黃金卷05-【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考Ⅰ卷專用）（含解析）

【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考Ⅰ卷專用）黃金卷05（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．2．設(shè)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．4．某地投資億元進(jìn)行基礎(chǔ)建設(shè)，年后產(chǎn)生的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益為億元，若該地投資基礎(chǔ)建設(shè)4年后產(chǎn)生的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益是投資額的2倍，且再過年，該項(xiàng)投資產(chǎn)生的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益是投資額的16倍，則（

）A．4 B．8 C．12 D．165．某大學(xué)強(qiáng)基測試有近千人參加，每人做題最終是否正確相互獨(dú)立，其中一道選擇題有5個(gè)選項(xiàng)，假設(shè)若會(huì)做此題則必能答對.參加考試的同學(xué)中有一部分同學(xué)會(huì)做此題；有一半的同學(xué)完全不會(huì)，需要在5個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)蒙一個(gè)選項(xiàng)；剩余同學(xué)可以排除一個(gè)選項(xiàng)，在其余四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)蒙一個(gè)選項(xiàng)，最終統(tǒng)計(jì)該題的正答率為30%，則真會(huì)做此題的學(xué)生比例最可能為（

）A．5% B．10% C．15% D．20%6．設(shè)函數(shù)，且在上單調(diào)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．是的一個(gè)對稱中心B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)镈．先將的圖象的橫坐標(biāo)縮短為原來的，然后向左平移個(gè)單位得到的圖象7．已知，，，則（

）A． B．C． D．8．油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，北京市文化宮開展油紙傘文化藝術(shù)節(jié)活動(dòng)中，某油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該傘傘沿是一個(gè)半徑為2的圓，圓心到傘柄底端距離為2，當(dāng)陽光與地面夾角為時(shí)，在地面形成了一個(gè)橢圓形影子，且傘柄底端正好位于該橢圓的長軸上，若該橢圓的離心率為e，則（

）

A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，則（

）A．與是異面直線B．存在點(diǎn)，使得，且平面C．與平面所成角的余弦值為D．點(diǎn)到平面的距離為10．已知函數(shù)，則（

）A． B．恰有5個(gè)零點(diǎn)C．必有極值點(diǎn) D．在上單調(diào)遞減11．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn)，直線、分別交于、，則（

）A．的準(zhǔn)線方程為 B．C．的最小值為 D．的最小值為12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，所得曲線仍然是某個(gè)函數(shù)的圖象，則稱為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，則（

）A．存在“90°旋轉(zhuǎn)函數(shù)”B．“70°旋轉(zhuǎn)函數(shù)”一定是“80°旋轉(zhuǎn)函數(shù)”C．若為“45°旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，則D．若為“45°旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，則第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，且，若的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則展開式中的系數(shù)為.14．已知圓和兩點(diǎn)，.若圓上存在點(diǎn)，使得，則的最大值為．15．已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù).若以點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓在x軸上方的部分恰好是圖像的一部分，則的解析式為.16．如圖，對于曲線G所在平面內(nèi)的點(diǎn)O，若存在以O(shè)為頂點(diǎn)的角，使得對于曲線G上的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)恒有成立，則稱角為曲線G的相對于點(diǎn)O的“界角”，并稱其中最小的“界角”為曲線G的相對于點(diǎn)O的“確界角”.已知曲線C：（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線C的相對于點(diǎn)O的“確界角”為，則.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。17．（10分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和．18．（12分）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且向量，，.(1)求角A的大??；(2)若為上一點(diǎn)，且，，求面積的最大值.19．（12分）如圖，已知四邊形和都是直角梯形，，，，，，，且二面角的大小為．

