重慶市榮昌中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題

榮昌中學(xué)高二上期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知是直線l的方向向量，為平面的法向量，若，則y的值為（）A. B.C. D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)得，計(jì)算得解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，?jì)算得.故選：D.2.某中學(xué)有高中生人，初中生人．為了了解學(xué)生的身體狀況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從該校學(xué)生中抽取容量為的樣本，其中高中生有人，那么等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用分層抽樣的比例計(jì)算可得值．【詳解】由，得，故選：B．3.直線的傾斜角為（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】C【解析】【分析】化成斜截式方程得斜率為，進(jìn)而根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【詳解】將直線一般式方程化為斜截式方程得：，所以直線的斜率為，所以根據(jù)直線傾斜角與斜率的關(guān)系得直線的傾斜角為.故選：C4.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象()A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】B【解析】【分析】由題意利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．詳解】因?yàn)間（x）＝cos（2x）=sin（2x）=sin（2x），故其圖象向右平移個(gè)單位，可得函數(shù)的圖象，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5.已知，，，若，，三向量共面，則實(shí)數(shù)等于（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，存在實(shí)數(shù)值得，列出方程組，即可求解.【詳解】由向量，，，因?yàn)椋?，三向量共面，則存在實(shí)數(shù)值得，即，可得，解得，則.故選：A.6.已知正三棱柱中，，點(diǎn)為中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義，取中點(diǎn)為，則為異面直線和所成角或其補(bǔ)角，再解三角形即可求出．【詳解】如圖所示：設(shè)中點(diǎn)為，則在三角形中，為中點(diǎn)，為中位線，所以有，，所以為異面直線和所成角或其補(bǔ)角，在三角形中，，所以由余弦定理有，故選：A.7.已知，，直線：，：，且，則的最小值為（）A.2 B.4 C.8 D.9【答案】C【解析】【分析】由，可求得，再由，利用基本不等式求出最小值即可.【詳解】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以最小值為8.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查垂直直線性質(zhì)，考查利用基本不等式求最值，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔題.8.在直三棱柱中，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離等于A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三棱錐等體積法得到：三棱錐由幾何圖形的特點(diǎn)分別求出相應(yīng)的底面積和高，代入上式得到距離.【詳解】連接，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,根據(jù)三棱錐等體積法得到：三棱錐在由，得到，三角形面積為，點(diǎn)到的距離即棱錐的高為；三角形，，則三角形的高為,面積為，根據(jù)等體積公式代入得到，故答案為C.【點(diǎn)睛】本題涉及到點(diǎn)面距離的求法，點(diǎn)面距可以通過尋找面面垂直，再直接過點(diǎn)做交線的垂線即可;當(dāng)點(diǎn)面距離不好求時(shí)，還可以等體積轉(zhuǎn)化.二、多選題9.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，，且，則有（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用余弦定理化簡(jiǎn)得選項(xiàng)C正確；利用三角形的面積公式化簡(jiǎn)得選項(xiàng)D錯(cuò)誤；利用余弦定理得選項(xiàng)A錯(cuò)誤；利用正弦定理得選項(xiàng)B正確.【詳解】解：由正弦定理得,所以,因?yàn)?所以選項(xiàng)C正確；由題得，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤；由余弦定理得，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由正弦定理得.所以選項(xiàng)B正確.故選：BC10.關(guān)于函數(shù)的敘述中正確的有（）A.函數(shù)f(x)可能為偶函數(shù)B.若直線是函數(shù)f(x)的最靠近y軸的一條對(duì)稱軸，則C.若，則點(diǎn)（，0）是函數(shù)f(x)的一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)D.