且，，為等邊三角形，三棱錐的體積為，則球的表面積為A． B． C． D．例44．（2023?永春縣校級月考）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是邊長為1的正三角形，為球的直徑，且，則此棱錐的體積為A． B． C． D．例45．（2023?本溪月考）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是邊長為1的正三角形，為球的直徑，且；則棱錐A． B． C． D．例46．（2023?云南校級月考）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是邊長為2的正三角形，為球的直徑，且，則此棱錐的體積為A． B． C． D．題型八：共斜邊拼接模型例47．在矩形中，，沿將矩形折成一個直二面角，則四面體的外接球的體積為（）A．B．C．D．例48．三棱錐中，平面平面，，，，則三棱錐的外接球的半徑為例49．在平行四邊形中，滿足，，若將其沿折成直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為A． B． C． D．例50．在平行四邊形中，，，若將其沿折成直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為A． B． C． D．例51．（2023·全國·高一期末）已知三棱錐A-BCD中，，，則此幾何體外接球的表面積為（

）A． B． C． D．例52．（2023·江西·高二階段練習（理））如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是菱形，底面ABCD，是對角線與的交點，若，，則三棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．題型九：垂面模型例53．已知是以為斜邊的直角三角形，為平面外一點，且平面平面，，，，則三棱錐外接球的表面積為．【解析】由題意知的中點為外接圓的圓心，且平面平面過作面的垂線，則垂線一定在面內(nèi)．根據(jù)球的性質(zhì)，球心一定在垂線上，球心一定在平面內(nèi)，且球心也是外接圓的圓心．在中，由余弦定理得，，由正弦定理得：，解得，三棱錐的外接球的表面積．故答案為：．例54．已知點是以為直徑的圓上異于，的動點，為平面外一點，且平面平面，，，，則三棱錐外接球的表面積為．【解析】因為為外接圓的圓心，且平面平面，過作面的垂線，則垂線一定在面內(nèi)，根據(jù)球的性質(zhì)，球心一定在垂線，球心一定在面內(nèi)，即球心也是外接圓的圓心，在中，由余弦定理得，，由正弦定理得：，解得，三棱錐外接球的表面積為，故答案為：．例55．在三棱錐中，，，，平面平面，則三棱錐外接球的表面積為．【解析】如圖，設的外接圓的圓心為連接，，，連接．由題意可得，且，．因為平面平面，且，所以平面，且．設為三棱錐外接球的球心，連接，，，過作，垂足為，則外接球的半徑滿足，即，解得，從而，故三棱錐外接球的表面積為．故答案為：．例56．在菱形中，，將這個菱形沿對角線折起，使得平面平面，若此時三棱錐的外接球的表面積為，則的長為．【解析】取的中點，連接，，在等邊三角形中，，在等邊三角形中，，由平面平面，，平面平面，可得平面，即有，為等腰直角三角形，設三棱錐的外接球的球心為，半徑設為，底面的中心為，面的外心為，則，，在直角三角形中，．而，解得，則，解得，故答案為：．例57．在邊長為菱形中，，將這個菱形沿對角線折起，使得平面平面，若此時三棱錐的外接球的表面積為，則A． B． C． D．3【解析】取的中點，連接，，在等邊三角形中，，在等邊三角形中，，由平面平面，，平面平面，可得平面，即有，為等腰直角三角形，設三棱錐的外接球的球心為，半徑設為，底面的中心為，在直角三角形中，，而，解得，則，解得，故選：．例58．在三棱錐中，平面平面，，且直線與平面所成角的正切值為2，則該三棱錐的外接球的表面積為A． B． C． D．【解析】如圖，過點作于，為的中點，設的外心是，半徑是，連接，，，由正弦定理得，則，為的中點，，，所以，因為平面平面，于，平面平面，則平面，所以直線與平面所成的角是，則，即，因為，所以，則，故，設三棱錐外接球球心是，連接，，，過作于，則平面，于是，從而是矩形，所以外接球半徑滿足，解得．所以外接球的表面積為．故選：．例59．已知在三棱錐中，是等邊三角形，，平面平面，若該三棱錐的外接球表面積為，則A． B． C． D．【解析】設外接球球心，半徑，由題意可得，，解可得，根據(jù)題意可得為正三角形的中心，因為，所以，，所以正三角形的邊長為，由可得，因為平面平面，所以，所以．故選：．例60．如圖，已知四棱錐的底面為矩形，平面平面，，，則四棱錐的外接球的表面積為A． B． C． D．【解析】取的中點，連接，中，，，，，設的中心為，球心為，則，設到平面的距離為，則，，，四棱錐的外接球的表面積為．故選：．題型十：最值模型例61．（2023·河南省杞縣高中模擬預測（文））在邊長為6的菱形ABCD中，，現(xiàn)將沿BD折起到的位置，當三棱錐的體積最大時，三棱錐的外接球的表面積為（

