全等模型-角平分線模型（解析版）-2024年中考數(shù)學(xué)常見幾何模型

全等模型-角平分線模型

角平分線在中考數(shù)學(xué)中都占據(jù)著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的?？贾R點,需要掌握其各類

模型及相應(yīng)的輔助線作法，且輔助線是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容中的弱點，本專題就角平分線的幾類全等模

型作相應(yīng)的總結(jié)，需學(xué)生反復(fù)掌握。

模型1.角平分線垂兩邊（角平分線+外垂直）

【模型解讀與圖示】

條件:如圖1,OC為AAOB的角平分線、CA±OA于點月時，過點。作CA±OB.

結(jié)論：CA=CB、AOA?？誂OBC.

圖1圖2

常見模型1（直角三角形型）

條件:如圖2,在bABC中，/C=90°,AD為NCAB的角平分線,過點。作DE_LAB.

結(jié)論：DC=DE、kDAC法ADAE.（當(dāng)ZVLBC是等腰直角三角形時，還有AB=AC+CD.＞）

圖3

常見模型2（鄰等對補(bǔ)型）

條件:如圖3,OC是/COB的角平分線，AC=BC,過點。作

結(jié)論t①ZBOA+ZACB=180°；②力。=BE；③。4=QB+2AD.

網(wǎng)］1（2022?北京?中考真題）如圖，在AABC中，AD平分若47=2,DE=1,則S&ACD=

A

【答案】1

【分析】作。FLAG于點F,由角平分線的性質(zhì)推出DF=DE=1,再利用三角形面積公式求解即可.

【詳解】解:如圖，作。F，AC于點F,

?.?人。平分/34。，DE±AB,DF.LAC,：.DF=DE=1,

SAAC°=-^-AC?DF=x2x1-1.故答案為：1.

【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，通過作輔助線求出三角形ACD中AC邊的高是解題的關(guān)鍵.

血12(2022.山東泰安.中考真題)如圖，△ABC的外角/ACD的平分線CP與內(nèi)角/4BC的平分線BP交于

點P,若/BPC=40°,則/CAP=()

【答案】。

【分析】根據(jù)外角與內(nèi)角性質(zhì)得出ABAC的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定，得

出/C4P=/用4P,即可得出答案.

【詳解】解:延長區(qū)4,作PN_LBD,PF_LB4PM_LAC,設(shè)/PCD=,

：CP平分AACD,/.AACP=ZPCD=x°,PM=PN,

■：BP平分AABC,：.AABP=NPBC,PF=PN,：.PF=PM,

?/NBPC=40°,/.ZABP=2PBe=NPCD-ZBPC=Q-40)°,

AZBAC=AACD-AABC=2x°-(d-40°)-(/-40°)=80°,二ACAF=100°,

PA=PA

在Rt/^PFA和Rt^PMA中，｛,

PM^PF

：.Rt^FA篤RtAPMA?),：.NFAP=ZPAC=50°.故選C.

【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)和直角三角全等的判定等知識，根據(jù)角平分線

的性質(zhì)得出PW=PN=P尸是解題的關(guān)鍵.

的3(2023?廣東中山?八年級校聯(lián)考期中)如圖，/XABC中，/AB。、/區(qū)4。的角平分線BP、AP交于點P,延

長BA、BC,PM±BE,PN±BF,則①CP平分ZACF；?ZABC+2NAPC=180°；③/ACB=

2/APB；④S^AC=Ss+S,cp.上述結(jié)論中正確的是()

A.①②B.①③C.②③④D.①②③④

【答案】。

【分析】過點P作PD±47于O,根據(jù)角平分線的判定定理和性質(zhì)定理即可判斷①結(jié)論;證明R但AM

空①APAD(RL),Rt/\PCDTRtAPCN(HL),得出/APM=AAPD,=/CPN,進(jìn)而得到

￡MPN=2ZAPC,再利用四邊形內(nèi)角和，即可判斷②結(jié)論;根據(jù)角平分線的定義和三角形的外角性質(zhì)，即

可判斷③結(jié)論;根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可判斷④結(jié)論.

