押安徽卷第11-14題（根的判別式核心素養(yǎng)、反比例函數與一次函數、一題多問）（解析版）-備戰(zhàn)2024年中考數學

押安徽卷第11-14題押題方向一：根的判別式3年安徽真題考點命題趨勢2022年安徽卷第12題判別式從近年安徽中考來看，一元二次方程中根的判別式是考查重點，難度較低。預計2024年安徽卷還將繼續(xù)考察根的判別式為避免丟分，學生應扎實掌握。1．（2022·安徽·中考真題）若一元二次方程有兩個相等的實數根，則________．【答案】21）一元二次方程（）的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程無實數根．1．已知關于x的一元二次方程x2+（b﹣3）x﹣b＝0，該方程的根的情況為（）A．無實數根 B．有兩個相等的實數根 C．有兩個不相等的實數根 D．與b的取值有關【分析】先計算根的判別式的值得到Δ＝b2﹣2b+9，再進行配方法和非負數的性質可判斷Δ＞0，然后根據根的判別式的意義對各選項進行判斷．【解答】解：∵Δ＝（b﹣3）2﹣4（﹣b）＝b2﹣2b+9＝（b﹣1）2+8＞0，∴方程有兩個不相等的實數根．故選：C．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0時，方程無實數根．2．若關于x的方程x2﹣2x﹣4k＝0有實數根，則實數k的取值范圍是（）A． B． C．k≥﹣ D．k＞﹣【分析】根據根的判別式的意義得到Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣4k）≥0，然后解不等式即可．【解答】解：根據題意得Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣4k）≥0，解得k≥﹣．故選：C．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0時，方程無實數根．3．判斷關于x的方程kx2﹣（k+1）x+1＝0（k是常數，k＜1）的根的情況（）A．存在一個k，使得方程只有一個實數根 B．無實數根 C．一定有兩個不相等的實數根 D．一定有兩個相等的實數根【分析】當k＝0時，可求出方程的根；k≠0時，利用，Δ＝[﹣（k+1）]2﹣4k＝（k﹣1）2＞0即可判斷原方程有實數根．【解答】解：∵k＜1，∴當k＝0時，原方程為﹣x+1＝0，解得：x＝1；當k≠0時，Δ＝[﹣（k+1）]2﹣4k＝（k﹣1）2＞0，∴原方程有兩個不相等的實數根，故選：A．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0時，方程無實數根．4．若實數b，c滿足c﹣b+2＝0，則關于x的方程x2+bx+c＝0根的情況是（）A．有兩個相等實數根 B．有兩個不相等的實數根 C．沒有實數根 D．無法確定【分析】根據條件得到c＝b﹣2，根據判別式求根的情況即可判斷．【解答】解：∵實數b，c滿足c﹣b+2＝0，∴c＝b﹣2，∴Δ＝b2﹣4c＝b2﹣4（b﹣2）＝（b﹣2）2+4＞0，∴方程有兩個不相等的實數根，故選：B．【點評】本題考查了根的判別式，掌握當Δ＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0時，方程無實數根是解題的關鍵．5．已知關于x的方程ax2﹣4x﹣1＝0有至少一個實數解，則a的取值范圍是a≥﹣4．【分析】分兩種情況討論：當a＝0時，方程為一元一次方程，有一個實數解；當a≠0時，方程ax2﹣4x﹣1＝0是一元二次方程，則當Δ≥0時，方程有實數解，求解即可．【解答】解：當a＝0時，原方程為：﹣4x﹣1＝0，則方程為一元一次方程，有一個實數解；當a≠0時，方程ax2﹣4x﹣1＝0是一元二次方程，則當Δ＝（﹣4）2﹣4a×（﹣1）＝16+4a≥0時，方程有實數解，解得：a≥﹣4，綜上，關于x的方程ax2﹣4x﹣1＝0有至少一個實數解，則a的取值范圍是a≥﹣4．故答案為：a≥﹣4．【點評】本題考查根據方程的解的情況求字母系數取值范圍．熟練掌握一元二次方程有解，則Δ≥0是銀題的關鍵．注意分類討論．6．若關于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有實數根，則k的取值范圍是k≥且k≠1．【分析】利用二次項系數非零及根的判別式Δ≥0，即可得出關于k的一元一次不等式組，解之即可得出k的取值范圍．【解答】解：∵關于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有兩個實數根，∴，解得：k≥且k≠1．故答案為：k≥且k≠1．