）A．60π B．45π C．30π D．20π例62．已知，是球的球面上兩點，，為該球面上的動點，若三棱錐體積的最大值為36，則球的表面積為A． B． C． D．【解析】如圖所示，當點位于垂直于面的直徑端點時，三棱錐的體積最大，設球的半徑為，此時，故，則球的表面積為，故選：．例63．已知三棱錐的頂點，，都在半徑為2的球面上，是球心，，當與的面積之和最大時，三棱錐的體積為A． B． C． D．【解析】設球的半徑為，因為，所以當時，取得最大值，此時，所以平面，所以．例64．體積為的正三棱錐的每個頂點都在半徑為的球的球面上，球心在此三棱錐內(nèi)部，且，點為的中點，過點作球的截面，則所得截面圓面積的最小值是．【解析】設，則，因為體積為的正三棱錐的每個頂點都在半徑為的球的球面上，所以，解得．由，得或（舍），所以．由題意知點為的中點，在中，，解得，所以當截面垂直于時，截面圓的半徑為，故截面圓面積的最小值是．例65．已知底面為正三角形的三棱柱內(nèi)接于半徑為1的球，則三棱柱的體積的最大值為．【解析】解過球心作平面，則為正三角形的中心，連結(jié)，則．設三棱柱的底面邊長為，則．．．棱柱的高．棱柱的體積．令．則，令得或（舍或（舍．當時，，當時，．當時，（a）取得最大值，當時，取得最大值1．故答案為1．例66．已知底面為正三角形的直三棱柱內(nèi)接于半徑為1的球，當三棱柱的體積最大時，三棱柱的高為．【解析】如圖所示，設為外接球球心，三棱柱的高為，則由題意可知，，，，，此時三棱柱的體積為，其中．令，則，令，則，當時，，函數(shù)增，當時，，函數(shù)減．故當三棱柱的體積最大時，三棱柱的高為．故答案為：．例67．如圖，四邊形的面積為，且，把繞旋轉(zhuǎn)，使點運動到，此時向量與向量的夾角為．則四面體外接球表面積的最小值為A． B． C． D．【解析】由題意，設，，，向量與向量的夾角為．則，四面體外接球為，當且僅當時，取等號，故四面體外接球表面積的最小值．故選：．例68．已知長方體的體積，，若四面體的外接球的表面積為，則的最小值為A． B． C． D．【解析】設，，由于，所以．根據(jù)長方體的對稱性可知四面體的外接球的即為長方體的外接球，所以，所以（當且僅當，等號成立）．故選：．例69．如圖，在四棱錐中，頂點在底面的投影恰為正方形的中心且，設點、分別為線段、上的動點，已知當取得最小值時，動點恰為的中點，則該四棱錐的外接球的表面積為A． B． C． D．【解析】在上取點，使得，則，當時，取得最小值，即的最小值為，為的中點，故而為的中點，，，設外接球的半徑為，則，解得：．外接球的表面積為．故選：．題型十一：二面角模型例70．（2023·全國·高三專題練習（文））在三棱錐A-BCD中，，，二面角A-BD-C是鈍角．若三棱錐A-BCD的體積為2，則A-BCD的外接球的表面積是（

）A．12π B．13π C． D．例71．（2023·河南·高三階段練習（理））在三棱錐中，是邊長為的等邊三角形，，二面角是150°，則三棱錐外接球的表面積是（

）A． B．C． D．例72．（2023·全國·高三專題練習）在三棱錐中，為等腰直角三角形，，為正三角形，且二面角的平面角為，則三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．例73．（2023·陜西·寶雞中學模擬預測）兩個邊長為2的正三角形與，沿公共邊折疊成的二面角，若點在同一球的球面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．例74．（2023·安徽·蒙城第一中學高三階段練習（理））已知空間四邊形ABCD，，，，二面角A-BD-C是，若A?B?C?D四點在同一球面上，則該球的表面積是（

）A．15 B．18 C．21 D．24例75．（2023·黑龍江·哈爾濱三中三模（理））已知菱形中，，將其沿對角線折成四面體，使得二面角的大小為，若該四面體的所有頂點在同一個球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．例76．（2023·全國·高三專題練習）四邊形ABDC是菱形，，，沿對角線BC翻折后，二面角A-BD-C的余弦值為，則三棱錐D-ABC的外接球的體積為_____．例77．（2023·河南·南陽中學三模（文））在邊長為4的正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G分別為AD，BC，AB的中點，現(xiàn)將矩形CDEF沿EF折起，使平面CDEF與平面ABFE所成的二面角為直二面角，則四面體CEGF的外接球的表面積為___________．題型十二：坐標法模型例78．（2023·黑龍江·大慶實驗中學模擬預測）直角中，是斜邊上的一動點，沿將翻折到，使二面角為直二面角，當線段的長度最小時，四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．例79．（2023·全國·高三專題練習（理））如圖，在長方體中，，，，是棱上靠近的三等分點，分別為的中點，是底面內(nèi)一動點，若直線與平面垂直，則三棱錐的外接球的表面積是（

）A． B． C． D．例80．（2023·山西·一模（理））如圖①，在中，，，D，E分別為，的中點，將沿折起到的位置，使，如圖②.若F是的中點，則四面體的外接球體積是（

）A． B． C． D．例81．（2023·全國·高三專題練習）如圖，已知四棱錐，底面是邊長為3的正方形，面，，，，若，則四棱錐外接球表面積為（

）A． B． C． D．例82．（2023·江蘇南通·一模）在三棱錐中，已知是邊長為的正三角形，平面，、分別是、的中點，若異面直線、所成角的余弦值為，則的長為______，三棱錐的外接球表面積為______．

例83．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在直角梯形中，，.已知.將沿直線翻折成，連接.當三棱錐的體積取得最大值時，異面直線與所成角的余弦值為___________；若此時三棱錐外接球的體積為，則a的值為___________.例84．（2023·全國·高三專題練習）一個四面體的頂點在空間直角坐標系中的坐標分別是、、、，則該四面體的內(nèi)切球與外接球體積之比為______例85．（2023·遼寧·沈陽二十中高三期末）在直四棱柱中，底面是邊長為的菱形，，，過點與直線垂直的平面交直線于點，則三棱錐的外接球的表面積為____.題型十三：圓錐圓柱圓臺模型例86．（2023·青?！ず|市第一中學模擬預測（文））已知某圓臺的母線長為2，母線與軸所在直線的夾角是，且上、下底面的面積之比為1∶4，則該圓臺外接球的表面積為（

）A． B． C． D．例87．（2023·遼寧·東北育才雙語學校模擬預測）已知圓錐的頂點和底面圓周均在球的球面上.若該圓錐的底面半徑為，高為6，則球的表面積為（

）A． B． C． D．例88．（2023·河南洛陽·二模（文））已知高為4的圓錐外接球的體積為，則圓錐的體積為（

）A． B． C． D．例89．（2023·青?！ず|市第一中學模擬預測（文））已知某圓臺的母線長為2，母線與軸所在直線的夾角是，且上、下底面的面積之比為1∶4，則該圓臺外接球的表面積為（

）A． B． C． D．例90．（2023·河南焦作·高二期末（理））已知圓臺的母線長為2，母線與軸的夾角為60°，且上、下底面的面積之比為1：4，則該圓臺外接球的表面積為（

）A． B． C． D．例91．（2023·廣西·高二階段練習（理））已知一個圓臺的上下底面半徑分別為5和12，高為7，則它的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．例92．（2023·浙江溫州·高一期末）軸截面為正方形的圓柱內(nèi)接于球，則它們的表面積之比是（