(1)證明：平面平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得二面角的大小為，若存在，請求出點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由．20．（12分）已知，.(1)函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.(2)當(dāng)時(shí)，證明：（其中），使得.21．（12分）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)的距離和它到直線距離之比為2；(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)直線l在x軸上方與x軸平行，交曲線C于A，B兩點(diǎn)，直線l交y軸于點(diǎn)D.設(shè)OD的中點(diǎn)為M，是否存在定直線l，使得經(jīng)過M的直線與C交于P，Q，與線段AB交于點(diǎn)N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由.22．（12分）某種植物感染病毒極易死亡，當(dāng)?shù)厣镅芯克鶠榇搜邪l(fā)出了一種抗病毒的制劑．現(xiàn)對20株感染了病毒的該植株樣本進(jìn)行噴霧試驗(yàn)測試藥效．測試結(jié)果分“植株死亡”和“植株存活”兩個(gè)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并對植株吸收制劑的量（單位：毫克）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．規(guī)定植株吸收在6毫克及以上為“足量”，否則為“不足量”．現(xiàn)對該20株植株樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其中“植株存活”的13株，對制劑吸收量統(tǒng)計(jì)得下表．已知“植株存活”但“制劑吸收不足量”的植株共1株．編號12345678910吸收量（毫克）6838956627編號11121314151617181920吸收量（毫克）75106788469(1)補(bǔ)全列聯(lián)表中的空缺部分，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“植株的存活”與“制劑吸收足量”有關(guān)？吸收足量吸收不足量合計(jì)植株存活1植株死亡合計(jì)20(2)現(xiàn)假設(shè)該植物感染病毒后的存活日數(shù)為隨機(jī)變量（可取任意正整數(shù)）．研究人員統(tǒng)計(jì)大量數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn)：對于任意的，存活日數(shù)為的樣本在存活日數(shù)超過的樣本里的數(shù)量占比與存活日數(shù)為1的樣本在全體樣本中的數(shù)量占比相同，均等于0.1，這種現(xiàn)象被稱為“幾何分布的無記憶性”．試推導(dǎo)的表達(dá)式，并求該植物感染病毒后存活日數(shù)的期望的值．附：，其中；當(dāng)足夠大時(shí)，．0.0100.0050.0016.6357.87910.828【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考Ⅰ卷專用）黃金卷05（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解分式不等式、指數(shù)函數(shù)值域求集合，再由集合的交運(yùn)算求結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，，所以.故選：C2．設(shè)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】由的周期性化簡，計(jì)算后判斷所求復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)的象限.【詳解】由復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則設(shè)，由得，由，得復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限.故選：B.3．在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可知：為的重心，結(jié)合向量的線性運(yùn)算結(jié)合重心的性質(zhì)分析求解.【詳解】設(shè)，由題意可知：為的重心，且為的中點(diǎn)，可知四點(diǎn)共線，且，所以.故選：A.4．某地投資億元進(jìn)行基礎(chǔ)建設(shè)，年后產(chǎn)生的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益為億元，若該地投資基礎(chǔ)建設(shè)4年后產(chǎn)生的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益是投資額的2倍，且再過年，該項(xiàng)投資產(chǎn)生的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益是投資額的16倍，則（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【分析】由求出的值，再令求出，從而求出.【詳解】依題意，顯然，即，所以，則，所以，令，即，所以，即，所以，所以該地投資基礎(chǔ)建設(shè)年后產(chǎn)生的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益是投資額的倍，所以.故選：C5．某大學(xué)強(qiáng)基測試有近千人參加，每人做題最終是否正確相互獨(dú)立，其中一道選擇題有5個(gè)選項(xiàng)，假設(shè)若會(huì)做此題則必能答對.參加考試的同學(xué)中有一部分同學(xué)會(huì)做此題；有一半的同學(xué)完全不會(huì)，需要在5個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)蒙一個(gè)選項(xiàng)；剩余同學(xué)可以排除一個(gè)選項(xiàng)，在其余四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)蒙一個(gè)選項(xiàng)，最終統(tǒng)計(jì)該題的正答率為30%，則真會(huì)做此題的學(xué)生比例最可能為（