【點評】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，根據二次項系數非零及根的判別式Δ≥0，找出關于k的一元一次不等式組是解題的關鍵．7．請寫出一個正整數k的值，使得關于x的方程x2﹣5x+2k＝0有實數根，那么k的值可以是3（答案不唯一）.（寫出一個即可）【分析】根據關于x的方程x2﹣5x+2k＝0有實數根得到判別式大于等于0，從而列出關于k的不等式，求出k的取值范圍，然后根據k是正整數，求出答案即可．【解答】解：∵若關于x的方程x2﹣5x+2k＝0有實數根，則Δ＝b2﹣4ac≥0，（﹣5）2﹣4×1×2k≥0，25﹣8k≥0，﹣8k≥﹣25，，∵k為正整數，∴k＝3或2或1，故答案為：3（答案不唯一）．【點評】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，解題關鍵是熟練掌握利用根的判別式判斷一元二次方程根的情況．押題方向二：數學文化素養(yǎng)滲透3年安徽真題考點命題趨勢2023年安徽卷第13題勾股定理從近年安徽中考來看，數學文化素養(yǎng)滲透，也是安徽歷年考查重點，難度較低。預計2024年安徽卷還將繼續(xù)考查數學文化素養(yǎng)滲透，為避免丟分，學生應扎實掌握。2021年安徽卷第12題估算1．（2023·安徽·中考真題）清初數學家梅文鼎在著作《平三角舉要》中，對南宋數學家秦九韶提出的計算三角形面積的“三斜求積術”給出了一個完整的證明，證明過程中創(chuàng)造性地設計直角三角形，得出了一個結論：如圖，AD是銳角△ABC的高，則BD＝（BC+）．當AB＝7，BC＝6，AC＝5時，CD＝．【分析】根據BD＝（BC+）和AB＝7，BC＝6，AC＝5，可以計算出BD的長，再根據BC的長，即可計算出CD的長．【解答】解：∵BD＝（BC+），AB＝7，BC＝6，AC＝5，∴BD＝（6+）＝5，∴CD＝BC﹣BD＝6﹣5＝1，故答案為：1．【點評】本題考查新定義、直角三角形，解答本題的關鍵是明確題意，利用新定義解答．2.（2021·安徽·中考真題）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，其底面是正方形，側面是全等的等腰三角形，底面正方形的邊長與側面等腰三角形底邊上的高的比值是，它介于整數n和n+1之間，則n的值是_______.答案：1解析：由2<<3,1<﹣1<2,所以整數n=11）本題考查新定義、直角三角形，解答本題的關鍵是明確題意，利用新定義解答．2）本題是無理數的估算，熟記1-20的平方是解題的關鍵。1．為了滿足廣大人民群眾日益增長的體育運動需求，也為了紀念北京奧運會成功舉辦，國務院批準，從2009年起，每年8月8日為“全民健身日”，長跑因為其便捷性及有效性是人們最喜愛的運動方式之一，普通人長跑5公里的平均速度約為左右，估計的值在（）A．1到2之間 B．2到3之間 C．3到4之間 D．4到5之間【分析】先估算出的值的范圍，從而估算出+1的值的范圍，即可解答．【解答】解：∵1＜3＜4，∴1＜＜2，∴2＜+1＜3，∴估計的值在2到3之間，故選：B．【點評】本題考查了估算無理數的大小，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．2．炭河古城作為我國首個周文化主題公園，備受大家追捧，如今已成為旅游熱點．在如圖是古城某個綠植拐角的平面圖，為了不踐踏綠植，需要避開“捷徑AC”走橫平豎直的路．已知AB＝6米，BC＝8米，請問與捷徑AC相比多走了多少米？（）A．2米 B．3米 C．4米 D．5米【分析】根據勾股定理求出AC，計算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝6米，BC＝8米，由勾股定理得：AC＝＝＝10（米），∵AB+BC﹣AC＝6+8﹣10＝14，∴與捷徑AC相比多走了4米，故選：C．【點評】本題考查的是勾股定理的應用，靈活運用勾股定理是解題的關鍵．3．我國古代數學著作《九章算術》卷七盈不足有題如下：“今有共買班，人出半，盈四；人出少半，不足三．問人數、班價各幾何？”其大意是：今有人合伙買班石，每人出錢，會多出4錢；每人出錢，又差了3錢．問人數、班價各是多少？若設人數為x，則根據題意可列方程（）A． B． C． D．【分析】根據總的錢數不變，即可得出關于x的一元一次方程，此題得解．【解答】解：由題意可得，，故選：D．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．4．南宋數學家楊輝所著《田畝比類乘除算法》中記載：“直田積八百六十四步，只云闊與長共六十步，問闊及長各幾步．”