北京市某中學(xué)2024屆高三年級下冊階段性測試（零模）數(shù)學(xué)試題（含答案與解析）

北京市第四中學(xué)2024屆下學(xué)期階段性測試（零模）

高三數(shù)學(xué)

（試卷滿分：150分考試時間：120分鐘）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在

本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題

目要求的一項(xiàng).

1,已知集合人={%1。4尤<3},B={x|log3x<l}；則（）

A.[0,3]B,[0,3）C.（0,3）D,（0,3]

2.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)，（2-7）對應(yīng)的點(diǎn)位于

A第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.命題“*e（0,+8）,lnx=x—l”的否定是（）

A.e（0,-H?）,lnx^x-1B.*史（0,+co）,lnx=x-l

C.V%e（0,+oo）,lnxwx-lD.Vx^（0,+oo）,lnx=x-l

2

4.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，設(shè)耳，耳是雙曲線C:V—匕=1的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)/在。上，且

,-2

M4.9=0,則△耳心M的面積為（）

A.叢B.2C.75D.4

5.函數(shù)/'（%）=2*+無，g（x）=log2X+x,//（x）=?+x的零點(diǎn)分別為b,c,貝！|a,b,c,的

大小順序?yàn)椋ǎ?/p>

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

6.在平面直角坐標(biāo)系x0y中，已知P是圓C：（x—3y+（y—4）2=1上的動點(diǎn).若A（—a,0）,B（a,O）,

a/0,貝的最大值為（）

A.16B.12C.8D.6

7.在無窮項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝中，S“為其前”項(xiàng)和，貝『'｛4｝既有最大值，又有最小值”是“｛S'｝既有最大

值，又有最小值''的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

JT1

8.在JLBC中，B=—,邊上的高等于一3C,則cosA=（）

43

A3M口回「加n3而

A.----------D.--------U.-----------U.--------------

10101010

9.在棱長為I的正方體ABC?！狝4G2中，點(diǎn)尸是棱CG的中點(diǎn)，P是正方體表面上的一點(diǎn)，若

10.如圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡化模型，在某高峰時段，單位時間進(jìn)出路口A,3,C,的機(jī)動車輛數(shù)如

圖所示，圖中石加2，七分別表示該時段單位時間通過路段AB,BC,C4的機(jī)動車輛數(shù)（假設(shè)：單位時間

內(nèi)，在上述路段中，同一路段上駛?cè)肱c駛出的車輛數(shù)相等），則（)

A.Xj>x2>x3B,xr>x3>x2C.x2>x3>xxD.x3>x2>

二、填空題：共5小題，每小題5分，共25分.

11.已知等差數(shù)列｛4｝滿足％=2,公差且4,&，%成等比數(shù)列，則/=.

12.工)的展開式中常數(shù)項(xiàng)為.(用數(shù)字作答)

2

13.拋物線f=—4y的焦點(diǎn)到雙曲線匕-V=1的漸近線的距離為.

3

14.在平面直角坐標(biāo)系中，角戊的始邊為x軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓。交于點(diǎn)尸(P不在坐標(biāo)軸

上).過點(diǎn)尸作x軸的垂線，垂足為若記為點(diǎn)/到直線O尸的距離，則的最大值為

，此時a的一個取值為.

15.設(shè)〃是正整數(shù)，且“22,數(shù)列&｝,但｝滿足：q=a(a>0),磯=%+%左=1,2,…,〃—1),

bk左=1,2,…數(shù)列｛4｝的前左項(xiàng)和為，.給出下列四個結(jié)論：①數(shù)列｛4｝為單調(diào)遞增數(shù)

+〃

列，且各項(xiàng)均為正數(shù)；②數(shù)列｛仇｝為單調(diào)遞增數(shù)列，且各項(xiàng)均為正數(shù)；③對任意正整數(shù)，

左e｛l,2,—1｝,Sk=----.④對任意正整數(shù)左e｛1,2,…㈤，S/1.其中,所有正確結(jié)論的序號

aak+\

是.

