8.4空間點(diǎn)直線(xiàn)平面之間的位置關(guān)系5題型分類(lèi)（原卷版）

8.4空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系5題型分類(lèi)一、平面1.平面的概念幾何中所說(shuō)的“平面”，是從課桌面、黑板面、平靜的水面等，這樣的一些物體中抽象出來(lái)的.類(lèi)似于直線(xiàn)向兩端無(wú)限延伸，幾何中的平面是向四周無(wú)限延展的.2.平面的畫(huà)法我們常用矩形的直觀(guān)圖，即平行四邊形表示平面，它的銳角通常畫(huà)成45°，且橫邊長(zhǎng)等于其鄰邊長(zhǎng)的2倍，如圖①.如果一個(gè)平面的一部分被另一個(gè)平面遮擋住，為了增強(qiáng)它的立體感，把被遮擋部分用虛線(xiàn)畫(huà)出來(lái)，如圖②.3.平面的表示法圖①的平面可表示為平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.二、點(diǎn)、線(xiàn)、面之間的位置關(guān)系1.直線(xiàn)在平面內(nèi)的概念如果直線(xiàn)l上的所有點(diǎn)都在平面α內(nèi)，就說(shuō)直線(xiàn)l在平面α內(nèi)，或者說(shuō)平面α經(jīng)過(guò)直線(xiàn)l.2.一些文字語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言的對(duì)應(yīng)關(guān)系：文字語(yǔ)言表達(dá)符號(hào)語(yǔ)言表示文字語(yǔ)言表達(dá)符號(hào)語(yǔ)言表示點(diǎn)A在直線(xiàn)l上A∈l點(diǎn)A在直線(xiàn)l外A?l點(diǎn)A在平面α內(nèi)A∈α點(diǎn)A在平面α外A?αl在平面α內(nèi)l?α直線(xiàn)l在平面α外l?αl，m相交于點(diǎn)Al∩m＝A平面α，β相交于lα∩β＝l三、平面的基本性質(zhì)及作用1.基本事實(shí)內(nèi)容圖形符號(hào)作用基本事實(shí)1過(guò)不在一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面A，B，C三點(diǎn)不共線(xiàn)?存在唯一的平面α使A，B，C∈α一是確定平面；二是證明點(diǎn)、線(xiàn)共面問(wèn)題；三是判斷兩個(gè)平面重合的依據(jù)基本事實(shí)2如果一條直線(xiàn)上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)在這個(gè)平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α既可判定直線(xiàn)和點(diǎn)是否在平面內(nèi)，又能說(shuō)明平面是無(wú)限延展的基本事實(shí)3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)P∈α且P∈β?α∩β＝l，且P∈l①判定兩平面相交的依據(jù)②判定點(diǎn)在直線(xiàn)上2.利用基本事實(shí)1和基本事實(shí)2，再結(jié)合“兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)”，可以得到下面三個(gè)推論：推論1經(jīng)過(guò)一條直線(xiàn)和這條直線(xiàn)外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論2經(jīng)過(guò)兩條相交直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面.推論3經(jīng)過(guò)兩條平行直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面.四、空間兩直線(xiàn)的位置關(guān)系1.異面直線(xiàn)(1)定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn).(2)異面直線(xiàn)的畫(huà)法(襯托平面法)如圖①②③所示，為了表示異面直線(xiàn)不共面的特點(diǎn)，作圖時(shí)，通常用一個(gè)或兩個(gè)平面來(lái)襯托.(3)判斷兩直線(xiàn)為異面直線(xiàn)的方法①定義法；②兩直線(xiàn)既不平行也不相交.2.空間兩條直線(xiàn)的三種位置關(guān)系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線(xiàn)\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直線(xiàn)：在同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn),平行直線(xiàn)：在同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn))),異面直線(xiàn)：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)))五、直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線(xiàn)a在平面α內(nèi)直線(xiàn)a在平面α外直線(xiàn)a與平面α相交直線(xiàn)a與平面α平行公共點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)只有1個(gè)公共點(diǎn)沒(méi)有公共點(diǎn)符合表示a?αa∩α＝Aa∥α圖形表示六、平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系兩平面平行兩平面相交公共點(diǎn)沒(méi)有公共點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)(在一條直線(xiàn)上)符號(hào)表示α∥βα∩β＝l圖形表示（一）圖形、文字、符號(hào)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換三種語(yǔ)言轉(zhuǎn)換方法：用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀(guān)察圖形有幾個(gè)平面，幾條直線(xiàn)及相互之間的位置關(guān)系，試著用文字語(yǔ)言表示，再用符號(hào)語(yǔ)言表示.題型1：圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換11．（2024高二上·新疆阿克蘇·階段練習(xí)）用集合符號(hào)表示下列語(yǔ)句：(1)點(diǎn)在直線(xiàn)上，點(diǎn)不在直線(xiàn)上；(2)平面與平面相交于過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)．12．（2024高二上·云南曲靖·期中）如圖所示，用符號(hào)語(yǔ)言可表達(dá)為（