意思是，一塊矩形田地的面積是864平方步，它的寬和長共60步，問它的寬和長各多少步？設它的寬為x步，則可列方程為（）A．x?（60+x）＝864 B．x?（60﹣2x）＝864 C．x?（30﹣x）＝864 D．x?（60﹣x）＝864【分析】設寬為x步，則長為（60﹣x）步，根據矩形的面積公式結合矩形田地的面積為864平方步，即可得出關于x的一元二次方程．【解答】解：設寬為x步，則長為（60﹣x）步，依題意，得：x（60﹣x）＝864，故選：D．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．5．我國古代數學名著《張丘建算經》中記載：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，問清、醑酒各幾何？”意思是：現(xiàn)在一斗清酒價值10斗谷子，一斗醑酒價值3斗谷子，現(xiàn)在拿30斗谷子，共換了5斗酒，問清、醑酒各幾斗，設清酒有x斗，那么可列方程為（）A．3x+10（5﹣x）＝30 B． C． D．10x+3（5﹣x）＝30【分析】根據共換了5斗酒，其中清酒x斗，則可得到醑酒（5﹣x）斗，再根據一共有30斗谷子列出方程即可．【解答】解：設清酒x斗，則醑酒（5﹣x）斗，由題意可得：10x+3（5﹣x）＝30，故選：D．【點評】本題考查由實際問題抽象出一元一次方程，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的方程．二．填空題（共4小題）6．《九章算術》中有一題：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．問大、小器各容幾何？”譯文：今有大容器5個，小容器1個，總容量為3斛（斛：古代容量單位）；大容器1個，小容器5個，總容量為2斛．問大容器、小容器的容量各是多少斛？設大容器的容量為x斛，小容器的容量為y斛，則可列二元一次方程組為．【分析】根據“大容器5個，小容器1個，總容量為3斛；大容器1個，小容器5個，總容量為2斛”，即可列出關于x，y的二元一次方程組，此題得解．【解答】解：∵大容器5個，小容器1個，總容量為3斛，∴5x+y＝3；∵大容器1個，小容器5個，總容量為2斛，∴x+5y＝2．∴根據題意可列方程組．故答案為：．【點評】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組以及數學常識，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．7．《孫子算經》是中國古代重要的數學著作，成書大約在一千五百年前，其中一道題，原文是：“今三人共車，兩車空；二人共車，九人步．問人與車各幾何？”意思是：現(xiàn)有若干人和車，若每輛車乘坐3人，則空余兩輛車；若每輛車乘坐2人，則有9人步行．則車有15輛．【分析】設車有x輛，根據“若每輛車乘坐3人，則空余兩輛車；若每輛車乘坐2人，則有9人步行”，可列出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論．【解答】解：設車有x輛，根據題意得：3（x﹣2）＝2x+9，解得：x＝15．∴車有15輛．故答案為：15．【點評】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．8．第24屆國際數學家大會會標是以我國古代數學家趙爽的弦圖為基礎進行設計的．如圖，會標是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為α，則tanα的值為．【分析】設直角三角形的兩個直角邊為a，b（a＜b），利用數形結合和勾股定理建立方程即可求出a，b，進而求出正切，作答即可．【解答】解：設直角三角形的兩個直角邊為a，b（a＜b），∵小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，∴根據勾股定理斜邊的平方為a2+b2，∴a2+b2＝25，小正方形的面積為（b﹣a）2＝1，解得a＝3，b＝4，∴tanα＝＝，故答案為：．【點評】本題考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是數形結合．9．二胡是中國古老的民族拉弦樂器之一，演奏家發(fā)現(xiàn)，二胡的“千斤”鉤在琴弦長的黃金分割點處（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出來的音調最和諧悅耳．如圖，一把二胡的弦長為80cm，求“千斤”下面一截琴弦長為（）cm（保留根號）．