）A． B． C． D．例93．（2023·河南商丘·三模（理））已知體積為的圓錐的側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的外接球的表面積為___________．例94．（2023·湖北·黃岡中學三模）圓柱上、下底面的圓周都在一個體積為的球面上，圓柱底面直徑為8，則該圓柱的體積為_______例95．（2023·全國·模擬預測）如圖，棱長均相等的直三棱柱的上、下底面均內(nèi)接于圓柱的上、下底面，則圓柱的側(cè)面積與其外接球的表面積之比為______．題型十四：錐體內(nèi)切球例96．（2023春?虎丘區(qū)校級期末）在三棱錐中，平面，，且，，，若球在三棱錐的內(nèi)部且與四個面都相切（稱球為三棱錐的內(nèi)切球），則球的表面積為A． B． C． D．例97．（2023春?寧波期末）已知正四棱錐的底面邊長為4，側(cè)棱長為，其內(nèi)切球與兩側(cè)面，分別切于點，，則的長度為A． B． C． D．例98．（2023?青海模擬）已知四面體的所有棱長都相等，其外接球的體積等于，則下列結(jié)論錯誤的是A．四面體的棱長均為2 B．異面直線與的距離為 C．異面直線與所成角為 D．四面體的內(nèi)切球的體積等于例99．（2023?煙臺三模）如圖，在三棱錐中，，，若三棱錐的內(nèi)切球的表面積為，則此三棱錐的體積為A． B． C． D．例100．（2023春?南和區(qū)校級月考）已知某圓柱的內(nèi)切球半徑為，則該圓柱的側(cè)面積為A． B． C． D．例101．（2023春?山西月考）設體積為的正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑分別為和，則的值為A．4 B． C． D．1例102．（2023春?江西月考）已知四面體中的所有棱長為，球是其內(nèi)切球．若在該四面體中再放入一個球，使其與平面、平面、平面以及球均相切，則球與球的半徑之比為A． B． C． D．例103．（2023春?重慶月考）在直角中，．以為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體，則該幾何體的內(nèi)切球的體積為A． B． C． D．例104．（2023?南京模擬）在三棱錐中，垂直底面，，，若三棱錐的內(nèi)切球半徑為，則此三棱錐的側(cè)面積為．題型十五：棱切球例105．（2023?涪城區(qū)校級開學）一個正方體的內(nèi)切球、外接球、與各棱都相切的球的半徑之比為A． B． C． D．例106．（2023?江蘇模擬）正四面體的棱長為4，若球與正四面體的每一條棱都相切，則球的表面積為A． B． C． D．例107．（2023?昆都侖區(qū)校級一模）已知正三棱柱的高等于1，一個球與該正三棱柱的所有棱都相切，則該球的體積為A． B． C． D．例108．（2023春?東至縣校級期末）某禮品店銷售的一裝飾擺件如圖所示，由球和正三棱柱加工組合而成，球嵌入正三棱柱內(nèi)一部分且與上底面三條棱均相切，正三棱柱的高為4，底面正三角形邊長為6，球的體積為，則該幾何體最高點到正三棱柱下底面的距離為A．5 B．6 C．7 D．8例109．（2023?遼寧模擬）已知球與棱長為2的正方體的各條棱都相切，則球內(nèi)接圓柱的側(cè)面積的最大值為A． B． C． D．例110．（2023秋?南昌縣期末）正三棱錐的底面邊長為，側(cè)棱長為，若球與正三棱錐所有的棱都相切，則這個球的表面積為A． B． C． D．例111．（2023春?河南期末）已知正三棱柱的各棱長均為，以為球心的球與棱相切，則球位于正三棱柱內(nèi)的部分的體積為．例112．（2023春?蓬江區(qū)校級期中）已知一球與棱長為2的正方體的各條棱都相切，則該球的表面積為．例113．（2023春?梁園區(qū)校級期中）已知正三棱錐，，，球與三棱錐的所有棱相切，則球的表面積為．例114．（2023?三模擬）已知三棱錐所有棱長都相等，球與它的六條棱都相切，球與它的四個面都相切，則球與球的表面積之比為．專題20玩轉(zhuǎn)外接球、內(nèi)切球、棱切球【考點預測】知識點一：正方體、長方體外接球1．正方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．2．長方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．3．補成長方體（1）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖1所示．（2）若三棱錐的四個面均是直角三角形，則此時可構(gòu)造長方體，如圖2所示．（3）正四面體可以補形為正方體且正方體的棱長，如圖3所示．（4）若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖4所示圖1圖2圖3圖4知識點二：正四面體外接球如圖，設正四面體的的棱長為，將其放入正方體中，則正方體的棱長為，顯然正四面體和正方體有相同的外接球．正方體外接球半徑為，即正四面體外接球半徑為．知識點三：對棱相等的三棱錐外接球四面體中，，，，這種四面體叫做對棱相等四面體，可以通過構(gòu)造長方體來解決這類問題．如圖，設長方體的長、寬、高分別為，則，三式相加可得而顯然四面體和長方體有相同的外接球，設外接球半徑為，則，所以．知識點四：直棱柱外接球如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內(nèi)接于球（同時直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）圖1圖2圖3第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；第三步：勾股定理：，解出知識點五：直棱錐外接球如圖，平面，求外接球半徑．解題步驟：第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑，連接，則必過球心；第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得)，；第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：=1\*GB3①；=2\*GB3②．知識點六：正棱錐與側(cè)棱相等模型1．正棱錐外接球半徑：．2．側(cè)棱相等模型：如圖，的射影是的外心三棱錐的三條側(cè)棱相等三棱錐的底面在圓錐的底上，頂點點也是圓錐的頂點．解題步驟：第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點共線；第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：，解出．知識點七：側(cè)棱為外接球直徑模型方法：找球心，然后作底面的垂線，構(gòu)造直角三角形．知識點八：共斜邊拼接模型如圖，在四面體中，，，此四面體可以看成是由兩個共斜邊的直角三角形拼接而形成的，為公共的斜邊，故以“共斜邊拼接模型”命名之．設點為公共斜邊的中點，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的結(jié)論可知，，即點到，，，四點的距離相等，故點就是四面體外接球的球心，公共的斜邊就是外接球的一條直徑．知識點九：垂面模型如圖1所示為四面體，已知平面平面，其外接球問題的步驟如下：（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．圖1圖2知識點十：最值模型這類問題是綜合性問題，方法較多，常見方法有：導數(shù)法，基本不等式法，觀察法等知識點十一：二面角模型如圖1所示為四面體，已知二面角大小為，其外接球問題的步驟如下：（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．知識點十二：坐標法對于一般多面體的外接球，可以建立空間直角坐標系，設球心坐標為，利用球心到各頂點的距離相等建立方程組，解出球心坐標，從而得到球的半徑長．坐標的引入，使外接球問題的求解從繁瑣的定理推論中解脫出來，轉(zhuǎn)化為向量的計算，大大降低了解題的難度．知識點十三：圓錐圓柱圓臺模型1．球內(nèi)接圓錐如圖，設圓錐的高為，底面圓半徑為，球的半徑為．通常在中，由勾股定理建立方程來計算．如圖，當時，球心在圓錐內(nèi)部；如圖，當時，球心在圓錐外部．和本專題前面的內(nèi)接正四棱錐問題情形相同，圖2和圖3兩種情況建立的方程是一樣的，故無需提前判斷．由圖、圖可知，或，故，所以．2．球內(nèi)接圓柱如圖，圓柱的底面圓半徑為，高為，其外接球的半徑為，三者之間滿足．3．球內(nèi)接圓臺，其中分別為圓臺的上底面、下底面、高．知識點十四：錐體內(nèi)切球方法：等體積法，即知識點十五：棱切球方法：找切點，找球心，構(gòu)造直角三角形【題型歸納目錄】題型一：正方體、長方體模型題型二：正四面體模型題型三：對棱相等模型題型四：直棱柱模型題型五：直棱錐模型題型六：正棱錐與側(cè)棱相等模型題型七：側(cè)棱為外接球直徑模型題型八：共斜邊拼接模型題型九：垂面模型題型十：最值模型題型十一：二面角模型題型十二：坐標法模型題型十三：圓錐圓柱圓臺模型題型十四：錐體內(nèi)切球題型十五：棱切球【典例例題】題型一：正方體、長方體模型例1．（2023·陜西安康·高二期末（理））長方體的長，寬，高分別為3，，1，其頂點都在球O的球面上，則球O的體積為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】球O的半徑為，∴體積．故選：A例2．（2023·全國·高一階段練習）已知三棱錐中，，底面，，，則該三棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】解：如圖所示，將三棱錐放在長、寬、高分別為，，的長方體中，則三棱錐的外接球即為該長方本的外接球，所以外接球的直徑，∴該球的體積為．故選：B例3．（2023·北京市第三十五中學高一階段練習）已知正方體外接球的體積是，那么正方體的體對角線等于（