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，π]上有兩個(gè)零點(diǎn)，則【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)A，根據(jù)是否取得最值判斷即可；對(duì)B，根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移伸縮分析即可；對(duì)C，代入點(diǎn)判斷即可；對(duì)D，根據(jù)圖象，確定區(qū)間右端點(diǎn)滿足的不等式再求解即可【詳解】對(duì)A，因?yàn)椴粸榈淖钪?，故不可能為偶函?shù)，A錯(cuò)；對(duì)B，的圖象是由往左平移個(gè)單位得到，再縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡玫?，故函?shù)f(x)的最靠近y軸的一條對(duì)稱軸一定為軸右邊的第一條對(duì)稱軸，故滿足，解得，故B正確；對(duì)C，時(shí)，，又，故是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，故C正確；對(duì)D，則，又當(dāng)時(shí)，，且在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，故這兩個(gè)零點(diǎn)即時(shí)的兩根，故區(qū)間的右端點(diǎn)滿足，解得，故D正確；故選：BCD11.設(shè)，是兩個(gè)平面，，是兩條直線，下列命題正確的是（）A.如果，，那么.B.如果，，那么.C.如果，，，那么.D.如果內(nèi)有兩條相交直線與平行，那么.【答案】ABD【解析】【分析】由立體幾何知識(shí)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷【詳解】對(duì)于A，由線面垂直的性質(zhì)知A正確對(duì)于B，由面面平行的性質(zhì)知B正確對(duì)于C，若，，，可得或，而位置關(guān)系不確定，故C錯(cuò)誤對(duì)于D，由面面平行的判定定理知D正確故選：ABD12.如圖，在直四棱柱中，底面是正方形，，，若，則（）A.當(dāng)時(shí)， B.四棱錐體積的最大值為C.當(dāng)平面截直四棱柱所得截面面積為時(shí) D.四面體的體積為定值【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)給定條件逐一分析各個(gè)選項(xiàng)，再推理、計(jì)算并判斷作答.【詳解】在直四棱柱中，底面是正方形，，，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P為線段AC中點(diǎn)，連DP，，如圖，，而平面，平面，則，又，平面，則有平面，而平面，于是得，又對(duì)角面是矩形，即，所以，A正確；依題意，平面，而點(diǎn)P在AC上，則點(diǎn)P到平面距離的最大值為AB=1，而矩形面積為，所以四棱錐體積最大值為，B不正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在AC上靠近點(diǎn)C的四等分點(diǎn)，平面截直四棱柱所得截面為等腰梯形，如圖，顯然，則，，等腰梯形的高，等腰梯形的面積，由幾何體的對(duì)稱性知，當(dāng)平面截直四棱柱所得截面面積為時(shí)，或，C不正確；因平面，則點(diǎn)P到平面的距離等于點(diǎn)A到平面的距離，為定值，又的面積為定值，所以四面體的體積為定值，D正確.故選：AD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：作多面體截面的常用三種方法：直接法，截面的定點(diǎn)在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩個(gè)平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個(gè)面平行；延長(zhǎng)交線得交點(diǎn)，截面上的點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)在幾何體的同一平面上.三、填空題13.直線與平行，則的值為_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行得出實(shí)數(shù)滿足的等式與不等式，解出即可.【詳解】由于直線與平行，則，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用兩直線平行求參數(shù)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14.已知甲，乙，丙三人去參加某公司面試，他們被該公司錄取的概率分別是，且三人錄取結(jié)果相互之間沒有影響，則他們?nèi)酥兄辽儆幸蝗吮讳浫〉母怕蕿開___________.【答案】.【解析】【分析】運(yùn)用事件相互獨(dú)立性的概率計(jì)算公式，得出甲，乙，丙三人都沒有被錄取的概率，從而可間接求出他們?nèi)酥兄辽儆幸蝗吮讳浫〉母怕?【詳解】因?yàn)榧?，乙，丙三人被該公司錄取的概率分別是，且三人錄取結(jié)果相互之間沒有影響，所以他們?nèi)硕紱]有被錄取的概率為，故他們?nèi)酥兄辽儆幸蝗吮讳浫〉母怕蕿?故答案為：.15.已知點(diǎn)，,若直線與線段有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線方程可確定直線過定點(diǎn)；求出有公共點(diǎn)的臨界狀態(tài)時(shí)的斜率，即和；根據(jù)位置關(guān)系可確定的范圍.【詳解】直線可整理為：直線經(jīng)過定點(diǎn)，又直線的斜率為的取值范圍為：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)直線與線段的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍的問題，關(guān)鍵是能夠明確直線經(jīng)過的定點(diǎn)，從而確定臨界狀態(tài)時(shí)的斜率.16.已知中角，，所對(duì)的邊為，，，，，點(diǎn)在上，，記的面積為，的面積為，，則______．【答案】6【解析】【分析】解法一：利用面積公式和已知面積比可以求得，從而得到，在和中同時(shí)應(yīng)用正弦定理并結(jié)合得到．