）A．，， B．，，C．，，， D．，，，（二）點(diǎn)、線(xiàn)共面問(wèn)題證明點(diǎn)、線(xiàn)共面問(wèn)題的常用方法(1)先由部分點(diǎn)、線(xiàn)確定一個(gè)面，再證其余的點(diǎn)、線(xiàn)都在這個(gè)平面內(nèi)，即用“納入法”.(2)先由其中一部分點(diǎn)、線(xiàn)確定一個(gè)平面α，其余點(diǎn)、線(xiàn)確定另一個(gè)平面β，再證平面α與β重合，即用“同一法”.題型2：點(diǎn)、線(xiàn)共面問(wèn)題21．（2024高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且．設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P，求證：P，A，C三點(diǎn)共線(xiàn)．22．（2024高一下·河南商丘·階段練習(xí)）如圖，在正四棱臺(tái)中，．(1)求正四棱臺(tái)的體積；(2)若分別為棱的中點(diǎn)，證明：相交于一點(diǎn)．23．（2024高二·上海·專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示的正方體中，是棱上的一點(diǎn)，試說(shuō)明、、三點(diǎn)確定的平面與平面相交，并畫(huà)出這兩個(gè)平面的交線(xiàn).24．（2024高一下·陜西·期中）已知分別是正方體中和的中點(diǎn).(1)證明：四點(diǎn)共面.(2)證明：三條直線(xiàn)交于一點(diǎn).（三）兩直線(xiàn)位置關(guān)系的判定判斷空間兩條直線(xiàn)位置關(guān)系的決竅(1)建立空間觀(guān)念全面考慮兩條直線(xiàn)平行、相交和異面三種位置關(guān)系，特別關(guān)注異面直線(xiàn).(2)重視長(zhǎng)方體、正方體等常見(jiàn)幾何體模型的應(yīng)用，會(huì)舉例說(shuō)明兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系.題型3：兩直線(xiàn)位置關(guān)系的判定31．（2024高一·全國(guó)·課堂例題）如圖，在長(zhǎng)方體的棱所在的直線(xiàn)中，找出與棱所在直線(xiàn)異面的所有直線(xiàn)．

32．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知正方體中，棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E是棱AD的中點(diǎn)．連接CE，求證：直線(xiàn)CE與直線(xiàn)是異面直線(xiàn)．33．（2024高一下·天津河?xùn)|·期末）如果兩條直線(xiàn)a與b有公共點(diǎn)，那么a與b（

）A．平行 B．是異面直線(xiàn) C．共面 D．垂直（四）直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系在判斷直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系時(shí)，三種情形都要考慮到，避免疏忽或遺漏，另外，我們可以借助空間幾何圖形，把要判斷關(guān)系的直線(xiàn)、平面放在某些具體的空間圖形中，便于作出正確判斷，避免憑空臆斷．題型4：直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系41．（2024高一下·廣東茂名·期中）若直線(xiàn)a不平行于平面，則下列結(jié)論成立的是（