）A． B．4 C． D．．答案：B【解析】解：正方體外接球的直徑即為正方體的體對角線，設外接球的半徑為，則，解得，所以正方體的體對角線等于；故選：B例4．（2023·黑龍江·勃利縣高級中學高一期中）據(jù)《九章算術》記載，“鱉臑”為四個面都是直角三角形的三棱錐．如圖所示，現(xiàn)有一個“鱉臑”，底面，，且，三棱錐外接球表面積為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】如圖，將三棱錐補形為正方體，則外接球半徑．所以三棱錐外接球表面積．故選：B．例5．（2023·河北·高一期中）《九章算術》中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”．現(xiàn)有一“陽馬”，平面，，的面積為4，則該“陽馬”外接球的表面積的最小值為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】如圖，將四棱錐補成長方體，則該四棱錐的外接球與長方體的外接球相同．因為長方體外接球的半徑，所以該“陽馬”外接球的表面積為：．故選：C．例6．（2023·河南·模擬預測（文））在三棱錐中，已知平面，，且，，，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由平面，，知三棱錐可補形為以，為長寬高的長方體，三棱錐的外接球即長方體的外接球，設外接球的半徑為，則，所以．故選：A題型二：正四面體模型例7．（2023·全國·高三專題練習（理））棱長為a的正方體內(nèi)有一個棱長為x的正四面體，且該正四面體可以在正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則x的最大值為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】棱長為的正方體的內(nèi)切球的半徑為，正四面體可以在正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，只需該正四面體為球的內(nèi)接正四面體，換言之，棱長為的正四面體的外接球的半徑為，設正四面體為，過作平面，垂足為，為底面正的中心，則，體高為，由于外接球半徑為，利用勾股定理得：，解得，選D．例8．（2023·河南·西平縣高級中學模擬預測（理））一個正四面體的棱長為2，則這個正四面體的外接球的體積為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】如圖，四面體是正四面體，棱長，將其補形成正方體，則正方體的棱長，此正方體的體對角線長為，正四面體與正方體有相同的外接球，則正四面體的外接球半徑，所以正四面體的外接球體積為．故選：A例9．（2023·貴州師大附中高二開學考試（理））已知正四面體的棱長為2，則其外接球的表面積為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因為正四面體的棱長為2，所以底面三角形的高，棱錐的高為，設外接球半徑為，則，解得．所以外接球的表面積為．故選：B．例10．（2023·河北·石家莊二中一模（理））如圖所示，正四面體中，是棱的中點，是棱上一動點，的最小值為，則該正四面體的外接球表面積是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】將側(cè)面和沿邊展開成平面圖形，如圖所示，菱形，在菱形中，連接，交于點，則的長即為的最小值，即，因為正四面體，所以，所以，因為是棱的中點，所以，所以，設，則，所以，則，所以，則正四面體的棱長為，所以正四面體的外接球半徑為，所以該正四面體外接球的表面積為，故選：A例11．（2023·貴州·凱里一中高二期末（理））我們將四個面均為正三角形的四面體稱為“正四面體”，在正四面體中，分別為棱的中點，當時，四面體的外接球的表面積為A． B． C． D．答案：D【解析】【詳解】設正四面體的棱長為，則：，在等腰三角形ABF中，，據(jù)此可得：，正四面體的棱長為：，外接球半徑為：，其表面積為：．本題選擇D選項．例12．（2023·全國·高三專題練習）金剛石是碳原子的一種結(jié)構(gòu)晶體，屬于面心立方晶胞（晶胞是構(gòu)成晶體的最基本的幾何單元），即碳原子處在立方體的個頂點，個面的中心，此外在立方體的對角線的處也有個碳原子，如圖所示（綠色球），碳原子都以共價鍵結(jié)合，原子排列的基本規(guī)律是每一個碳原子的周圍都有個按照正四面體分布的碳原子．設金剛石晶胞的棱長為，則正四面體的棱長為__________；正四面體的外接球的體積是__________．答案：