）A．5% B．10% C．15% D．20%【答案】B【分析】設(shè)測試總?cè)藬?shù)為，真會(huì)做此題的學(xué)生人數(shù)為，再由已知列式計(jì)算得解.【詳解】設(shè)測試總?cè)藬?shù)為，真會(huì)做此題的學(xué)生人數(shù)為，依題意，，解得.故選：B6．設(shè)函數(shù)，且在上單調(diào)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．是的一個(gè)對稱中心B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)镈．先將的圖象的橫坐標(biāo)縮短為原來的，然后向左平移個(gè)單位得到的圖象【答案】C【分析】先求得，然后根據(jù)三角函數(shù)的對稱性、值域、三角函數(shù)圖象變換等知識求得正確答案.【詳解】依題意，，，，，并化簡得，，是偶數(shù)，由③得，所以，代入①得，而，所以，所以.A選項(xiàng)，，所以是的一個(gè)對稱中心，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，，所以，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，先將的圖象的橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到，然后向左平移個(gè)單位得到，所以D選項(xiàng)正確.故選：C7．已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】對平方可得，再構(gòu)造，對求導(dǎo)，得出的單調(diào)性可知，所以時(shí),，即可得比較的大小，即可得出答案.【詳解】，，∴.在B，C中選，比較a，b大小，令，，令，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以時(shí),，則，即，故.故選：C.8．油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，北京市文化宮開展油紙傘文化藝術(shù)節(jié)活動(dòng)中，某油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該傘傘沿是一個(gè)半徑為2的圓，圓心到傘柄底端距離為2，當(dāng)陽光與地面夾角為時(shí)，在地面形成了一個(gè)橢圓形影子，且傘柄底端正好位于該橢圓的長軸上，若該橢圓的離心率為e，則（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意先求得短半軸長，再根據(jù)正弦定理求得，進(jìn)而根據(jù)離心率的公式求解即可【詳解】因傘柄底端正好位于該橢圓的長軸上，由圖可知，橢圓的短半軸長，在中，，由正弦定理得：，所以，

故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，則（

）A．與是異面直線B．存在點(diǎn)，使得，且平面C．與平面所成角的余弦值為D．點(diǎn)到平面的距離為【答案】BC【分析】A選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)得到與平行；B選項(xiàng)，先求出，得到平面的法向量，根據(jù)數(shù)量積為0得到，得到平面；C選項(xiàng)，先求出與平面所成角的正弦值，進(jìn)而求出余弦值；D選項(xiàng)，求出平面的法向量，根據(jù)點(diǎn)到平面距離公式求出答案.【詳解】A選項(xiàng)，以作坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，則，由于，故與平行，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，設(shè)，因?yàn)?，所以，即，解得，故，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，則，因?yàn)?，故，平面，故存在點(diǎn)，使得，且平面，B正確；C選項(xiàng)，平面的法向量為，故與平面所成角的正弦值為，則與平面所成角的余弦值為，C正確；D選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，則點(diǎn)到平面的距離為，D錯(cuò)誤.故選：BC10．已知函數(shù)，則（

）A． B．恰有5個(gè)零點(diǎn)C．必有極值點(diǎn) D．在上單調(diào)遞減【答案】BCD【分析】代入求值判斷A，根據(jù)零點(diǎn)定義結(jié)合余弦函數(shù)方程根判斷B，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)、單調(diào)性判斷CD.【詳解】對于A，，錯(cuò)誤；對于B，，令得，所以或，又，所以或或或或，解得或或或或，即恰有5個(gè)零點(diǎn)，正確；對于C，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，由零點(diǎn)存在性定理知在上存在異號零點(diǎn)，則在必有極值點(diǎn)，正確；對于D，當(dāng)時(shí)，，，所以，當(dāng)時(shí)，，，所以，，所以，所以時(shí)，所以，所以在上單調(diào)遞減，正確.故選：BCD11．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn)，直線、分別交于、，則（

）A．的準(zhǔn)線方程為 B．C．的最小值為 D．的最小值為【答案】ABD【分析】利用拋物線的方程求出準(zhǔn)線方程，可判斷A選項(xiàng)；設(shè)出直線的方程，將該直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷B選項(xiàng)；利用拋物線的焦半徑以及基本不等式可判斷C選項(xiàng)；利用韋達(dá)定理結(jié)合基本不等式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，對于拋物線，，可得，所以，拋物線的準(zhǔn)線方程為，A對；對于B選項(xiàng)，若直線與軸重合，此時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，，所以，，，則，則，B對；對于C選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，故的最小值為，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，判別式為，由韋達(dá)定理可得，，同理可得，，同理可得，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，的最小值為，D對.故選：ABD.12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，所得曲線仍然是某個(gè)函數(shù)的圖象，則稱為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，則（