【詳解】解:①如圖，過點P作PD_L人。于。，

BP平分AABC,PM±BE,PN±BF,：.PM=PN,

?：AP平分AEAC,PM±BE,PD_LAC,：.PM=PD,：.PN=PD,

?：PN_LBF,PD±AC,.?.CP平分乙4CF,①結(jié)論正確；

②?/PM±BE,PD_LAC,PN±BF,：.APMA=APDA=/PNB=90°,

(PM=pn

在Rt^PAM^Rt^PAD中，Q_口4,ARt/^PAM^Rt4PAD(HL),

AAPM=AAPD,同理可得，RtNPCDWRt4PCN(HL),：.ACPD=4CPN,

：.4MpN=AAPM+AAPD+ACPD+4CPN=2(NAPD+4CPD)=24ApC,

■：AABC+Z.PNB+AMPN+APMA=360°,/.AABC+AMPN=360°-Z.PNB一APM?A=M180°,

乙4BO+2乙4PC=180°,②結(jié)論正確；③???？!9平分/E47,.?./CAE=2/AMP,

?/ZCAE=ZABC+AACB,/MAP=/ABP+NAPB,：.AABC+AACB=2(ZABF+AAPB),

???BP平分/ABC,/.AABC=2AABP,：.2ZABP+AACB=2AABP+2ZAPB,：./ACB=2/APB,

③結(jié)論正確；

④由②可知，Rt/\PAMgRt/\PAD,Rt/\PCD空Rt/^PCN,：.S.71M=4p,S"CD=S^CN,

S"AC=^APAD^'S&PCD，,:S"AC=S"(JN：?SACPN=SAAPC，④結(jié)論正確，

：.正確的結(jié)論是①②③④,故選：D

【點睛】本題考查了角平分線的平分線的判定定理和性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和，

三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解題關(guān)鍵.

題4(2023秋?浙江?八年級專題練習(xí))如圖，四邊形ABDC中，/。=AABD=90°,點。為的中點，且OA

平分/BAG.(1)求證：OC平分/4CD；⑵求證：OA，。。；(3)求證：AB+CD=AC.

【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析

【分析】⑴過點。作于E,根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，可得OB=OE,從而

求出。B=OD,然后根據(jù)到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上證明即可；

(2)利用,證明Rt/\ABOgRtAAEO,根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等，可得AAOB=/AOE,同理可得

NCOD=NCOE,然后求出乙4。。=90°,再根據(jù)垂直的定義即可證明；⑶根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等,

可得AB=AE,CD=CE,然后根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系，即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：過點。作OE_LAC于E,

?/NABD=90°,04平分ABAC,：.OB=OE,

?.?點。為BO的中點，,OB=OD,：.OE=OD,叉：90°,二OC平分AACD-,

(2)證明：在Rt/\ABO和Rt^AEO中,

AO=AO

口,：.Rt4ABOWRt/\AEO(HL),：?^AOB=ZAOE

013—Oh/f

在Rt/\CEO和Rt^CDO中，jOE=go，，RtACEO空RtACDO(HL),

ACOD=ACOE,：.AAOC=AAOE+4cOE=yx180°=90°,/.OA±OC;

(3)證明：：Rt/\ABO空Rt^AEO,：.AB=AE,

Rt/\CEO篤RtACDO,：.CD=CEJ：AE+CE^AC,：.AB+CD^AC.

【點睛】本題考查了角平分線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、垂線的定義，熟記性質(zhì)并作輔助線

構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.

而]5（2022?河北?九年級專題練習(xí)）已知OP平分/AOB,乙DCE的頂點C在射線OP上，射線CD交射線

OA于點F,射線CE交射線于點G.

（1）如圖1,若CDLO4請直接寫出線段CF與CG的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖2,若AAOB=120°,4DCE=AAOC,試判斷線段CF與CG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】（1）CF=CG-,⑵CF=CG,見解析

【分析】⑴結(jié)論CF=CG,由角平分線性質(zhì)定理即可判斷.（2）結(jié)論：。歹=。3,作。打，。4于河，CN

_LOB于N,證明△CMF名△CWG,利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題.

【詳解】解：（1）結(jié)論：CF=CG;

證明：「OP平分乙4OB,CF±OA,CG_LOB,.?.CF=CG（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）;

⑵CF=CG.理由如下:如圖，過點。作CM,CM,CN±OB,

?：0P平分ZAOB,CM±OA,CN±OB,ZAOB=120°,

CM=CZV（角平分線上的點到角兩邊的距離相等），AAOC=ABOC=60°（角平分線的性質(zhì)），

?/NDCE=AAOC,：.ZAOC=ZBOC=ZDCE=60°,：.AMCO=90°-60°=30°,ZNCO=90°-60°

=30°,

ZMCN=30°+30°=60°,2MCN=ZDCE,

?：AMCF=AMCN-ADCN,2NCG=2DCE-ADCN,：.2MCF=ANCG,

\〃JMF=2CNG

在4MCF和4NCG中，〈CM=CN:.4MCF叁△NCG（ASA）,

[^MCF=ZNCG

CF=CG（全等三角形對應(yīng)邊相等）.

