2024年高考數(shù)學(xué)大一輪(人教A版文)第十一章11.2　古典概型與幾何概型復(fù)習(xí)講義(學(xué)生版+解析)

§11.2古典概型與幾何概型考試要求1.理解古典概型及其概率計(jì)算公式.2.會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件的個(gè)數(shù)及事件發(fā)生的概率.3.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率.4.了解幾何概型的意義．知識(shí)梳理1．古典概型(1)古典概型的特征：①有限性：試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有________個(gè)；②等可能性：每個(gè)基本事件出現(xiàn)的__________相等．(2)古典概型的概率計(jì)算的基本步驟：①判斷本次試驗(yàn)的結(jié)果是否是____________，設(shè)出所求的事件為A；②分別計(jì)算基本事件的總數(shù)n和所求的事件A所包含的基本事件的個(gè)數(shù)m；③利用古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出事件A的概率．(3)頻率的計(jì)算公式與古典概型的概率計(jì)算公式的異同名稱不同點(diǎn)相同點(diǎn)頻率計(jì)算公式頻率計(jì)算中的m，n均隨隨機(jī)試驗(yàn)的變化而變化，但隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，它們的比值逐漸趨近于概率值都計(jì)算了一個(gè)比值eq\f(m,n)古典概型的概率計(jì)算公式eq\f(m,n)是一個(gè)定值，對(duì)同一個(gè)隨機(jī)事件而言，m，n都不會(huì)變化2.幾何概型(1)概念：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的________________________成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為幾何概型．(2)幾何概型的基本特點(diǎn)：①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無(wú)限多個(gè)；②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．(3)計(jì)算公式：P(A)＝______________________________________________________________.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)從－3，－2，－1,0,1,2中任取一個(gè)數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同．()(2)在一個(gè)正方形區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)的概率為0.()(3)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本事件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”．()(4)兩個(gè)互斥事件的概率和為1.()教材改編題1．袋中裝有大小、形狀完全相同的6個(gè)白球，4個(gè)紅球，從中任取一球，則取到白球的概率為()A.eq\f(2,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,6)2．在數(shù)軸的[0,3]上任投一點(diǎn)，則此點(diǎn)表示的數(shù)小于1的概率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D．13．從1,3,5,7這4個(gè)數(shù)中隨機(jī)取出2個(gè)不同的數(shù)表示為a，b，則a＋b>7的概率為_(kāi)_______．題型一古典概型例1(1)(2023·銀川模擬)在2,3,5,7這四個(gè)數(shù)中任取三個(gè)數(shù)，將其組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則這個(gè)數(shù)是奇數(shù)的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4)D.eq\f(5,6)聽(tīng)課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2023·南通質(zhì)檢)我國(guó)數(shù)學(xué)家張益唐在“孿生素?cái)?shù)”研究方面取得突破，孿生素?cái)?shù)也稱為孿生質(zhì)數(shù)，就是指兩個(gè)相差2的素?cái)?shù)，例如5和7.在大于3且不超過(guò)20的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取2個(gè)不同的數(shù)，恰好是一組孿生素?cái)?shù)的概率為()A.eq\f(3,56) B.eq\f(3,28)C.eq\f(1,7) D.eq\f(1,5)聽(tīng)課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華利用公式法求解古典概型問(wèn)題的步驟跟蹤訓(xùn)練1(1)(2022·全國(guó)甲卷)從分別寫(xiě)有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無(wú)放回地隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,5) D.eq\f(2,3)(2)“哥德巴赫猜想”是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一，今日常見(jiàn)的猜想陳述為歐拉的版本，即任一大于2的偶數(shù)都可寫(xiě)成兩個(gè)素?cái)?shù)(質(zhì)數(shù))之和．