三、解答題：共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.已知函數(shù)/(x)=cosX(A/3sin%-cos+-

TT

(1)求/(學(xué)的值；

JT

(2)當(dāng)xe[O,—]時，不等式c</(x)<c+2恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍.

2

JT

17.如圖，在四棱錐P—ABCD中，平面？A3,平面43。。,4。//3。,/43。=—,24=依=3,

2

5c=1,AB=2,AD=3,點(diǎn)。是AB的中點(diǎn).

(1)求證：POLCD；

(2)求直線CP與平面POD所成角正弦值.

18.已知表1和表2是某年部分日期的天安門廣場升旗時刻表.

表1：某年部分日期天安門廣場升旗時刻表

日期升旗時刻日期升旗時刻日期升旗時刻日期升旗時刻

1月1日7:364月9日5：467月9日4：5310月8日6：17

1月12日7:314月28日5：197月27日5：0710月26日6：36

2月10日7：145月16日4：598月14日5：2411月13日6：56

3月2日6:476月3日4：479月2日5：4212月1日7：16

3月22日6：156月22日4：469月20日5：5912月20日7：31

表2：某年2月部分日期的天安門廣場升旗時刻表

日期升旗時刻日期升旗時刻日期升旗時刻

2月1日7：232月11日7：132月21日6：59

2月3日7：222月13日7：112月23日6：57

2月5日7：202月15日7：082月25日6:55

2月7日7：172月17日7：052月27日6：52

2月9日7：152月19日7：022月29日6：49

(1)從表1的日期中隨機(jī)選出一天，試估計這一天的升旗時刻早于7：00的概率；

(2)甲，乙二人各自從表2的日期中隨機(jī)選擇一天觀看升旗，且兩人的選擇相互獨(dú)立.記X為這兩人中

觀看升旗的時刻早于7：。。的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；

31

(3)將表1和表2中的升旗時刻化為分?jǐn)?shù)后作為樣本數(shù)據(jù)(如7:31化為7—).記表2中所有升旗時刻

60

對應(yīng)數(shù)據(jù)的方差為$2,表1和表2中所有升旗時刻對應(yīng)數(shù)據(jù)的方差為點(diǎn)，判斷/與短的大小.(只需寫

出結(jié)論)

22

19.已知橢圓。：=+與=1(?！?〉0)的左頂點(diǎn)為4(-2,0),兩個焦點(diǎn)與短軸一個頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角

ab

形，過點(diǎn)P(LO)且與X軸不重合的直線/與橢圓交于M,N兩點(diǎn).

(1)求橢圓。的方程；

(2)若過點(diǎn)P且平行于40的直線交直線x于點(diǎn)Q,求證：直線NQ恒過定點(diǎn).

2

20.已知函數(shù)/(x)=x-alnx.

(1)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(L/(1))處的切線方程；

(2)求/(x)的單調(diào)區(qū)間;

(3)若關(guān)于尤方程x-alnx=O有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，記較小的實(shí)數(shù)根為n,求證：(a-l)x0>a

21.對給定的正整數(shù)“，令?！?{<?=(?,見，…,qe{0，l}"=L2,…,附},對任意的

%,毛，…，%)，>=(%，％，…，％)，定義x與y的距離

-

d(x,y)=I%；-yj+|-x2^1++|^?-y?|?設(shè)A是?！ǖ暮兄辽賰蓚€元素的子集，集合

。={d(x,y)|xHy,x,yeA}中的最小值稱為A的特征，記作力(A).

(1)當(dāng)〃=3時，直接寫出下述集合的特征:

A={(O,O,O),(l,l,l)},JB={(O,O,O),(O,l,l),(l,O,l),(l,l,O)},C={(O,O,O),(O,O,l),(O,l,l),(l,l,l)}；

（2）當(dāng)“=2020時，設(shè)4口￡12020且%（4）=2,求A中元素個數(shù)的最大值；

?2020

（3）當(dāng)“=2020時，設(shè)4口。2020且2（A）=3,求證：A中的元素個數(shù)小于垢■.

