8.4空間點直線平面之間的位置關系5題型分類（原卷版）

8.4空間點、直線、平面之間的位置關系5題型分類一、平面1.平面的概念幾何中所說的“平面”，是從課桌面、黑板面、平靜的水面等，這樣的一些物體中抽象出來的.類似于直線向兩端無限延伸，幾何中的平面是向四周無限延展的.2.平面的畫法我們常用矩形的直觀圖，即平行四邊形表示平面，它的銳角通常畫成45°，且橫邊長等于其鄰邊長的2倍，如圖①.如果一個平面的一部分被另一個平面遮擋住，為了增強它的立體感，把被遮擋部分用虛線畫出來，如圖②.3.平面的表示法圖①的平面可表示為平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.二、點、線、面之間的位置關系1.直線在平面內的概念如果直線l上的所有點都在平面α內，就說直線l在平面α內，或者說平面α經(jīng)過直線l.2.一些文字語言與符號語言的對應關系：文字語言表達符號語言表示文字語言表達符號語言表示點A在直線l上A∈l點A在直線l外A?l點A在平面α內A∈α點A在平面α外A?αl在平面α內l?α直線l在平面α外l?αl，m相交于點Al∩m＝A平面α，β相交于lα∩β＝l三、平面的基本性質及作用1.基本事實內容圖形符號作用基本事實1過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面A，B，C三點不共線?存在唯一的平面α使A，B，C∈α一是確定平面；二是證明點、線共面問題；三是判斷兩個平面重合的依據(jù)基本事實2如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α既可判定直線和點是否在平面內，又能說明平面是無限延展的基本事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線P∈α且P∈β?α∩β＝l，且P∈l①判定兩平面相交的依據(jù)②判定點在直線上2.利用基本事實1和基本事實2，再結合“兩點確定一條直線”，可以得到下面三個推論：推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面.推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面.推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.四、空間兩直線的位置關系1.異面直線(1)定義：不同在任何一個平面內的兩條直線.(2)異面直線的畫法(襯托平面法)如圖①②③所示，為了表示異面直線不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個平面來襯托.(3)判斷兩直線為異面直線的方法①定義法；②兩直線既不平行也不相交.2.空間兩條直線的三種位置關系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直線：在同一平面內，有且只有一個公共點,平行直線：在同一平面內，沒有公共點)),異面直線：不同在任何一個平面內，沒有公共點))五、直線與平面的位置關系位置關系直線a在平面α內直線a在平面α外直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點有無數(shù)個公共點只有1個公共點沒有公共點符合表示a?αa∩α＝Aa∥α圖形表示六、平面與平面的位置關系位置關系兩平面平行兩平面相交公共點沒有公共點有無數(shù)個公共點(在一條直線上)符號表示α∥βα∩β＝l圖形表示（一）圖形、文字、符號語言的相互轉換三種語言轉換方法：用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面，幾條直線及相互之間的位置關系，試著用文字語言表示，再用符號語言表示.題型1：圖形語言、文字語言、符號語言的相互轉換11．（2024高二上·新疆阿克蘇·階段練習）用集合符號表示下列語句：(1)點在直線上，點不在直線上；(2)平面與平面相交于過點的直線．12．（2024高二上·云南曲靖·期中）如圖所示，用符號語言可表達為（

）A．，， B．，，C．，，， D．，，，（二）點、線共面問題證明點、線共面問題的常用方法(1)先由部分點、線確定一個面，再證其余的點、線都在這個平面內，即用“納入法”.(2)先由其中一部分點、線確定一個平面α，其余點、線確定另一個平面β，再證平面α與β重合，即用“同一法”.題型2：點、線共面問題21．（2024高一·全國·專題練習）如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且．設EG與FH交于點P，求證：P，A，C三點共線．22．（2024高一下·河南商丘·階段練習）如圖，在正四棱臺中，．(1)求正四棱臺的體積；(2)若分別為棱的中點，證明：相交于一點．23．（2024高二·上?！ｎ}練習）如圖所示的正方體中，是棱上的一點，試說明、、三點確定的平面與平面相交，并畫出這兩個平面的交線.24．（2024高一下·陜西·期中）已知分別是正方體中和的中點.(1)證明：四點共面.(2)證明：三條直線交于一點.（三）兩直線位置關系的判定判斷空間兩條直線位置關系的決竅(1)建立空間觀念全面考慮兩條直線平行、相交和異面三種位置關系，特別關注異面直線.(2)重視長方體、正方體等常見幾何體模型的應用，會舉例說明兩條直線的位置關系.題型3：兩直線位置關系的判定31．（2024高一·全國·課堂例題）如圖，在長方體的棱所在的直線中，找出與棱所在直線異面的所有直線．