）A．平面內(nèi)的所有直線(xiàn)都與直線(xiàn)a異面 B．平面內(nèi)不存在與直線(xiàn)a平行的直線(xiàn)C．平面內(nèi)的直線(xiàn)都與直線(xiàn)a相交 D．直線(xiàn)a與平面一定有公共點(diǎn)42．（2024高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）下列命題中，錯(cuò)誤的是（

）A．平行于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行B．平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行C．一條直線(xiàn)與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交，則必與另一個(gè)相交D．一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交，則必與另一個(gè)相交43．（2024高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）“直線(xiàn)與平面沒(méi)有公共點(diǎn)”是“直線(xiàn)與平面平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件（五）平面與平面的位置關(guān)系利用正方體(或長(zhǎng)方體)這個(gè)“百寶箱”能有效地判斷與兩個(gè)平面的位置關(guān)系有關(guān)命題的真假，另外先假設(shè)所給定的結(jié)論成立，看是否能推出矛盾，也是一種判斷兩平面位置關(guān)系的有效方法.題型5：平面與平面的位置關(guān)系51．（2024高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）已知平面，和直線(xiàn)a，b，且，，，則與的位置關(guān)系是；52．（2024高二上·四川樂(lè)山·階段練習(xí)）三個(gè)平面將空間分成7個(gè)部分的示意圖是（

）A．

B．

C．

D．

53．（2024高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）平面α，β，γ不能將空間分成（）A．5部分 B．6部分C．7部分 D．8部分54．（2024高二下·上?！るA段練習(xí)）三棱柱的五個(gè)面所在的平面將空間平分成個(gè)部分一、單選題1．（2024高一下·陜西西安·期中）分別是空間四邊形的邊的中點(diǎn)，則的位置關(guān)系是（）A．異面 B．平行C．相交 D．重合2．（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，，，，且，直線(xiàn)，過(guò)三點(diǎn)的平面記作，則與的交線(xiàn)必通過(guò)（）

A．點(diǎn)A B．點(diǎn)BC．點(diǎn)C但不過(guò)點(diǎn)M D．點(diǎn)C和點(diǎn)M3．（2024高一下·江蘇南京·階段練習(xí)）點(diǎn)分別在空間四邊形的邊上，若，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．直線(xiàn)與一定平行 B．直線(xiàn)與一定相交C．直線(xiàn)與可能異面 D．直線(xiàn)與一定共面4．（2024高二上·北京·學(xué)業(yè)考試）在空間中，若兩條直線(xiàn)與沒(méi)有公共點(diǎn)，則a與b（

）A．相交 B．平行 C．是異面直線(xiàn) D．可能平行，也可能是異面直線(xiàn)5．（2024高一下·新疆喀什·期末）正方體中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則與所成角為（

）A． B． C． D．6．（2024高二上·上海青浦·期末）若一直線(xiàn)上有兩點(diǎn)到一個(gè)平面的距離都等于1，則該直線(xiàn)與這個(gè)平面的位置關(guān)系是（

）．A．直線(xiàn)在平面內(nèi) B．直線(xiàn)與平面相交或平行C．直線(xiàn)與平面相交 D．直線(xiàn)平行平面7．（2024·四川南充·一模）已知直線(xiàn)m,n和平面,，，則“”是“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要8．（2024高二上·遼寧·階段練習(xí)）已知平面平面，直線(xiàn)，直線(xiàn)，則與的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．平行或異面 C．異面 D．異面或相交9．（2024高二上·云南曲靖·期中）如圖所示，用符號(hào)語(yǔ)言可表達(dá)為（

）A．，， B．，，C．，，， D．，，，10．（2024高三上·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）設(shè)a，b是空間兩條不同直線(xiàn)，則“a與b無(wú)公共點(diǎn)”是“a與b是異面直線(xiàn)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件11．（2024高二上·重慶南岸·期中）在棱長(zhǎng)為1的正四面體中，直線(xiàn)與是（