參考答案

一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題

目要求的一項(xiàng).

1,已知集合4={xl°Vx43},B={x|log3x<l}；則（）

A.[0,3]B,[0,3）C.（0,3）D,（0,3]

【答案】A

【解析】

【分析】先解對數(shù)函數(shù)不等式化簡集合8,然后利用并集運(yùn)算求解即可.

【詳解】因?yàn)?={x|log3x<l}={x[0<x<3},

又4={%|0<%<3},所以4°5={X|04%43}=[0,3].

故選：A

2.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)，（2-7）對應(yīng)的點(diǎn)位于

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【解析】

【詳解】試題分析：z（2-z）=l+2z,對應(yīng)的點(diǎn)為（1,2）,在第一象限

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)運(yùn)算

3.命題“Bxe（0,+8）,lnx=x—l”的否定是（）

A.Bxe（0,-H?）,lnxwx—lB.3xg（0,+co）,lnx=x-l

C.Vxe（0,-Ko）,inx^x-1D.Vx^（0,+oo）,lnx=x-l

【答案】C

【解析】

【分析】結(jié)合特稱命題的否定的方法即可.

【詳解】命題“Hxe（0,+co）,111%=%-1”的否定是\/%^（0,4<0）,lnx^x-1.

故選：C

2

4.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，設(shè)耳，工是雙曲線C：/-匕=1的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)/在。上，且

一2

M4耳=0,則△耳巴加的面積為（）

A.叢B.2C.75D.4

【答案】B

【解析】

【分析】利用雙曲線的幾何性質(zhì)求解即可.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)/在。上，耳，耳是雙曲線的兩個焦點(diǎn)，

由雙曲線的對稱性不妨設(shè)班>MF2,

則\MF\-\MF^\=2a=2①，F(xiàn)[F?=2C=2^1a2+b2=273，

因?yàn)??5=0,所以

由勾股定理得|八您『+|"且『=|4用『=12②，

①②聯(lián)立可得|兒陰|=6+1，陽閶=百一1,

所以S*2M=g|M用|MK|=2,

故選：B

5.函數(shù)〃￡)=2*+%,g(%)=log2^+x,秋龍)=?+x的零點(diǎn)分別為。，b,c,貝5|a,b,c,的

大小順序?yàn)?)

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

【答案】C

【解析】

【分析】利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合求解即可.

【詳解】令/(x)=0,即2、=-x，

令g(x)=O,即log2X=—x,

令〃(x)=0,即、Q=-x，分別作出y=2",y=log2x,y=4和丁=一％的圖象，

如圖所示：

由圖象可知：c=0,所以6>c>a.

故選：C.

6.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知尸是圓C：(x—3p+(y—4)2=1上的動點(diǎn).若A(—a,0),B(a,O),

awO,貝1PA+Pq的最大值為()

A.16B.12C.8D.6

【答案】B

【解析】

分析】根據(jù)題意得至|]|弘+。5卜2|/30],|尸0[儂=|0。|+1,即可得到答案.

【詳解】因?yàn)閨巳4+而|=2，。],|尸。||OC|+1=A/32+42+1=6,

max

所以|PA+網(wǎng)=12.

IImax

故選：B

7.在無窮項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝中，S“為其前〃項(xiàng)的和，貝產(chǎn)｛%｝既有最大值，又有最小值”是“｛S,,｝既有最大

值，又有最小值''的()

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)出公比為*0)，分4〉0且q>l,q〉0且0<q<l,%<0且q>l,q<0且0<q<l,

q<0且_l<q<0,%<0且-!<q<0,4<-1及4=±1等情況，進(jìn)行分類討論，從而得到答案.