【解析】依題意可知，為正四面體的中心，如圖：連接，延長交平面于點，則為△的中心，所以設，，因為，所以，由，得，得，解得，所以正四面體的棱長為．依題意可知，正四面體的外接球的圓心為，半徑為，所以正四面體的外接球的體積是．故答案為：；．題型三：對棱相等模型例13．（2023?讓胡路區(qū)校級模擬）在四面體中，若，，，則四面體的外接球的表面積為A． B． C． D．【解析】解：如下圖所示，將四面體放在長方體內(nèi)，設該長方體的長、寬、高分別為、、，則長方體的體對角線長即為長方體的外接球直徑，設該長方體的外接球半徑為，由勾股定理得，上述三個等式全加得，所以，該四面體的外接球直徑為，因此，四面體的外接球的表面積為，故選：．例14．已知四面體中，，，，若該四面體的各個頂點都在同一球面上，則此球的表面積為A． B． C． D．【解析】解：由題意，四面體擴充為長方體，且面上的對角線分別為，，，長方體的對角線長為，球的半徑為，此球的表面積為．故選：．例15．如圖，在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的體積為A． B． C． D．【解析】解：由題意，，，，將三棱錐放到長方體中，可得長方體的三條對角線分別為，2，，即，，，解得：，，．外接球的半徑．三棱錐外接球的體積．故選：．例16．（2023?永安市校級期中）在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為A． B． C． D．【解析】解：三棱錐中，，，，構(gòu)造長方體，使得面上的對角線長分別為4，5，，則長方體的對角線長等于三棱錐外接球的直徑．設長方體的棱長分別為，，，則，，，，三棱錐外接球的直徑為，三棱錐外接球的表面積為．故選：．例17．（2023?羅湖區(qū)月考）已知在四面體中，，則四面體的外接球表面積為．【解析】解：如下圖所示，將四面體放在長方體內(nèi)，在四面體中，，設該長方體的長、寬、高分別為2、2、1，則長方體的體對角線長即為長方體的外接球直徑，設該長方體的外接球半徑為，所以，該四面體的外接球直徑為，因此，四面體的外接球的表面積為，故答案為：．例18．（2023?三模擬）在四面體中，，，，則其外接球的表面積為．【解析】解：如下圖所示，將四面體放在長方體內(nèi)，設該長方體的長、寬、高分別為、、，則長方體的體對角線長即為長方體的外接球直徑，設該長方體的外接球半徑為，由勾股定理得，上述三個等式全加得，所以，該四面體的外接球直徑為，因此，四面體的外接球的表面積為，故答案為：．題型四：直棱柱模型例19．（2023·山西·太原五中高一階段練習）在直三棱柱中，若，則該直三棱柱外接球的表面積為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由題意可得三棱柱的上下底面為直角三角形，取直角三角形斜邊的中點，直三棱柱的外接球的球心O為上下底面的外接圓圓心的連線的中點，連接AO，，設外接球的半徑為R，下底面外接圓的半徑為r，r=，則，該直三棱柱外接球的表面積為，故選：C例20．（2023·安徽·合肥市第六中學高一期中）設直三棱柱的所有頂點都在一個球面上，，，且底面的面積為，則此直三棱柱外接球的表面積是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】設，因為，所以，，而，所以（于是是外接圓的半徑），，即，如圖，設分別是和的外接圓圓心，由直棱柱的性質(zhì)知的中點是三棱柱的外接球球心，，所以外接球為．于是球的表面積為．故選：C．例21．（2023·河南·高三階段練習（文））已知正六棱柱的每個頂點都在球O的球面上，且，，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因為，所以正六邊形ABCDEF外接圓的半徑，所以球O的半徑，故球O的表面積為．故選：D例22．（2023·全國·高二課時練習）表面積為81π的球，其內(nèi)接正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的高是7，則這個正四棱柱的底面邊長為______．答案：4【解析】由題意知：正四棱柱的體對角線即為球的直徑，設球的半徑為，則，解得，設正四棱柱的底面邊長為，則，解得．故答案為：4．例23．（2023·河南·高三階段練習（理））已知正三棱柱的外接球表面積為，則正三棱柱的所有棱長之和的最大值為______．答案：【解析】由已知可得正三棱柱的外接球的球心為上下底面中心連線的中點，由外接球的表面積求出外接球半徑，由底面邊長求出底面外接圓半徑，求出球心到底面的距離，進而求出正三棱柱的高，即可求出結(jié)論，【詳解】設正三棱柱上下底面中心分別為，連，取中點為正三棱柱外接球的球心，連為外接球的半徑，如圖，，設正三棱柱的底面邊長為x，，在中，，三棱柱的所有棱長之和為．，令，解得，當時，，當時，，所以是函數(shù)在定義域內(nèi)有唯一極大值點，故當時，有最大值．故答案為：．例24．（2023·浙江·高二期中）在直三棱柱中，且，已知該三棱柱的體積為2，則此三棱柱外接球表面積的最小值為______．答案：【解析】設BC的中點為D，的中點為，，由題，得三棱柱外接球的球心在線段的中點O處，由三棱柱的體積為2，得，即，由題，得，所以，外接球表面積．故答案為：題型五：直棱錐模型例25．（2023·青?！ず|市第一中學模擬預測（理））已知四棱錐P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，，若四棱錐P-ABCD外接球的表面積為，則四棱錐P-ABCD的體積為（

）A．3 B．2 C． D．1答案：D【解析】設四棱錐P-ABCD外接球的半徑為R，則，即．由題意，易知，得，設，得，解得，所以四棱錐P-ABCD的體積為．故選：D例26．（2023·全國·高三專題練習）《九章算術》中將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．若三棱錐為鱉臑，平面，，，，三棱錐的四個頂點都在球的球面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】如圖所示，作邊上的中點，邊上的中點，連接平面，可得：，可得：為球的球心，為球的半徑在直角三角形中，可得：在直角三角形中，可得：故球的表面積為：故選：D例27．（2023·廣西·賓陽中學高一階段練習）已知三棱錐中，平面，，三棱錐外接球的表面積為，則球的體積為_______，異面直線，所成角的余弦值為________．答案：