若將24拆成兩個(gè)正整數(shù)的和，則拆成的和式中，加數(shù)全部為素?cái)?shù)的概率為_(kāi)_______．題型二古典概型與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題例2為了了解使用某種新型藥品后是否會(huì)引起疲乏癥狀，該機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了某地患有這種疾病的275人進(jìn)行調(diào)查，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：無(wú)疲乏癥狀有疲乏癥狀總計(jì)未使用新藥15025t使用新藥xy100總計(jì)225m275(1)求2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)x，y，m，t的值，并判斷能否有95%的把握認(rèn)為有疲乏癥狀與使用該新藥有關(guān)；(2)從使用該新藥的100人中按是否有疲乏癥狀，采用分層抽樣的方法抽出4人，再?gòu)倪@4人中隨機(jī)抽取2人做進(jìn)一步調(diào)查，求這2人中恰有1人有疲乏癥狀的概率．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華求解古典概型的綜合問(wèn)題的步驟(1)將題目條件中的相關(guān)知識(shí)轉(zhuǎn)化為事件；(2)判斷事件是否為古典概型；(3)選用合適的方法確定基本事件個(gè)數(shù)；(4)代入古典概型的概率公式求解．跟蹤訓(xùn)練2從參加環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生中抽出40名，將其成績(jī)(均為整數(shù))整理后畫(huà)出頻率分布直方圖如圖所示，觀察圖形，回答下列問(wèn)題．(1)成績(jī)?cè)赱80,90)這一組的頻數(shù)、頻率分別是多少？(2)估計(jì)這次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)；(不要求寫(xiě)過(guò)程)(3)從成績(jī)是80分以上(包括80分)的學(xué)生中選2人，求他們?cè)谕环謹(jǐn)?shù)段的概率．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型三幾何概型例3(1)勒洛三角形是一種特殊三角形，指分別以正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以其邊長(zhǎng)為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形．如圖，在勒洛三角形ABC內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，則該點(diǎn)位于正三角形ABC內(nèi)的概率為()A.eq\f(\r(3),2π－\r(3)) B.eq\f(3\r(3),2π)C.eq\f(\r(3),2π－\r(3)) D.eq\f(\r(3),2π)聽(tīng)課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)在區(qū)間[－1,1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)k，使直線y＝k(x＋3)與圓x2＋y2＝1相交的概率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(\r(2),4)D.eq\f(\r(2),3)聽(tīng)課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華(1)求解幾何概型概率的步驟(2)與體積有關(guān)的幾何概型的解題策略對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題，關(guān)鍵是計(jì)算問(wèn)題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對(duì)于某些較復(fù)雜的問(wèn)題也可利用其對(duì)立事件求解．跟蹤訓(xùn)練3(1)如圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形二維碼，為了測(cè)算圖中黑色部分的面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲800個(gè)點(diǎn)，其中落入黑色部分的有453個(gè)點(diǎn)，據(jù)此可估計(jì)黑色部分的面積約為()A．11B．10C．9D．8(2)陽(yáng)馬是中國(guó)古代算術(shù)中的一種幾何形體，是底面為長(zhǎng)方形，且兩個(gè)三角形側(cè)面與底面垂直的四棱錐．在陽(yáng)馬P－ABCD中，PC為陽(yáng)馬P－ABCD中最長(zhǎng)的棱，AB＝1，AD＝2，PC＝3.若在陽(yáng)馬P－ABCD的外接球內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)位于陽(yáng)馬內(nèi)的概率為()A.eq\f(1,27π)B.eq\f(4,27π)C.eq\f(8,27π)D.eq\f(4,9π)§11.2古典概型與幾何概型考試要求1.理解古典概型及其概率計(jì)算公式.2.會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件的個(gè)數(shù)及事件發(fā)生的概率.3.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率.4.了解幾何概型的意義．知識(shí)梳理1．古典概型(1)古典概型的特征：①有限性：試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；②等可能性：每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．