【詳解】設(shè)公比為q(qwO),當(dāng)q〉0,q>l時，/=卬/“〉0,

1

此時??+1-an=%q'-%q"T=(q—1)>0,

故。例>4>0,所以｛與｝為單調(diào)遞增數(shù)列，此時｛4｝無最大值，

｛Sj無最大值，

nl

當(dāng)q〉0,。<q<1時，an=a｝q~>0,

1

此時??+1-an=%q'-%q"T=(q—1)<0,

故0<?！?1</，所以｛與｝為單調(diào)遞減數(shù)列，此時｛4｝無最小值，

｛Sj無最大值，

x

當(dāng)。1<0時，q>l時，an=ax(i'~<0,

l

此時??+1-an=%q'一%q"T=(q—1)<0,

故4+i<0,所以｛4｝為單調(diào)遞減數(shù)列，此時｛4｝無最小值，

｛Sj無最小值，

nx

當(dāng)。1<0時，0<q<l時，an=axq~<0,

此時?！?1—a?=%q”-01dl=0rq"T(q—1)>0,

故0〉4M〉4,所以｛4｝為單調(diào)遞增數(shù)列，此時｛4｝無最大值，

｛S〃｝無最小值，

當(dāng)—l<q<0時，｛4｝為擺動數(shù)列，

且1%H。」=同⑷"-Mb尸=同/尸(|4-1)<0,

故，“+/<，,J,所以隨著九的增大，=qq"T趨向于0,

故｛4｝有最大值，也有最小值，

若q〉0且一l<q<0,s="1。4)〉0,

"If

n

Sn+i~Sn=an+i=aiq,當(dāng)九為奇數(shù)時，Sn+l<Sn,當(dāng)〃為偶數(shù)時，Sn+l>Sn,

且隨著”的增大，s=q0—)趨向于J」,

"1-q"q

2

其中F_SI=^<0,2_S2='_q(l+q)="〉0,

1-q1-q1-ql-q1-q

故■——<S］且-1->S,

1-q1-q2

故⑸｝有最大值也有最小值邑，

若q<0且一l<q<0,s=%I")<0,

'1-q

n

Sn+i~Sn=an+i=aiq,當(dāng)九為奇數(shù)時，Sn+l>Sn,當(dāng)〃為偶數(shù)時，Sn+l<Sn,

且隨著”的增大，s=q0一二)趨向于4,

"1-q"q

2

其中廣」_廿=普〉0,衛(wèi)_S2=’——q(l+q)="<0,

1-q1-q1-ql-q1-q

故1>H且1<S,

1-q1-q2

故｛Sj有最大值S2,也有最小值S「

nl

當(dāng)4<一1時，an=axq~,｛4｝為擺動數(shù)列，

且|?！?卜|?！?同時-同卜尸=同/尸側(cè)T)>。，

故|4+1|>W,所以隨著〃的增大,=6q"T趨向于正無窮或負(fù)無窮,

故｛4｝無最大值，也無最小值，

此時｛S“｝無最大值，無最小值，

當(dāng)q=l時，｛4｝為常數(shù)列，此時｛4｝有最大值，也有最小值，

此時｛S“｝無最大值或無最小值，故充分性不成立，

當(dāng)q=-I時，｛4｝有最大值，也有最小值，

此時｛S”｝有最大值和最小值，

綜上，當(dāng)｛S“｝既有最大值，又有最小值時，｛4｝既有最大值，又有最小值，

必要性成立，

故"｛%｝既有最大值，又有最小值”是“｛S,,｝既有最大值，又有最小值”的必要不充分條件.

故選：B

71、1

8.在ABC中，B=—,邊上的高等于一3C,則cosA=()

43

A3MRA/10「師n3M

10101010

【答案】c

【解析】

【詳解】試題分析：設(shè)

2]

AD=anAB=41a,CD=2a,AC=非ansina=cosa=—,sin/?=,cosB=—^ncosA

2\J5

=cos(o+，)=一^^~，故選C.

