2022-2023學(xué)年江蘇省常州市金壇區(qū)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3江蘇省常州市金壇區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號．回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知隨機(jī)變量，且，，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗隨機(jī)變量，且，，，，.故選：A.2.已知兩條異面直線a，b上分別有4個點(diǎn)和7個點(diǎn)，則這11個點(diǎn)可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為（）A.4 B.7 C.11 D.126〖答案〗C〖解析〗分兩類情況討論：第1類，直線a分別與直線b上的7個點(diǎn)可以確定7個不同的平面；第2類，直線b分別與直線a上的4個點(diǎn)可以確定4個不同的平面．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，共可以確定7＋4＝11個不同的平面.故選：C．3.若的展開式中不含項(xiàng)，則實(shí)數(shù)m的值為（）A. B. C.0 D.1〖答案〗D〖解析〗，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為：，令時，；令時，，所以的展開式中的系數(shù)為，因?yàn)榈恼归_式中不含項(xiàng)，所以，解得：.故選：D.4.在4次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的概率相同，若事件A至少發(fā)生一次的概率是，則事件A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)事件A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率是，由事件A至少發(fā)生次的概率為，可知事件A一次都不發(fā)生的概率為，由獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率知，則，故選：C．5.將邊長為的正三角形沿邊上的高線折成的二面角，則點(diǎn)到邊的距離是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗翻折前，因?yàn)槭沁呴L為的等邊三角形，是邊上的高線，則為的中點(diǎn)，且，，且，翻折后，則有，，在三棱錐中，由二面角的定義可得，如下圖所示：取線段的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)椋?，，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以，，在中，，，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，且，所以，，因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，，因此，點(diǎn)到的距離為.故選：A.6.某考生回答一道四選一的單項(xiàng)選擇考題，假設(shè)他知道正確〖答案〗的概率為0.6，知道正確〖答案〗時，答對的概率為，而不知道正確〖答案〗時，猜對的概率為0.2，那么他答對題目的概率為（）A.0.8 B.0.68 C.0.6 D.0.2〖答案〗B〖解析〗設(shè)“考生答對題目”為事件A，“考生知道正確〖答案〗”為事件B，則，，，．故選：B．7.學(xué)校環(huán)保節(jié)活動期間，某班有甲、乙、丙、丁四名學(xué)生參加了志愿者工作．將這四名學(xué)生分配到A，B，C三個不同的環(huán)保崗位，每個崗位至少分配一名學(xué)生，若甲要求不分配到B崗位，則不同的分配方案的種數(shù)為（）A.30 B.24 C.20 D.18〖答案〗B〖解析〗由題意可得有兩種情況：①有一個人與甲在同一個崗位，則有種分配方案；②沒有人與甲在同一個崗位，則種分配方案；所以由分類加法原理可知共有不同的分配方案，故選：B8.如圖，長方體中，，P為線段上的動點(diǎn)，則以下結(jié)論中不正確的是（）A.當(dāng)時，直線BP與平面ABCD所成角的正弦值為B.當(dāng)時，若平面的法向量記為，則C.當(dāng)時，二面角的余弦值為D.