(2)古典概型的概率計(jì)算的基本步驟：①判斷本次試驗(yàn)的結(jié)果是否是等可能的，設(shè)出所求的事件為A；②分別計(jì)算基本事件的總數(shù)n和所求的事件A所包含的基本事件的個(gè)數(shù)m；③利用古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出事件A的概率．(3)頻率的計(jì)算公式與古典概型的概率計(jì)算公式的異同名稱不同點(diǎn)相同點(diǎn)頻率計(jì)算公式頻率計(jì)算中的m，n均隨隨機(jī)試驗(yàn)的變化而變化，但隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，它們的比值逐漸趨近于概率值都計(jì)算了一個(gè)比值eq\f(m,n)古典概型的概率計(jì)算公式eq\f(m,n)是一個(gè)定值，對(duì)同一個(gè)隨機(jī)事件而言，m，n都不會(huì)變化2.幾何概型(1)概念：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為幾何概型．(2)幾何概型的基本特點(diǎn)：①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無(wú)限多個(gè)；②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．(3)計(jì)算公式：P(A)＝eq\f(構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積).思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)從－3，－2，－1,0,1,2中任取一個(gè)數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同．(√)(2)在一個(gè)正方形區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)的概率為0.(√)(3)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本事件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”．(×)(4)兩個(gè)互斥事件的概率和為1.(×)教材改編題1．袋中裝有大小、形狀完全相同的6個(gè)白球，4個(gè)紅球，從中任取一球，則取到白球的概率為()A.eq\f(2,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,6)答案B2．在數(shù)軸的[0,3]上任投一點(diǎn)，則此點(diǎn)表示的數(shù)小于1的概率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D．1答案B解析區(qū)間[0,3]的長(zhǎng)度為3，而對(duì)應(yīng)的數(shù)小于1的區(qū)間為[0,1)，長(zhǎng)度為1，故所求概率為eq\f(1,3).3．從1,3,5,7這4個(gè)數(shù)中隨機(jī)取出2個(gè)不同的數(shù)表示為a，b，則a＋b>7的概率為_(kāi)_______．答案eq\f(2,3)解析從4個(gè)數(shù)中隨機(jī)取出2個(gè)數(shù)，則有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，3))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，5))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，7))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，5))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，7))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，7))，共6種情況，其中滿足a＋b>7的有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，7))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，5))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，7))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，7))，共4種情況，故a＋b>7的概率P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).題型一古典概型例1(1)(2023·銀川模擬)在2,3,5,7這四個(gè)數(shù)中任取三個(gè)數(shù)，將其組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則這個(gè)數(shù)是奇數(shù)的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4)D.eq\f(5,6)答案C解析由題意，這個(gè)數(shù)可能為235,237,253,257,273,275,325,327,352,357,372,375,523,527,532,537,572,573,723,725,732,735,752,753，共24種情況，其中奇數(shù)共有18個(gè)，故所求概率P＝eq\f(18,24)＝eq\f(3,4).(2)(2023·南通質(zhì)檢)我國(guó)數(shù)學(xué)家張益唐在“孿生素?cái)?shù)”研究方面取得突破，孿生素?cái)?shù)也稱為孿生質(zhì)數(shù)，就是指兩個(gè)相差2的素?cái)?shù)，例如5和7.