【分析】根據黃金分割的定義即可解決問題．【解答】解：因為二胡的“千斤”鉤在琴弦長的黃金分割點處，且“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短，則令“千斤”下面一截琴弦長為xcm，所以，解得x＝，所以“千斤”下面一截琴弦長為（）cm．故答案為：（）．【點評】本題考查黃金分割，熟知黃金分割的定義是解題的關鍵．押題方向三：反比例函數（一次函數）的圖象與性質3年安徽真題考點命題趨勢從近年安徽中考來看，反比例函數與一次函數的圖象與性質主要考查函數的增減性（大小比較）、函數過象限等，試題以填空題形式呈現(xiàn)，難度中等；預計2024年安徽卷還將繼續(xù)重視對反比例函數或一次函數的圖象與性質的考查。2022年安徽卷第13題反比例函數過象限問題2021年安徽卷第19題一次函數與反比例1．（2022·安徽·中考真題）如圖，平行四邊形OABC的頂點O是坐標原點，A在x軸的正半軸上，B，C在第一象限，反比例函數的圖象經過點C，的圖象經過點B．若，則________．【答案】32．（2021·安徽·中考真題）已知正比例函數y=kx(k≠0)與反比例函數y=6(1)求k,m的值；(2)在圖中畫出正比例函數y=kx的圖像，并根據圖像，寫出正比例函數值大于反比例函數值時x的取值范圍.【解答】解：（1）將點A坐標代入反比例函數得：2m＝6．∴m＝3．∴A（3，2）將點A坐標代入正比例函數得：2＝3k．∴k＝．（2）如圖：∴正比例函數值大于反比例函數值時x的取值范圍：x＞3或﹣3＜x＜0．

1、一次函數的k值決定函數的增減性，若k＞0，y隨x的增大而增大；若k＜0，y隨x的增大而減??；

2、一次函數的b值決定直線和y軸的交點，若b＞0，與y軸正半軸相交；若b＜0，與y軸負半軸相交；當b＝0時，圖象過原點.3、反比例函數，當k＞0，雙曲線的兩支分別在一、三象限，在每一個象限內，y隨x的增大而減??；當k＜0，雙曲線的兩支分別在二、四象限，在每一個象限內，y隨x的增大而增大。4、大小比較問題的呈現(xiàn)方式主要以不等式的解集的求解來進行呈現(xiàn)，而滿足條件的不等式的左右兩邊為一次函數或反比例函數的形式來存在，所以我們可以通過這類型不等式的左右兩邊的函數圖像來進行判定是大于小于的情況，從而通過其函數的交點來確定圖像的位置，滿足的解集。1．如圖，?ABCD的頂點A在反比例函數的圖象上，AE＝2DE，若△DCE的面積為9，則k的值為54．【分析】過點A作AF⊥x軸于F，設點A的坐標為（a，b），則AF＝b，AB＝CD＝a，證△DOE∽△DFA得OE＝，再根據△DCE的面積為9得ab＝54，然后根據點A（a，b）在反比例函數y＝（x＞0）的圖象上即可得出k的值．【解答】解：過點A作AF⊥x軸于F，如下圖所示：設點A的坐標為（a，b），則AF＝b，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD＝a，∵AE＝2DE，∴AD＝3DE，∵AF⊥x軸，∠EOD＝90°，∴OE∥AF，∴△DOE∽△DFA，∴OE：AF＝DE：AD，即OE：b＝DE：3DE，∴OE＝，∵△DCE的面積為9，∴CD?OE＝9，即，∴ab＝54，∵點A（a，b）在反比例函數y＝（x＞0）的圖象上，∴k＝ab＝54．故答案為：54．【點評】此題主要考查了反比例函數圖象上的點，平行四邊形的性質，相似三角形的判定和性質，理解反比例函數圖象上的點滿足反比例函數的表達式，熟練掌握平行四邊形的性質，相似三角形的判定和性質是解決問題的關鍵．2．如圖，正方形ABCD的頂點A在x軸上，E是AD的中點，反比例函數的圖象經過正方形的頂點B．若OA＝1，tan∠OAE＝2，則k＝10.【分析】作BF⊥x軸，垂足為F，利用相似比求出AF＝4，BF＝2，繼而求出點B坐標，最后求出k值即可．【解答】解：如圖，作BF⊥x軸，垂足為F，∵E是AD的中點，OA＝1，tan∠OAE＝2，∴OE＝2，∴AE＝＝，∴AB＝AD＝2，∵OE∥BF，∴△OAE∽△FBA，∴，∴AF＝4，BF＝2，∴OF＝OA+AF＝1+4＝5，∴B（5，2），∵點B在反比例函數圖象上，∴k＝10．故答案為：10．【點評】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握圖象上點的坐標滿足函數解析式是關鍵．3．如圖，點A在反比例函數y＝（x＞0）的圖象上，點B在反比例函數y＝（x＜0）的圖象上，AB∥x軸，AB＝2．（1）若點A的坐標為（，2），則a+b的值是﹣2．（2）若點C在反比例函數y＝（x＞0）的圖象上，點D在反比例函數y＝（x＜0）的圖象上，CD∥AB，CD＝3，AB與CD之間的距離為1，則a﹣b的值是6．