若，則〖答案〗C〖解析〗如下圖所示：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系；由，可知，則，設(shè)，，選項(xiàng)A，當(dāng)時，，所以，所以，平面ABCD的法向量為，所以直線BP與平面ABCD所成角的正弦值為：，故A正確；選項(xiàng)B，當(dāng)時，，所以，所以，平面的法向量記為，由.,由可知，，所以可取，所以，故B正確；選項(xiàng)C，當(dāng)時，，所以，平面的法向量記為，設(shè)平面的法向量記為，由.,由可知，，所以可取，所以二面角的余弦值為，所以，故C錯誤；選項(xiàng)D，若，，，因?yàn)?，所以，所以，，由，解得，所以，即，故D正確.故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.在江蘇新高考方案中，選擇性考試科目有：物理、化學(xué)、生物、歷史、政治、地理共六門，學(xué)生根據(jù)高校要求，結(jié)合自身特長興趣，首先在物理、歷史2門學(xué)科中選擇1門，再從化學(xué)、生物、政治、地理4門學(xué)科中選擇2門，選中的3門學(xué)科作為選擇性考試科目參加考試．則下列說法正確的是（）A.若任意選科，則選法總數(shù)為B.若政治必選，則選法總數(shù)為C.若化學(xué)、地理至少選一門，則選法總數(shù)為D.若歷史必選，生物、政治至多選一門，則選法總數(shù)為〖答案〗ACD〖解析〗在物理、歷史2門學(xué)科中選擇1門有種，在化學(xué)、生物、政治、地理4門學(xué)科中選擇2門有種，若任意選科，則選法總數(shù)為種，A正確；若政治必選，還需從化學(xué)、生物、地理3門學(xué)科中選擇1門有，則選法總數(shù)為種，B錯誤；若化學(xué)、地理至少選一門，兩門都選有1種，只選一門有，則選法總數(shù)為，C正確；若歷史必選有種，生物、政治至多選一門有種，則選法總數(shù)為種，D正確.故選：ACD.10.設(shè)，則結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.，，，，，，中最小的是〖答案〗ABD〖解析〗對于A，令，則①，故A正確；對于B，令，則②，則②減①可得：，則，故B正確；對于C，的通項(xiàng)為，令，則，令，則，所以，故C錯誤；對于D，的通項(xiàng)為，所以當(dāng)時，即，而，又，故，，，，，，中最小的是，故D正確.故選：ABD.11.“信息熵”是信息論中的一個重要概念，設(shè)隨機(jī)變量X的所有可能取值為，且，，定義X的信息熵，則下列說法中正確的是（）A.當(dāng)時，B.當(dāng)且時，C.若，則隨著n的減小而減小D.當(dāng)時，隨著的增大而減小〖答案〗ABC〖解析〗對于A，當(dāng)時，,，A正確；對于B，當(dāng)時，，，B正確；對于C，，，則隨著n的減小而減小，C正確；對于D，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，兩者相等，D錯誤.故選：ABC12.在棱長為的菱形ABCD中，，將菱形ABCD沿對角線AC折成大小為的二面角，若折成的四面體的四個頂點(diǎn)均在球O的球面上，則下列結(jié)論正確的是（）A.折成的四面體體積的最大值為B.當(dāng)折成的四面體表面積最大時，C.當(dāng)時，球O的體積為D.當(dāng)時，球O的表面積為〖答案〗BD〖解析〗由題意，可作圖如下：選項(xiàng)A，，，則為等邊三角形，取的中點(diǎn)，則，同理可知，為等邊三角形，，且，，二面角的平面角為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即四面體的體積的最大值是，故A不正確；選項(xiàng)B，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時四面體的表面積最大，最大值為，此時，在中，由余弦定理可得，，解得，故B正確；選項(xiàng)C，設(shè)分別為的外心，則，在平面內(nèi)過點(diǎn)作的垂線與過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，如下圖：，，，平面，平面，平面，，，，平面，平面，同理可得平面，則為四面體的外接球球心，連接，，，，，，，平面，平面，，，即球心的半徑為，球的體積為，故C不正確；選項(xiàng)D，由C可得當(dāng)時，，，平面，平面，，，即球的半徑為，球的表面積為，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若能被13整除，則m的最小正整數(shù)取值為______．〖答案〗12〖解析〗因?yàn)槟鼙?3整除，所以是13的倍數(shù)時，能被13整除，所以m的最小正整數(shù)取值為12，故〖答案〗為：1214.隨機(jī)變量的分布列如表所示，設(shè)，則______，______．01〖答案〗①②〖解析〗依題意，得，因?yàn)?，所以?故〖答案〗為：；.15.