2024年高考數(shù)學大一輪(人教A版文)第十一章11.2　古典概型與幾何概型復習講義(學生版+解析)

§11.2古典概型與幾何概型考試要求1.理解古典概型及其概率計算公式.2.會計算一些隨機事件所含的基本事件的個數(shù)及事件發(fā)生的概率.3.了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率.4.了解幾何概型的意義．知識梳理1．古典概型(1)古典概型的特征：①有限性：試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有________個；②等可能性：每個基本事件出現(xiàn)的__________相等．(2)古典概型的概率計算的基本步驟：①判斷本次試驗的結(jié)果是否是____________，設出所求的事件為A；②分別計算基本事件的總數(shù)n和所求的事件A所包含的基本事件的個數(shù)m；③利用古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出事件A的概率．(3)頻率的計算公式與古典概型的概率計算公式的異同名稱不同點相同點頻率計算公式頻率計算中的m，n均隨隨機試驗的變化而變化，但隨著試驗次數(shù)的增多，它們的比值逐漸趨近于概率值都計算了一個比值eq\f(m,n)古典概型的概率計算公式eq\f(m,n)是一個定值，對同一個隨機事件而言，m，n都不會變化2.幾何概型(1)概念：如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的________________________成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型．(2)幾何概型的基本特點：①試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個；②每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等．(3)計算公式：P(A)＝______________________________________________________________.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)從－3，－2，－1,0,1,2中任取一個數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同．()(2)在一個正方形區(qū)域內(nèi)任取一點的概率為0.()(3)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本事件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”．()(4)兩個互斥事件的概率和為1.()教材改編題1．袋中裝有大小、形狀完全相同的6個白球，4個紅球，從中任取一球，則取到白球的概率為()A.eq\f(2,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,6)2．在數(shù)軸的[0,3]上任投一點，則此點表示的數(shù)小于1的概率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D．13．從1,3,5,7這4個數(shù)中隨機取出2個不同的數(shù)表示為a，b，則a＋b>7的概率為________．題型一古典概型例1(1)(2023·銀川模擬)在2,3,5,7這四個數(shù)中任取三個數(shù)，將其組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，則這個數(shù)是奇數(shù)的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4)D.eq\f(5,6)聽課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2023·南通質(zhì)檢)我國數(shù)學家張益唐在“孿生素數(shù)”研究方面取得突破，孿生素數(shù)也稱為孿生質(zhì)數(shù)，就是指兩個相差2的素數(shù)，例如5和7.在大于3且不超過20的素數(shù)中，隨機選取2個不同的數(shù)，恰好是一組孿生素數(shù)的概率為()A.eq\f(3,56) B.eq\f(3,28)C.eq\f(1,7) D.eq\f(1,5)聽課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華利用公式法求解古典概型問題的步驟跟蹤訓練1(1)(2022·全國甲卷)從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回地隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,5) D.eq\f(2,3)(2)“哥德巴赫猜想”是世界近代三大數(shù)學難題之一，今日常見的猜想陳述為歐拉的版本，即任一大于2的偶數(shù)都可寫成兩個素數(shù)(質(zhì)數(shù))之和．若將24拆成兩個正整數(shù)的和，則拆成的和式中，加數(shù)全部為素數(shù)的概率為________．題型二古典概型與統(tǒng)計的綜合問題例2為了了解使用某種新型藥品后是否會引起疲乏癥狀，該機構(gòu)隨機抽取了某地患有這種疾病的275人進行調(diào)查，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：無疲乏癥狀有疲乏癥狀總計未使用新藥15025t使用新藥xy100總計225m275(1)求2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)x，y，m，t的值，并判斷能否有95%的把握認為有疲乏癥狀與使用該新藥有關(guān)；(2)從使用該新藥的100人中按是否有疲乏癥狀，采用分層抽樣的方法抽出4人，再從這4人中隨機抽取2人做進一步調(diào)查，求這2人中恰有1人有疲乏癥狀的概率．