考點(diǎn)：解三角形.

9.在棱長為I的正方體ABC。—A4G2中，點(diǎn)尸是棱CG的中點(diǎn)，P是正方體表面上的一點(diǎn)，若

D.PLAF,則線段長度的最大值是（）

A.夜B.叵

4

3L

C.—D.石

【答案】C

【解析】

【分析】通過線面垂直的性質(zhì)找到點(diǎn)P的軌跡，然后利用梯形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】連接4。,5。，4￡,與。，正方體ABC?！?4GR中，9，平面ABC，，

四邊形是正方形，因?yàn)锽Ru平面，所以AA，用。1,

又ACLBQi，A41cAe1=A，且"u平面AACCI,AGu平面A]ACC],

所以42，平面AACCi，因?yàn)?U平面AACC1，所以用RLAE,

所以當(dāng)點(diǎn)P在線段BQ（點(diǎn)2除外）時，D.P1AF,取8。的中點(diǎn)E,連接BR與E,

在正方形45CG中，因?yàn)镋為8c的中點(diǎn)，歹是棱CG的中點(diǎn)，所以BBL與E,因?yàn)锳31平面

B[BCC[,gEu平面用BCG，所以A3,4E,因?yàn)锳BBF=B,

且ABu平面AB/，5Fu平面AB/，所以用EJ_平面AB尸，又"u平面AB產(chǎn)，

所以4ELAF,因?yàn)橛肊BA=B],且qAu平面。內(nèi)石，與Eu平面￡>畫￡,

所以"，平面〃青￡,設(shè)平面ABiEc平面A5CD=GE,則GE//。用，所以GE//DB,

則G是棱CD的中點(diǎn)，

所以當(dāng)點(diǎn)尸在正方體ABCD-A.B^D,的表面線段一8也一EG—GA上時，D.P±AF,

由題意可知，在梯形RGE4中，D,B.=42,D]G=B、E=6,EG=—>

111122

*=J2C；+CE=^71=|,

3

所以線段，P長度的最大值是。E=Q.

故選：C

10.如圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡化模型，在某高峰時段，單位時間進(jìn)出路口A,B,C,的機(jī)動車輛數(shù)如

圖所示，圖中石,々，七分別表示該時段單位時間通過路段AB,BC,C4的機(jī)動車輛數(shù)（假設(shè)：單位時間

內(nèi)，在上述路段中，同一路段上駛?cè)肱c駛出的車輛數(shù)相等），則（)

A.xr>x2>x3B,xr>x3>x2C.x2>x3>XjD.x3>x2>

【答案】c

【解析】

【分析】

根據(jù)每個三岔路口駛?cè)肱c駛出相應(yīng)的環(huán)島路段的車輛數(shù)列出等量關(guān)系，即可比較出大小.

【詳解】依題意，有石=50+工3-55=1：3-5,所以藥<%3，

同理，x2=30+X]-20=%1+10,所以占<%2，

同理，=30+%-35=%一5,所以吃<了2，

所以王<W<9.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查不等關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：共5小題，每小題5分，共25分.

11.已知等差數(shù)列｛4｝滿足％=2,公差dwO,且%,%，生成等比數(shù)列，則4=.

【答案】4

【解析】

【分析】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)計算求解即可.

【詳解】因?yàn)?=2,1,%,“5成等比數(shù)列，所以蟾=。陷5，即（2+d）2=2（2+4d）,

即d2—4d=0，解得d=4或4=0（舍）.

故答案為：4

12.p--"|的展開式中常數(shù)項(xiàng)為.（用數(shù)字作答）

【答案】15

【解析】

【詳解】|^X*12--j的展開式的通項(xiàng)公式為4+|=G（-l「M2-2r.K=C1—l）＜M2-3r,令12-3r=0,

r=4,故該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C：=15,故答案為15.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查二項(xiàng)展開式定理的通項(xiàng)與系數(shù)，屬于簡單題.二項(xiàng)展開式定理的問題也是高考

命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項(xiàng)展開式的

通項(xiàng)公式4+1=（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二

項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)展開式定理的應(yīng)用.