在大于3且不超過(guò)20的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取2個(gè)不同的數(shù)，恰好是一組孿生素?cái)?shù)的概率為()A.eq\f(3,56) B.eq\f(3,28)C.eq\f(1,7) D.eq\f(1,5)答案D解析大于3且不超過(guò)20的素?cái)?shù)為5,7,11,13,17,19，共6個(gè)，隨機(jī)選取2個(gè)不同的數(shù)，分別為(5,7)，(5,11)，(5,13)，(5,17)，(5,19)，(7,11)，(7,13)，(7,17)，(7,19)，(11,13)，(11,17)，(11,19)，(13,17)，(13,19)，(17,19)，共15種選法，其中恰好是一組孿生素?cái)?shù)的有(5,7)，(11,13)，(17,19)，共3種，故隨機(jī)選取2個(gè)不同的數(shù)，恰好是一組孿生素?cái)?shù)的概率為eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).思維升華利用公式法求解古典概型問(wèn)題的步驟跟蹤訓(xùn)練1(1)(2022·全國(guó)甲卷)從分別寫(xiě)有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無(wú)放回地隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為()A.eq\f(1,5)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,5)D.eq\f(2,3)答案C解析從寫(xiě)有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無(wú)放回地隨機(jī)抽取2張，共有15種取法，它們分別是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，其中卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的是(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)，共6種取法，所以所求概率是P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).(2)“哥德巴赫猜想”是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一，今日常見(jiàn)的猜想陳述為歐拉的版本，即任一大于2的偶數(shù)都可寫(xiě)成兩個(gè)素?cái)?shù)(質(zhì)數(shù))之和．若將24拆成兩個(gè)正整數(shù)的和，則拆成的和式中，加數(shù)全部為素?cái)?shù)的概率為_(kāi)_______．答案eq\f(1,4)解析依題意，24可拆成：1＋23,2＋22,3＋21,4＋20,5＋19,6＋18,7＋17,8＋16,9＋15,10＋14,11＋13,12＋12，共12個(gè)結(jié)果，加數(shù)全部為素?cái)?shù)的事件有5＋19,7＋17,11＋13，共3個(gè)結(jié)果，所以拆成的和式中，加數(shù)全部為素?cái)?shù)的概率為eq\f(3,12)＝eq\f(1,4).題型二古典概型與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題例2為了了解使用某種新型藥品后是否會(huì)引起疲乏癥狀，該機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了某地患有這種疾病的275人進(jìn)行調(diào)查，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：無(wú)疲乏癥狀有疲乏癥狀總計(jì)未使用新藥15025t使用新藥xy100總計(jì)225m275(1)求2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)x，y，m，t的值，并判斷能否有95%的把握認(rèn)為有疲乏癥狀與使用該新藥有關(guān)；(2)從使用該新藥的100人中按是否有疲乏癥狀，采用分層抽樣的方法抽出4人，再?gòu)倪@4人中隨機(jī)抽取2人做進(jìn)一步調(diào)查，求這2人中恰有1人有疲乏癥狀的概率．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解(1)由數(shù)表知，x＝225－150＝75，y＝100－75＝25，m＝275－225＝50，t＝150＋25＝175，所以x＝75，y＝25，m＝50，t＝175，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到K2＝eq\f(275×150×25－75×252,225×50×175×100)≈4.911>3.841，所以有95%的把握認(rèn)為有疲乏癥狀與使用該新藥有關(guān)．(2)從使用新藥的100人中用分層抽樣的方法抽取4人的抽樣比為eq\f(4,100)＝eq\f(1,25)，則抽取有疲乏癥狀的人數(shù)為eq\f(1,25)×25＝1，無(wú)疲乏癥狀的有3人，抽取的有疲乏癥狀的1人記為1，無(wú)疲乏癥狀的3人記為a，b，c，從4人中隨機(jī)抽取2人的所有可能結(jié)果為(1，a)，(1，b)，(1，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共6個(gè)，它們等可能，記2人中恰有1人有疲乏癥狀的事件為M，它所含基本事件是(1，a)，(1，b)，(1，c)，共3個(gè)，于是得P(M)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，所以這2人中恰有1人有疲乏癥狀的概率是eq\f(1,2).思維升華求解古典概型的綜合問(wèn)題的步驟(1)將題目條件中的相關(guān)知識(shí)轉(zhuǎn)化為事件；(2)判斷事件是否為古典概型；(3)選用合適的方法確定基本事件個(gè)數(shù)；(4)代入古典概型的概率公式求解．跟蹤訓(xùn)練2從參加環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生中抽出40名，將其成績(jī)(均為整數(shù))整理后畫(huà)出頻率分布直方圖如圖所示，觀察圖形，回答下列問(wèn)題．