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華求解古典概型的綜合問題的步驟(1)將題目條件中的相關(guān)知識轉(zhuǎn)化為事件；(2)判斷事件是否為古典概型；(3)選用合適的方法確定基本事件個數(shù)；(4)代入古典概型的概率公式求解．跟蹤訓練2從參加環(huán)保知識競賽的學生中抽出40名，將其成績(均為整數(shù))整理后畫出頻率分布直方圖如圖所示，觀察圖形，回答下列問題．(1)成績在[80,90)這一組的頻數(shù)、頻率分別是多少？(2)估計這次環(huán)保知識競賽成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)；(不要求寫過程)(3)從成績是80分以上(包括80分)的學生中選2人，求他們在同一分數(shù)段的概率．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型三幾何概型例3(1)勒洛三角形是一種特殊三角形，指分別以正三角形的三個頂點為圓心，以其邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形．如圖，在勒洛三角形ABC內(nèi)隨機選取一點，則該點位于正三角形ABC內(nèi)的概率為()A.eq\f(\r(3),2π－\r(3)) B.eq\f(3\r(3),2π)C.eq\f(\r(3),2π－\r(3)) D.eq\f(\r(3),2π)聽課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)在區(qū)間[－1,1]上隨機取一個數(shù)k，使直線y＝k(x＋3)與圓x2＋y2＝1相交的概率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(\r(2),4)D.eq\f(\r(2),3)聽課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華(1)求解幾何概型概率的步驟(2)與體積有關(guān)的幾何概型的解題策略對于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對于某些較復雜的問題也可利用其對立事件求解．跟蹤訓練3(1)如圖是一個邊長為4的正方形二維碼，為了測算圖中黑色部分的面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機投擲800個點，其中落入黑色部分的有453個點，據(jù)此可估計黑色部分的面積約為()A．11B．10C．9D．8(2)陽馬是中國古代算術(shù)中的一種幾何形體，是底面為長方形，且兩個三角形側(cè)面與底面垂直的四棱錐．在陽馬P－ABCD中，PC為陽馬P－ABCD中最長的棱，AB＝1，AD＝2，PC＝3.若在陽馬P－ABCD的外接球內(nèi)部隨機取一點，則該點位于陽馬內(nèi)的概率為()A.eq\f(1,27π)B.eq\f(4,27π)C.eq\f(8,27π)D.eq\f(4,9π)§11.2古典概型與幾何概型考試要求1.理解古典概型及其概率計算公式.2.會計算一些隨機事件所含的基本事件的個數(shù)及事件發(fā)生的概率.3.了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率.4.了解幾何概型的意義．知識梳理1．古典概型(1)古典概型的特征：①有限性：試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；②等可能性：每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等．(2)古典概型的概率計算的基本步驟：①判斷本次試驗的結(jié)果是否是等可能的，設出所求的事件為A；②分別計算基本事件的總數(shù)n和所求的事件A所包含的基本事件的個數(shù)m；③利用古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出事件A的概率．(3)頻率的計算公式與古典概型的概率計算公式的異同名稱不同點相同點頻率計算公式頻率計算中的m，n均隨隨機試驗的變化而變化，但隨著試驗次數(shù)的增多，它們的比值逐漸趨近于概率值都計算了一個比值eq\f(m,n)古典概型的概率計算公式eq\f(m,n)是一個定值，對同一個隨機事件而言，m，n都不會變化2.幾何概型(1)概念：如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型．(2)幾何概型的基本特點：①試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個；②每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等．(3)計算公式：P(A)＝eq\f(構(gòu)成事件A的區(qū)域長度面積或體積,試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度面積或體積).思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)從－3，－2，－1,0,1,2中任取一個數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同．(√)(2)在一個正方形區(qū)域內(nèi)任取一點的概率為0.(√)(3)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本事件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”．(×)(4)兩個互斥事件的概率和為1.(×)教材改編題1．