2

13.拋物線/=一4了的焦點(diǎn)到雙曲線1-爐=1的漸近線的距離為.

【答案】g##0.5

【解析】

【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、雙曲線的漸近線方程，再利用點(diǎn)到直線距離公式計算即得.

2

【詳解】拋物線/=_4y的焦點(diǎn)/（0,—1）,雙曲線尤2=i的漸近線方程為'=±氐，

,11

所以點(diǎn)尸到直線七拒x—y=0的距離為&=j（后+（以=3-

故答案為：g

14.在平面直角坐標(biāo)系x0y中，角a的始邊為無軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓。交于點(diǎn)P（P不在坐標(biāo)軸

上）.過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為若記〃為點(diǎn)M到直線。尸的距離，則〃o）的最大值為

，此時《的一個取值為.

17T

【答案】①.5#融5②.一（答案不唯一）

24

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用三角函數(shù)的定義得P（cosa,sina）,再利用等面積法求得了（c）,借助正弦函

數(shù)性質(zhì)求得答案.

【詳解】依題意，P（cosa,sina）,orGR且aw今,左eZ,|。青=1,|。叫=上（尤況|"？］=同11目，

由/(a)=,得f(a)=|cosa|?|sina|二g|sin2al<g,

jrjrKir

當(dāng)且僅當(dāng)sin2a=—1或sin2a=1,即2a=—卜kit,kcZ,ct——i---，左wZ時取等號,

242

所以/(。)的最大值為J,?=-+—,^eZ.

242

故答案為：y;一

24

\P^-+-

15.設(shè)"是正整數(shù)，且?guī)住?,數(shù)列｛4｝,｛4｝滿足：al=a(a>0),a-=為+"(4=1,2,—1),

瓦=」一@=1,2,…⑷,數(shù)列也｝的前上項(xiàng)和為給出下列四個結(jié)論：①數(shù)列｛以｝為單調(diào)遞增數(shù)

十〃

列，且各項(xiàng)均為正數(shù)；②數(shù)列｛4｝為單調(diào)遞增數(shù)列，且各項(xiàng)均為正數(shù)；③對任意正整數(shù),

左e｛l,2,—1｝,Sk=-一一—.④對任意正整數(shù)左w｛1,2,…，科，S—l.其中，所有正確結(jié)論的序號

aak+i

是.

【答案】①③④

【解析】

2

【分析】由4+1—為="〉0和4〉。可確定①正確；由4+1-d<0知②錯誤；根據(jù)已知等式可得

1a.114口a,+n,11

——J=-------及一，推導(dǎo)得到4=--------,加和可得③正確；由己知等式可推導(dǎo)得到

n

4+1ak4+iaknak%+i

11111,

-------->一一，累加得到>—1,進(jìn)而得到又<1,知④正確.

a*+iakn4+ia

【詳解】對于①,，4=a(a>0),.?.4+「為=紜〉0,.??數(shù)列｛分｝為單調(diào)遞增數(shù)歹U，

n

.,.W〉0,即數(shù)列｛4｝各項(xiàng)均為正數(shù)，①正確;

7711ak-aki

對于②,bk+i_4=-------------二7-------v-+----

%+i+〃以+〃（以+i+〃）（%+〃

由①知:ak+l+n>0,ak+n>0,4一。川<0,.,.數(shù)列｛4｝單調(diào)遞減數(shù)列，②錯誤;

a

,a}ZHa[.1k_1]

對于③,aa

由4+1=4+上得：—=k+i-k'一----------------

nn〃ak+\akak+\

又以+i=]+”=%+..b=]-以=J__]

naaa

aknn以+〃k+\kk+\'

\____]__1___]__￡__1_

a2a?^^3akak+la\ak+laak+\

21_-_11

對于④，由以+i=W+"得:

aan

n4+i4（W+〃）kk+

1?____1____—__1______、1___

4+1?!.ak+nn

1（11W1

ak+\\ak+lak7\akak-l7\a2a\)a\〃

111111.1.