(1)成績(jī)?cè)赱80,90)這一組的頻數(shù)、頻率分別是多少？(2)估計(jì)這次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)；(不要求寫(xiě)過(guò)程)(3)從成績(jī)是80分以上(包括80分)的學(xué)生中選2人，求他們?cè)谕环謹(jǐn)?shù)段的概率．解(1)根據(jù)題意，成績(jī)?cè)赱50,60)這一組的頻率為0.015×10＝0.15，在[60,70)這一組的頻率為0.025×10＝0.25，在[70,80)這一組的頻率為0.035×10＝0.35，在[90,100]這一組的頻率為0.005×10＝0.05，則成績(jī)?cè)赱80,90)這一組的頻率為eq\f(1,2)×[1－(0.15＋0.25＋0.35＋0.05)]＝0.1，其頻數(shù)為40×0.1＝4.(2)這次競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)約為45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.35＋85×0.1＋95×0.05＝68.5；成績(jī)?cè)赱70,80)這一組的頻率最大，人數(shù)最多，則眾數(shù)約為75；70分左右兩側(cè)的頻率均為0.5，則中位數(shù)約為70.(3)記“選出的2人在同一分?jǐn)?shù)段”為事件E，成績(jī)?cè)赱80,90)內(nèi)的有40×0.1＝4(人)，設(shè)為a，b，c，d；成績(jī)?cè)赱90,100]內(nèi)的有40×0.05＝2(人)，設(shè)為A，B.從這6人中選出2人，有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，d)，(b，A)，(b，B)，(c，d)，(c，A)，(c，B)，(d，A)，(d，B)，(A，B)，共15種選法，其中事件E包括(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，(A，B)，共7種選法，則P(E)＝eq\f(7,15).題型三幾何概型例3(1)勒洛三角形是一種特殊三角形，指分別以正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以其邊長(zhǎng)為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形．如圖，在勒洛三角形ABC內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，則該點(diǎn)位于正三角形ABC內(nèi)的概率為()A.eq\f(\r(3),2π－\r(3)) B.eq\f(3\r(3),2π)C.eq\f(\r(3),2π－\r(3)) D.eq\f(\r(3),2π)答案A解析由題意可得，設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)為2，則△ABC的面積S△ABC＝eq\f(\r(3),4)×22＝eq\r(3)，曲邊三角形的面積S曲＝S扇形CAB＋2S拱＝eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×22＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(S扇形CAB－S△ABC))＝eq\f(2,3)π×3－2×eq\f(\r(3),4)×22＝2π－2eq\r(3)，所以所求概率為eq\f(S△ABC,S曲)＝eq\f(\r(3),2π－2\r(3))＝eq\f(\r(3),2π－\r(3)).(2)在區(qū)間[－1,1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)k，使直線y＝k(x＋3)與圓x2＋y2＝1相交的概率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(\r(2),4)D.eq\f(\r(2),3)答案C解析因?yàn)閳A心(0,0)，半徑r＝1，直線與圓相交，所以圓心到直線的距離d＝eq\f(|3k|,\r(1＋k2))<1，解得－eq\f(\r(2),4)<k<eq\f(\r(2),4)，所以相交的概率P＝eq\f(\f(\r(2),2),2)＝eq\f(\r(2),4).思維升華(1)求解幾何概型概率的步驟(2)與體積有關(guān)的幾何概型的解題策略對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題，關(guān)鍵是計(jì)算問(wèn)題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對(duì)于某些較復(fù)雜的問(wèn)題也可利用其對(duì)立事件求解．跟蹤訓(xùn)練3(1)如圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形二維碼，為了測(cè)算圖中黑色部分的面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲800個(gè)點(diǎn)，其中落入黑色部分的有453個(gè)點(diǎn)，據(jù)此可估計(jì)黑色部分的面積約為()A．11B．10C．9D．8答案C解析由隨機(jī)模擬試驗(yàn)可得eq\f(S黑,S正)＝eq\f(453,800)，所以S黑＝eq\f(453,800)×16≈9.(2)陽(yáng)馬是中國(guó)古代算術(shù)中的一種幾何形體，是底面為長(zhǎng)方形，且兩個(gè)三角形側(cè)面與底面垂直的四棱錐．在陽(yáng)馬P－ABCD中，PC為陽(yáng)馬P－ABCD中最長(zhǎng)的棱，AB＝1，AD＝2，PC＝3.若在陽(yáng)馬P－ABCD的外接球內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)位于陽(yáng)馬內(nèi)的概率為()A.eq\f(1,27π) B.eq\f(4,27π)C.eq\f(8,27π) D.eq\f(4,9π)答案C解析根據(jù)題意，得PA⊥平面ABCD，PC的長(zhǎng)等于陽(yáng)馬P－ABCD外接球的直徑．