袋中裝有大小、形狀完全相同的6個白球，4個紅球，從中任取一球，則取到白球的概率為()A.eq\f(2,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,6)答案B2．在數(shù)軸的[0,3]上任投一點，則此點表示的數(shù)小于1的概率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D．1答案B解析區(qū)間[0,3]的長度為3，而對應的數(shù)小于1的區(qū)間為[0,1)，長度為1，故所求概率為eq\f(1,3).3．從1,3,5,7這4個數(shù)中隨機取出2個不同的數(shù)表示為a，b，則a＋b>7的概率為________．答案eq\f(2,3)解析從4個數(shù)中隨機取出2個數(shù)，則有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，3))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，5))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，7))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，5))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，7))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，7))，共6種情況，其中滿足a＋b>7的有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，7))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，5))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，7))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，7))，共4種情況，故a＋b>7的概率P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).題型一古典概型例1(1)(2023·銀川模擬)在2,3,5,7這四個數(shù)中任取三個數(shù)，將其組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，則這個數(shù)是奇數(shù)的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4)D.eq\f(5,6)答案C解析由題意，這個數(shù)可能為235,237,253,257,273,275,325,327,352,357,372,375,523,527,532,537,572,573,723,725,732,735,752,753，共24種情況，其中奇數(shù)共有18個，故所求概率P＝eq\f(18,24)＝eq\f(3,4).(2)(2023·南通質(zhì)檢)我國數(shù)學家張益唐在“孿生素數(shù)”研究方面取得突破，孿生素數(shù)也稱為孿生質(zhì)數(shù)，就是指兩個相差2的素數(shù)，例如5和7.在大于3且不超過20的素數(shù)中，隨機選取2個不同的數(shù)，恰好是一組孿生素數(shù)的概率為()A.eq\f(3,56) B.eq\f(3,28)C.eq\f(1,7) D.eq\f(1,5)答案D解析大于3且不超過20的素數(shù)為5,7,11,13,17,19，共6個，隨機選取2個不同的數(shù)，分別為(5,7)，(5,11)，(5,13)，(5,17)，(5,19)，(7,11)，(7,13)，(7,17)，(7,19)，(11,13)，(11,17)，(11,19)，(13,17)，(13,19)，(17,19)，共15種選法，其中恰好是一組孿生素數(shù)的有(5,7)，(11,13)，(17,19)，共3種，故隨機選取2個不同的數(shù)，恰好是一組孿生素數(shù)的概率為eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).思維升華利用公式法求解古典概型問題的步驟跟蹤訓練1(1)(2022·全國甲卷)從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回地隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為()A.eq\f(1,5)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,5)D.eq\f(2,3)答案C解析從寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回地隨機抽取2張，共有15種取法，它們分別是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，其中卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的是(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)，共6種取法，所以所求概率是P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).(2)“哥德巴赫猜想”是世界近代三大數(shù)學難題之一，今日常見的猜想陳述為歐拉的版本，即任一大于2的偶數(shù)都可寫成兩個素數(shù)(質(zhì)數(shù))之和．若將24拆成兩個正整數(shù)的和，則拆成的和式中，加數(shù)全部為素數(shù)的概率為________．