）A．存在“90°旋轉(zhuǎn)函數(shù)”B．“70°旋轉(zhuǎn)函數(shù)”一定是“80°旋轉(zhuǎn)函數(shù)”C．若為“45°旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，則D．若為“45°旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，則【答案】ACD【分析】對A，舉例說明即可；對B，舉反例判斷即可；根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的定義逐個(gè)判斷即可；對CD，將旋轉(zhuǎn)函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)與任意斜率為1的函數(shù)最多一個(gè)交點(diǎn)，再聯(lián)立函數(shù)與直線的方程，分析零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷即可．【詳解】對于A，如，旋轉(zhuǎn)90°后為滿足條件，故A正確；對于B，如傾斜角為的直線是旋轉(zhuǎn)函數(shù)，不是旋轉(zhuǎn)函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對與C，若為旋轉(zhuǎn)函數(shù)，則根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，不存在與軸垂直的直線，使得直線與函數(shù)有1個(gè)以上的交點(diǎn)．故不存在傾斜角為的直線與的函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．即與至多1個(gè)交點(diǎn)．聯(lián)立，可得．當(dāng)時(shí)，最多1個(gè)解，滿足題意；當(dāng)時(shí)，的判別式，對任意的，都存在使得判別式大于0，不滿足題意，故．故C正確；對與D，同C，與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)小于等于1，即對任意的，至多1個(gè)解，故為單調(diào)函數(shù)，由，故恒成立，即恒成立．即圖象在上方，故，即．當(dāng)與相切時(shí)，可設(shè)切點(diǎn)，對求導(dǎo)有，故，解得，此時(shí)，故．故D正確．故選：ACD．

【點(diǎn)睛】數(shù)學(xué)中的新定義題目解題策略：①仔細(xì)閱讀，理解新定義的內(nèi)涵；②根據(jù)新定義，對對應(yīng)知識進(jìn)行再遷移.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，且，若的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則展開式中的系數(shù)為.【答案】6【分析】根據(jù)展開式通項(xiàng)公式及存在常數(shù)項(xiàng)確定，再求出展開式中含的項(xiàng)即可得解.【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為，因?yàn)榇嬖诔?shù)項(xiàng)，所以，故只有當(dāng)時(shí)滿足題意，即求展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)，令，即，所以展開式中含的項(xiàng)為，所以展開式中的系數(shù)為6.故答案為：614．已知圓和兩點(diǎn)，.若圓上存在點(diǎn)，使得，則的最大值為．【答案】11【分析】首先判斷點(diǎn)在以為直徑的圓上（不能是兩點(diǎn)），將問題化為兩圓有交點(diǎn)求參數(shù)范圍，即可得最大值.【詳解】由題意得：圓的圓心，半徑，∵，則點(diǎn)在以為直徑的圓上（不能是兩點(diǎn)），以為直徑的圓的圓心為，半徑，注意到圓心到y(tǒng)軸的距離為，即y軸與圓相離，由題意得：圓與圓有公共點(diǎn)（由于y軸與圓相離，公共點(diǎn)不可能為），且,則，即，解得，故的最大值為11.故答案為：1115．已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù).若以點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓在x軸上方的部分恰好是圖像的一部分，則的解析式為.【答案】【分析】求出給定圓的方程，再根據(jù)給定條件結(jié)合奇函數(shù)的定義求出的解析式.【詳解】以點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓的方程為，則該圓在x軸上方的部分的方程為，由是奇函數(shù)，得，當(dāng)時(shí)，，，所以的解析式為.故答案為：16．如圖，對于曲線G所在平面內(nèi)的點(diǎn)O，若存在以O(shè)為頂點(diǎn)的角，使得對于曲線G上的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)恒有成立，則稱角為曲線G的相對于點(diǎn)O的“界角”，并稱其中最小的“界角”為曲線G的相對于點(diǎn)O的“確界角”.已知曲線C：（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線C的相對于點(diǎn)O的“確界角”為，則.【答案】1【分析】求過原點(diǎn)曲線的兩條切線，求解兩切線的夾角即可.【詳解】函數(shù)，因?yàn)?，所以該函?shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.過原點(diǎn)作的切線，設(shè)切點(diǎn)，由，則切線的斜率為，直線過，∴，∴，即，由函數(shù)與的圖象在有且只有一個(gè)交點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)滿足方程，故方程有唯一解，則；過原點(diǎn)作的切線，設(shè)切點(diǎn)，由，得切線的斜率，則切線過原點(diǎn)，則有，∴，則，則有，∴兩切線垂直，曲線C的相對于點(diǎn)O的“確界角”為，則，.故答案為：1.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。17．（10分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)即可求解，（2）根據(jù)分組求和，結(jié)合等差等比數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)橐卜仙鲜剑裕?）由（1）可知，所以．18．（12分）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且向量，，.(1)求角A的大小；(2)若為上一點(diǎn)，且，，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)向量垂直得到，計(jì)算化簡得到，根據(jù)余弦定理得到答案.（2）根據(jù)余弦定理得到，再利用均值不等式得到，計(jì)算面積得到最值.【詳解】（1），故，即，故，整理得到，即，，故.（2），，故為等邊三角形，即，