我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“四位合六數(shù)”（如1203、1005均是四位合六數(shù)），則在“四位合六數(shù)”中首位為1的不同的“四位合六數(shù)”共有______個．〖答案〗21〖解析〗由題知后三位數(shù)字之和為5，當(dāng)一個位置為5時有005，050，500，共3個;當(dāng)兩個位置和為5時有014，041，410，401，140，104，023，032，302，320，203，230，共12個;當(dāng)三個位置和為5時有113，131，311，122，212，221，共6個;所以一共有21個.故〖答案〗為:21.16.如圖，三棱柱的各條棱長均為是2，側(cè)棱與底面ABC所成的角為60°，側(cè)面底面ABC，點(diǎn)P在線段上，且平面平面，則______．〖答案〗〖解析〗側(cè)面底面，則點(diǎn)在平面上的射影在直線上，為直線與底面所成的角，，三棱柱的各條棱長均為2，是等邊三角形，取中點(diǎn)，連接，，則，∵側(cè)面底面，側(cè)面底面，面，所以面，如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立的空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，，平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，，平面的一個法向量為，平面平面，∴，，，．故〖答案〗為：．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.有甲、乙兩只不透明的袋子，其中甲袋放有3個紅球，2個白球，乙袋放有2個紅球，3個白球，且所有球的大小和質(zhì)地均相同．（1）先隨機(jī)取一只袋子，再從該袋中隨機(jī)取1個球，求取出的該球是白球的概率；（2）先從甲袋中任取2個球放入乙袋中，再從乙袋中任取2個球，求從乙袋中取出的2個球均為紅球的概率．解：（1）先隨機(jī)取一只袋子，記“取到的是甲袋”為事件，“取到的是乙袋”為事件，再從袋中隨機(jī)取1個球，“取出的該球是白球”為事件B，則事件B有兩類：取到的是甲袋且從中取出的是白球，取到的是乙袋且從中取出的是白球，即，因?yàn)榕c互斥，所以，由概率的乘法公式得，又因?yàn)椋?，，，所有先隨機(jī)取一只袋子，再從該袋中隨機(jī)取1個球，取出的該球是白球的概率為（2）記“從甲袋中取出2個紅球”為事件，“從甲袋中取出2個白球”為事件，“從甲袋中取出1個紅球和1個白球”為事件，“從乙袋中取出的2個球均為紅球”為事件D，顯然，事件，，兩兩互斥，且正好為“從甲袋中任取2個球”的樣本空間，由全概率公式得，先從甲袋中任取2個球放入乙袋中，再從之乙袋中任取2個球，則從乙袋中取出的2個球均為紅球的概率為18.有5名男運(yùn)動員和3名女運(yùn)動員，從中選出5名運(yùn)動員，參加“籃球、排球、足球、羽毛球、乒乓球”這5種不同的球類競賽，每名運(yùn)動員只能參加一個球類項(xiàng)目競賽，且每個球類項(xiàng)目競賽都要有人參加，求符合下列條件的選法種數(shù)．（用數(shù)字作答）（1）有女運(yùn)動員參賽，且參賽的女運(yùn)動員人數(shù)必須少于參賽的男運(yùn)動員人數(shù)；（2）女運(yùn)動員指定參加排球競賽，男運(yùn)動員必須參賽但不能參加足球競賽．解：（1）因?yàn)橛信\(yùn)動員參賽，且參賽的女運(yùn)動員人數(shù)必須少于參賽的男運(yùn)動員人數(shù)，所以選出的5名運(yùn)動員可以是2名女運(yùn)動員和3名男運(yùn)動員，也可以是1名女運(yùn)動員和4名男運(yùn)動員，則有種情況，再將選出來的運(yùn)動加分配到各個項(xiàng)目中，則有種方法，所以符合要求的選法種數(shù)為.（2）因?yàn)榕\(yùn)動員指定參加排球競賽，男運(yùn)動員必須參賽但不能參加足球競賽，所以先從除去該女運(yùn)動員和該男運(yùn)動員的6人中任選3人，有種情況，再安排男運(yùn)動員參賽的項(xiàng)目，有種情況，最后選出的3人對余下的3個項(xiàng)目進(jìn)行全排列，有種情況，則符合要求的選法種數(shù)為.19.已知在二項(xiàng)式的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列．（1）求展開式中的有理項(xiàng)；（2）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．解：（1）在的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)分別依次為，，，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，所以，整理得，解得或（不合題意舍去），則展開式中通項(xiàng)為：，要求有理項(xiàng)，則需為整數(shù)，即，4，8，則有理項(xiàng)分別為：，，.