設(shè)，則，，在和中同時(shí)應(yīng)用余弦定理并結(jié)合，消角求值；解法二：把沿翻折到，使，，三點(diǎn)共線，則平分．利用角平分線定理和面積公式可得，求得，并設(shè)，則，在中和中同時(shí)余弦定理，消角求值即可.【詳解】解：法一：設(shè)，則，則，．因?yàn)椋裕谥校烧叶ɡ淼?，在中，由正弦定理得，兩式相比得．設(shè)，則，，在中，由余弦定理得，所以①．在中，由余弦定理得，所以②，聯(lián)立①②得，所以．法二：因?yàn)?，把沿翻折到，使，，三點(diǎn)共線，則平分．因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?，設(shè)，則，設(shè)，則．在中，由余弦定理得，所以①，在中，由余弦定理得，所以②，聯(lián)立①②得，所以．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是在不同的三角形中同時(shí)應(yīng)用正、余弦定理并結(jié)合，消角求值.四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，求：（1）AC邊所在直線的方程（2）BC邊上中線所在直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)直線方程的截距式方程列式，化簡(jiǎn)即得AC邊所在直線的方程；（2）由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，算出BC中點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而得到直線AD的斜率k，再由直線方程的點(diǎn)斜式列式，化簡(jiǎn)即得BC邊上中線所在直線的方程．【小問1詳解】，∴直線AC的截距式方程為，化簡(jiǎn)得即AC邊所在直線的方程為：；【小問2詳解】∴BC中點(diǎn)為D（，），直線AD的斜率為k因此，直線AD的方程為y（x+5），化簡(jiǎn)得，即為BC邊上中線所在直線的方程．18.已知平行六面體，底面是正方形，，，，，，設(shè)，，．（1）用、、表示，；（2）求的長(zhǎng)度．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得；（2）首先用、、表示，再根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得；【小問1詳解】解：；即，【小問2詳解】解：因?yàn)椋?，，，所以所以，?9.已知函數(shù)．（1）求的值及的最小正周期；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】（1），最小正周期（2）最大值為2，最小值為【解析】【分析】（1）根據(jù)輔助角公式化簡(jiǎn)，進(jìn)而可求的值及的最小正周期；（2）由可求，進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】，所以，的最小正周期為【小問2詳解】因?yàn)?，則，故當(dāng)，即時(shí)取最大值，當(dāng)，即時(shí)，取最小，20.如圖，從參加環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生中抽出名，將其成績(jī)（均為整數(shù)）整理后畫出的頻率分布直方圖如下：觀察圖形，回答下列問題：（1）這一組的頻數(shù)?頻率分別是多少？（2）估計(jì)這次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)?眾數(shù)?中位數(shù).（3）從成績(jī)是分以上（包括分）的學(xué)生中選兩人，求他們?cè)谕环謹(jǐn)?shù)段的概率.【答案】（1），（2），，（3）【解析】【分析】（1）先求得，，，，各組的頻率，再利用對(duì)立事件的概率求解，進(jìn)而得到頻數(shù)；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，利用平均數(shù)的平均數(shù)?眾數(shù)?中位數(shù)的定義求解；（3）易得和之間的人數(shù)分別為4人和2人，然后利用古典概型的概率求解.【小問1詳解】根據(jù)題意，的這一組的頻率為，的這一組的頻率為，的這一組的頻率為，的這一組的頻率為，的這一組的頻率為，則這一組的頻率為，其頻數(shù)為；【小問2詳解】這次競(jìng)賽的平均數(shù)為，一組的頻率最大，人數(shù)最多，則眾數(shù)為，分左右兩側(cè)的頻率均為，則中位數(shù)為；【小問3詳解】記“取出的人在同一分?jǐn)?shù)段”為事件，因?yàn)橹g的人數(shù)為，設(shè)為???，之間有人，設(shè)為?，從這人中選出人，有、、、?、、、、、、?、、、，共個(gè)基本事件，其中事件E包括、、、、、、，共個(gè)基本事件，則.21.在中，角的對(duì)邊分別為，且．（1）求；（2）若，且為銳角三角形，求的面積的取值范圍．【答案】（1）B（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理邊角互化得，再結(jié)合三角恒等變換得，進(jìn)而得答案；（2）結(jié)合題意得，再根據(jù)正弦定理得，進(jìn)而根據(jù)面積公式與三角恒等變換得，再求范圍即可.【小問1詳解】解：∵，由正弦定理可得：，又∵，∴，即：∵，∴，即【小問2詳解】解：為銳角三角形，所以，解得，∵，由正弦定理得，即，∴，∴，∵，∴，∴．∴的面積的取值范圍為．22.如圖，四邊形ABCD為梯形，，，，點(diǎn)在線段上，且．現(xiàn)將沿翻折到的位置，使得．（1）證明：；（2）點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為？若存在，則求出；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在，【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理即可證得；（2）利用線面垂直的判定定理證得平面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求二面角的方法即可求解.【