【點睛】本題考查三角形綜合題、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線

的性質(zhì)的應(yīng)用，熟練證明三角形全等.

模型2.角平分線垂中間（角平分線+內(nèi)垂直）

【模型解讀與圖示】

條件:如圖1,0。為NAOB的角平分線，

結(jié)論：AAOC^ABOC,AOAB是等腰三角形、OC是三線合一等。

圖1

條件:如圖2,8后為AABC的角平分線，8EJ_E。，延長BA,CE交于點F.

結(jié)論：^BEC^^BEF,AB尸。.是等腰三角形、BE是三線合一等。

吼色（2023?山東淄博?校考二模）如圖，點。在△ABC內(nèi)部，BD平分/ABC,且連接CD.若

△BCD的面積為2,則△ABC的面積為.

【答案】4

【分析】延長4D交BC于E,由ASA證明△48?？誂BBD,得出AD=ED,根據(jù)三角形中線的性質(zhì)即可

求解.

【詳解】解:延長40交3。于E,如圖所示：

?/BD平分/ABC,AD垂直于BD,

NABD=AEBD,2ADB=NEDB=90°,

(AABD=AEBD

在△ABD和△￡?￡)中，\BD=BD,

\/ADB=/EDB

：./\ABD空AEBD(ASA),：.AD=ED,

=

S^ADBSABDE，SMDC=SADEC,SAADB+SAADC=S&BDE+SADEC=SABI>C=2,

???△BCD的面積為2,.?.△ABC的面積為4,故答案為：4.

【點睛】此題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積的計算，中線的性質(zhì)，

證明三角形全等得出AD=ED是解題關(guān)鍵.

血］7（2022秋.湖北黃岡.八年級校考期中）如圖，△48。中，4DABAC的角平分線，CD，AD,AC—

AB=5；若$加°的最大值為30,則5。長為.

MS

A

【答案】24

【分析】延長CD和AB相交于點E,構(gòu)造出△ADC空△ADE(ASA),從而求出BE的值;根據(jù)當(dāng)BE_LBC

時，SABCE有最大值求解即可；

【詳解】解:延長CD和AB相交于點E,如圖：

?：AD是4BAC的角平分線二/CAD=/EAD-/CD±AD：.ACDA-ZEDA=90°

AD=AD：./\ADC^/\ADE{ASA):.AC=AE,DC=DE

：.BE^AE-AB^AC-AB^b,S^E=2s

當(dāng)BE，BC時，SABCE有最大值；此時S,E=2sg加=2x30=60,

即：^-BC-BE=60/.BC=6[：2=_120=24

2BE5

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義；通過角平分線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.

的8(2022?綿陽市?九年級期中)在△43。中，48=47,乙氏4。=90,平分乙48。交AC于點D

(1)如圖1,點F為8。上一點，連接AF交B。于點E.若4B=BF,求證：BO垂直平分AF.

(2)如圖2,CE，BD,垂足E在的延長線上.試判斷線段CE和BD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)如圖3,點F為上一點，NEFC=[/ABC,CELEF,垂足為E,EF與AC交于點直接寫出

線段CE與線段FN的數(shù)量關(guān)系.

【答案】⑴見解析；(2)BD=2CE,理由見解析；(3)FM=2CE.

【分析】(1)由BD平分/AB。,可得2ABE=NFBE,可證△ABE"FBE(SAS),可得AE=FE,

/AEB=/FEB=!xl80°=90°即可；(2)延長CE,交氏4的延長線于G,由CE_LBD,NABE=

NFBE,可得GE=2CE=2GE,可證ABAD空^CAG(ASA)，可得BD=CG=2CE-,⑶作FM的中垂

線NH英CF于N,丈FM于H,由FN=MN,MH=FH=可得4NMH=ANBH,由4EFC=

22.5°,可求NABC=AACB=/兒WC=45°,可得NM=CM=FN,由外角4EMC=/.MFC

+NMCF=22.5°+45°=67.5°,可求ZECM=90°—NEMC=22.5°,可證△??如篤△CME(AAS),可得

FH=CE即可.

【詳解】證明(1)VBD平分AABC,：.NABE=AFBE,VBA=BF,BE=BE,：.△ABE空△FBE

(SAS),

：.AE=FE,AAEB=ZFEB=^-x180°=90°,.?.BD垂直平分AF.

(2)BL>=2CE,理由如下：延長CE,交BA的延長線于G,

CE±BD,NABE=NFBE,；.GE=2CE=2GEj；4CED=90°=ABAD,NADB=AEDC,：.