-----<1,.=-------<—+1=1,即既<1,④正確.

ak+iaaak+iaa

故答案為：①③④.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系式研究數(shù)列相關(guān)性質(zhì)及前〃項(xiàng)和的問題；求解關(guān)鍵是能

711111

夠?qū)σ阎f推關(guān)系式進(jìn)行變形，得到為=--------、---------=-------等關(guān)系式，結(jié)合累加法、放縮

akak+lak+lakak+n

法來進(jìn)行求解.

三、解答題：共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16已知函數(shù)/(x)=cosx(&sinx-cosx)+g.

(1)求%)的值；

JT

(2)當(dāng)xe[O,—]時，不等式。</(幻<。+2恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍.

2

【答案】(1)1；(2)(―1,——).

【解析】

【分析】(1)利用二倍角公式及兩角差的正弦公式化簡，再代入求值即可；

71

(2)由尤的取值范圍求出2x—-的取值范圍，從而得到函數(shù)的值域，由c</(x)<c+2,即可得到不等

6

式組，解得即可；

【詳解】解：(1)/(%)=V3sinxcosx-cos2x+-=—sin2x--cos2x=sin(2%--),所以

2226

嗎4

(2)因?yàn)镺VxV巴，所以—巴K2x—巴《2,所以—L<sin(2x—工]<1.

26662I6)

一1

由不等式c</(x)<c+2恒成立，得<c<—2,解得一1<。<」].

c+2〉l2

所以實(shí)數(shù)c的取值范圍為[-1,-g].

【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換與三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

JT

17.如圖，在四棱錐P—ABCD中，平面上鉆，平面ABCZZAD/ABCNABCM—,PAMPBMB,

2

BC=1,AB=2,AD=3,點(diǎn)。是AB的中點(diǎn).

(1)求證：POLCD；

(2)求直線CP與平面POD所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；

【解析】

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用面面垂直的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)推理即得.

(2)以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)及向量的坐標(biāo)，利用空間向量求出線面角的正弦.

【小問1詳解】

在四棱錐P—A6CD中，由=點(diǎn)。是A3的中點(diǎn)，得P0JLA3,

而平面？平面ABCD,平面HIBc平面ABCD=AB,POu平面R45，

則PO1平面A3CD,又CDu平面A3CD,

所以POLCD.

【小問2詳解】

在平面A3CD內(nèi)過點(diǎn)。作Oy由(1)知直線0y,。尸兩兩垂直，

以點(diǎn)。為原點(diǎn)，直線OB,Oy,OP分別為x,%z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

JT---------_

由AD//BC,ZABC=QPA=PB=3,5c=1,A3=2,AD=3,得PO={PB。-O百=2百，

則0(0,0,0),P(0,0,2應(yīng)),C(l,1,0),D(-l,3,0),PC=(1,1,-272),OP=(0,0,272),OD=(-1,3,0),

n-OP=2>/2z=0

設(shè)平面POD的一個法向量〃=(x,y,z),則＜,令y=i,得〃=(3,1,0),

n-OD=-%+3y=0

所以直線CP與平面POD所成角的正弦值為Icos(n,PC)|='\n-PC'\=~4-2

177IIPC|VlOxVlO5

18.已知表1和表2是某年部分日期的天安門廣場升旗時刻表.