）．A．平行直線(xiàn) B．相交直線(xiàn) C．異面直線(xiàn) D．無(wú)法判斷位置關(guān)系12．（2024高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）已知直線(xiàn)a，b異面，下列判斷正確的是（

）A．過(guò)b的平面不可能與a平行 B．過(guò)b的平面不可能與a垂直C．過(guò)b的平面有且僅有一個(gè)與a平行 D．過(guò)b的平面有且僅有一個(gè)與a垂直13．（2024高二上·廣西南寧·階段練習(xí)）在正方體中，為的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與所成的角為（

）A． B． C． D．14．（2024高一下·貴州黔東南·階段練習(xí)）用符號(hào)表示“點(diǎn)A不在直線(xiàn)上，直線(xiàn)在平面內(nèi)”，正確的是（

）A．， B．，C．， D．，15．（2024高一下·福建寧德·期中）如圖所示，點(diǎn)，線(xiàn)，面之間的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言關(guān)系為（

）A．，B．， C．， D．，16．（2024高二上·上海虹口·階段練習(xí)）如果A點(diǎn)在直線(xiàn)上，而直線(xiàn)在平面內(nèi)，點(diǎn)在內(nèi)，可以用集合語(yǔ)言和符號(hào)表示為（

）A．，， B．，，C．，， D．，，17．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為棱BC的中點(diǎn)，用過(guò)點(diǎn)，E，的平面截正方體，則截面周長(zhǎng)為（

）

A． B．9 C． D．18．（2024高一上·寧夏固原·期末）在正方體中，、、、分別是該點(diǎn)所在棱的中點(diǎn)，則下列圖形中、、、四點(diǎn)共面的是（

）A． B．C． D．19．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)為正方形的中心，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（

）A．、、、四點(diǎn)共面，且與平行B．、、、四點(diǎn)共面，且與相交C．、、、四點(diǎn)共面，且與平行D．、、、四點(diǎn)不共面20．（2024高一下·浙江臺(tái)州·期中）已知空間中點(diǎn)A，B，直線(xiàn)l，平面α，若，，，，則下列結(jié)論正確的是（

）．A． B．l與ɑ相交 C． D．以上都有可能21．（2024高三上·遼寧鐵嶺·期末），是兩條不同的直線(xiàn)，，是兩個(gè)不同的平面，且，，則“”是“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要22．（2024高二上·上海·階段練習(xí)）已知正方體，設(shè)直線(xiàn)平面，直線(xiàn)平面，記正方體12條棱所在直線(xiàn)構(gòu)成的集合為．給出下列四個(gè)命題：①中可能有4條直線(xiàn)與a異面；②中可能有5條直線(xiàn)與a異面；③中可能有8條直線(xiàn)與b異面；④中可能有10條直線(xiàn)與b異面．A．①②③ B．①④ C．①③④ D．①②④23．（2024高一下·浙江·期末）空間的4個(gè)平面最多能將空間分成（

）個(gè)區(qū)域．A．13 B．14 C．15 D．1624．（2024高二上·重慶銅梁·階段練習(xí)）如圖，在正方體中，M、N分別為棱、的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：①直線(xiàn)AM與是相交直線(xiàn)；②直線(xiàn)AM與BN是平行直線(xiàn)；③直線(xiàn)BN與是異面直線(xiàn)；④直線(xiàn)AM與是異面直線(xiàn)．其中正確的結(jié)論為（

）A．③④ B．①② C．①③ D．②④25．（2024高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）“直線(xiàn)與平面沒(méi)有公共點(diǎn)”是“直線(xiàn)與平面平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件26．（2024高一下·浙江臺(tái)州·期中）已知空間中點(diǎn)A，B，直線(xiàn)l，平面α，若，，，，則下列結(jié)論正確的是（