中：，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立..19．（12分）如圖，已知四邊形和都是直角梯形，，，，，，，且二面角的大小為．

(1)證明：平面平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得二面角的大小為，若存在，請求出點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在點(diǎn)，使得二面角的大小為，．【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的定義，結(jié)合空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅魏投际侵苯翘菪危?，，且平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）過點(diǎn)、分別作直線、的垂線、垂足為、．由已知和平面幾何知識易知，，，則四邊形和四邊形是矩形，所以在和中，，假設(shè)在上存在點(diǎn)，使得二面角的大小為．由（1）知平面，則是二面角的平面角，所以，所以是正三角形．取的中點(diǎn)，則，又平面，所以平面，過點(diǎn)作平行線，則以點(diǎn)為原點(diǎn)，，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，則，則，，設(shè)平面的法向量為，由，得，取，又平面的法向量，所以，整理化簡的，解得或（舍去）．所以存在點(diǎn)，使得二面角的大小為，且．20．（12分）已知，.(1)函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.(2)當(dāng)時(shí)，證明：（其中），使得.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為方程僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)，求得，得到函數(shù)的單調(diào)性和極值，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，即可求解；（2）設(shè)，轉(zhuǎn)化為在存在極值點(diǎn)，求得的值，即可求解.【詳解】（1）由函數(shù)，可得，所以不是函數(shù)的零點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即方程僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即方程僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即方程僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極小值為，又由當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，，所以函數(shù)的圖象如圖所示，要使得函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則滿足或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）解：設(shè)，即，當(dāng)，令滿足，且，若在區(qū)間單調(diào)遞增，此時(shí)，不滿足題意；若在區(qū)間單調(diào)遞減，此時(shí)，不滿足題意；所以函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上必有極值點(diǎn)，即存在，使得，即，即，使得.【點(diǎn)睛】方法總結(jié)：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；3、適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4、構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).21．（12分）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)的距離和它到直線距離之比為2；(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)直線l在x軸上方與x軸平行，交曲線C于A，B兩點(diǎn)，直線l交y軸于點(diǎn)D.設(shè)OD的中點(diǎn)為M，是否存在定直線l，使得經(jīng)過M的直線與C交于P，Q，與線段AB交于點(diǎn)N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）設(shè)，由化簡可求軌跡C的方程；（2）設(shè)直線PQ的方程為，與雙曲線聯(lián)立得出韋達(dá)定理，結(jié)合兩個(gè)向量共線的坐標(biāo)表示求得m，得到直線l的方程.【詳解】（1）設(shè)，由動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離和它到直線距離之比為2，可得，化簡得，即，故點(diǎn)P的軌跡C的方程為；（2）設(shè)l的方程為，則，故，由已知直線PQ斜率存在，設(shè)直線PQ的方程為，故.與雙曲線方程聯(lián)立得：，由對應(yīng)漸近線方程為：，易判斷，得，設(shè)，，則，①，由，得：，，即，，