NABD=/GCA,

又AB=AC,ABAD=ACAG,,：.4BAD空△CAG(ASA)，:.BD=CG=2CE,

（3）MW=2CE,理由如下：作FM■的中垂線NH■交CF于N,交FM于A,

:.FN=MN,MH=FH=±FM,：.4NMH=4NBH,

ZEFC=:/ABC=22.5°,ANMNC=22NFH=2x/ABC,

VAB=AC,ABAC=90,：.AABC=AACB=AMNC=45°,：.NM=CM=FN,

■：ZEMC=ZMFC+ZMCF=22.5°+45°=67.5°,ZECM=90°-AEMC=22.5°,/.2NFH=AMCE,

又/FHN=NE=90°,：.AFNH^^CME（AAS）,：.FH=CE,:.FM=2FH=2CE.

【點睛】本題考查角平分線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，線段垂直平分線，三角

形外角性質(zhì)，掌握角平分線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，線段垂直平分線是解

題關(guān)鍵.

題9（2022.安徽黃山?九年級期中）如圖，在^ABC中，ABAC=90°,AB=AC,。是力。邊上一動點，CE，

BD于E.（1）如圖（1）,若平分AABC時,①求AECD的度數(shù)；

②延長CE交BA的延長線于點F,補(bǔ)全圖形，探究BD與EC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）如圖（2）,過點A作AF，BE于點F,猜想線段BE,。E，AF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

?M

圖（I）圖（2）

【答案】（1）①2ECD=22.5°,②B。=2EC,理由見詳解；⑵BE=CE+2AF,理由見詳解.

【分析】（1）①由題意易得ZABC=NACB=45°，則有ACBD=NABD=22.5°,進(jìn)而可求NECD=

NDBA,則問題得解;②由題意易得CE=EF,則可證4ABD空AACF，進(jìn)而可得BD=CF,最后根據(jù)線

段的數(shù)量關(guān)系可求解；

（2）在BE上截取BH=CE,連接AH,則易證△BH4篤ACEA,則有AE=AH,NBAH=/CAE,進(jìn)而可

得ZHAE=90°,然后根據(jù)線段的數(shù)量關(guān)系可求解.

【詳解】解：（I）；ZBAC=90°,AB^AC,：./ABC=/ACB=45°,

???BD平分/ABC,/CBD=/ABD=22.5°,

①?//ABD+ABDA=ACDE+2ECD=90°,Z.CDE=ABDA,：.NABD=ZECD=22.5°;

②BD=2EC,理由如下：如圖所示：

?/CE±BD,：.NCEB=/FEB=90°,/BE=BE,：.△CEB空/\FEB（ASA）,：.CE=FE,

?：/DBA+"=90°,ZFCA+ZF=90°,；./DBA=NFCA,

■：ABAD=ZCAF=90°,AB=AC,：.△ABD空^ACF（ASA）,BD=CF,：.BD=2CE;

⑵BE=CE+2AF，理由如下：在BE上截取BH=CE,連接AH,如圖，由⑴易得AHBA=NECA,

AB^AC,：.4BHA篤△C￡L4(SAS),：.AH^AE,ZBAH=NCAE,

?：^BAH+ZHAC=90°,AAEAC+4HAe=90°,即=90°,

,:AFLBE,：.AF=HF=FEj：BE=BH+HF+FE,：.BE=CE+2AF.

【點睛】本題主要考查直角三角形斜邊中線定理及等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握直角三角形斜

邊中線定理及等腰直角三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

模型3.角平分線構(gòu)造軸對稱模型(角平分線+截線段相等)

【模型解讀與圖示】

?M

A

A

C

條件;如圖，OC為AAOB的角平分線，A為任意一點,在OB上截取08=OA,連結(jié)CB.

結(jié)論：AOA。第AO8。，CB=CA。

條件:如圖，BE,CE分別為AABC和ABCE的角平分線，A8〃CO,在GC上截取,連結(jié)EF.

結(jié)論：XBAE空ABFE,kCDE空ACFE,AB+CD=BC.

網(wǎng)］10（2022秋?江蘇?八年級專題練習(xí)）在AABC中，AD為△48。的角平分線,點E是直線BC上的動點.

⑴如圖1,當(dāng)點E在您的延長線上時，連接AB,若/E=48°,AE=AD=DC,則/AB。的度數(shù)為

（2）如圖2,AB,點P在線段AD延長線上，比較AC+與AB+CP之間的大小關(guān)系，并證明.