32．（2024高三·全國·專題練習）已知正方體中，棱長為2，點E是棱AD的中點．連接CE，求證：直線CE與直線是異面直線．33．（2024高一下·天津河東·期末）如果兩條直線a與b有公共點，那么a與b（

）A．平行 B．是異面直線 C．共面 D．垂直（四）直線與平面的位置關系在判斷直線與平面的位置關系時，三種情形都要考慮到，避免疏忽或遺漏，另外，我們可以借助空間幾何圖形，把要判斷關系的直線、平面放在某些具體的空間圖形中，便于作出正確判斷，避免憑空臆斷．題型4：直線與平面的位置關系41．（2024高一下·廣東茂名·期中）若直線a不平行于平面，則下列結論成立的是（

）A．平面內的所有直線都與直線a異面 B．平面內不存在與直線a平行的直線C．平面內的直線都與直線a相交 D．直線a與平面一定有公共點42．（2024高一·全國·隨堂練習）下列命題中，錯誤的是（

）A．平行于同一條直線的兩個平面平行B．平行于同一個平面的兩個平面平行C．一條直線與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個相交D．一個平面與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個相交43．（2024高二·全國·專題練習）“直線與平面沒有公共點”是“直線與平面平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件（五）平面與平面的位置關系利用正方體(或長方體)這個“百寶箱”能有效地判斷與兩個平面的位置關系有關命題的真假，另外先假設所給定的結論成立，看是否能推出矛盾，也是一種判斷兩平面位置關系的有效方法.題型5：平面與平面的位置關系51．（2024高一·全國·隨堂練習）已知平面，和直線a，b，且，，，則與的位置關系是；52．（2024高二上·四川樂山·階段練習）三個平面將空間分成7個部分的示意圖是（

）A．

B．

C．

D．

53．（2024高一·全國·專題練習）平面α，β，γ不能將空間分成（）A．5部分 B．6部分C．7部分 D．8部分54．（2024高二下·上?！るA段練習）三棱柱的五個面所在的平面將空間平分成個部分一、單選題1．（2024高一下·陜西西安·期中）分別是空間四邊形的邊的中點，則的位置關系是（）A．異面 B．平行C．相交 D．重合2．（2024高一·全國·課后作業(yè)）如圖，，，，且，直線，過三點的平面記作，則與的交線必通過（）

A．點A B．點BC．點C但不過點M D．點C和點M3．（2024高一下·江蘇南京·階段練習）點分別在空間四邊形的邊上，若，則下列說法中正確的是（

）A．直線與一定平行 B．直線與一定相交C．直線與可能異面 D．直線與一定共面4．（2024高二上·北京·學業(yè)考試）在空間中，若兩條直線與沒有公共點，則a與b（

）A．相交 B．平行 C．是異面直線 D．可能平行，也可能是異面直線5．（2024高一下·新疆喀什·期末）正方體中，點分別是的中點，則與所成角為（

）A． B． C． D．6．（2024高二上·上海青浦·期末）若一直線上有兩點到一個平面的距離都等于1，則該直線與這個平面的位置關系是（

）．A．直線在平面內 B．直線與平面相交或平行C．直線與平面相交 D．直線平行平面7．（2024·四川南充·一模）已知直線m,n和平面,，，則“”是“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要8．（2024高二上·遼寧·階段練習）已知平面平面，直線，直線，則與的位置關系是（

）A．平行 B．平行或異面 C．異面 D．異面或相交9．（2024高二上·云南曲靖·期中）如圖所示，用符號語言可表達為（

）A．，， B．，，C．，，， D．，，，10．（2024高三上·湖南衡陽·階段練習）設a，b是空間兩條不同直線，則“a與b無公共點”是“a與b是異面直線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件11．（2024高二上·重慶南岸·期中）在棱長為1的正四面體中，直線與是（

）．A．平行直線 B．相交直線 C．異面直線 D．無法判斷位置關系12．（2024高一·全國·隨堂練習）已知直線a，b異面，下列判斷正確的是（

）A．過b的平面不可能與a平行 B．過b的平面不可能與a垂直C．過b的平面有且僅有一個與a平行 D．過b的平面有且僅有一個與a垂直13．（2024高二上·廣西南寧·階段練習）在正方體中，為的中點，則直線與所成的角為（

）A． B． C． D．14．（2024高一下·貴州黔東南·階段練習）用符號表示“點A不在直線上，直線在平面內”，正確的是（

）A．， B．，C．， D．，15．（2024高一下·福建寧德·期中）如圖所示，點，線，面之間的數(shù)學符號語言關系為（

）A．，B．， C．， D．，16．（2024高二上·上海虹口·階段練習）如果A點在直線上，而直線在平面內，點在內，可以用集合語言和符號表示為（

）A．，， B．，，C．，， D．，，17．（2024·全國·模擬預測）如圖，在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點，用過點，E，的平面截正方體，則截面周長為（