；【解析】由外接球表面積可知，解得，所以球的體積，如圖，設球心為，為中點，為中心，連接，，因為為中心，球心為，所以平面，又平面，所以，由可知，異面直線，所成角為，在中，，故答案為：；．例28．（2023·河南·新鄉(xiāng)市第一中學高一期末）已知三棱錐中，平面，，，，則三棱錐外接球的表面積為______．答案：【解析】如下圖所示：圓柱的底面圓直徑為，母線長為，則的中點到圓柱底面圓上每點的距離都相等，則為圓柱的外接球球心，球的半徑為，可將三棱錐置于圓柱內(nèi)，使得圓為的外接圓，如下圖所示：由正弦定理可知圓的直徑為，所以，三棱錐外接球的半徑，因此，三棱錐外接球的表面積為．故答案為：．例29．（2023·青海·海東市第一中學模擬預測（文））已知在三棱錐中，，，，平面，則三棱錐的外接球的表面積是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】在中，由余弦定理得：，，外接圓半徑，又平面，三棱錐的外接球半徑，則三棱錐的外接球的表面積．故選：A．例30．（2023·全國·高一階段練習）已知三棱錐中，，底面，，，則該三棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】解：如圖所示，將三棱錐放在長、寬、高分別為，，的長方體中，則三棱錐的外接球即為該長方本的外接球，所以外接球的直徑，∴該球的體積為．故選：B例31．（2023·河北滄州·高一期末）已知在三棱錐中，平面，，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因平面，平面，則，而，則，三棱錐的外接球截平面所得小圓圓心是正的中心，，連，則平面，取線段的中點，則球的球心在過E垂直于直線的垂面上，連，如圖，則四邊形是矩形，，因此，球的半徑有：，所以三棱錐外接球的表面積．故選：C題型六：正棱錐與側(cè)棱相等模型例32．（2023·江西·高三階段練習（文））在正三棱錐中，，P到平面ABC的距離為2，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因為，由正三棱錐的性質(zhì)知，PA，PB，PC兩兩垂直且相等．設，則．根據(jù)，得，解得．設三棱錐外接球的半徑為，則，所以．故所求外接球的表面積為．故選：A．例33．（2023·江蘇·高一課時練習）如圖在正三棱錐中，分別是棱的中點，為棱上的一點，且，，若，則此正三棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因為在中，分別是棱的中點，所以，因為，所以，因為三棱錐為正三棱錐，所以（對棱垂直），又因為面，，所以面，因為面，所以，在中，，因為三棱錐為正三棱錐，所以是等腰三角形，是等邊三角形，所以，，所以，即，所以兩兩垂直，將此三棱錐放入正方體中，此正方體的面對角線長等于長，為，則該正方體棱長為，外接球半徑，正方體外接球體積，此正三棱錐的外接球體積和正方體外接球體積相同，為．故選：D例34．（2023·重慶市實驗中學高一階段練習）三棱錐體積為，且，則三棱錐外接球的表面積為____________．答案：【解析】三棱錐中，取BC中點D，連PD，連AD并延長至O1，使DO1=AD，連接BO1，CO1，PO1，如圖：于是得四邊形為平行四邊形，而，是菱形，在中，，由余弦定理有，即，則，是正三角形，，于是得O1是外接圓圓心，因，D為BC中點，則PD⊥BC，又AO1⊥BC，，平面，從而有平面，，同理，而，從而得平面，由球的截面小圓性質(zhì)知，三棱錐外接球球心O在直線上，又，則，解得，設球O的半徑為R，則，，中，，即，解得，則球O的表面積為，所以三棱錐外接球的表面積為．故答案為：例35．（2023·重慶·高二期末）如圖，在三棱錐中，，二面角的余弦值為，若三棱錐的體積為，則三棱錐外接球的表面積為______．答案：【解析】取的中點，連接，，過點A作，交DE的延長線于點，所以為二面角的平面角，設，則，，所以，所以，EH=，因為三棱錐的體積為，所以，解得：，，設外接圓的圓心為，三棱錐外接球的球心為，連接，，，過點O作OF⊥AH于點F，則，，，，設，則，，由勾股定理得：，解得：，所以三棱錐外接球的半徑滿足，則三棱錐的外接球的表面積為．故答案為：．例36．（2023·全國·高一期末）在正三棱錐中，，正三棱錐的體積是，則正三棱錐外接球的表面積是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】如圖所示，設點G為的外心，則平面，由，∴，則三棱錐的外接球的球心O在直線上．設其外接球的半徑為R，由正弦定理得，在中，，由勾股定理得，即，解得．正三棱錐外接球的表面積是，故選：C．例37．（2023·天津市咸水沽第一中學模擬預測）已知正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長為1，則此三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由題意，正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長為1，此三棱錐可補形為一個棱長為1的正方體，三棱錐的外接球與補成的棱長為1的正方體的外接球為同一個球，設正方體的外接球的半徑為，可得，即，所以此三棱錐的外接球的表面積為．故選：B．例38．（2023·河南安陽·高二階段練習（理））如圖，在三棱錐中，，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】如圖1，過作垂足為，取的中點，連接過作∥，且=，連接，則∵△為等邊三角形，則∴，，根據(jù)題意可得∵，則由題意可得，則，則如圖2，∵，則頂點在平面的投影為△的外接圓圓心，則三棱錐的外接球的球心在直線上，連接，則∴△的外接圓半徑，則設棱錐的外接球的半徑為，則即，解得三棱錐的外接球的表面積為故選：D．例39．（2023·江蘇南通·高三期末）已知正四棱錐的底面邊長為，側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角為45°，頂點P，A，B，C，D在球O的球面上，則球O的體積是（