（3）連接AE,若ZDAE=90°,ABAC=24°,且滿足AB+AC^EC,請求出NACB的度數(shù)（要求:畫圖,

寫思路，求出度數(shù)）.

【答案】（1）108°;（2）47++PC,見解析；（3）44°或104°;詳見解析.

【分析】（1）根據(jù)等邊對等角，可得/E=/ADE,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出NADE=

2/D4C=48°,由此即可解題；

⑵在AC邊上取一點“使AM=AB,構(gòu)造△ABP會AAMP,根據(jù)MP+MOPC即可得出答案；

（3）畫出圖形，根據(jù)點E的位置分四種情況，當(dāng)點E在射線CB延長線上，延長CA到G,使AG=AB,可

得GC=EC,可得/G=2GEC,設(shè)AACB=2c,則/G=2GEC=90°一2;根據(jù)ABAC=24°,AD為

△ABC的角平分線，可得ABAD=ADAC^12°,可證4AGE工LABE（SAS）,得出NABE=/G=90°

一2,利用還有乙48￡=24°+22,列方程90°—：1：=24°+23；;當(dāng)點￡；在80上時，/EADV90°,不成立；當(dāng)

點E在CD上時，/EADV90。，不成立；當(dāng)點E在BC延長線上，延長C4到G,使AG=AB,可得GC

=EC,得出/6=/6七。,設(shè)乙4。8=23；,則4G=4GEC=x；乙氏4。=24°,根據(jù)AD為△ABC的角平

分線，得出ABAD=ADAC=12°,證明AAGE=△ABE（SAS）,得出4ABE=/G=c,利用?三角M形內(nèi)角

和列方程,+24°+2c=180°,解方程即可.

【詳解】解：⑴?.?>1￡；=AD=DC,ZE=ZADE,NDAC=NC,

/E=48°,NADE=ADAC+ZC,/.NADE=2/DAC=48°,

AD為AABC的角平分線，即ZBAC=2NDAC,：.ABAC^48°;二NABC=180°-48°-24°=108°

(2)如圖2,在47邊上取一點M使AB,連接MP,

(AB=AM

在△ABP和LAMP中,《NBAP=ZMAP,：./\ABP=AAMP(SAS)，:.BP=MP,

[AP^AP

?：MP+MOPC,MC=AC-AM,/.AC-AB+BP>PC,：.AC+BP>AB+PC-,

⑶如圖，點E在射線CB延長線上，延長CA到G,使AG=AB,

AB+AC^EC,：.AG+AC^EC,^GC=EC,："G=ZGEC,設(shè)AACB=2c,則/G=/GEC=

90°-x-,

又24°,AD為△ABC的角平分線，二ABAD=NDAC=12°,

又；ZDAE=90°,ZBAE=90°-ABAD=78°,ZGAE=90°-ZDAC=78°,/.ABAE=AGAE,

(AE=AE

在&AGE和AABE中，(ZGAE=/BAE,：.4AGE會△ABE(SAS)，,NABE=/G=90°—c,

[AG=AB

當(dāng)點E在BO上時，90°,不成立；當(dāng)點E在CD上時，/EADV90°,不成立;

如圖,點E在BC延長線上，延長CA到G,使AG^AB,

?：AB+AC=EC,：.AG+AC=ECGC=EC,：./G=/GEC,設(shè)=22,則AG=AGEC=

x-,

又ZBAC=24°,AD為ZVIB。的角平分線，二ABAD=ADAC=12°,

又ADAE=90°,：.ZBAE=90°+ZBAD=102°,ZGAE=90°+ZDAC=102°,ABAE=NGAE,

(AE^AE

在/\AGE和LABE中,/NGAE=ABAE,；./\AGE=AABE(SAS),

[AG=AB

：.ZABE=/G=/，；.,+24°+2x=180°，解得：a=52°,二AACB=2c=104°./.AACB的度數(shù)為44°

或104°.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形性質(zhì)、全等三角形判定和性質(zhì)，角平分線，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)

角和，解一元一次方程,根據(jù)角平分線模型構(gòu)造全等三角形轉(zhuǎn)換線段和角的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

廁11(2023?浙江?九年級專題練習(xí))如圖，在4ABC中，AB=A。，/A=100°,BD是AABC的平分線,延長

BD至點、E,DE=AD,試求NECA的度數(shù).