【分析】（1）根據題意求得點B的坐標，然后利用待定系數法即可求得a、b的值，進而求得a+b的值；（2）設A點的縱坐標為n，由題意可知C點的縱坐標為n﹣1，根據AB∥x軸，AB＝2得出﹣＝2，得到a﹣b＝2n，根據CD∥AB，CD＝3，得出﹣＝3，得到a﹣b＝3n﹣3，即可得出2n＝3n﹣3，解得n＝3，即可求得a﹣b＝6．【解答】解：（1）∵點A的坐標為（，2），AB∥x軸，AB＝2，∴B（﹣，2），∵點A在反比例函數y＝（x＞0）的圖象上，點B在反比例函數y＝（x＜0）的圖象上，∴a＝＝1，b＝﹣＝﹣3，∴a+b＝﹣2．故答案為：﹣2；（2）設A點的縱坐標為n，則C點的縱坐標為n﹣1，∵AB∥x軸，AB＝2，∴A（，n），B（，n），∴﹣＝2，∴a﹣b＝2n，∵CD∥AB，CD＝3，∴C（，n﹣1），D（，n﹣1），∴﹣＝3，∴a﹣b＝3n﹣3，∴2n＝3n﹣3，∴n＝3，∴a﹣b＝2n＝6．故答案為：6．【點評】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，正確表示點的坐標是解題的關鍵．4．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，C（0，﹣4），AC與x軸交于點D．（1）若OB＝1，求tan∠OBC＝4．（2）若CD＝4AD，點A在y＝（x＞0）的圖象上，且y軸平分∠ACB，求k＝．【分析】（1）根據正切的定義代入數據計算即可；（2）作AE⊥x軸，利用條件證明△ADE∽△CDO得到AE＝1，再利用條件證明△ABE∽△DCO列出，設DE＝n．則BO＝OD＝4n，BE＝9n，根據相似比代入計算出n值，得到A（，1），根據反比例函數圖象上點的坐標特征求出k值即可．【解答】解：（1）∵C（0，﹣4），∴OC＝4，在Rt△BOC中，OB＝1，OC＝4，tan∠OBC＝＝4．故答案為：4．（2）如圖，作AE⊥x軸，垂足為E，∵∠AED＝∠COD＝90°，∠ADE＝∠CDO，∴△ADE∽△CDO，∵CD＝4AD，∴，∴AE＝1，又∵y軸平方∠ACB，CO⊥BD，∴BO＝OD，∵∠ABC＝90°，∴∠OCD＝∠DAE＝∠ABE，∴△ABE∽△DCO，∴，設DE＝n．則BO＝OD＝4n，BE＝9n，∴，∴n＝，∴OE＝5n＝，∴A（，1），∴k＝．故答案為：．【點評】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握相似三角形性質是解答本題的關鍵．5．如圖，在平面直角坐標系xOy中，Rt△OAB的直角頂點B在x軸的正半軸上，函數（k＞0，x＞0）的圖象分別與邊AO，AB交于點C，D．若D為AB的中點，則的值等于．【分析】作CE⊥x軸于點E，通過證得△OCE∽△OAB，得到＝（）2，設A點坐標為（a，b），則S△OAB＝，利用線段中點坐標公式得到D點坐標為（a，），再利用反比例函數圖象上點的坐標特征得到k＝ab，利用反比例函數系數k的幾何意義求得S△OCE＝＝ab，有進步即可求得的值．【解答】解：作CE⊥x軸于點E，∴△OCE∽△OAB，∴＝（）2，設A點坐標為（a，b），∴S△OAB＝＝，∵點D為斜邊AB的中點，∴D點坐標為（a，），而點D在反比例函數（k＞0，x＞0）的圖象上，∴k＝a?b＝ab，∴S△OCE＝＝ab，∴＝＝（）2，∴＝，故答案為：．【點評】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，反比例函數的性質，反比例函數系數k的幾何意義，三角形相似的判定和性質，求得三角形的面積是解題的關鍵．6．如圖，點A（1，m）和B（n，2）在反比例函數的圖象上，點C，D分別是x軸正半軸和y軸正半軸上的動點，則四邊形ABCD周長的最小值為4．【分析】先求出AB＝，再分別作點A關于y軸的對稱點A′，作點B關于x軸的對稱點B′，連接A′B′交y軸于點D，交x軸于點C，此時四邊形ABCD的周長最小，依據兩點間距離公式計算最小值即可．【解答】解：∵點A（1，m）和B（n，2）在反比例函數的圖象上，∴m＝2n＝4，∴m＝4，n＝2，∴A（1，4），B（2，2）．∴AB＝＝，如圖，分別作點A關于y軸的對稱點A′，作點B關于x軸的對稱點B′，連接A′B′交y軸于點D，交x軸于點C，此時四邊形ABCD的周長最?。鶕c的對稱性質可知A′（﹣1，4），B′（2，﹣2），∴A′B′＝＝3，∴四邊形ABCD周長的最小值為：3+＝4．故答案為：4．【點評】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握兩點間距離公式是關鍵．7．