答案eq\f(1,4)解析依題意，24可拆成：1＋23,2＋22,3＋21,4＋20,5＋19,6＋18,7＋17,8＋16,9＋15,10＋14,11＋13,12＋12，共12個結(jié)果，加數(shù)全部為素數(shù)的事件有5＋19,7＋17,11＋13，共3個結(jié)果，所以拆成的和式中，加數(shù)全部為素數(shù)的概率為eq\f(3,12)＝eq\f(1,4).題型二古典概型與統(tǒng)計的綜合問題例2為了了解使用某種新型藥品后是否會引起疲乏癥狀，該機構(gòu)隨機抽取了某地患有這種疾病的275人進行調(diào)查，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：無疲乏癥狀有疲乏癥狀總計未使用新藥15025t使用新藥xy100總計225m275(1)求2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)x，y，m，t的值，并判斷能否有95%的把握認為有疲乏癥狀與使用該新藥有關(guān)；(2)從使用該新藥的100人中按是否有疲乏癥狀，采用分層抽樣的方法抽出4人，再從這4人中隨機抽取2人做進一步調(diào)查，求這2人中恰有1人有疲乏癥狀的概率．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解(1)由數(shù)表知，x＝225－150＝75，y＝100－75＝25，m＝275－225＝50，t＝150＋25＝175，所以x＝75，y＝25，m＝50，t＝175，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到K2＝eq\f(275×150×25－75×252,225×50×175×100)≈4.911>3.841，所以有95%的把握認為有疲乏癥狀與使用該新藥有關(guān)．(2)從使用新藥的100人中用分層抽樣的方法抽取4人的抽樣比為eq\f(4,100)＝eq\f(1,25)，則抽取有疲乏癥狀的人數(shù)為eq\f(1,25)×25＝1，無疲乏癥狀的有3人，抽取的有疲乏癥狀的1人記為1，無疲乏癥狀的3人記為a，b，c，從4人中隨機抽取2人的所有可能結(jié)果為(1，a)，(1，b)，(1，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共6個，它們等可能，記2人中恰有1人有疲乏癥狀的事件為M，它所含基本事件是(1，a)，(1，b)，(1，c)，共3個，于是得P(M)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，所以這2人中恰有1人有疲乏癥狀的概率是eq\f(1,2).思維升華求解古典概型的綜合問題的步驟(1)將題目條件中的相關(guān)知識轉(zhuǎn)化為事件；(2)判斷事件是否為古典概型；(3)選用合適的方法確定基本事件個數(shù)；(4)代入古典概型的概率公式求解．跟蹤訓練2從參加環(huán)保知識競賽的學生中抽出40名，將其成績(均為整數(shù))整理后畫出頻率分布直方圖如圖所示，觀察圖形，回答下列問題．(1)成績在[80,90)這一組的頻數(shù)、頻率分別是多少？(2)估計這次環(huán)保知識競賽成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)；(不要求寫過程)(3)從成績是80分以上(包括80分)的學生中選2人，求他們在同一分數(shù)段的概率．解(1)根據(jù)題意，成績在[50,60)這一組的頻率為0.015×10＝0.15，在[60,70)這一組的頻率為0.025×10＝0.25，在[70,80)這一組的頻率為0.035×10＝0.35，在[90,100]這一組的頻率為0.005×10＝0.05，則成績在[80,90)這一組的頻率為eq\f(1,2)×[1－(0.15＋0.25＋0.35＋0.05)]＝0.1，其頻數(shù)為40×0.1＝4.(2)這次競賽成績的平均數(shù)約為45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.35＋85×0.1＋95×0.05＝68.5；成績在[70,80)這一組的頻率最大，人數(shù)最多，則眾數(shù)約為75；70分左右兩側(cè)的頻率均為0.5，則中位數(shù)約為70.(3)記“選出的2人在同一分數(shù)段”為事件E，成績在[80,90)內(nèi)的有40×0.1＝4(人)，設為a，b，c，d；成績在[90,100]內(nèi)的有40×0.05＝2(人)，設為A，B.從這6人中選出2人，有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，d)，(b，A)，(b，B)，(c，d)，(c，A)，(c，B)，(d，A)，(d，B)，(A，B)，共15種選法，其中事件E包括(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，(A，B)，共7種選法，則P(E)＝eq\f(7,15).題型三幾何概型例3(1)勒洛三角形是一種特殊三角形，指分別以正三角形的三個頂點為圓心，以其邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形．如圖，在勒洛三角形ABC內(nèi)隨機選取一點，則該點位于正三角形ABC內(nèi)的概率為()A.eq\f(\r(3),2π－\r(3)) B.eq\f(3\r(3),2π)C.eq\f(\r(3),2π－\r(3)) D.eq\f(\r(3),2π)答案A解析由題意可得，設△ABC的邊長為2，則△ABC的面積S△ABC＝eq\f(\r(3),4)×22＝eq\r(3)，曲邊三角形的面積S曲＝S扇形CAB＋2S拱＝eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×22＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(S扇形CAB－S△ABC))＝eq\f(2,3)π×3－2×eq\f(\r(3),4)×22＝2π－2eq\r(3)，所以所求概率為eq\f(S△ABC,S曲)＝eq\f(\r(3),2π－2\r(3))＝eq\f(\r(3),2π－\r(3)).