A

【答案】40°

【分析】在BC上截取BF=4B,連接DF,通過證明AABDnAFBD(SAS),可得ADFC=180°-ZA=

80°,再通過證明ADCE空△DCF(SAS)，即可求得NECA=ADCB=40°

【詳解】解:如圖，在BC上截取BF=AB,連接DF,?.?BD是乙4BC的平分線，二/ABD=/FBD,

在AABD和4FBD中，(AABD=AFBD,：.4ABD經(jīng)△FBD(SAS),：.ABFD=AD^DF,

[BD^BD,

：.DE=DF,：.ZDFC=180°一/A=80°,又:/ABC=ZACB^40°,/.4FDC=60°,

?/NEDC=NADB=180°-AABD-ZA=60°,/.AEDC=NFDC,

(DE=DF,

在^DCE和ADCF中,(4EDC=ZFDC,：.4DCE經(jīng)MXJF(SAS),故NECA=4DCB=40°.

[DC=DC,

—

D

BFC

【點睛】本題考查了全等三角形的問題，掌握全等三角形的性質(zhì)以及判定定理是解題的關(guān)鍵.

網(wǎng)］12（2022?北京九年級專題練習(xí)）在四邊形ABDE中，。是邊的中點.

（1）如圖（1）,若AC平分/.BAE,/ACE=90°,則線段AE、AB.DE的長度滿足的數(shù)量關(guān)系為；

（直接寫出答案）；（2）如圖（2）,AC平分2BAE,EC平分/AED,若/ACE=120°,則線段AB、BD、

DE、AE的長度滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論并證明.

【答案】（1）AE=AB+DE;（2）4E=+證明見解析.

【分析】（1）在AE上取一點F,使AF=AB,由三角形全等的判定可證得4ACB空/\ACF,根據(jù)全等三角

形的性質(zhì)可得8C=FC,NACB=ZACF,根據(jù)三角形全等的判定證得△CEFW/\CED,得到EF=ED,

再由線段的和差可以得出結(jié)論；

⑵在AE上取點F,使AF=AB,連結(jié)CF,在4E上取點G,使EG=ED，連結(jié)CG,根據(jù)全等三角形的判

定證得△力CB空△ACF和AECD空/\ECG，由全等三角形的性質(zhì)證得CF=CG,進(jìn)而證得△CFG是等

邊三角形，就有FG=CG=十BD,從而可證得結(jié)論.

【詳解】解：⑴如圖（1）,在AE上取一點F,使AF=4B.

B乙-----------------D

圖⑴

(AB^AF

■：AC平分NBAE,：.4BAC=ZFAC.在△4CB和/\ACF中，(ABAC=AFAC：./\ACB叁/\ACF

[AC=AC

(SAS).

:.BC=FC,NACB=ZACF.?.?。是BD邊的中點，BC=8.：.CF=CD.

?：ZACE=90°,：.AACB+ADCE=90°,ZACF+NECF=90°.2ECF=AECD.

(CF^CD

在LCEF和△CED中，(ZECF=ZECD：./\CEF空4CED(SAS).：.EF=ED.

[CE=CE

?：AE^AF+EF,：.AE^AB+DE.故答案為：AE=AB+DH;

⑵AB=AB+DE+^BD.

證明：如圖(2),在AE上取點F,使人尸=AB,連結(jié)CF,在AB上取點G,使EG=ED,連結(jié)CG.

圖⑵

?/。是BD邊的中點，CB=CD=^BD.；AC平分NBAE,：.^BAC=AFAC.

(AB^AF

在4ACB和/\ACF中,《ABAC=AFAC：./\ACB篤AACF(SAS).：.CF=CB,NBCA=/FCA.

[AC^AC

同理可[正：'CD絲/^ECG：.CD=CG,NDCE=NGCE.?:CB=CD,：.CG=CF.

?：/ACE=120°,ZBCA+NDCE=180°-120°=60°.AFCA+ZGCE=60°.A/FCG=60°.

.?.△FGC是等邊三角形.：.FG=FC=^BD.?：AE=AF+EG+FG,：.AE=AB+DE+^BD.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運用，能熟練應(yīng)用三角形全等的判定和性質(zhì)是解決問

題的關(guān)鍵.

血］13（2022.湖北十堰.九年級期末）在△4BC中，/ACB=2/B,如圖①,當(dāng)ZC=90°,AD為/BAC的角平

分線時，在4B上截取AE=AC,連結(jié)。E,易證48=AC+CD.

（1）如圖②，當(dāng)/CW90°,4D為/區(qū)4。的角平分線時，線段AB,AC,CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？不需要

證明，請直接寫出你的猜想；⑵如圖③，當(dāng)人。為△ABC的外角平分線時，線段ABAC,CD又有怎樣

的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并對你的猜想給予證明.

【答案】（1）48=47+CD;證明見解析；（2）AB+AC=CD；證明見解析.