（2）由（1）知，此二項(xiàng)式，設(shè)展開式中第項(xiàng)的系數(shù)最大，則，即，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以第項(xiàng)和第項(xiàng)的系數(shù)同時達(dá)到最大，故展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為，.20.如圖，直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABP所在平面互相垂直，且，，，，．（1）求證：；（2）求直線PC與平面ABP所成角余弦值；（3）線段PA上是否存在點(diǎn)E，使得平面EBD？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．解：（1）取AB的中點(diǎn)為O，連接DO，PO，由，得，又四邊形ABCD為直角梯形，且，，，，則四邊形OBCD為正方形，，又，平面POD，因此平面POD，又平面POD，所以.（2）且平面PAB，又平面平面ABCD，且平面平面，則平面ABCD，平面，有，即有OA，OD，OP兩兩垂直，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OD、OA、OP分別為x、y、z軸的空間直角坐標(biāo)系，由等腰直角，，，得，則，即，平面PAB的一個法向量為，設(shè)直線PC與平面PAB所成的角為，因此，即，所以所求直線PC與平面ABP所成角的余弦值為.（3）線段PA上存在點(diǎn)E，且當(dāng)時，使得平面EBD.由，得，則，，設(shè)平面EBD的法向量為，則，令，得，又，則，而平面EBD，因此平面EBD，所以點(diǎn)E滿足時，有平面EBD．21.某校為了普及科普知識，增強(qiáng)學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)，在全校組織了一次科普知識競賽．經(jīng)過初賽、復(fù)賽，甲、乙兩個代表隊(duì)（每隊(duì)3人）進(jìn)入了決賽．規(guī)定每人回答一個問題，答對者為本隊(duì)贏得10分，答錯者得0分．假設(shè)甲隊(duì)中3人答對的概率分別為，，，乙隊(duì)中每人答對的概率均為，且各人回答正確與否相互之間沒有影響，用表示甲隊(duì)的總得分．（1）求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）求甲、乙兩隊(duì)總得分之和等于30分且甲隊(duì)獲勝的概率．解：（1）由題意知的所有可能取值為0，10，20，30，可得，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為0102030P所以數(shù)學(xué)期望.（2）記“甲隊(duì)得30分，乙隊(duì)得0分”為事件A，“甲隊(duì)得20分，乙隊(duì)得10分”為事件B，則A，B為互斥事件，可得，，則，所以甲、乙兩隊(duì)總得分之和等于30分且甲隊(duì)獲勝的概率為.22.如圖，三角形ABC是圓柱底面圓的內(nèi)接三角形，PA為圓柱的母線，M，N分別是AC和PA的中點(diǎn)，平面平面PAB，．（1）求證：；（2）求三棱錐和圓柱的體積之比；（3）求平面PBC與平面MBN所成的銳二面角的大?。猓海?）因?yàn)镻A為圓柱的母線，則平面ABC，平面ABC，可得，取PB邊的中點(diǎn)為D，連接AD，因?yàn)?，則，平面PAB，且平面平面PAB，平面平面，所以平面PBC，且平面PBC，則，且AD，平面PAB，所以平面PAB，且平面PAB，所以.（2）因?yàn)槠矫鍭BC，則，又因?yàn)?，則為底面圓的直徑，則，所以（3）以B點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線BA、BC分別為x、y軸，過點(diǎn)B作平面ABC的垂線，并以此垂線作為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，，可得，，，．設(shè)平面PBC和平面MBN的法向量分別為，，可得，取，則，，即可得，取，則，，即設(shè)平面PBC與平面MBN所成的銳二面角為，則，又因?yàn)?，所以，即平面PBC與平面MBN所成的銳二面角為.江蘇省常州市金壇區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號．回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知隨機(jī)變量，且，，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗隨機(jī)變量，且，，，，.