如圖，在直角坐標系中，過函數上一點A分別作橫軸和縱軸的平行線交函數與點B、C．則△OBC的面積為．【分析】延長AB交y軸于點E，延長AC交x軸于點F，連接OA，利用面積關系推出點B是AE中點，點C是AF的中點，利用S△BOC＝S矩形AEOF﹣S△EBO﹣S△GOF﹣S△ABC代入數據計算即可．【解答】解：延長AB交y軸于點E，延長AC交x軸于點F，連接OA，∵點B在函數y＝圖象上，點A在函數y＝，∴S△OBE＝，S△OAE＝1，∴點B是AE中點，同理點C是AF的中點，∴S△ABC＝S矩形AEOF＝＝，∴S△BOC＝S矩形AEOF﹣S△EBO﹣S△GOF﹣S△ABC＝2﹣﹣﹣＝．故答案為：．【點評】本題考查了反比例函數k值的幾何意義，熟練掌握k值幾何意義是解答本題的關鍵．押題方向四：一題多問3年安徽真題考點命題趨勢2023年安徽卷第14題二次函數的性質，平移等從近年安徽中考來看，一題多問是填空題中的小壓軸問題，一般是兩問，有點難度。預計2024年安徽卷還將繼續(xù)考查以三角形，四邊形、二次函數等形式產生一題多問，為避免丟分，學生應扎實掌握。2022年安徽卷第14題特殊四邊形、三角形的判定和性質2022年安徽卷第14題二次函數的性質1．（2023·安徽·中考真題）如圖，O是坐標原點，Rt△OAB的直角頂點A在x軸的正半軸上，AB＝2，∠AOB＝30°，反比例函數y＝（k＞0）的圖象經過斜邊OB的中點C．（1）k＝；（2）D為該反比例函數圖象上的一點，若DB∥AC，則OB2﹣BD2的值為．【分析】（1）根據直角三角形的性質，求出A、B兩點坐標，作出輔助線，證得△OPC≌△APC（HL），利用勾股定理及待定系數法求函數解析式即可解答．（2）求出AC、BD的解析式，再聯(lián)立方程組，求得點D的坐標，分兩種情況討論即可求解．【解答】解：（1）在Rt△OAB中，AB＝2，∠AOB＝30°，∴，∴，∵C是OB的中點，∴OC＝BC＝AC＝2，如圖，過點C作CP⊥OA于P，∴△OPC≌△APC（HL），∴，在Rt△OPC中，PC＝，∴C（，1）．∵反比例函數y＝（k＞0）的圖象經過斜邊OB的中點C，∴，解得k＝．故答案為：．（2）設直線AC的解析式為y＝kx+b（k≠0），則，解得，∴AC的解析式為y＝﹣x+2，∵AC∥BD，∴直線BD的解析式為y＝﹣x+4，∵點D既在反比例函數圖象上，又在直線BD上，∴聯(lián)立得，解得，當D的坐標為（2+2，）時，BD2＝（2+＝9+3＝12，∴OB2﹣BD2＝16﹣12＝4；當D的坐標為（2﹣2，）時，BD2＝（2+＝9+3＝12，∴OB2﹣BD2＝16﹣12＝4；綜上，OB2﹣BD2＝4．故答案為：4．【點評】本題考查了直角三角形的性質，待定系數法求函數解析式，勾股定理的應用，解題的關鍵是掌握直角三角形的性質及勾股定理的應用．2.（2022·安徽·中考真題）如圖，四邊形ABCD是正方形，點E在邊AD上，△BEF是以E為直角頂點的等腰直角三角形，EF，BF分別交CD于點M，N，過點F作AD的垂線交AD的延長線于點G．連接DF，請完成下列問題：（1）________°；（2）若，，則________．【答案】①45②.3.（2021·安徽·中考真題）設拋物線，其中為實數.若拋物線經過點，則_______.（2）將拋物線向上平移2個單位，所得拋物線頂點的縱坐標的最大值是_______答案：0，2解析：（1）把（-1，m）帶入y=x2+（a+1）x+a,可得：1-（a+1）+a=m,m=0拋物線y＝x2+（a+1）x+a向上平移2個單位可得平移后的解析式為y1=x2+（a+1）x+a+2,由頂點公式可得拋物線頂點的縱坐標為k=，當a=1時拋物線頂點的縱坐標的最大值是2，故答案是0，2本題考查了直角三角形的性質，待定系數法求函數解析式，勾股定理的應用，解題的關鍵是掌握直角三角形的性質及勾股定理的應用．本題考察了正方形的性質，全等三角形的性質與判定、相似三角形的性質與判定，解題的關鍵是靈活應用這些判定和性質。本題考察的二次函數的平移、二次函數的圖象和頂點坐標等知識，難度不大，考生要熟練掌握其性質是解題的關鍵。1．圖1是一個瓷碗，圖2是其截面圖，碗體DEC呈拋物線狀（碗體厚度不計），碗口寬CD＝12cm，此時面湯最大深度EG＝8cm．（1）當面湯的深度ET為4cm時，湯面的直徑PQ長為6；（2）如圖3，把瓷碗繞點B緩緩傾斜倒出部分面湯，當∠ABM＝45°時停止，此時碗中液面寬度CH＝．【分析】（1）設點E的坐標為：（0，c），則拋物線的表達式為：y＝ax2+c，則點C的坐標為：（6，8+c），點Q（x，4+c），再用待定系數法即可求解；（2）確定直線CH的表達式為：y＝x﹣6+8+c＝x+2+c，求出x1+x2＝，x1x2＝﹣9，進而求解．