∵PC＝eq\r(PA2＋AB2＋AD2)，∴PA＝2.∴VP－ABCD＝eq\f(1,3)×1×2×2＝eq\f(4,3).又V球＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3＝eq\f(9π,2)，∴該點(diǎn)位于陽(yáng)馬內(nèi)的概率P＝eq\f(\f(4,3),\f(9π,2))＝eq\f(8,27π).課時(shí)精練1．在區(qū)間(0,6)內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù)m，不等式m2－4m＋3<0的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,4) D.eq\f(2,3)答案A解析由m2－4m＋3<0可得1<m<3，由幾何概型可得，所求概率為eq\f(3－1,6－0)＝eq\f(1,3).2．(2022·黃山質(zhì)檢)從集合{1,2,4}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)a，從集合{2,4,5}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)b，則向量m＝(a，b)與向量n＝(2，－1)垂直的概率為()A.eq\f(1,9)B.eq\f(2,9)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)答案B解析從集合{1,2,4}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)a，從集合{2,4,5}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)b，可以組成向量m＝(a，b)的個(gè)數(shù)是9個(gè)，其中與向量n＝(2，－1)垂直的向量是m＝(1,2)和m＝(2,4)，共2個(gè)，故所求的概率為P＝eq\f(2,9).3．香港特別行政區(qū)區(qū)徽，呈圓形，位于徽面內(nèi)圓中央的動(dòng)態(tài)紫荊花圖案為白色，由五片花瓣組成，每片花瓣中均有一顆紅色五角星及一條紅色花蕊鑲在其間，香港特別行政區(qū)區(qū)徽代表祖國(guó)，白色紫荊花代表香港，紫荊花紅旗寓意香港是祖國(guó)不可分離的一部分，并將在祖國(guó)懷抱中興旺發(fā)達(dá)．花蕊上的五星象征香港同胞熱愛(ài)祖國(guó)，采用紅、白不同顏色，象征“一國(guó)兩制”．其中紫荊花外輔助圓直徑為區(qū)徽直徑的eq\f(3,5)，現(xiàn)從區(qū)徽內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自紫荊花外輔助圓內(nèi)的概率為()A.eq\f(3,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(9,25) D.eq\f(16,25)答案C解析設(shè)區(qū)徽直徑為d，則紫荊花外輔助圓直徑為eq\f(3,5)d，所以區(qū)徽的面積為πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)))2＝eq\f(πd2,4)，紫荊花外輔助圓的面積為πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3d,10)))2＝eq\f(9πd2,100)，根據(jù)幾何概型的公式得該點(diǎn)取自紫荊花外輔助圓內(nèi)的概率為eq\f(\f(9πd2,100),\f(πd2,4))＝eq\f(9,25).4．在一個(gè)盒子中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1,2,3,4，從盒子中隨機(jī)取出2個(gè)球，所取球的編號(hào)分別記為m，n，則“m＋n＝5”的概率為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)答案C解析由題意，得{m，n}的可能結(jié)果有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6個(gè)，其中滿足“m＋n＝5”的有{1,4}，{2,3}，共2個(gè)，所以“m＋n＝5”的概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).5．甲、乙、丙、丁四人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外三個(gè)人中的任何一人，則3次傳球后球在甲或乙手中的概率是()A.eq\f(11,27)B.eq\f(13,27)C.eq\f(14,27)D.eq\f(16,27)答案B解析由題意可知，3次傳球總的傳球路線種數(shù)為27,3次傳球后球在甲或乙手中有如下線路：甲乙甲乙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲乙丁甲，甲乙丁乙，甲丙甲乙，甲丙乙甲，甲丙丁甲，甲丙丁乙，甲丁甲乙，甲丁乙甲，甲丁丙甲，甲丁丙乙，共13種，故3次傳球后球在甲或乙手中的概率P＝eq\f(13,27).6．某校對(duì)高一新生進(jìn)行體能測(cè)試(滿分100分)，高一(1)班有40名同學(xué)成績(jī)恰在[60,90]內(nèi)，繪成頻率分布直方圖(如圖所示)，從[60,70)中任抽2人的測(cè)試成績(jī)，恰有一人的成績(jī)?cè)赱60,65)內(nèi)的概率是()A.eq\f(7,15) B.eq\f(8,15)C.eq\f(2,3) D.eq\f(1,3)答案B解析由頻率分布直方圖知[60,65)內(nèi)有2人，不妨記為a，b；[65,70)內(nèi)有4人，不妨記為1,2,3,4.從6人中任抽2人的基本事件為{a，b}，{a,1}，{a,2}，{a,3}，{a,4}，{b,1}，{b,2}，{b,3}，{b,4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共15個(gè)，事件“恰有一人的成績(jī)?cè)赱60,65)內(nèi)”的基本事件有8個(gè)，所以所求的概率為eq\f(8,15).7．