）A．16π B． C．8π D．答案：B【解析】在正四棱錐中，連接AC，BD，，連，如圖，則有平面，為側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角，即，于是得，因此，頂點P，A，B，C，D在以為球心，2為半徑的球面上，即點O與重合，所以球O的體積是．故選：B例40．（2023·全國·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上．若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】∵球的體積為，所以球的半徑，設正四棱錐的底面邊長為，高為，則，，所以，所以正四棱錐的體積，所以，當時，，當時，，所以當時，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時，，時，，所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是．故選：C．題型七：側(cè)棱為外接球直徑模型例41．（2023?五華區(qū)校級期末）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，，，，為球的直徑，，則這個三棱錐的體積為A． B． C． D．【解析】解：如圖所示，由條件為直角三角形，則斜邊的中點為的外接圓的圓心，連接得平面，，，，平面，三棱錐的體積為．故選：．例42．（2023?紅花崗區(qū)校級月考）已知三棱錐的所有頂點都在同一個球面上，是邊長為2的正三角形，為球的直徑，若該三棱錐的體積為，則該球的表面積A． B． C． D．【解析】解：根據(jù)題意作出圖形：設球心為，過三點的小圓的圓心為，則平面，延長交球于點，則平面．該三棱錐的體積為，，解得，為球的直徑，，，球半徑．該球的表面積．故選：．例43．（2023?撫順校級月考）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，為球的直徑，且，，為等邊三角形，三棱錐的體積為，則球的表面積為A． B． C． D．【解析】解：設球心為，球的半徑．，，平面，三棱錐的體積可看成是兩個小三棱錐和的體積和．，，球的表面積為．故選：．例44．（2023?永春縣校級月考）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是邊長為1的正三角形，為球的直徑，且，則此棱錐的體積為A． B． C． D．【解析】解：設球心為，過，，三點的小圓的圓心為，則平面，延長交球于點，則平面，因為，所以，故高，因為是邊長為1的正三角形，所以，故．故選：．例45．（2023?本溪月考）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是邊長為1的正三角形，為球的直徑，且；則棱錐A． B． C． D．【解析】解：根據(jù)題意作出圖形：設球心為，過三點的小圓的圓心為，則平面，延長交球于點，則平面．，，高，是邊長為1的正三角形，，．，，棱錐．故選：．例46．（2023?云南校級月考）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是邊長為2的正三角形，為球的直徑，且，則此棱錐的體積為A． B． C． D．【解析】解：因為是邊長為2的正三角形，所以外接圓的半徑，所以點到平面的距離，為球的直徑，點到平面的距離為，此棱錐的體積為，故選：．題型八：共斜邊拼接模型例47．在矩形中，，沿將矩形折成一個直二面角，則四面體的外接球的體積為（）A．B．C．D．【解析】設矩形對角線的交點為，則由矩形對角線互相平分，可知．∴點到四面體的四個頂點的距離相等，即點為四面體的外接球的球心，如圖2所示．∴外接球的半徑．故．選C．例48．三棱錐中，平面平面，，，，則三棱錐的外接球的半徑為【解析】是公共的斜邊，的中點是球心，球半徑為．例49．在平行四邊形中，滿足，，若將其沿折成直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為A． B． C． D．【解析】平行四邊形中，，，，沿折成直二面角，平面平面三棱錐的外接球的直徑為，外接球的半徑為1，故表面積是．故選：．例50．在平行四邊形中，，，若將其沿折成直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為A． B． C． D．【解析】平行四邊形中，，，沿折成直二面角，平面平面，三棱錐的外接球的直徑為，外接球的半徑為1，故表面積是．故選：．例51．（2023·全國·高一期末）已知三棱錐A-BCD中，，，則此幾何體外接球的表面積為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】如圖，O為CD的中點，根據(jù)題意，和都是直角三角形，且是三棱錐外接球的球心，且外接球的半徑所以外接球的表面積為：．故選：D．例52．（2023·江西·高二階段練習（理））如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是菱形，底面ABCD，是對角線與的交點，若，，則三棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】解：∵底面ABCD為菱形，∴，又底面ABCD，∴，∴平面PBD，∴，即，取PC的中點M，如下圖：連結(jié)BM，OM，在中，MB=MC=MP=PC，在中MO=PC，∴點M為三棱椎P-BOC的外接球的球心，在中，由于，O是AC的中點，所以是等腰三角形，

，外接球半徑為，外接球的體積為；故選：B．題型九：垂面模型例53．已知是以為斜邊的直角三角形，為平面外一點，且平面平面，，，，則三棱錐外接球的表面積為．【解析】由題意知的中點為外接圓的圓心，且平面平面過作面的垂線，則垂線一定在面內(nèi)．根據(jù)球的性質(zhì)，球心一定在垂線上，球心一定在平面內(nèi)，且球心也是外接圓的圓心．在中，由余弦定理得，，由正弦定理得：，解得，三棱錐的外接球的表面積．故答案為：．例54．已知點是以為直徑的圓上異于，的動點，為平面外一點，且平面平面，，，，則三棱錐外接球的表面積為．【解析】因為為外接圓的圓心，且平面平面，過作面的垂線，則垂線一定在面內(nèi)，根據(jù)球的性質(zhì)，球心一定在垂線，球心一定在面內(nèi)，即球心也是外接圓的圓心，在中，由余弦定理得，，由正弦定理得：，解得，三棱錐外接球的表面積為，故答案為：．例55．在三棱錐中，，，，平面平面，則三棱錐外接球的表面積為．【解析】如圖，設的外接圓的圓心為連接，，，連接．由題意可得，且，．因為平面平面，且，所以平面，且．設為三棱錐外接球的球心，連接，，，過作，垂足為，則外接球的半徑滿足，即，解得，從而，故三棱錐外接球的表面積為．故答案為：．例56．在菱形中，，將這個菱形沿對角線折起，使得平面平面，若此時三棱錐的外接球的表面積為，則的長為．【解析】取的中點，連接，，在等邊三角形中，，在等邊三角形中，，由平面平面，，平面平面，可得平面，即有，為等腰直角三角形，設三棱錐的外接球的球心為，半徑設為，底面的中心為，面的外心為，則，，在直角三角形中，．而，解得，則，解得，故答案為：．例57．在邊長為菱形中，，將這個菱形沿對角線折起，使得平面平面，若此時三棱錐的外接球的表面積為，則A． B． C． D．3【解析】取的中點，連接，，在等邊三角形中，，在等邊三角形中，，由平面平面，，平面平面，可得平面，即有，為等腰直角三角形，設三棱錐的外接球的球心為，半徑設為，底面的中心為，在直角三角形中，，而，解得，則，解得，故選：．例58．在三棱錐中，平面平面，，且直線與平面所成角的正切值為2，則該三棱錐的外接球的表面積為A． B． C． D．【解析】如圖，過點作于，為的中點，設的外心是，半徑是，連接，，，由正弦定理得，則，為的中點，，，所以，因為平面平面，于，平面平面，則平面，所以直線與平面所成的角是，則，即，因為，所以，則，故，設三棱錐外接球球心是，連接，，，過作于，則平面，于是，從而是矩形，所以外接球半徑滿足，解得．所以外接球的表面積為．故選：．例59．已知在三棱錐中，是等邊三角形，，平面平面，若該三棱錐的外接球表面積為，則A． B． C． D．【解析】設外接球球心，半徑，由題意可得，，解可得，根據(jù)題意可得為正三角形的中心，因為，所以，，所以正三角形的邊長為，由可得，因為平面平面，所以，所以．故選：．例60．如圖，已知四棱錐的底面為矩形，平面平面，，，則四棱錐的外接球的表面積為A． B． C． D．【解析】取的中點，連接，中，，，，，設的中心為，球心為，則，設到平面的距離為，則，，，四棱錐的外接球的表面積為．故選：．題型十：最值模型例61．（2023·河南省杞縣高中模擬預測（文））在邊長為6的菱形ABCD中，，現(xiàn)將沿BD折起到的位置，當三棱錐的體積最大時，三棱錐的外接球的表面積為（