【分析】（1）首先在AB上截取AE^AC,連接DE,易證4ADE篤AADC（SAS）,則可得AAED=ZC,

ED=CD,又由NAED=ZACB,AACB=2,所以AAED=2/B,即/B=NBDE,易［正DE=CD,

則可求得AB=AC+CD;（2）首先在BA的延長線上截取4E=AC,連接ED,易證^EAD空△CAD,可

得ED=CD,NAED=AACD,又由NACB=2/B,易證DE=EB,則可求得AC+AB=CD.

【詳解】（1）猜想：AB=AC+CD.

證明：如圖②，在AB上截取AE=47,連結(jié)DE,?M

AD為△ABC的角平分線時，ABAD=ACAD,/AD^AD,

：.△ADE第△ADC（SAS）,：.NAED=ZC,ED=CD,

?：NACB=2/B,：.NAED=22B.

?：NB=4EDB,；.EB=ED,：.EB=CD,：.AB=AE+DE=AC+CD.

（2）猜想：AB+AC=CD.

證明：在BA的延長線上截取AE=AC,連結(jié)即.

AD平分AFAC,：.NEAD=ACAD.

在AEAD與△CAD中，AB=AC,NEAD=ACAD,AD^AD,

：.LEAD篤/\CAD.ED=CD,NAED=AACD.：.NFED=AACB.

又AACB=2NB,/FED=+AEDB,ZEDB=ZB.

:.EB=ED.:.EA+AB=EB=ED=CD.：.AC+ABCD.

【點睛】此題考查三角形綜合題、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、角平分線的定義等知識,

解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型.

課后專項訓(xùn)練

題目—（2022秋.福建廈門.九年級?？计谥校┤鐖D，=是常量）.點P在乙4OB的平分線上，且

0P=2,以點P為頂點的/皿PN繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，的兩邊分別與OB,OA相

交于河，N兩點，若2MPN始終與AAOB互補(bǔ)，則以下四個結(jié)論:①PM=PN；②OM+ON的值不變；③

四邊形PMON的面積不變;④點”與點N的距離保持不變.其中正確的為（）

A.①③B.①②③C.①③④D.②③

【答案】8

【分析】如圖作PE_LOA于點E,PF_LOB于點F,只要證明Rt^PEO空Rt^PFO,RtAPENT

RtAPFM即可——判斷.

【詳解】解:如圖所示：作PE_L于點E,PF_LOB于點F,

???"EO=/PFO=90°,；.AEPF+AAOB=180°,VZMPN+ZAOB=180°,A4EPF=4MPN,

???/EPF=AEPN+ANPF,AMPN=AMPFA-ANPF,：.AEPN=AMPF,

??,OP平分ZAOBfPEVOA,PF±OB,：.PE=PF,

（pc—p（~）

在RtAPEO和Rt^PFO中，（DA_DA，，RtAPEO名Rt^PFO{HL）,：.OE=OF,

［產(chǎn)—rr

（AEPN=AFPM

在APEN和/\PFM中，（PE=PF,：.Rt^PEN畛Rt"FM（ASA）,

、4PEN=4PFM

：.EN=FM,PN=PM,故①正確，

=

S"EN=St1PFM，：-S田邊形PMONS四邊衫PEOF=定值，故③正確，

?1?OM+ON=OF+MF+ON=OE+NE+ON=OE+OE=2OE=定值，故②正確，

；M、N的位置是變化的,/.M、N之間的距離也是變化的，故④錯誤；故選：B.

【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，四邊形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添

加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.

題目0（2022.江蘇常州.一模）如圖，已知四邊形ABCD的對角互補(bǔ)，且ABAC=ADAC,AB=15,AD=

12.過頂點。作CELAB于E,則恁的值為（）

A.V73B.9C.6D.7.2

【答案】8

【分析】要求篋值,主要求出和BE的長即可，注意到AC是角平分線，于是作CF，AD交AD的延

k）rj

長線于點F,可以證得兩對全等三角形，結(jié)合已知數(shù)據(jù)可以求得4E和跳;的長，從而解決問題.