表1：某年部分日期的天安門廣場升旗時刻表

日期升旗時刻日期升旗時刻日期升旗時刻日期升旗時刻

1月1日7:364月9日5：467月9日4：5310月8日6：17

1月12日7:314月28日5：197月27日5：0710月26日6：36

2月10日7：145月16日4：598月14日5:2411月13日6：56

3月2日6：476月3日4：479月2日5：4212月1日7：16

3月22日6：156月22日4：469月20日5：5912月20日7：31

表2：某年2月部分日期的天安門廣場升旗時刻表

日期升旗時刻日期升旗時刻日期升旗時刻

2月1日7：232月11日7：132月21日6：59

2月3日7：222月13日7：112月23日6：57

2月5日7：202月15日7：082月25日6：55

2月7日7：172月17日7：052月27日6:52

2月9日7：152月19日7：022月29日6：49

(1)從表1的日期中隨機(jī)選出一天，試估計這一天的升旗時刻早于7：00的概率；

(2)甲，乙二人各自從表2的日期中隨機(jī)選擇一天觀看升旗，且兩人的選擇相互獨(dú)立.記X為這兩人中

觀看升旗的時刻早于7:00的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；

31

(3)將表1和表2中升旗時刻化為分?jǐn)?shù)后作為樣本數(shù)據(jù)(如7:31化為7—).記表2中所有升旗時刻

60

對應(yīng)數(shù)據(jù)的方差為§2,表1和表2中所有升旗時刻對應(yīng)數(shù)據(jù)的方差為蟾，判斷d與4的大小.(只需寫

出結(jié)論)

3

【答案】(1)-

4

(2)分布列見解析，石(乂)=|

(3)s1<s；

【解析】

【分析】(1)記事件A為“從表1的日期中隨機(jī)選出一天，這一天的升旗時刻早于7:00”，在表1的20

個日期中，有15個日期的升旗時刻早于7:00,由此能求出從表1的日期中隨機(jī)選出一天，這一天的升旗

時刻早于7:00的概率；

(2)X可能的取值為0,1，2,記事件B為“從表2的日期中隨機(jī)選出一天，這一天的升旗時刻早于7:00

51-2

則P(3)=至=§.P(B)=1-P(B)=-,由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)由方差性質(zhì)推導(dǎo)出52<s：.

【小問1詳解】

記事件A為“從表1的日期中隨機(jī)選出一天，這一天的升旗時刻早于7:00”，

在表1的20個日期中，有15個日期的升旗時刻早于7:00,

P(A)

v7204

【小問2詳解】

X可能的取值為0,1，2.

記事件B為“從表2的日期中隨機(jī)選出一天，這一天的升旗時刻早于7:00”，

51-2

則尸(3)=話=§.P(B)=1-P(B)=-.

--4

p(x=o)=p(B)p(B)=g,

P(X=2)=P(B)P(B)=^,

所以X的分布列為：

X012

P441

999

4412

E(X)=0x—+lx—+2x—=—.

9993

【小問3詳解】

由表1所有升旗時刻對應(yīng)數(shù)據(jù)比較集中，而表2所有升旗時刻對應(yīng)數(shù)據(jù)比較分散，可得s2<s\

19.已知橢圓C：=+當(dāng)=l(a〉A(chǔ)〉O)的左頂點(diǎn)為4(—2,0),兩個焦點(diǎn)與短軸一個頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角

ab

形，過點(diǎn)P(l,o)且與X軸不重合的直線/與橢圓交于M,N兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；

(2)若過點(diǎn)尸且平行于40的直線交直線x=2于點(diǎn)Q,求證：直線NQ恒過定點(diǎn).

2

22

【答案】(1)L+2L=i

43

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)由題意列關(guān)于”,仇c的方程組，即可得到結(jié)果；

(2)設(shè)方程為1=磔+1,"(%,%),N&M，聯(lián)立直線MN方程和橢圓的方程可得

3

7〃%%=萬(必+%)，表示出直線NQ方程，對稱性可知直線N。恒過的定點(diǎn)在無軸上，令y=°，將

3

僅vi%=萬(乂+%)代入化簡即可得出答案.

【小問1詳解】

由題意得，a=