【解答】解：（1）以F為原點，直線AB為x軸，直線EF為y軸，建立平面直角坐標系，如圖：設點E的坐標為：（0，c），則拋物線的表達式為：y＝ax2+c，則點C的坐標為：（6，8+c），點Q（x，4+c），將點C、Q的坐標代入拋物線表達式得：，解得：，即拋物線的表達式為：y＝x2+c①，PQ＝2xQ＝6，故答案為：6；（2）將瓷碗繞點B緩緩傾斜倒出部分面湯，當∠ABK＝45°時停止，所以旋轉前CH與水平方向的夾角為45°，設直線CH的解析式為y＝x+b，將點C的坐標代入上式的：直線CH的表達式為：y＝x﹣6+8+c＝x+2+c②，聯(lián)立①②并整理得：2x2﹣9x﹣18＝0，則x1+x2＝，x1x2＝﹣9，則（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝，則|x1﹣x2|＝，由CH的表達式知，其和x軸的夾角為45°，則CH＝|x1﹣x2|＝，故答案為：．也可采取以下方法：設過點C（6，8）的直線和x軸的夾角為45°，故設該直線的表達式為：y＝x+b，將點C的坐標代入上式得：8＝6+b，解得：b＝2，則直線的表達式為：y＝x+2，由（1）知，拋物線的表達式為：y＝x2，聯(lián)立上述兩式得：x2＝x+2，解得：x＝6或﹣1.5，則|x1﹣x2|＝|6+1.5|＝7.5，則CH＝7.5×＝．【點評】本題考查了二次函數，一次函數以及直角三角形在實際生活中的應用，建立合適的直角坐標系和待定系數法求解析式是解題的關鍵．2．已知二次函數y＝x2﹣2mx+m2﹣4．（1）若該函數圖象的對稱軸為直線x＝2，則m＝2．（2）若該函數圖象與x軸正半軸有且只有一個交點，則m的取值范圍是﹣2＜m≤2．【分析】（1）由拋物線對稱軸的公式即可求解；（2）由Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4）＝16＞0，得到拋物線和x軸有兩個交點，進而求解．【解答】解：（1）拋物線的對稱軸為直線x＝2＝﹣，解得：m＝2，故答案為：2；（2）Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4）＝16＞0，則拋物線和x軸有兩個交點，當x1?x2＝m2﹣4＜0且m≠﹣2時，符合題意，解得：﹣2＜m≤2，故答案為：﹣2＜m≤2．【點評】本題考查的是拋物線和x軸的交點，熟悉二次函數的圖象和性質是解題的關鍵．3．已知拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0）和B兩點，與y軸交于點C．（1）該拋物線的對稱軸是直線x＝﹣（用含a的代數式表示）；（2）若AB＝3，當x＞﹣1時，y隨x的增大而增大，點P為x軸下方拋物線上一點，且△BPC的面積被x軸分成1：2兩部分，則點P的坐標為（﹣3，﹣1）或（﹣2，﹣1）．【分析】（1）把A（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+2中，得出a，b的關系，從而得出結論；（2）先根據AB＝3求出點B坐標，再根據題意判斷函數解析式，然后根據△BPC的面積被x軸分成1：2兩部分分類討論即可．【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+2中，得a﹣b+2＝0，∴b＝a+2，∴對稱軸x＝﹣＝﹣，故答案為：﹣；（2）∵A（﹣1，0），AB＝3，∴B（2，0）或（﹣4，0），當B（2，0）時，把A（﹣1，0），B（2，0）代入y＝ax2+bx+2得：，解得，∴拋物線解析式為y＝﹣x2+x+2，∴對稱軸為x＝﹣，拋物線開口向下，不滿足當x＞﹣1時，y隨x的增大而增大，不符合題意，舍去；當B（﹣4，0）時，把把A（﹣1，0），B（﹣4，0）代入y＝ax2+bx+2得：，解得，∴拋物線解析式為y＝x2+x+2，∴對稱軸為x＝﹣，拋物線開口向上，滿足當x＞﹣1時，y隨x的增大而增大，符合題意，連接BP，BC，PC，設PC交x軸于點D，∵△BPC的面積被x軸分成1：2兩部分，∴①S△BDC：S△BDP＝1：2，即：＝1：2，令y＝0，則y＝2，∴C（0，2），∴OC＝2，設P（m，﹣m2﹣m﹣2），∴：＝1：2，∴﹣m2﹣m﹣2﹣4＝0，∵（﹣）2﹣4×（﹣）×（﹣6）＝﹣12＝﹣＜0，∴﹣m2﹣m﹣2﹣4＝0無實數根，∴S△BDC：S△BDP＝1：2不存在；②S△BDC：S△BDP＝2：1，即：＝2：1，∴﹣m2﹣m﹣2＝1，解得m1＝﹣2，m2＝﹣3，當m＝﹣2時，﹣m2﹣m﹣2＝﹣1，∴P（﹣2，﹣1），當m＝﹣3時，﹣m2﹣m﹣2＝﹣1，∴P（﹣3，﹣1）．綜上所述，點P的坐標為（﹣3，﹣1）或（﹣2，﹣1）．