故選：A.2.已知兩條異面直線a，b上分別有4個點(diǎn)和7個點(diǎn)，則這11個點(diǎn)可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為（）A.4 B.7 C.11 D.126〖答案〗C〖解析〗分兩類情況討論：第1類，直線a分別與直線b上的7個點(diǎn)可以確定7個不同的平面；第2類，直線b分別與直線a上的4個點(diǎn)可以確定4個不同的平面．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，共可以確定7＋4＝11個不同的平面.故選：C．3.若的展開式中不含項(xiàng)，則實(shí)數(shù)m的值為（）A. B. C.0 D.1〖答案〗D〖解析〗，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為：，令時，；令時，，所以的展開式中的系數(shù)為，因?yàn)榈恼归_式中不含項(xiàng)，所以，解得：.故選：D.4.在4次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的概率相同，若事件A至少發(fā)生一次的概率是，則事件A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)事件A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率是，由事件A至少發(fā)生次的概率為，可知事件A一次都不發(fā)生的概率為，由獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率知，則，故選：C．5.將邊長為的正三角形沿邊上的高線折成的二面角，則點(diǎn)到邊的距離是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗翻折前，因?yàn)槭沁呴L為的等邊三角形，是邊上的高線，則為的中點(diǎn)，且，，且，翻折后，則有，，在三棱錐中，由二面角的定義可得，如下圖所示：取線段的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)?，，，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以，，在中，，，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，且，所以，，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，，因此，點(diǎn)到的距離為.故選：A.6.某考生回答一道四選一的單項(xiàng)選擇考題，假設(shè)他知道正確〖答案〗的概率為0.6，知道正確〖答案〗時，答對的概率為，而不知道正確〖答案〗時，猜對的概率為0.2，那么他答對題目的概率為（）A.0.8 B.0.68 C.0.6 D.0.2〖答案〗B〖解析〗設(shè)“考生答對題目”為事件A，“考生知道正確〖答案〗”為事件B，則，，，．故選：B．7.學(xué)校環(huán)保節(jié)活動期間，某班有甲、乙、丙、丁四名學(xué)生參加了志愿者工作．將這四名學(xué)生分配到A，B，C三個不同的環(huán)保崗位，每個崗位至少分配一名學(xué)生，若甲要求不分配到B崗位，則不同的分配方案的種數(shù)為（）A.30 B.24 C.20 D.18〖答案〗B〖解析〗由題意可得有兩種情況：①有一個人與甲在同一個崗位，則有種分配方案；②沒有人與甲在同一個崗位，則種分配方案；所以由分類加法原理可知共有不同的分配方案，故選：B8.如圖，長方體中，，P為線段上的動點(diǎn)，則以下結(jié)論中不正確的是（）A.當(dāng)時，直線BP與平面ABCD所成角的正弦值為B.當(dāng)時，若平面的法向量記為，則C.當(dāng)時，二面角的余弦值為D.若，則〖答案〗C〖解析〗如下圖所示：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系；由，可知，則，設(shè)，，選項(xiàng)A，當(dāng)時，，所以，所以，平面ABCD的法向量為，所以直線BP與平面ABCD所成角的正弦值為：，故A正確；選項(xiàng)B，當(dāng)時，，所以，所以，平面的法向量記為，由.,由可知，，所以可取，所以，故B正確；選項(xiàng)C，當(dāng)時，，所以，平面的法向量記為，設(shè)平面的法向量記為，由.,由可知，，所以可取，所以二面角的余弦值為，所以，故C錯誤；選項(xiàng)D，若，，，因?yàn)?，所以，所以，，由，解得，所以，即，故D正確.