(2)在區(qū)間[－1,1]上隨機取一個數(shù)k，使直線y＝k(x＋3)與圓x2＋y2＝1相交的概率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(\r(2),4)D.eq\f(\r(2),3)答案C解析因為圓心(0,0)，半徑r＝1，直線與圓相交，所以圓心到直線的距離d＝eq\f(|3k|,\r(1＋k2))<1，解得－eq\f(\r(2),4)<k<eq\f(\r(2),4)，所以相交的概率P＝eq\f(\f(\r(2),2),2)＝eq\f(\r(2),4).思維升華(1)求解幾何概型概率的步驟(2)與體積有關(guān)的幾何概型的解題策略對于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對于某些較復雜的問題也可利用其對立事件求解．跟蹤訓練3(1)如圖是一個邊長為4的正方形二維碼，為了測算圖中黑色部分的面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機投擲800個點，其中落入黑色部分的有453個點，據(jù)此可估計黑色部分的面積約為()A．11B．10C．9D．8答案C解析由隨機模擬試驗可得eq\f(S黑,S正)＝eq\f(453,800)，所以S黑＝eq\f(453,800)×16≈9.(2)陽馬是中國古代算術(shù)中的一種幾何形體，是底面為長方形，且兩個三角形側(cè)面與底面垂直的四棱錐．在陽馬P－ABCD中，PC為陽馬P－ABCD中最長的棱，AB＝1，AD＝2，PC＝3.若在陽馬P－ABCD的外接球內(nèi)部隨機取一點，則該點位于陽馬內(nèi)的概率為()A.eq\f(1,27π) B.eq\f(4,27π)C.eq\f(8,27π) D.eq\f(4,9π)答案C解析根據(jù)題意，得PA⊥平面ABCD，PC的長等于陽馬P－ABCD外接球的直徑．∵PC＝eq\r(PA2＋AB2＋AD2)，∴PA＝2.∴VP－ABCD＝eq\f(1,3)×1×2×2＝eq\f(4,3).又V球＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3＝eq\f(9π,2)，∴該點位于陽馬內(nèi)的概率P＝eq\f(\f(4,3),\f(9π,2))＝eq\f(8,27π).課時精練1．在區(qū)間(0,6)內(nèi)任取一個實數(shù)m，不等式m2－4m＋3<0的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,4) D.eq\f(2,3)答案A解析由m2－4m＋3<0可得1<m<3，由幾何概型可得，所求概率為eq\f(3－1,6－0)＝eq\f(1,3).2．(2022·黃山質(zhì)檢)從集合{1,2,4}中隨機抽取一個數(shù)a，從集合{2,4,5}中隨機抽取一個數(shù)b，則向量m＝(a，b)與向量n＝(2，－1)垂直的概率為()A.eq\f(1,9)B.eq\f(2,9)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)答案B解析從集合{1,2,4}中隨機抽取一個數(shù)a，從集合{2,4,5}中隨機抽取一個數(shù)b，可以組成向量m＝(a，b)的個數(shù)是9個，其中與向量n＝(2，－1)垂直的向量是m＝(1,2)和m＝(2,4)，共2個，故所求的概率為P＝eq\f(2,9).3．香港特別行政區(qū)區(qū)徽，呈圓形，位于徽面內(nèi)圓中央的動態(tài)紫荊花圖案為白色，由五片花瓣組成，每片花瓣中均有一顆紅色五角星及一條紅色花蕊鑲在其間，香港特別行政區(qū)區(qū)徽代表祖國，白色紫荊花代表香港，紫荊花紅旗寓意香港是祖國不可分離的一部分，并將在祖國懷抱中興旺發(fā)達．花蕊上的五星象征香港同胞熱愛祖國，采用紅、白不同顏色，象征“一國兩制”．其中紫荊花外輔助圓直徑為區(qū)徽直徑的eq\f(3,5)，現(xiàn)從區(qū)徽內(nèi)任取一點，則該點取自紫荊花外輔助圓內(nèi)的概率為()A.eq\f(3,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(9,25) D.eq\f(16,25)答案C解析設區(qū)徽直徑為d，則紫荊花外輔助圓直徑為eq\f(3,5)d，所以區(qū)徽的面積為πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)))2＝eq\f(πd2,4)，紫荊花外輔助圓的面積為πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3d,10)))2＝eq\f(9πd2,100)，根據(jù)幾何概型的公式得該點取自紫荊花外輔助圓內(nèi)的概率為eq\f(\f(9πd2,100),\f(πd2,4))＝eq\f(9,25).4．在一個盒子中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1,2,3,4，從盒子中隨機取出2個球，所取球的編號分別記為m，n，則“m＋n＝5”的概率為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)答案C解析由題意，得{m，n}的可能結(jié)果有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6個，其中滿足“m＋n＝5”的有{1,4}，{2,3}，共2個，所以“m＋n＝5”的概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).5．