【詳解】解:作。尸_LAD交4D的延長線于點F,則ACFD=90°,

?：CE.LAB,.\ZCEB=90°,AZCFD=ZCEB=90°,

16

???Za4C=NOAC,???4C平分ZR4。，??.CE=CF,

???四邊形4BCD對角互補(bǔ)，??.ZABC+NADC=180°,

又???ACDF+4ADC=180°,??.ACBE=/.CDF,

(ACEB=ACFD

在4CBE和4CDF中，〈/CBE=/CDF,：.ACBEWACDF(AAS),：.BE=DF,

[CE=CF

(ZAEC=AAFC

在/\AEC和/\AFC中，(AEAC=/.FAC,l\AEC空AAFC(AAS)，,AE=AF,

[AC=AC

設(shè)_BE=Q，則DF=Q,T4B=15,4D=12,，12+2Q=15,得a=1.5,

AE=12+a=13.5,BE—a—1.5,.AE魯■=%故選R

1*BE

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是巧妙構(gòu)造全等三南形進(jìn)而

得出等量關(guān)系.

題目§（2023?成都?中考模擬）己知,如圖，乙8+/。=180°.連接AC,在AB,AC,4D上分

別取點E,P,F,連接PE,PF.若4E=4,AF=6,ZVLPE的面積為4,則△4PF的面積是（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】。

［分析】作PG_L于點G,PJ_L4D于點J,延長4D,取DH=AB,連接CH,先證明AABCxAHDC

（SAS），由全等三角形對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等，得到ABAC=/H,AC=CH,結(jié)合等邊對等角得到

乙民4C=/CAD,再由角平分線的性質(zhì)證得PG=PJ,最后根據(jù)三角形面積公式解題即可.

【詳解】解:如圖，作PG_LAB于點G,PJ_LAD于點J,延長AD,取。8=48,連接。巴，

?/ZB+NADC=18Q°,AADC+ACDH=180°/.AB=ZCDH

[BC=CD

(NB=ACDH/\ABC=/\HDC(SAS)：.ABAC=NH,AC=CH：.ACAD=AH：.ABAC=ZCAD

PG=PJ

$*=]AE>PG=4PG=2PJ=2ASw=]AF-PJ=]X6x2=6故選：C.

17

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊對等角、角平分線的性質(zhì)等知識，是重要考點，難度一般,

作出正確的輔助線、掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

題目⑷（2023福建廈門?九年級校考期中）如圖，乙=是常量）.點P在乙4OB的平分線上，且OP

=2,以點P為頂點的/皿PN繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，的兩邊分別與相交于

M,N兩點，若NMPN始終與AAOB互補(bǔ),則以下四個結(jié)論:①PM=PN；②。M+ON的值不變；③四邊

形PMON的面積不變;④點河與點N的距離保持不變.其中正確的為（）

A.①③B.①②③C.①③④D.②③

【答案】3

【分析】如圖作PE_L于點E,PF_L于點F,只要證明Rt^PEO空Rt^PFO,Rt/\PEN名

母APFM即可——判斷.

【詳解】解:如圖所示:作PE_L。4于點E,PF_LOB于點F,

?/ZPEO=Z.PFO=90°,NEPF+Z.AOB=180°,

AMPN+ZAOB=180°,ZEPF=AMPN,

?：NEPF=AEPN+ANPF,AMPN=NMPF+ANPF,：.4EPN=NMPF,

?：OP平分AAOB,PE±OA,PF±OB,：.PE=PF,

（pc—pc

在Rt/^PEO和Rt/^PFO中，13cl_Rt^PEO空Rt"FO（HL）,：.OE=OF,

（AEPN=AFPM

在△PEN和△PEW中，IPE=PF,Rt/\PEN^RtAPFM（ASA）,

[/PEN=/PFM

EN=FM,PN—PM,故①正確，；.S^PEN~S四邊彩PMON~S四邊形PEOF~定值,故③正確，

OM+ON=OF+MF+ON=OE+NE+ON=OE+OE=2OE=定值，故②正確，

河、N的位置是變化的，M、N之間的距離也是變化的,故④錯誤；故選:B.

【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，四邊形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添

加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.

題目回（2022.安徽合肥.一模）如圖,△48。中，AD平分/BAG,E是中點，4D，BD,AC=7,4B=

4,則DE的值為（）

18

13

A.1B.2C.yD.y

【答案】。

【分析】延長BD交AC于點F,先證明/\ABD=^AFD(ASA),得到BD=DF,。是BF的中點，再由中位

線的性質(zhì)解答即可.

【詳解】解:延長交AC于點F,如圖

?/ND平分ABAC,AD_LBD：.ABAD=ZFADZADB=ADF=90°

?/AD=AD：./\ABD=^AFD(ASA)：.AB=AF=4,BD=_DF；._D是BF的中點，

YE是BC中點，.?.￡)￡；=舞。=/(7—4)=|■故選:D

【點睛】本題考查全等三角形判定與性質(zhì)、中位線的性質(zhì)等知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

題目回(2022.福建.福州一模)如圖，△48。中，AABC=45°,CD