故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.在江蘇新高考方案中，選擇性考試科目有：物理、化學(xué)、生物、歷史、政治、地理共六門，學(xué)生根據(jù)高校要求，結(jié)合自身特長興趣，首先在物理、歷史2門學(xué)科中選擇1門，再從化學(xué)、生物、政治、地理4門學(xué)科中選擇2門，選中的3門學(xué)科作為選擇性考試科目參加考試．則下列說法正確的是（）A.若任意選科，則選法總數(shù)為B.若政治必選，則選法總數(shù)為C.若化學(xué)、地理至少選一門，則選法總數(shù)為D.若歷史必選，生物、政治至多選一門，則選法總數(shù)為〖答案〗ACD〖解析〗在物理、歷史2門學(xué)科中選擇1門有種，在化學(xué)、生物、政治、地理4門學(xué)科中選擇2門有種，若任意選科，則選法總數(shù)為種，A正確；若政治必選，還需從化學(xué)、生物、地理3門學(xué)科中選擇1門有，則選法總數(shù)為種，B錯誤；若化學(xué)、地理至少選一門，兩門都選有1種，只選一門有，則選法總數(shù)為，C正確；若歷史必選有種，生物、政治至多選一門有種，則選法總數(shù)為種，D正確.故選：ACD.10.設(shè)，則結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.，，，，，，中最小的是〖答案〗ABD〖解析〗對于A，令，則①，故A正確；對于B，令，則②，則②減①可得：，則，故B正確；對于C，的通項(xiàng)為，令，則，令，則，所以，故C錯誤；對于D，的通項(xiàng)為，所以當(dāng)時，即，而，又，故，，，，，，中最小的是，故D正確.故選：ABD.11.“信息熵”是信息論中的一個重要概念，設(shè)隨機(jī)變量X的所有可能取值為，且，，定義X的信息熵，則下列說法中正確的是（）A.當(dāng)時，B.當(dāng)且時，C.若，則隨著n的減小而減小D.當(dāng)時，隨著的增大而減小〖答案〗ABC〖解析〗對于A，當(dāng)時，,，A正確；對于B，當(dāng)時，，，B正確；對于C，，，則隨著n的減小而減小，C正確；對于D，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，兩者相等，D錯誤.故選：ABC12.在棱長為的菱形ABCD中，，將菱形ABCD沿對角線AC折成大小為的二面角，若折成的四面體的四個頂點(diǎn)均在球O的球面上，則下列結(jié)論正確的是（）A.折成的四面體體積的最大值為B.當(dāng)折成的四面體表面積最大時，C.當(dāng)時，球O的體積為D.當(dāng)時，球O的表面積為〖答案〗BD〖解析〗由題意，可作圖如下：選項(xiàng)A，，，則為等邊三角形，取的中點(diǎn)，則，同理可知，為等邊三角形，，且，，二面角的平面角為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即四面體的體積的最大值是，故A不正確；選項(xiàng)B，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時四面體的表面積最大，最大值為，此時，在中，由余弦定理可得，，解得，故B正確；選項(xiàng)C，設(shè)分別為的外心，則，在平面內(nèi)過點(diǎn)作的垂線與過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，如下圖：，，，平面，平面，平面，，，，平面，平面，同理可得平面，則為四面體的外接球球心，連接，，，，，，，平面，平面，，，即球心的半徑為，球的體積為，故C不正確；選項(xiàng)D，由C可得當(dāng)時，，，平面，平面，，，即球的半徑為，球的表面積為，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若能被13整除，則m的最小正整數(shù)取值為______．〖答案〗12〖解析〗因?yàn)槟鼙?3整除，所以是13的倍數(shù)時，能被13整除，所以m的最小正整數(shù)取值為12，故〖答案〗為：1214.隨機(jī)變量的分布列如表所示，設(shè)，則______，______．01〖答案〗①②〖解析〗依題意，得，因?yàn)椋裕?故〖答案〗為：；.15.我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“四位合六數(shù)”（如1203、1005均是四位合六數(shù)），則在“四位合六數(shù)”中首位為1的不同的“四位合六數(shù)”共有______個．〖答案〗21〖解析〗由題知后三位數(shù)字之和為5，當(dāng)一個位置為5時有005，050，500，共3個;當(dāng)兩個位置和為5時有014，041，410，401，140，104，023，032，302，320，203，230，共12個;當(dāng)三個位置和為5時有113，131，311，122，212，221，共6個;所以一共有21個.