一個(gè)路口的紅綠燈，紅燈的時(shí)間為40秒，黃燈的時(shí)間為10秒，綠燈的時(shí)間為50秒，當(dāng)?shù)竭_(dá)路口時(shí)，不需要等待就可以過(guò)馬路的概率為_(kāi)_______．答案eq\f(1,2)解析由題意知試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是總的時(shí)間長(zhǎng)度，為40＋10＋50＝100(秒)，綠燈的時(shí)間為50秒，所以當(dāng)?shù)竭_(dá)路口時(shí)，不需要等待就可以過(guò)馬路的概率P＝eq\f(50,100)＝eq\f(1,2).8.三階魔方可以看作是將一個(gè)各面上均涂有顏色的正方體的棱三等分，然后沿等分線把正方體切開(kāi)所得，現(xiàn)將三階魔方中1面有色的小正方體稱為中心方塊，2面有色的小正方體稱為邊緣方塊，3面有色的小正方體稱為邊角方塊，若從所有的小正方體中任取一個(gè)，恰好抽到中心方塊的概率為_(kāi)_______．答案eq\f(2,9)解析沿三等分線把正方體切開(kāi)，得到27個(gè)同樣大小的小正方體，1面有色的小正方體有6個(gè)，所以恰好抽到的是中心方塊的概率是eq\f(6,27)＝eq\f(2,9).9．某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購(gòu)買(mǎi)一定金額的商品即可抽獎(jiǎng)．抽獎(jiǎng)方法是：從裝有2個(gè)紅球A1，A2和1個(gè)白球B的甲箱與裝有2個(gè)紅球a1，a2和2個(gè)白球b1，b2的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球．若摸出的2個(gè)球都是紅球則中獎(jiǎng)，否則不中獎(jiǎng)．(1)用球的標(biāo)號(hào)列出所有可能的摸出結(jié)果；(2)有人認(rèn)為：兩個(gè)箱子中的紅球比白球多，所以中獎(jiǎng)的概率大于不中獎(jiǎng)的概率．你認(rèn)為正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．解(1)所有可能的摸出結(jié)果是(A1，a1)，(A1，a2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，a1)，(A2，a2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(B，a1)，(B，a2)，(B，b1)，(B，b2)．(2)不正確．理由如下：由(1)知，所有可能的摸出結(jié)果共12種，其中摸出的2個(gè)球都是紅球的結(jié)果為(A1，a1)，(A1，a2)，(A2，a1)，(A2，a2)，共4種，所以中獎(jiǎng)的概率為eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，不中獎(jiǎng)的概率為1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)>eq\f(1,3)，故這種說(shuō)法不正確．10．為了使全體黨員進(jìn)一步堅(jiān)定理想信念，傳承紅色基因，市教育局以“學(xué)黨史、悟思想、辦實(shí)事、開(kāi)新局”為主題進(jìn)行“黨史”教育，并舉辦由全體黨員參加的“學(xué)黨史”知識(shí)競(jìng)賽．競(jìng)賽共設(shè)100個(gè)小題，每個(gè)小題1分，共100分．現(xiàn)隨機(jī)抽取1000名黨員的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分成以下七組：[72,76)，[76,80)，[80,84)，[84,88)，[88,92)，[92,96)，[96,100]，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求這1000名黨員成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)；(2)用分層抽樣的方法從低于80分的黨員中抽取5人，若在這5人中任選2人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，求這2人中至少有1人成績(jī)低于76分的概率．解(1)由頻率分布直方圖可得，1000名黨員成績(jī)的眾數(shù)為eq\f(84＋88,2)＝86(分)，成績(jī)?cè)赱72,84)的頻率為(0.02＋0.03＋0.0375)×4＝0.35，成績(jī)?cè)赱72,88)的頻率為(0.02＋0.03＋0.0375＋0.075)×4＝0.65，故中位數(shù)位于[84,88)之間，中位數(shù)是84＋4×eq\f(0.5－0.35,0.65－0.35)＝86(分)．(2)∵[72,76)與[76,80)的黨員人數(shù)的比值為2∶3，采用分層抽樣方法抽取5人，則在[72,76)中抽取2人，[76,80)中抽取3人，設(shè)在[72,76)中抽取人的編號(hào)為A1，A2，在[76,80)中抽取人的編號(hào)為B1，B2，B3，則從5人中任選2人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查對(duì)應(yīng)的基本事件為(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A1，A2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10種，這2人中至少有1人成績(jī)低于76分的有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A1，A2)，共7種，故這2人中至少有1人成績(jī)低于76分的概率P＝eq\f(7,10).11．我國(guó)古代的一些數(shù)字詩(shī)精巧有趣，又飽含生活的哲學(xué)，如