）

A． B．9 C． D．18．（2024高一上·寧夏固原·期末）在正方體中，、、、分別是該點所在棱的中點，則下列圖形中、、、四點共面的是（

）A． B．C． D．19．（2024高二·全國·課后作業(yè)）如圖，在長方體中，點為正方形的中心，點為的中點，點為的中點，則（

）A．、、、四點共面，且與平行B．、、、四點共面，且與相交C．、、、四點共面，且與平行D．、、、四點不共面20．（2024高一下·浙江臺州·期中）已知空間中點A，B，直線l，平面α，若，，，，則下列結論正確的是（

）．A． B．l與ɑ相交 C． D．以上都有可能21．（2024高三上·遼寧鐵嶺·期末），是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，且，，則“”是“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要22．（2024高二上·上?！るA段練習）已知正方體，設直線平面，直線平面，記正方體12條棱所在直線構成的集合為．給出下列四個命題：①中可能有4條直線與a異面；②中可能有5條直線與a異面；③中可能有8條直線與b異面；④中可能有10條直線與b異面．A．①②③ B．①④ C．①③④ D．①②④23．（2024高一下·浙江·期末）空間的4個平面最多能將空間分成（

）個區(qū)域．A．13 B．14 C．15 D．1624．（2024高二上·重慶銅梁·階段練習）如圖，在正方體中，M、N分別為棱、的中點，有以下四個結論：①直線AM與是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與是異面直線；④直線AM與是異面直線．其中正確的結論為（

）A．③④ B．①② C．①③ D．②④25．（2024高二·全國·專題練習）“直線與平面沒有公共點”是“直線與平面平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件26．（2024高一下·浙江臺州·期中）已知空間中點A，B，直線l，平面α，若，，，，則下列結論正確的是（

）．A． B．l與ɑ相交 C． D．以上都有可能二、多選題27．（2024高一下·廣西·期末）下列命題正確的是（

）A．三點確定一個平面B．一條直線和直線外一點確定一個平面C．圓心和圓上兩點可確定一個平面D．梯形可確定一個平面28．（2024高一下·廣東茂名·期末）下列命題正確的是（

）A．不共線的三點確定一個平面B．平行于同一條直線的兩條直線平行C．經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面D．如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角一定相等29．（2024高一下·湖南張家界·期中）如圖，在正方體中，、、、、、分別是棱、、、、、的中點，則下列結論錯誤的是（

）

A．直線和平行，和相交B．直線和平行，和相交C．直線和相交，和異面D．直線和異面，和異面30．（2024高二上·黑龍江雞西·階段練習）直線上兩點到平面的距離相等且均為5，直線與平面的關系可能為（

）A．平行 B．直線在平面內 C．相交 D．以上三種情況都可能31．（2024高一下·全國·課后作業(yè)）設P表示一個點，a、b表示兩條直線，、表示兩個平面，下列說法正確的是（）A．若，，則B．若，，則C．若，，，，則D．若，，，則32．（2024高三上·山西大同·階段練習）已知正方體中，為的中點，直線交平面于點，則下列結論正確的是（

）A．三點共線 B．四點共面C．四點共面 D．四點共面33．（2024高一下·河北石家莊·期中）下列說法中正確的是（

）A．若直線與平面不平行，則l與相交B．直線在平面外，則直線上不可能有兩個點在平面內C．如果直線上有兩個點到平面的距離相等，則直線與平面平行D．如果是異面直線，，，則，是異面直線三、填空題34．（2024高一下·上海嘉定·期末）用集合符號表述語句“平面經(jīng)過直線”：.35．（2024高一下·山西呂梁·階段練習）一個正三棱柱各面所在的平面將空間分成部分．36．（2024高二上·北京海淀·期末）如圖，已知E，F(xiàn)分別為三棱錐的棱的中點，則直線與的位置關系是（填“平行”，“異面”，“相交”）．37．（2024高一下·湖北孝感·期末）已知、是異面直線，直線直線，則直線與直線b的位置關系是.38．（2024高二上·上海長寧·期中）如圖為正六棱柱，與直線異面的側棱共有條．

39．（2024高二上·上海虹口·期中）如圖是正方體的平面展開圖，在原來的正方體中（1）與平行；（2）與是異面直線；（3）與垂直；（4）與成．其中正確的序號是．40．（2024高一下·全國·課后作業(yè)）已知，為不重合的兩個平面，A，B，M，N為空間中不同的四個點，a為直線，則下列推理正確的是.（填序號）①，，，；②，，，；③，.41．（2024高一下·天津·期中）直線上所有點都在平面α內，可以用符號表示為．42．（2024高二上·上海浦東新·期中）若直線，直線，則直線b、c的位置關系為.（用文字表述）43．（2024高一·全國·單元測試）若直線a與平面內無數(shù)條直線平行，則a與的位置關系是