甲、乙、丙、丁四人相互做傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外三個人中的任何一人，則3次傳球后球在甲或乙手中的概率是()A.eq\f(11,27)B.eq\f(13,27)C.eq\f(14,27)D.eq\f(16,27)答案B解析由題意可知，3次傳球總的傳球路線種數(shù)為27,3次傳球后球在甲或乙手中有如下線路：甲乙甲乙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲乙丁甲，甲乙丁乙，甲丙甲乙，甲丙乙甲，甲丙丁甲，甲丙丁乙，甲丁甲乙，甲丁乙甲，甲丁丙甲，甲丁丙乙，共13種，故3次傳球后球在甲或乙手中的概率P＝eq\f(13,27).6．某校對高一新生進行體能測試(滿分100分)，高一(1)班有40名同學成績恰在[60,90]內(nèi)，繪成頻率分布直方圖(如圖所示)，從[60,70)中任抽2人的測試成績，恰有一人的成績在[60,65)內(nèi)的概率是()A.eq\f(7,15) B.eq\f(8,15)C.eq\f(2,3) D.eq\f(1,3)答案B解析由頻率分布直方圖知[60,65)內(nèi)有2人，不妨記為a，b；[65,70)內(nèi)有4人，不妨記為1,2,3,4.從6人中任抽2人的基本事件為{a，b}，{a,1}，{a,2}，{a,3}，{a,4}，{b,1}，{b,2}，{b,3}，{b,4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共15個，事件“恰有一人的成績在[60,65)內(nèi)”的基本事件有8個，所以所求的概率為eq\f(8,15).7．一個路口的紅綠燈，紅燈的時間為40秒，黃燈的時間為10秒，綠燈的時間為50秒，當?shù)竭_路口時，不需要等待就可以過馬路的概率為________．答案eq\f(1,2)解析由題意知試驗發(fā)生包含的事件是總的時間長度，為40＋10＋50＝100(秒)，綠燈的時間為50秒，所以當?shù)竭_路口時，不需要等待就可以過馬路的概率P＝eq\f(50,100)＝eq\f(1,2).8.三階魔方可以看作是將一個各面上均涂有顏色的正方體的棱三等分，然后沿等分線把正方體切開所得，現(xiàn)將三階魔方中1面有色的小正方體稱為中心方塊，2面有色的小正方體稱為邊緣方塊，3面有色的小正方體稱為邊角方塊，若從所有的小正方體中任取一個，恰好抽到中心方塊的概率為________．答案eq\f(2,9)解析沿三等分線把正方體切開，得到27個同樣大小的小正方體，1面有色的小正方體有6個，所以恰好抽到的是中心方塊的概率是eq\f(6,27)＝eq\f(2,9).9．某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品即可抽獎．抽獎方法是：從裝有2個紅球A1，A2和1個白球B的甲箱與裝有2個紅球a1，a2和2個白球b1，b2的乙箱中，各隨機摸出1個球．若摸出的2個球都是紅球則中獎，否則不中獎．(1)用球的標號列出所有可能的摸出結(jié)果；(2)有人認為：兩個箱子中的紅球比白球多，所以中獎的概率大于不中獎的概率．你認為正確嗎？請說明理由．解(1)所有可能的摸出結(jié)果是(A1，a1)，(A1，a2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，a1)，(A2，a2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(B，a1)，(B，a2)，(B，b1)，(B，b2)．(2)不正確．理由如下：由(1)知，所有可能的摸出結(jié)果共12種，其中摸出的2個球都是紅球的結(jié)果為(A1，a1)，(A1，a2)，(A2，a1)，(A2，a2)，共4種，所以中獎的概率為eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，不中獎的概率為1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)>eq\f(1,3)，故這種說法不正確．10．為了使全體黨員進一步堅定理想信念，傳承紅色基因，市教育局以“學黨史、悟思想、辦實事、開新局”為主題進行“黨史”教育，并舉辦由全體黨員參加的“學黨史”知識競賽．競賽共設100個小題，每個小題1分，共100分．現(xiàn)隨機抽取1000名黨員的成績進行統(tǒng)計分成以下七組：[72,76)，[76,80)，[80,84)，[84,88)，[88,92)，[92,96)，[96,100]，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求這1000名黨員成績的眾數(shù)、中位數(shù)；(2)用分層抽樣的方法從低于80分的黨員中抽取5人，若在這5人中任選2人進行問卷調(diào)查，求這2人中至少有1人成績低于76分的概率．解(1)由頻率分布直方圖可得，1000名黨員成績的眾數(shù)為eq\f(84＋88,2)＝86(分)，成績在[72,84)的頻率為(0.02＋0.03＋0.0375)×4＝0.35，成績在[72,88)的頻率為(0.02＋0.03＋0.0375＋0.075)×4＝0.65，故中位數(shù)位于[84,88)之間，中位數(shù)是84＋4×eq\f(0.5－0.35,0.65－0.35)＝86(分)．(2)∵[72,76)與[76,80)的黨員人數(shù)的比值為2∶3，采用分層抽樣方法抽取5人，則在[72,76)中抽取2人，[76,80)中抽取3人，設在[72,76)中抽取人的編號為A1，A2，在[76,80)中抽取人的編號為B1，B2，B3，則從5人中任選2人進行問卷調(diào)查對應的基本事件為(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A1，A2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10種，這2人中至少有1人成績低于76分的有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A1，A2)，共7種，故這2人中至少有1人成績低于76分的概率P＝eq\f(7,10).11．我國古代的一些數(shù)字詩精巧有趣，又飽含生活的哲學，如