故〖答案〗為:21.16.如圖，三棱柱的各條棱長均為是2，側(cè)棱與底面ABC所成的角為60°，側(cè)面底面ABC，點(diǎn)P在線段上，且平面平面，則______．〖答案〗〖解析〗側(cè)面底面，則點(diǎn)在平面上的射影在直線上，為直線與底面所成的角，，三棱柱的各條棱長均為2，是等邊三角形，取中點(diǎn)，連接，，則，∵側(cè)面底面，側(cè)面底面，面，所以面，如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立的空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，，平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，，平面的一個法向量為，平面平面，∴，，，．故〖答案〗為：．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.有甲、乙兩只不透明的袋子，其中甲袋放有3個紅球，2個白球，乙袋放有2個紅球，3個白球，且所有球的大小和質(zhì)地均相同．（1）先隨機(jī)取一只袋子，再從該袋中隨機(jī)取1個球，求取出的該球是白球的概率；（2）先從甲袋中任取2個球放入乙袋中，再從乙袋中任取2個球，求從乙袋中取出的2個球均為紅球的概率．解：（1）先隨機(jī)取一只袋子，記“取到的是甲袋”為事件，“取到的是乙袋”為事件，再從袋中隨機(jī)取1個球，“取出的該球是白球”為事件B，則事件B有兩類：取到的是甲袋且從中取出的是白球，取到的是乙袋且從中取出的是白球，即，因?yàn)榕c互斥，所以，由概率的乘法公式得，又因?yàn)?，，，，所有先隨機(jī)取一只袋子，再從該袋中隨機(jī)取1個球，取出的該球是白球的概率為（2）記“從甲袋中取出2個紅球”為事件，“從甲袋中取出2個白球”為事件，“從甲袋中取出1個紅球和1個白球”為事件，“從乙袋中取出的2個球均為紅球”為事件D，顯然，事件，，兩兩互斥，且正好為“從甲袋中任取2個球”的樣本空間，由全概率公式得，先從甲袋中任取2個球放入乙袋中，再從之乙袋中任取2個球，則從乙袋中取出的2個球均為紅球的概率為18.有5名男運(yùn)動員和3名女運(yùn)動員，從中選出5名運(yùn)動員，參加“籃球、排球、足球、羽毛球、乒乓球”這5種不同的球類競賽，每名運(yùn)動員只能參加一個球類項(xiàng)目競賽，且每個球類項(xiàng)目競賽都要有人參加，求符合下列條件的選法種數(shù)．（用數(shù)字作答）（1）有女運(yùn)動員參賽，且參賽的女運(yùn)動員人數(shù)必須少于參賽的男運(yùn)動員人數(shù)；（2）女運(yùn)動員指定參加排球競賽，男運(yùn)動員必須參賽但不能參加足球競賽．解：（1）因?yàn)橛信\(yùn)動員參賽，且參賽的女運(yùn)動員人數(shù)必須少于參賽的男運(yùn)動員人數(shù)，所以選出的5名運(yùn)動員可以是2名女運(yùn)動員和3名男運(yùn)動員，也可以是1名女運(yùn)動員和4名男運(yùn)動員，則有種情況，再將選出來的運(yùn)動加分配到各個項(xiàng)目中，則有種方法，所以符合要求的選法種數(shù)為.（2）因?yàn)榕\(yùn)動員指定參加排球競賽，男運(yùn)動員必須參賽但不能參加足球競賽，所以先從除去該女運(yùn)動員和該男運(yùn)動員的6人中任選3人，有種情況，再安排男運(yùn)動員參賽的項(xiàng)目，有種情況，最后選出的3人對余下的3個項(xiàng)目進(jìn)行全排列，有種情況，則符合要求的選法種數(shù)為.19.已知在二項(xiàng)式的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列．（1）求展開式中的有理項(xiàng)；（2）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．解：（1）在的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)分別依次為，，，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，所以，整理得，解得或（不合題意舍去），則展開式中通項(xiàng)為：，要求有理項(xiàng)，則需為整數(shù)，即，4，8，則有理項(xiàng)分別為：，，.（2）由（1）知，此二項(xiàng)式，設(shè)展開式中第項(xiàng)的系數(shù)最大，則，即，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以第項(xiàng)和第項(xiàng)的系數(shù)同時達(dá)到最大，故展