）A．60π B．45π C．30π D．20π答案：A【解析】當三棱錐的體積最大值時，平面平面，如圖，取的中點為，連接，則．設分別為，外接圓的圓心，為三棱錐的外接球的球心，則在上，在上，且,且平面，平面．平面平面，平面平面，平面，平面，，同理四邊形為平行四邊形平面，平面，即四邊形為矩形．外接球半徑外接球的表面積為故選：A．例62．已知，是球的球面上兩點，，為該球面上的動點，若三棱錐體積的最大值為36，則球的表面積為A． B． C． D．【解析】如圖所示，當點位于垂直于面的直徑端點時，三棱錐的體積最大，設球的半徑為，此時，故，則球的表面積為，故選：．例63．已知三棱錐的頂點，，都在半徑為2的球面上，是球心，，當與的面積之和最大時，三棱錐的體積為A． B． C． D．【解析】設球的半徑為，因為，所以當時，取得最大值，此時，所以平面，所以．例64．體積為的正三棱錐的每個頂點都在半徑為的球的球面上，球心在此三棱錐內(nèi)部，且，點為的中點，過點作球的截面，則所得截面圓面積的最小值是．【解析】設，則，因為體積為的正三棱錐的每個頂點都在半徑為的球的球面上，所以，解得．由，得或（舍），所以．由題意知點為的中點，在中，，解得，所以當截面垂直于時，截面圓的半徑為，故截面圓面積的最小值是．例65．已知底面為正三角形的三棱柱內(nèi)接于半徑為1的球，則三棱柱的體積的最大值為．【解析】解過球心作平面，則為正三角形的中心，連結(jié)，則．設三棱柱的底面邊長為，則．．．棱柱的高．棱柱的體積．令．則，令得或（舍或（舍．當時，，當時，．當時，（a）取得最大值，當時，取得最大值1．故答案為1．例66．已知底面為正三角形的直三棱柱內(nèi)接于半徑為1的球，當三棱柱的體積最大時，三棱柱的高為．【解析】如圖所示，設為外接球球心，三棱柱的高為，則由題意可知，，，，，此時三棱柱的體積為，其中．令，則，令，則，當時，，函數(shù)增，當時，，函數(shù)減．故當三棱柱的體積最大時，三棱柱的高為．故答案為：．例67．如圖，四邊形的面積為，且，把繞旋轉(zhuǎn)，使點運動到，此時向量與向量的夾角為．則四面體外接球表面積的最小值為A． B． C． D．【解析】由題意，設，，，向量與向量的夾角為．則，四面體外接球為，當且僅當時，取等號，故四面體外接球表面積的最小值．故選：．例68．已知長方體的體積，，若四面體的外接球的表面積為，則的最小值為A． B． C． D．【解析】設，，由于，所以．根據(jù)長方體的對稱性可知四面體的外接球的即為長方體的外接球，所以，所以（當且僅當，等號成立）．故選：．例69．如圖，在四棱錐中，頂點在底面的投影恰為正方形的中心且，設點、分別為線段、上的動點，已知當取得最小值時，動點恰為的中點，則該四棱錐的外接球的表面積為A． B． C． D．【解析】在上取點，使得，則，當時，取得最小值，即的最小值為，為的中點，故而為的中點，，，設外接球的半徑為，則，解得：．外接球的表面積為．故選：．題型十一：二面角模型例70．（2023·全國·高三專題練習（文））在三棱錐A-BCD中，，，二面角A-BD-C是鈍角．若三棱錐A-BCD的體積為2，則A-BCD的外接球的表面積是（

）A．12π B．13π C． D．答案：B【解析】如圖1，取中點，連接，則，，又，平面，所以平面，，所以，又，，，又由，，知為二面角的平面角，此角為鈍角，所以，所以，因此四面體可以放置在一個長方體中，四面體的六條棱是長方體的六個面對角線，如圖2，此長方體的外接球就是四面體的外接球，設長方體的棱長分別為，則，解得，所以外接球的直徑為，，球表面積為．故選：B．圖1圖2例71．（2023·河南·高三階段練習（理））在三棱錐中，是邊長為的等邊三角形，，二面角是150°，則三棱錐外接球的表面積是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】如圖，作平面ABC，垂足為E，連接BE，記，連接PD．由題意可得D為AC的中點．在中，，D為AC的中點，因為，所以，則．因為二面角是150°，所以，所以，．因為是邊長為的等邊三角形，且D為AC的中點，所以．設為外接圓的圓心，則．設三棱錐外接球的球心為O，因為，所以O在平面ABC下方，連接，OB，OP，作，垂足為H，則，．設三棱錐外接球的半徑為，，即，解得，故三棱錐外接球的表面積是．故選：A．例72．（2023·全國·高三專題練習）在三棱錐中，為等腰直角三角形，，為正三角形，且二面角的平面角為，則三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】如圖所示，為直角三角形，又，所以，因為為正三角形，所以，連接，為的中點，E為中點，則，所以為二面角的平面角所以．因為為直角三角形，E為中點，所以點為的外接圓的圓心，設G為的中心，則G為的外接圓圓心．過E作面的垂線，過G作面的垂線，設兩垂線交于O．則O即為三棱錐的外接球球心．設與交于點H，，所以,，∴．所以，故選：C．例73．（2023·陜西·寶雞中學模擬