）．A． B．l與ɑ相交 C． D．以上都有可能二、多選題27．（2024高一下·廣西·期末）下列命題正確的是（

）A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面B．一條直線(xiàn)和直線(xiàn)外一點(diǎn)確定一個(gè)平面C．圓心和圓上兩點(diǎn)可確定一個(gè)平面D．梯形可確定一個(gè)平面28．（2024高一下·廣東茂名·期末）下列命題正確的是（

）A．不共線(xiàn)的三點(diǎn)確定一個(gè)平面B．平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行C．經(jīng)過(guò)兩條平行直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面D．如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角一定相等29．（2024高一下·湖南張家界·期中）如圖，在正方體中，、、、、、分別是棱、、、、、的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A．直線(xiàn)和平行，和相交B．直線(xiàn)和平行，和相交C．直線(xiàn)和相交，和異面D．直線(xiàn)和異面，和異面30．（2024高二上·黑龍江雞西·階段練習(xí)）直線(xiàn)上兩點(diǎn)到平面的距離相等且均為5，直線(xiàn)與平面的關(guān)系可能為（

）A．平行 B．直線(xiàn)在平面內(nèi) C．相交 D．以上三種情況都可能31．（2024高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)P表示一個(gè)點(diǎn)，a、b表示兩條直線(xiàn)，、表示兩個(gè)平面，下列說(shuō)法正確的是（）A．若，，則B．若，，則C．若，，，，則D．若，，，則32．（2024高三上·山西大同·階段練習(xí)）已知正方體中，為的中點(diǎn)，直線(xiàn)交平面于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．三點(diǎn)共線(xiàn) B．四點(diǎn)共面C．四點(diǎn)共面 D．四點(diǎn)共面33．（2024高一下·河北石家莊·期中）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．若直線(xiàn)與平面不平行，則l與相交B．直線(xiàn)在平面外，則直線(xiàn)上不可能有兩個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)C．如果直線(xiàn)上有兩個(gè)點(diǎn)到平面的距離相等，則直線(xiàn)與平面平行D．如果是異面直線(xiàn)，，，則，是異面直線(xiàn)三、填空題34．（2024高一下·上海嘉定·期末）用集合符號(hào)表述語(yǔ)句“平面經(jīng)過(guò)直線(xiàn)”：.35．（2024高一下·山西呂梁·階段練習(xí)）一個(gè)正三棱柱各面所在的平面將空間分成部分．36．（2024高二上·北京海淀·期末）如圖，已知E，F(xiàn)分別為三棱錐的棱的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與的位置關(guān)系是（填“平行”，“異面”，“相交”）．37．（2024高一下·湖北孝感·期末）已知、是異面直線(xiàn)，直線(xiàn)直線(xiàn)，則直線(xiàn)與直線(xiàn)b的位置關(guān)系是.38．（2024高二上·上海長(zhǎng)寧·期中）如圖為正六棱柱，與直線(xiàn)異面的側(cè)棱共有條．

39．（2024高二上·上海虹口·期中）如圖是正方體的平面展開(kāi)圖，在原來(lái)的正方體中（1）與平行；（2）與是異面直線(xiàn)；（3）與垂直；（4）與成．其中正確的序號(hào)是．40．（2024高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，為不重合的兩個(gè)平面，A，B，M，N為空間中不同的四個(gè)點(diǎn)，a為直線(xiàn)，則下列推理正確的是.（填序號(hào)）①，，，；②，，，；③，.41．（2024高一下·天津·期中）直線(xiàn)上所有點(diǎn)都在平面α內(nèi)，可以用符號(hào)表示為．42．（2024高二上·上海浦東新·期中）若直線(xiàn)，直線(xiàn)，則直線(xiàn)b、c的位置關(guān)系為.（用文字表述）43．（2024高一·全國(guó)·單元測(cè)試）若直線(xiàn)a與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線(xiàn)平行，則a與的位置關(guān)系是