故答案為：（﹣3，﹣1）或（﹣2，﹣1）．【點評】本題考查拋物線與x軸的交點，二次函數的性質以及待定系數法求函數解析式，關鍵是用待定系數法求函數解析式．4．如圖，點D為等邊三角形ABC邊BC上一動點，AB＝4，連接AD，以AD為邊作正方形ADEF，連接CE、CF，則當BD＝2﹣時，△CEF的面積最小值為．【分析】如圖，過點A作AJ⊥BC于點J，EK⊥BC交BC的延長線于點K，過點F作FH⊥AC于點H，過點D作DTAC于點T．設DJ＝x．構建二次函數，利用二次函數的性質解決問題．【解答】解：如圖，過點A作AJ⊥BC于點J，EK⊥BC交BC的延長線于點K，過點F作FH⊥AC于點H，過點D作DT⊥AC于點T．設DJ＝x．∵△ABC是等邊三角形，AJ⊥BC，∴BJ＝CJ＝2，AJ＝2，∴AD2＝DJ2+AJ2＝x2+12，∵∠AJD＝∠ADE＝∠DKE＝90°，∴∠DAJ+∠ADJ＝90°，∠ADJ+∠KDE＝90°，∴∠DAJ＝∠KDE，∵AD＝DE，∴△AJD≌△DKE（AAS），∴DJ＝EK＝x，∵∠ATD＝∠AHF＝∠DAF＝90°，∴∠DAT+∠FAH＝90°，∠FAH+∠AFH＝90°，∴∠DAT＝∠AFH，∵AD＝AF，∴△DTA≌△AHF（AAS），∴AT＝FH，∵CT＝CD＝（x+2），∴AT＝FJ＝4﹣（x+2）＝3﹣x，∴S陰＝S正方形ABCD﹣S△ADC﹣S△DCE﹣S△ACF＝x2+12﹣×（2+x）×2﹣（x+2）×x﹣×4×（3﹣x）＝x2﹣x+6﹣2，∵＞0，∴S陰有最小值，當x＝時，最小值為＝，此時BD＝2﹣．故答案為：2﹣，．【點評】本題考查二次函數的最值，等邊三角形的性質，正方形的性質等知識，解題的關鍵是學會利用參數構建二次函數解決問題．5．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點E為線段BC上的動點，將△ABE沿AE折疊，使點B落在點F處．（1）當點F落在矩形對角線AC上時，則BE的長為3；（2）當△CDF是以DF為腰的等腰三角形時，則BE的長為或．【分析】（1）根據勾股定理，得到，AB＝AF＝6，繼而得到CF＝AC﹣AF＝4，設BE＝EF＝x，則CE＝BC﹣BE＝（8﹣x），利用勾股定理解答即可．（2）分DF＝CF和DF＝DC兩種情形，利用折疊的性質，勾股定理，等腰三角形的性質，對稱性解答即可．【解答】解：（1）矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∴∠ABC＝90°，∴，根據折疊的性質，得AB＝AF＝6，∠ABC＝∠AFE＝90°∴CF＝AC﹣AF＝4，設BE＝EF＝x，則CE＝BC﹣BE＝（8﹣x），∴（8﹣x）2＝x2+42解得x＝3．故答案為：3．（2）當DF＝CF時，如圖，過點F作FM⊥DC于點M，F(xiàn)G⊥AD于點G，∴四邊形DMFG是矩形，，根據折疊的性質，得AB＝AF＝CD，∠BAE＝∠FAE，∴，∴∠GAF＝30°，∴∠BAE＝∠FAE＝∠GAF＝30°，∴；當DF＝DC時，如圖，過點F作FM⊥AD于點M，延長MF交BC于點N，∴DF＝DC＝AB＝AF＝6，∴直線FM是矩形的對稱軸，∴，四邊形ABNM是矩形，∴，AB＝MN＝6，∴FN＝MN﹣FM＝，設BE＝EF＝x，則EN＝BN﹣BE＝（4﹣x），∴解得．故答案為：或．【點評】本題考查矩形的性質，勾股定理，折疊的性質，等腰三角形的性質，三角函數，熟練掌握勾股定理，三角函數是解題的關鍵．6．如圖，矩形ABCD中，P是AD邊上的動點，連接點P與AB邊的中點E，將△APE沿PE翻折得到△OPE，延長PO交邊BC于點F，作∠PFC的平分線FG，交邊AD點G．（1）若∠AEP＝35°，則∠PFG＝55°；（2）若AB＝2，且E、O、G三點共線，則AP＝．【分析】（1）根據矩形的性質得∠APE＝55°，由折疊得∠APE＝∠OPE，進而可以解決問題；（2）過點G作GH⊥CD于點H，得矩形DCHG，矩形AGHB，證明△GFO≌△GFH（AAS），得GO＝GH＝2，然后利用勾股定理即可解決問題．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵∠AEP＝35°，∴∠APE＝90°﹣35°＝55°，由折疊可知：∠APE＝∠OPE，∴∠APF＝2∠APE，∵GF平分∠PFC，∴∠PFC＝2∠PFG，∴∠PFG＝∠APE＝55°，故答案為：55；（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，如圖，過點G作GH⊥CD于點H，得矩形DCHG，矩形AGHB，∴AB＝CD＝GH＝2，∠GHF＝90°，由折疊可知：∠APE＝∠OPE，∴∠E